MATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS

PENDAHULUAN SISTEM BILANGAN

KOMPLEKS

REAL

RASIONAL

BULAT

BULAT NEGATIF

CACAH

ASLI 0

PECAHAN

IRASIONAL

IMAJINER

2

ILUSTRASI Carilah akar-akar persamaan

𝑥2 + 4𝑥 + 5 = 0

SOLUSI

Akar-akar tersebut adalah akar-akar imajiner dimana −1 = 𝑖.

𝑥1, 𝑥2 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1, 𝑥2 =−4 ± −4

2 𝑥1, 𝑥2 =

−4 ± 2 −1

2

𝑥1 = −2 + −1 𝑥2 = −2 − −1

3

NOTASI o Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk

𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 atau 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖

dengan 𝑥, 𝑦 adalah bilangan real dan 𝑖2 = −1

o Re(𝑧) = 𝑥 dan Im(𝑧) = 𝑦

o Himpunan bilangan kompleks dinyatakan dengan ℂ.

CONTOH

𝑧 = 4 + 6𝑖

4

BIDANG KOMPLEKS o Bilangan kompleks dapat digambarkan dalam suatu bidang

kompleks.

o Sumbu 𝑥: sumbu real

o Sumbu 𝑦: sumbu imajiner

𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖

5

OPERASI PADA BILANGAN

KOMPLEKS Jika 𝑧1 = 𝑥1+ 𝑖𝑦1 dan 𝑧2 = 𝑥2+ 𝑖𝑦2 maka

1. Penjumlahan

𝑧1 + 𝑧2 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑖 𝑦1 + 𝑦2

2. Perkalian

𝑧1𝑧2 = 𝑥1𝑥2 − 𝑦1𝑦2 + 𝑖 𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1

3. Pembagian

𝑧1𝑧2

=𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2𝑥2

2 + 𝑦22

− 𝑖𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1𝑥2

2 + 𝑦22

6

KONJUGAT DAN MODULUS o Konjugat dari bilangan kompleks

𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 adalah

𝑧 = 𝑥 − 𝑖𝑦

o Modulus dari bilangan kompleks

𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 adalah

𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 = 𝑥2 + 𝑦2

𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖

𝑧 = 𝑥 − 𝑖𝑦

𝑧

7

HUKUM-HUKUM PADA

OPERASI KONJUGAT

𝑧 = 𝑧

𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧1 + 𝑧2

𝑧1 − 𝑧2 = 𝑧1 − 𝑧2

𝑧1𝑧2 = 𝑧1 𝑧2

𝑧1𝑧2

=𝑧1

𝑧2

𝑧𝑧 = 𝑅𝑒 𝑧2+ 𝐼𝑚 𝑧

2

𝑅𝑒 𝑧 =𝑧 + 𝑧

2

𝐼𝑚 𝑧 =𝑧 − 𝑧

2𝑖

8

HUKUM-HUKUM PADA MODULUS

Teorema (sifat – sifat modulus pada bilangan kompleks)

𝑧 ≥ 0, 𝑧 ↔ 𝑧 = 0

−𝑧 = 𝑧 , 𝑧 = 𝑧

𝑅𝑒 𝑧 ≤ 𝑅𝑒 𝑧 ≤ 𝑧

𝐼𝑚 𝑧 ≤ 𝐼𝑚 𝑧 ≤ 𝑧

𝑧𝑧 = 𝑧 2

𝑧1𝑧2 = 𝑧1 𝑧2

𝑧1𝑧2

=𝑧1𝑧2

9

SOAL LATIHAN 1. Tentukan 𝑅𝑒(𝑧), 𝐼𝑚(𝑧), |𝑧|, dan konjugat dari 𝑧 untuk

𝑎. 𝑧 =2 − 5𝑖

3 + 4𝑖+3 − 14𝑖

25𝑖

𝑏. 𝑧 =12 − 5𝑖

1 + 𝑖 1 + 2𝑖 1 + 3𝑖

2. Buktikan bahwa hasil kali dua bilangan kompleks adalah nol

jika dan hanya jika paling sedikit satu diantara kedua bilangan

tersebut adalah nol.

10

BENTUK POLAR o Bilangan kompleks 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 bisa dinyatakan dalam bentuk

polar yaitu dalam parameter 𝑟 dan 𝜃 dengan hubungan

sebagai berikut

𝑥 = 𝑟 cos 𝜃

𝑦 = 𝑟 sin 𝜃

sehingga

𝑧 = 𝑟 cos 𝜃 + 𝑖 𝑟 sin 𝜃

𝑟 : modulus 𝑧 ( 𝑧 )

𝜃 : argumen 𝑧 (arg 𝑧)

11

BENTUK POLAR Gambar

𝑟

𝜃

12

BENTUK POLAR o Nilai 𝑟 dan 𝜃 dapat dinyatakan dalam bentuk

𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2

𝜃 = arctan𝑦

𝑥

o Sudut 𝜃 disebut dengan argumen dari 𝑧 dan dinotasikan

“arg (𝑧)”

o Argumen dari bilangan 𝑧 tidak tunggal karena cos 𝜃 dan sin𝜃

adalah fungsi periodik

o Jadi arg (𝑧) = 𝜃 + 2𝑘𝜋 (𝑘 = 0, ±1,±2,… )

13

CONTOH Nyatakan 𝑧 = − 3 − 𝑖 dalam bentuk polar

Solusi

𝑟 = 2 dan 𝑦

𝑥= 1/ 3

sehingga tan−1 (1/ 3) = 𝜋/6

Karena titik (− 3,−1) terletak pada kuadran 3, maka

𝑧 = 2 cos7𝜋

6+ 𝑖 sin

7𝜋

6

14

ARG (Z) Nilai utama argumen dari suatu bilangan kompleks adalah nilai yang lebih besar dari – 𝜋 tetapi tidak melebihi 𝜋. Nilai utama argumen bilangan 𝑧 ditulis “𝐴𝑟𝑔(𝑧).” Jadi

– 𝜋 < 𝐴𝑟𝑔(𝑧) ≤ 𝜋

Contoh

Carilah nilai utama argumen dari 𝑧 = 𝑖

Solusi: 𝐴𝑟𝑔(𝑧) = 𝜋/2

Secara umum hubungan antara arg (𝑧) dengan 𝐴𝑟𝑔(𝑧) adalah

arg (𝑧) = 𝐴𝑟𝑔(𝑧) + 2𝑘𝜋 ; 𝑘 = 0,±1,±2,…

15

SIFAT – SIFAT ARGUMEN 1. arg (𝑧 ) = − arg (𝑧)

2. arg 𝑧1𝑧2 = arg 𝑧1 + arg (𝑧2)

3. arg 𝑧1/𝑧2 = arg 𝑧1 − arg (𝑧2)

16

RUMUS DE MOIVRE Misal 𝑧𝑗 = 𝑟𝑗(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃), 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛

𝑧1𝑧2…𝑧𝑛 = 𝑟1𝑟2…𝑟𝑛 (cos (𝜃1 + ⋯+ 𝜃𝑛) + 𝑖 sin (𝜃1+⋯+ 𝜃𝑛))

Jika 𝑧1 = 𝑧2 = … = 𝑧𝑛 = cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃 maka diperoleh

(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)𝑛 = cos (𝑛𝜃) + 𝑖 sin (𝑛𝜃)

yang berlaku untuk semua bilangan bulat positif 𝑛.

17

LATIHAN

1. Hitunglah (1 – 𝑖)8

2. Jika

𝑧 =1 + 𝐼 1 + 3𝑖

−1 + 𝐼

Tentukan:

a. Bentuk kutub dari 𝑧

b. arg(𝑧) dan arg(𝑧 )

c. Arg(𝑧) dan Arg(𝑧 )

18

BENTUK

EKSPONENSIAL Formula Euler

𝑒𝑖𝜃 = exp (𝑖𝜃) = cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃

dimana 𝜃 dalam radian

Dengan menggunakan formula Euler bentuk

𝑧 = 𝑟 (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)

dapat ditulis dalam bentuk 𝑧 = 𝑟 𝑒𝑖𝜃

Contoh

Tuliskan 𝑧 = – 1 – 𝑖 dalam bentuk eksponensial.

19

AKAR BILANGAN

KOMPLEKS Jika diberikan bilangan kompleks 𝑤 = 𝜌 𝑐𝑖𝑠 𝜑 yang tak nol dan 𝑛

bilangan bulat positif, maka diperoleh 𝑛 buah nilai untuk 𝑤1𝑛 ,

yaitu

𝑤1𝑛 = 𝑧𝑘 = 𝜌𝑛 cos

𝜑 + 2𝑘𝜋

𝑛+ 𝑖 sin

𝜑 + 2𝑘𝜋

𝑛

dengan 𝑘 = 0, 1, … , (𝑛 – 1) atau 𝑛 bilangan bulat yang berurutan.

20

CONTOH Tentukan semua nilai untuk akar pangkat 6 dari 1.

Solusi:

116 = 𝑧𝑘 = 1 cos

0 + 2𝑘𝜋

6+ 𝑖 sin

𝑘 = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

21

HIMPUNAN TITIK PADA BIDANG

KOMPLEKS Lingkaran

Misalkan 𝑧0 = 𝑥0 + 𝑖𝑦0. Karena

adalah jarak antara titik 𝑧 dengan 𝑧0, titik 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 memenuhi persamaan

22

22

0 0 0z z x x y y

0 , 0z z

terletak pada lingkaran berdiameter

dan berpusat di 𝑧0. z0

CAKRAM DAN

KITARAN Himpunan titik yang didefinisikan oleh

adalah cakram radius dan berpusat di 𝑧0. Tetapi titik 𝑧 yang

memenuhi pertidaksamaan

terletak di dalam, bukan pada, sebuah lingkaran berdiameter

dan berpusat di 𝑧0. Himpunan ini disebut kitaran dari 𝑧0.

23

0z z

0z z

HIMPUNAN BUKA Titik 𝑧0 disebut titik dalam (interior point) dari himpunan S jika terdapat

sekitar (neighborhood) 𝑧0 yang keseluruhannya terletak di dalam S.

Jika setiap titik 𝑧 dalam S adalah titik dalam, maka S disebut himpunan

buka.

24

CONTOH Tentukan daerah pada bidang z yang direpresentasikan oleh

fungsi berikut

a. │𝑧│ < 1

b. 1 < │𝑧 + 2𝑖│ ≤ 2

c. 𝜋/3 ≤ arg (𝑧) ≤ 𝜋/2 latihan

25

SOLUSI (A) Interior lingkaran berjari – jari 1

26

1 x

y

SOLUSI (B) │𝑧 + 2𝑖│ adalah jarak dari 𝑧 ke – 2𝑖

│𝑧 + 2𝑖│ = 1 lingkaran berjari – jari 1, berpusat di – 2𝑖

│𝑧 + 2𝑖│ = 2 lingkaran berjari – jari 2, berpusat di – 2𝑖

27

2

1 –2i