Bilangan Fibonacci

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Dalam matematika, bilangan Fibonacci adalah barisan yang didefinisikan secara rekursif sebagai berikut:

Penjelasan: barisan ini berawal dari 0 dan 1, kemudian angka berikutnya didapat dengan cara menambahkan kedua bilangan yang berurutan sebelumnya. Dengan aturan ini, maka barisan bilangan Fibonaccci yang pertama adalah:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946...

Barisan bilangan Fibonacci dapat dinyatakan sebagai berikut:

Fn = (x1n – x2

n)/ sqrt(5)

dengan

Fn adalah bilangan Fibonacci ke-n x1 dan x2 adalah penyelesaian persamaan x2-x-1=0

Perbandingan antara Fn+1 dengan Fn hampir selalu sama untuk sebarang nilai n dan mulai nilai n tertentu, perbandingan ini nilainya tetap. Perbandingan itu disebut Golden Ratio yang nilainya mendekati 1,618.

Pengaturan lantai dengan kotak berukuran bilangan Fibonacci

Asal mula

Berdasarkan buku The Art of Computer Programming karya Donald E. Knuth, barisan ini pertama kali dijelaskan oleh matematikawan India, Gopala dan Hemachandra pada tahun 1150, ketika menyelidiki berbagai kemungkinan untuk memasukkan barang-barang ke dalam kantong. Di dunia barat, barisan ini pertama kali dipelajari oleh Leonardo da Pisa, yang juga dikenal sebagai Fibonacci (sekitar 1200), ketika membahas pertumbuhan ideal dari populasi kelinci.

Rekursif adalah salah satu metode dalam dunia matematika dimana definisi sebuah fungsi mengandung fungsi itu sendiri.

Dalam dunia pemrograman, rekursi diimplementasikan dalam sebuah fungsi yang memanggil dirinya sendiri

Contoh fungsi rekursif misalnya adalah fungsi pangkat, faktorial, dan barisan fibonacci.

Dalam fungsi pangkat xy , kita tahu bahwa semua bilangan selain 0, jika dipangkatkan dengan 0 nilainya sama dengan 1. Jika x dipangkatkan dengan y, dengan y lebih dari 0, maka hasilnya sama dengan x dikalikan dengan x dipangkatkan y – 1.

Dalam matematika, bilangan Fibonacci adalah barisanyang didefinisikan secara rekursif sebagai berikut:

Penjelasan: barisan ini berawal dari 0 dan 1, kemudian angka berikutnya didapat dengan cara menambahkan kedua bilangan yang berurutan sebelumnya. Dengan aturan ini, maka barisan bilangan Fibonaccci yang pertama adalah:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946…

Barisan bilangan Fibonacci dapat dinyatakan sebagai berikut:

Fn = (x1n – x2

n)/ sqrt(5)

dengan

Fn adalah bilangan Fibonacci ke-n x1 dan x2 adalah penyelesaian persamaan x2-x-1=0

Perbandingan antara Fn+1 dengan Fn hampir selalu sama untuk sebarang nilai n dan mulai nilai n tertentu, perbandingan ini nilainya tetap. Perbandingan itu disebut Golden Ratio yang nilainya mendekati 1,618.

ASAL MULA

Berdasarkan buku The Art of Computer Programing karya Donald E. Knuth, barisan ini pertama kali dijelaskan oleh matematikawan India, Gopala dan Hemachandra pada tahun 1150, ketika menyelidiki berbagai kemungkinan untuk memasukkan barang-barang ke dalam kantong. Di dunia barat, barisan ini pertama kali dipelajari oleh Leonardo Da Pisa, yang juga dikenal sebagai Fibonacci (sekitar 1200), ketika membahas pertumbuhan ideal dari populasi kelinci.

PERHITUNGAN POPULASI KELINCI

Masalah asli yang diselidiki Fibonacci (tahun 1202) adalah tentang bagaimana kelinci bisa cepat berkembang biak dalam keadaan ideal.

Misalkan pasangan yang baru lahir dari kelinci, satu laki-laki, satu perempuan, diletakkan di lapangan. Kelinci dapat kawin pada usia satu bulan sehingga pada akhir bulan kedua wanita bisa menghasilkan sepasang kelinci. Misalkan kelinci kita tidak pernah mati dan bahwa wanita selalu menghasilkan satu pasangan baru (satu laki-laki, satu perempuan) setiap bulan dari bulan kedua. Teka-teki yang diajukan Fibonacci adalah …

Berapa banyak pasangan akan ada dalam satu tahun?

1. Pada akhir bulan pertama, mereka pasangan, tetapi masih ada satu hanya 1 pasangan.

2. Pada akhir bulan kedua wanita menghasilkan pasangan baru, jadi sekarang ada 2 pasang kelinci di lapangan.

3. Pada akhir bulan ketiga, betina asli menghasilkan pasangan kedua, membuat 3 pasang di semua di lapangan.

4. Pada akhir bulan keempat, wanita asli telah menghasilkan pasangan baru lagi, betina lahir dua bulan lalu menghasilkan pasangan pertama juga, membuat 5 pasang.

Jumlah pasangan kelinci di lapangan pada awal setiap bulan adalah 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

PERSEGI PANJANG FIBONACCI

Kita bisa membuat gambar lain menunjukkan angka Fibonacci 1,1,2,3,5,8,13,21, .. jika kita mulai dengan dua persegi kecil ukuran 1 yang diletakan berdampingan. Di atas kedua persegi tersebut, kita buat lagi persegi ukuran 2 (= 1 +1). Selanjutnya kita buat lagi persegi baru – menyentuh salah satu sisi persegi kecil dan sisi persegi besar – sehingga memiliki panjang sisi 3 satuan, dan kemudian kita buat lagi persegi yang sisinya menyentuh sisi-sisi dari dua persegi satuan dan sisi persegi ukuran 3 (yang memiliki sisi 5 satuan) . Kita dapat terus menambahkan persegi di sekitar gambar, masing-masing persegi baru yang memiliki sisi yang panjangnya sama dengan jumlah panjang sisi dua persegi yang dibuat sebelumnya.

Dan hasilnya adalah sebagai berikut :

Kumpulan gambar seperti yang di buat di atas dinamakan Persegi panjang fibonacci.