BAB I BILANGAN KOMPLEKS

1. Bilangan Kompleks

1. BILANGAN KOMPLEKS

Sistem bilangan yang sudah dikenal sebelumnya yaitu sistem bilangan real, tetapi sistem bilangan real ternyata masih belum cukup untuk menyelesaikan semua bentuk persamaan. Oleh karena itu, perlu suatu jenis bilangan baru yang disebut bilangan kompleks. Pengertian bilangan kompleks, bidang kompleks dan sifat aljabar bilangan kompleks yang diuraikan dalam bab ini diharapkan dapat menjadi dasar untuk mempelajari bab-bab selanjutnya. Oleh karena itu, setelah membaca Bab I, mahasiswa diharapkan dapat

mengerti definisi bilangan kompleks.

mengerti sifat aljabar dan tafsiran geometri bilangan kompleks.

menuliskan bilangan kompleks dalam bentuk kutub, eksponen, pangkat dan akar.1.1 Pengertian Bilangan KompleksMengapa perlu bilangan kompleks ?

mempunyai penyelesaian dengan .

EMBED Equation.3 tidak mempunyai penyelesaian jika .

Sehingga perlu mengidentifikasi suatu bilangan sehingga mempunyai penyelesaian. Selanjutnya perlu dikembangkan suatu sistem bilangan yaitu bilangan kompleks.Definisi Bilangan KompleksBilangan kompleks z :

merupakan pasangan berurut dengan .

Ditulis : .

merupakan bilangan yang berbentuk dengan dan .

Ditulis : .

Jika maka

= bagian riil z,

= bagian imajiner z,

= satuan imajiner dan .

Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam bilangan kompleks yaitu

1. = himpunan bilangan kompleks

= .

2. Jika dan maka z dinamakan bilangan imajiner murni.

3. Jika dan maka z merupakan bilangan riil.

4. Kesamaan bilangan kompleks.

Misalkan dan . jika dan hanya jika dan .Contoh 1a.

dan .

b.

dan .

1.2 Bidang KompleksBilangan kompleks merupakan pasangan berurut , sehingga secara geometri dapat disajikan sebagai titik pada bidang kompleks (bidang xy), dengan sumbu x (sumbu riil) dan sumbu y (sumbu imajinair). Selain itu, bilangan kompleks juga dapat disajikan sebagai vektor dalam bidang kompleks dengan titik pangkal pada titik asal dan ujung vektor merupakan titik . y (sumbu imajinair)

O

x (sumbu riil)

Gambar 1. Bidang kompleks 1.3 Operasi AljabarOperasi aljabar pada bilangan kompleks sesuai dengan operasi aljabar pada bilangan riil.

Operasi Aljabar pada bilangan kompleksMisalkan dan .

a. Penjumlahan :

b. Pengurangan :

c. Perkalian :

d. Pembagian :

Perlu diperhatikan :

1. ( negatif z ).

Jika maka .

2. ( kebalikan z )

Jika maka .Sifat Operasi Aljabar

a. Hukum komutatif

b. Hukum asosiatif

c. Hukum distributif

d. Elemen netral dalam penjumlahan ( )

e. Elemen netral dalam perkalian ( )

1.4 Modulus dan Bilangan Kompleks SekawanPenyajian bilangan kompleks sebagai vektor dapat digunakan untuk mengembangkan konsep nilai mutlak bilangan riil pada bilangan kompleks.

Definisi modulus

(nilai mutlak) Modulus (nilai mutlak) didefinisikan sebagai bilangan riil non negatif dan ditulis sebagai

Modulus z = = .

Secara geometri, menyatakan jarak antara titik dan titik asal.

Misalkan dan . Jarak antara dan didefinisikan dengan

.

Selanjutnya, persamaan menyatakan bilangan kompleks z yang bersesuaian dengan titik-titik pada lingkaran dengan pusat dan jari-jari R.

Definisi bilangan kompleks sekawan Bilangan kompleks sekawan dari didefinisikan sebagai bilangan kompleks .

Secara geometri, bilangan kompleks sekawan dinyatakan dengan titik dan merupakan pencerminan titik terhadap sumbu riil.

Contoh 2

a. .

b. menyatakan lingkaran dengan pusat dan jari-jari .

c. Jika maka .

Sifat Modulus dan Bilangan Kompleks Sekawan

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

k. ,

l.

m. Pertidaksamaan Segitiga :

n.

o.

p. .

1.5 Bentuk Kutub Bentuk kutub bilangan kompleksBilangan kompleks dapat disajikan dalam koordinat kutub . Misalkan dan maka dapat dinyatakan dalam bentuk kutub

dengan

r = modulus (nilai mutlak) = = .

= argumen dari z =

= .

y z = x+ iy r

x

Nilai argumen dari z (arg z) tidak tunggal tetapi merupakan kelipatan (sesuai dengan kuadran dimana titik z berada). Sedangkan, nilai utama (principal value) dari ditulis dengan adalah tunggal.

Jelas, . Perlu diperhatikan bahwa :

Operasi aljabar bentuk kutub dan sifat argumen

Misalkan dan dengan .

a. Perkalian

.

b. Pembagian

.

.

c. Invers sebarang bilangan kompleks yaitu

.

.

Contoh 3Diketahui . Tentukan bentuk kutub dari z dan .

Penyelesaian :

Menggunakan sifat argumen diperoleh :

.

.

Selain dalam bentuk umum dan bentuk kutub , bilangan kompleks juga dapat dinyatakan dalam bentuk eksponen.Bentuk eksponenBentuk eksponen bilangan kompleks yaitu

dengan dinamakan rumus Euler.

Operasi aljabar bentuk eksponenMisalkan dan .

a. Perkalian

b. Pembagian

c. Invers sebarang bilangan kompleks yaitu

Bentuk pangkatMisalkan , maka menggunakan aturan pangkat seperti pada bilangan riil diperoleh

,

Rumus MoivreJika , maka bentuk pangkat di atas menjadi , atau , . Selanjutnya dapat ditulis dalam bentuk yang disebut Rumus Moivre .

1.6 Bentuk Akar

Bentuk akarMisalkan , akar pangkat n dari bilangan kompleks ditulis atau . Jika diberikan bilangan kompleks dan n bilangan bulat positif, maka diperoleh n buah akar untuk yaitu

, .

Secara geometri, n buah akar tersebut merupakan titik-titik sudut segi n beraturan pada suatu lingkaran dengan pusat titik O dan jari-jari .

Contoh 4Tentukan semua akar dari dan gambarkan akar-akar tersebut dalam bidang kompleks.

Penyelesaian :

Misalkan , maka dan ,

,

Sehingga diperoleh

.

.

.

y

2

x .

RingkasanBilangan kompleks mempunyai bentuk kutub , dan bentuk eksponen , dengan .

Soal-soal 1. Tentukan , , dan untuk

a.

b.

2. Tuliskan bilangan kompleks berikut dalam bentuk kutub, tentukan juga .

a.

c.

b.

d.

3. Buktikan .

4. Tentukan semua akar dari dan gambarkan akar-akar tersebut

dalam bidang kompleks.PAGE 1

_1167926768.unknown

_1169049598.unknown

_1188133078.unknown

_1188219667.unknown

_1188283167.unknown

_1188293340.unknown

_1188293934.unknown

_1188297072.unknown

_1227469574.unknown

_1188298444.unknown

_1188294418.unknown

_1188294608.unknown

_1188294835.unknown

_1188294590.unknown

_1188294079.unknown

_1188293739.unknown

_1188293759.unknown

_1188293375.unknown

_1188293602.unknown

_1188289643.unknown

_1188290668.unknown

_1188291533.unknown

_1188293151.unknown

_1188293303.unknown

_1188293080.unknown

_1188291710.unknown

_1188290780.unknown

_1188290815.unknown

_1188290694.unknown

_1188289828.unknown

_1188290608.unknown

_1188289706.unknown

_1188289581.unknown

_1188289620.unknown

_1188289562.unknown

_1188220895.unknown

_1188221791.unknown

_1188283008.unknown

_1188222149.unknown

_1188221666.unknown

_1188221695.unknown

_1188221258.unknown

_1188221154.unknown

_1188220451.unknown

_1188220779.unknown

_1188220450.unknown

_1188220132.unknown

_1188210499.unknown

_1188211912.unknown

_1188219451.unknown

_1188219628.unknown

_1188219334.unknown

_1188210948.unknown

_1188211591.unknown

_1188211878.unknown

_1188211610.unknown

_1188211558.unknown

_1188210899.unknown

_1188209541.unknown

_1188210479.unknown

_1188208408.unknown

_1188208989.unknown

_1188208402.unknown

_1169054305.unknown

_1169056152.unknown

_1188128600.unknown

_1188129329.unknown

_1188129846.unknown

_1188132038.unknown

_1188129505.unknown

_1188129194.unknown

_1187719419.unknown

_1188128579.unknown

_1187719368.unknown

_1169056223.unknown

_1169054538.unknown

_1169054841.unknown

_1169054327.unknown

_1169052766.unknown

_1169053454.unknown

_1169053512.unknown

_1169053644.unknown

_1169052930.unknown

_1169053146.unknown

_1169050078.unknown

_1169051823.unknown

_1169049755.unknown

_1167931742.unknown

_1167995941.unknown

_1167998137.unknown

_1168448217.unknown

_1168451457.unknown

_1169049583.unknown

_1168451491.unknown

_1168451540.unknown

_1168450390.unknown

_1168451437.unknown

_1168449389.unknown

_1168449843.unknown

_1168448913.unknown

_1168449318.unknown

_1168222880.unknown

_1168448083.unknown

_1168222868.unknown

_1167996280.unknown

_1167997860.unknown

_1167997922.unknown

_1167996453.unknown

_1167996120.unknown

_1167996206.unknown

_1167995963.unknown

_1167933137.unknown

_1167995338.unknown

_1167995760.unknown

_1167995896.unknown

_1167995459.unknown

_1167933314.unknown

_1167995272.unknown

_1167933161.unknown

_1167932074.unknown

_1167932268.unknown

_1167932864.unknown

_1167932967.unknown

_1167932719.unknown

_1167932109.unknown

_1167931865.unknown

_1167930111.unknown

_1167930474.unknown

_1167931643.unknown

_1167931695.unknown

_1167931358.unknown

_1167930278.unknown

_1167930358.unknown

_1167930197.unknown

_1167928419.unknown

_1167929244.unknown

_1167929356.unknown

_1167929112.unknown

_1167929190.unknown

_1167928981.unknown

_1167927563.unknown

_1167927700.unknown

_1167927447.unknown

_1167915054.unknown

_1167917513.unknown

_1167926626.unknown

_1167926718.unknown

_1167926760.unknown

_1167926687.unknown

_1167917644.unknown

_1167926597.unknown

_1167917643.unknown

_1167916964.unknown

_1167917407.unknown

_1167917449.unknown

_1167916975.unknown

_1167916757.unknown

_1167916791.unknown

_1167915150.unknown

_1167913369.unknown

_1167914590.unknown

_1167914767.unknown

_1167914915.unknown

_1167914942.unknown

_1167914784.unknown

_1167914722.unknown

_1167914040.unknown

_1167914367.unknown

_1167914449.unknown

_1167913795.unknown

_1167913493.unknown

_1165836318.unknown

_1165836346.unknown

_1165836356.unknown

_1165836255.unknown