BAB II

P E M B A H A S A N

A. Bilangan Bulat

Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, 3, ...) dan negatifnya

(-1, -2, -3, ...; -0 adalah sama dengan 0 sehingga tidak lagi dimasukkan secara

terpisah). Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau

pecahan.

Himpunan semua bilangan bulat dalam matematika dilambangkan

dengan Z (atau ), berasal dari Zahlen (bahasa Jerman untuk "bilangan").

Himpunan Z tertutup di bawah operasi penambahan dan perkalian.

Artinya, jumlah dan hasil kali dua bilangan bulat juga bilangan bulat. Namun

berbeda dengan bilangan asli, Z juga tertutup di bawah operasi pengurangan.

Hasil pembagian dua bilangan bulat belum tentu bilangan bulat pula, karena

itu Z tidak tertutup di bawah pembagian.

B. Tabel Sifat-sifat Operasi Bilangan Bulat

C. Bilangan Bulat Sebagai Tipe Data Dalam Bahasa Pemrograman

3

Penambahan PerkalianClosure : a + b adalah bilangan bulat a × b adalah bilangan bulatAsosiativitas : a + (b + c) = (a + b) + c a × (b × c) = (a × b) × cKomutativitas : a + b = b + a a × b = b × aEkstitensi unsur identitas : a + 0 = a a × 1 = aEksistensi unsur invers : a + (−a) = 0Distribusivitas : a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

Tidak ada pembagi nol:jika a × b = 0, maka a = 0 atau

b = 0 (atau keduanya)

Bilangan bulat (integer) merupakan salah satu tipe data dasar dalam

bahasa pemrograman Pascal. Walaupun memiliki ukuran 2 byte (16

bit),karena integer adalah type data signed maka hanya mampu di-assign nilai

antara -215 hingga 215-1 yaitu -32768 sampai 32767. Ini disebabkan karena 1

bit digunakan sebagai penanda positif/negatif. Meskipun memiliki istilah yang

sama, tetapi tipe data integer pada bahasa pemrograman Visual Basic .NET

dan Borland Delphi memiliki ukuran 4 byte atau 32 bit signed sehingga dapat

di-assign nilai antara -2,147,483,648 hingga 2,147,483,647.

D. Operasi Bilangan Bulat

1. Lambang Bilangan Bulat

Lambang bilangan bulat bentuk panjangnya merupakan hasil

penjumlahan dari perkalian bilangan dengan pemangkatan bilangan 10.

Contoh:

2.345 = 2.000 + 300 + 40 + 5 = 2x103 + 3 x102 + 4 x101 + 5 x 100

2.345 = 2 ribuan + 3 ratusan + 4 puluhan + 5 satuan.

2. Menentukan Nilai Tempat

4

Contoh:

1) 53.451

Dibaca lima puluh tiga ribu empat ratus lima puluh satu.

2) 212.583

Dibaca dua ratus dua belas ribu lima ratus delapan puluh tiga

3) 2.523.459

Dibaca dua juta lima ratus dua puluh tiga ribu empat ratus lima puluh

sembilan

3. Himpunan Bilangan Bulat

Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari:

a Bilangan bulat positif (bilangan asli)

b Bilangan nol

c. Bilangan bulat negatif (lawan bilangan asli)

4. Sifat Perkalian Dari Urutan Bilangan Bulat

- Jika a > b, dan c bilangan bulat positif, maka a x c > b x c

jika a < b, dan c bilangan bulat positif, maka a x c < b x c

Contoh :

1). 6 > 2 dan 6 bilangan bulat positif, maka 6x6 > 2x6

2). 5 < 7 dan 3 bilangan bulat positif, maka 5x3 < 7x3

- Jika a > b, dan c bilangan bulat negatif, maka axc < bxc

Jika a < b, dan c bilangan bulat negatif, maka axc > bxc

Contoh :

1). -2 >-6 dan -3 (bilangan bulat negatif), maka -2 x (-3) < -6 x (-3)

2). -3 < 2 dan -5 (bilangan bulat negatif), maka -3 x (-5) > 2x(-5)

5

- Jika a > b atau a < b, dan c adalah bilangan nol, maka axc = bxc = 0

Contoh :

1). 4 > -2, maka 4 x 0 = -2 x 0 = 0

2). 3 < 5, maka 3 x 0 = 5 x 0 = 0

5. Lawan Bilangan Bulat

- Setiap bilangan bulat mempunyai tepat satu lawan yang juga merupakan

bilangan bulat

- Dua bilangan bulat dikatakan berlawanan, apabila dijumlahkan

menghasilkan nilai nol. a + (-a) = 0

Contoh :

1). Lawan dari 4 adalah -4, sebab 4 + (-4) = 0

2). Lawan dari -7 adalah 7, sebab -7 + 7 = 0

3). Lawan dari 0 adalah 0, sebab 0 + 0 = 0

6. Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat

- Menjumlahkan bilangan positif

Contoh : 3 + 5 = 8. Pada garis bilangan dituliskan :

8

5 3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

- Menjumlahkan Bilangan Negatif

Contoh : -4 + (-3) = -7 digambarkan pada garis bilangan

-7

6

-3

-4

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

- Menjumlahkan bilangan positif dengan bilangan negatif

Contoh : 5 + (-2) = 3, digambarkan pada garis bilangan

3

-2

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

- Menjumlahakn bilangan negatif dengan bilangan positif

Contoh : -6 + 8 = 2, digambarkan pada garis bilangan

2

8

-6

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

7. Sifat-sifat Penjumlahan dan Pengurangan Pada Bilangan Bulat

a. Sifat tertutup

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku a + b = c dengan c

juga bilangan bulat.

b. Sifat komutatif

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, selalu berlaku a + b = b + a.

c. Sifat asosiatif

Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c selalu berlaku (a + b) + c =

a + (b + c).

d. Mempunyai unsur identitas

Untuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlaku a + 0 = 0 + a.

Bilangan nol (0) merupakan unsur identitas pada penjumlahan.

7

e. Mempunyai invers

Untuk setiap bilangan bulat a, selalu berlaku a + (–a) = (–a) + a =

0. Invers dari a adalah –a, sedangkan invers dari –a adalah a.

f. Jika a dan b bilangan bulat maka berlaku a – b = a + (–b).

g. Operasi pengurangan pada bilangan bulat berlaku sifat tertutup.

8. Perkalian Bilangan Bulat

Perkalian adalah penjumlahan berulang sebanyak bilangan yang

dikalikan.

Jika p dan q bilangan bulat maka :

1) p x q = pq;

2) (–p) x q = –(p x q) = –pq;

3) p x (–q) = –(p x q) = –pq;

4) (–p) x (–q) = p x q = pq.

Contoh : 2 x 3 = 3 + 3 = 6

9. Sifat – sifat Perkalian Suatu Bilangan

a. Perkalian bilangan positif dengan bilangan positif, hasilnya positif.

Contoh :

1). 4 x 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20

2). 7 x 8 = 56

3). 12 x 15 = 180

b. Perkalian bilangan positif dengan bilangan negatif, hasilnya

negatif.

Contoh :

1). 4 x (-5) = (-5) + (-5) +(-5) +(-5) = -20

8

2). 7 x (-8) = -56

3). 12 x (-15) = -180

c. Perkalian bilangan negatif dengan bilangan positif, hasilnya

negatif.

Contoh :

1). -4 x 5 = -(5 + 5 + 5 + 5) = -20.

2). -7 x 8 = -56

3). -12x 15 = -180

d. Perkalian bilangan negatif dengan bilangan negatif, hasilnya

positif.

Contoh:

1). -4 x (-5) = -[-5 + (-5) + (-5) + (-5)] = -[-20] = 20

2). -7 x (-8) = 56

3). -12 x (-15) = 180

e. Untuk setiap p, q, dan r bilangan bulat berlaku sifat :

a. tertutup terhadap operasi perkalian;

b. komutatif: p x q = q x p;

c. asosiatif: (p x q) x r = p x (q x r);

d. distributif perkalian terhadap penjumlahan: p x (q + r) = (p x q)

+ (p x r);

e. distributif perkalian terhadap pengurangan: p x (q – r) = (p x q) –

(p x r).

f. Unsur identitas pada perkalian adalah 1, sehingga untuk setiap

bilangan bulat p berlaku p x 1 = 1 x p = p.

g. Kesimpulan :

9

a. + x + = +b. + x - = -c. - x + = -d. - x - = +

10. Pembagian Bilangan Bulat

Pembagian merupakan operasi kebalikan dari perkalian. Pada operasi

pembagian bilangan bulat tidak bersifat tertutup.

Contoh :

1). 12 : 4 = 3, karena 4 x 3 = 12 atau 3 x 4 = 12

2). 42 : 7 = 6, karena 7 x 6 = 42 atau 6 x 7 = 42

11. Sifat-sifat pembagian bilangan bulat

a. Pembagian bilangan positif dengan bilangan positif, hasilnya

positif

Contoh :

1). 63 : 7 = 9

2). 143 : 11 = 13

b. Pembagian bilangan positif dengan bilangan negatif, hasilnya

negatif

Contoh :

1). 63 : (-9) = -7

2). 72 : (-6) = -12

c. Pembagian bilangan negatif dengan bilangan positif, hasilnya

negatif

Contoh :

1). -63 : 7 = -9

2). -120 : 10 = -12

d. Pembagian bilangan negatif dengan bilangan negatif, hasilnya

positif.

Contoh:

10

1) -72 : (-8) = 9

2) -120 : (-12) = 10

12. Menggunakan Sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat

a. Sifat Komutatif

Sifat komutatif (pertukaran) pada penjumlahan dan perkalian.

a + b = b + a

a x b = b x a, berlaku untuk semua bilangan bulat

Contoh :

1). 2 + 4 = 4 + 2 = 6

2). 3 + 5 = 5 + 3 = 8

3). 4 x 2 = 2 x 4 = 8

4). 3 x 2 = 2 x 3 = 6

b. Sifat Asosiatif

Sifat asosiatif (pengelompokan) pada penjumlahan dan perkalian.

(a + b) + c = a + (b+c)

(a x b) x c = a x (bxc), berlaku untuk semua bilangan bulat

Contoh :

1). (2+4) + 6 = 2 + (4+6) = 12

2). (3+6) + 7 = 3 + (6+7) = 16

3). (3x2) x 4 = 3 x (2x4) = 24

4). (3x5) x 2 = 3 x (5x2) = 30

c. Sifat Distributif

a x (b + c) = (a x b) + (a x c), yang berlaku untuk semua bilangan

bulat.

Contoh :

1). 4 x (5 + 2) = (4 x 5) + (4 x 2) = 28

2). 5 x (7 + 3) = (5 x 7) + (5 x 3) = 50

d. Operasi Campuran

Aturan dalam mengerjakan operasi campuran adalah sebagai

berikut :

11

1) Operasi dalam tanda kurung ( ) dikerjakan terlebih dahulu.

2) Perkalian (x) dan pembagian (:) adalah setara, yang ditemui

terlebih dahulu dikerjakan terlebih dahulu.

3) Penjumlahan (+) dan pengurangan (-) adalah setara, yang

ditemui terlebih dahulu dikerjakan terlebih dahulu.

4) Perkalian (x) atau pembagian (:) dikerjakan lebih dahulu

daripada penjumlahan (+) atau pengurangan (-).

Contoh :

1. a. 20 + 30 – 12 = 50 – 12 = 38

b. 40 – 10 - 5 = 30 – 5 = 25

c. 40 - (10 - 5) = 40 – 5 = 35

2. a. 600 : 2O : 5 = 30 : 5 = 6

b. 600 : (20 : 5) = 600 : 4 = 150

c. 5 x 8 : 4 = 40 : 4 = 10

3. a. 5 x (8 + 4) = 5 x 12 = 60

b. 5 x 8 -4 = 40 – 4 = 36

c. 5 x (8 – 4) = 5 x 4 = 20

12