1.BilanganKompleks1.BILANGAN KOMPLEKSSistembilanganyangsudahdikenal sebelumnya yaitusistem bilangan real, tetapi sistem bilangan real ternyata masih belum cukup untuk menyelesaikan semua bentukpersamaan.Olehkarenaitu,perlusuatujenisbilanganbaruyangdisebut bilangan kompleks.Pengertian bilangan kompleks, bidang kompleks dan sifat aljabar bilangankompleksyangdiuraikandalambab inidiharapkan dapatmenjadidasar untuk mempelajari bab-bab selanjutnya. Oleh karena itu, setelah membaca Bab I, mahasiswa diharapkan dapat mengerti definisi bilangan kompleks. mengerti sifat aljabar dan tafsiran geometri bilangan kompleks. menuliskan bilangan kompleks dalam bentuk kutub, eksponen, pangkat dan akar.11.BilanganKompleks1.1Pengertian Bilangan KompleksMengapa perlu bilangan kompleks ? 0 12 xmempunyai penyelesaiandengan x . 0 12 + x12 xtidak mempunyai penyelesaian jika x.Sehingga perlu mengidentifikasi suatu bilangan sehingga0 12 + xmempunyai penyelesaian. Selanjutnya perlu dikembangkan suatu sistem bilangan yaitu bilangan kompleks.Definisi Bilangan KompleksBilangan kompleks z : merupakan pasangan berurut ( ) y x, dengan y x ,. Ditulis : ( ) y x z , . merupakan bilangan yang berbentukiy x +dengan y x ,dan( ) 1 1 , 0 i . Ditulis :iy x z + .Jika( ) iy x y x z + ,maka ( ) z x Re = bagian riil z, ( ) z y Im = bagian imajiner z, i=satuan imajiner dan 12 i.Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam bilangan kompleks yaitu1.C =himpunan bilangan kompleks={ } 1 & , ,2 + i y x iy x z z .2. Jika( ) 0 Re zdan( ) 0 Im z maka z dinamakan bilangan imajiner murni.3. Jika( ) 0 Re zdan( ) 0 Im z maka z merupakan bilangan riil.4. Kesamaan bilangan kompleks. Misalkan 1 1 1iy x z + dan 2 2 2iy x z + .

2 1z z jika dan hanya jika 2 1x x dan 2 1y y .Contoh 1a. i z 2 10 ( ) 10 Re zdan ( ) 2 Im z .b. i z ( ) 0 Re zdan ( ) 1 Im z . 21.BilanganKompleks1.2Bidang KompleksBilangan kompleks merupakan pasangan berurut( ) y x, , sehingga secara geometri dapat disajikan sebagai titik( ) y x,pada bidang kompleks (bidang xy), dengan sumbu x(sumbu riil) dan sumbuy(sumbu imajinair). Selain itu, bilangan kompleks ( ) y x iy x z , + juga dapat disajikan sebagai vektor dalam bidang kompleks dengan titik pangkal pada titik asal dan ujung vektor merupakan titik( ) y x, .y (sumbu imajinair) iy x y x z + ) , ( Ox (sumbu riil)Gambar 1.Bidang kompleks 1.3Operasi AljabarOperasi aljabar padabilangankompleks sesuai denganoperasi aljabar pada bilangan riil.Operasi Aljabar pada bilangan kompleksMisalkan 1 1 1iy x z + dan 2 2 2iy x z + .a. Penjumlahan :( ) ( )2 1 2 1 2 1y y i x x z z + + + +b. Pengurangan:( ) ( )2 1 2 1 2 1y y i x x z z + c. Perkalian: ( ) ( )( ) ( )1 2 2 1 2 1 2 12 2 1 1 2 1y x y x i y y x xiy x iy x z z+ + + + d. Pembagian:

0 ,222222 1 1 222222 1 2 1 12 121++++ zy xy x y xiy xy y x xz zzzPerlu diperhatikan :1.z ( negatif z ).Jika iy x z + maka iy x z .2.zz11( kebalikan z )Jika iy x z + maka 2 2 2 21y xyiy xxz++.Sifat a.Hukum komutatif31.BilanganKompleksOperasi Aljabar1 2 2 1z z z z + +1 2 2 1z z z z b.Hukum asosiatif( ) ( )3 2 1 3 2 1z z z z z z + + + +( ) ( )3 2 1 3 2 1z z z z z z c.Hukum distributif( )3 1 2 1 3 2 1z z z z z z z + +d.Elemen netral dalam penjumlahan ( i 0 0 0 + )z z z + + 0 0e.Elemen netral dalam perkalian (i 0 1 1 + )z z z . 1 1 .1.4Modulus dan Bilangan Kompleks SekawanPenyajian bilangan kompleks sebagai vektor dapat digunakan untuk mengembangkan konsep nilai mutlak bilangan riil pada bilangan kompleks.Definisi modulus (nilai mutlak) Modulus (nilai mutlak)iy x z + didefinisikan sebagai bilangan riil non negatif 2 2y x + dan ditulis sebagaiModulus z=z = 2 2y x +.Secara geometri,zmenyatakan jarak antara titik( ) y x,dan titik asal.Misalkan 1 1 1iy x z + dan 2 2 2iy x z + . Jarak antara 1zdan 2zdidefinisikan dengan

( ) ( )22 122 1 2 1y y x x z z + . Selanjutnya, persamaanR z z 0menyatakan bilangan komplekszyang bersesuaian dengan titik-titik pada lingkaran dengan pusat 0z dan jari-jari R.

Definisi bilangan kompleks sekawan Bilangan kompleks sekawan dariiy x z + didefinisikan sebagai bilangan kompleksiy x z .Secarageometri, bilangankompleks sekawaniy x z dinyatakandengantitik ( ) y x ,dan merupakan pencerminan titik( ) y x,terhadap sumbu riil.41.BilanganKompleksContoh 2a.5 ) 4 ( 3 4 32 2 + i .b. 2 3 3 + i z menyatakan lingkaran dengan pusat( ) 3 , 30 zdan jari-jari2 R .c. Jika i z 4 3 maka i z 4 3 + .Sifat Modulus dan Bilangan Kompleks Sekawan2 1 2 1z z z z ( ) ( ) z z z Re Re( ) ( ) z z z Im Im2121zzzzz z z z 2 1 2 1z z z z + +2 1 2 1z z z z 2 1 2 1z z z z 2121zzzz

,_

( )2Rez zz+ ,( )iz zz2Im2z z z Pertidaksamaan Segitiga : 2 1 2 1z z z z + + 2 1 2 1z z z z +2 1 2 1z z z z n nz z z z z z + + + + + + 2 1 2 1.1.5Bentuk KutubBentuk kutub Bilangan kompleks iy x z + dapat disajikan dalam koordinat 51.BilanganKompleksbilangan komplekskutub ( ) , r . Misalkan cos r x dan sin r y maka iy x z + dapat dinyatakan dalam bentuk kutub ( ) cis ri r r i r z+ + sin cos sin cosdenganr = modulus (nilai mutlak) z =z=2 2y x +.=argumen dari z=z arg= 0 , xxytg arc .y z = x+ iyr

xNilai argumendariz(argz)tidaktunggal tetapi merupakankelipatan 2 (sesuai dengan kuadran dimana titik z berada).Sedangkan, nilai utama (principal value) dari z arg ditulis z Arg dengan < z Arg adalah tunggal.Jelas, , 2 , 1 , 0 , 2 arg t t + n n z Arg z . Perlu diperhatikan bahwa :( ) cis ri r z+ sin cos ( )( ) cis ri r z sin cos

z arg z argOperasi aljabar bentuk kutub dan sifat argumenMisalkan ( )1 1 1 1sin cos i r z + dan ( )2 2 2 2sin cos i r z + dengan 2 2 1 1 2 2 1 1arg , arg , , z z z r z r.a. Perkalian ( )( )2 1 2 12 1 2 1 2 1 + + cis z zcis r r z z

2 1 2 1arg arg arg z z z z + .b. Pembagian( ) 02 z

( ) ( )2 1212 12121 ciszzcisrrzz.

2 121arg arg arg z zzz .c.Inverssebarang bilangan kompleks ie r z yaitu61.BilanganKompleks ( ) cisr zz1 11. zzarg1arg . Contoh 3Diketahui ii iz+ + +1) 3 1 ( ) 1 (.Tentukan bentuk kutub dari z dan z.Penyelesaian :Menggunakan sifat argumen diperoleh :

,_

,_

+ 62433 42432)32 ( )42 ( cis cisciscis cisz .

,_

62cis z .Selain dalambentuk umum iy x z + dan bentuk kutub ( ) sin cos i r z + , bilangan kompleks z juga dapat dinyatakan dalam bentuk eksponen.Bentuk eksponenBentuk eksponen bilangan kompleks iy x z + yaitu

ie r z dengan sin cos iie + dinamakan rumus Euler.Operasi aljabar bentuk eksponenMisalkan 11 1 ie r z dan 22 2 ie r z .Perkalian

) (2 12 12 12 1 2 1 + ie r rieie r r z zPembagian

) (2 12121 ierrzzInverssebarang bilangan kompleks ie r z yaitu

ier zz 1 11Bentuk Misalkan ie r z , makamenggunakanaturanpangkat seperti pada bilangan riil diperoleh71.BilanganKomplekspangkat

n ienrnie rnz ) (, , 2 , 1 , 0 t t nRumus MoivreJika1 r , maka bentuk pangkatdi atas menjadi n ienienz ) (, atau n ienie ) (, , 2 , 1 , 0 t t n. Selanjutnya dapat ditulis dalam bentuk n i nni sin cos ) sin (cos + + yang disebutRumus Moivre .1.6Bentuk AkarBentuk akarMisalkan cis r z , akar pangkatndaribilangan kompleks zditulisnz1 atau n z.Jika diberikan bilangan kompleks0 zdan nbilangan bulat positif, maka diperoleh n buah akaruntuk nz1 yaitu

1]1

+++n kin kn rkz 2sin2cos , ) 1 ( , , 2 , 1 , 0 n k .Secara geometri, n buah akar tersebut merupakan titik-titik sudut segi n beraturan pada suatu lingkaran dengan pusat titik O dan jari-jari n r.Contoh 4Tentukan semua akar dari 38i dan gambarkan akar-akar tersebut dalam bidang kompleks.Penyelesaian :Misalkan i z 8 ,maka 8 z r dan 2 08 arctg,1111]1

+ ++ 322sin322cos3838kikikz,. 2 , 1 , 0 kSehingga diperoleh81.BilanganKompleksi i i z 1]1

+ 1111]1

+ + 3 )6sin( )6( cos 232sin32cos380 .i i z 2 )2sin( )2( cos 211]1

+ .i i z 1]1

+ 3 )67sin( )67( cos 22 . y 21z x.

2z 0zRingkasanBilangan kompleksiy x z + mempunyai bentuk kutub cis r z , danbentuk eksponen ie r z , denganz arg .Soal-soal 1.Tentukan ) Re(z,) Im(z, z dan z untuka.iiiiz254 34 35 2 ++ b.) 3 1 ( ) 2 1 ( ) 1 (5 12i i iiz+ + +2.Tuliskan bilangan kompleks berikut dalam bentuk kutub, tentukan juga z.a.7) 1 ( i z + c. 3 1 i z + b.iiz3 32+d.iiz+1) 1 (33.Buktikan 2 1 2 1) ( z Arg z Arg z z Arg + .4.Tentukan semua akar dari41) 3 8 8 ( i dan gambarkan akar-akar tersebut dalam bidang kompleks.9