Bilangan Berpangkat dan Logaritma

Kegiatan Pembelajaran I

Bilangan Berpangkat

Contoh bilangan berpangkat adalah : 52, (-3)7, ( )9 dan seterusnya. Lambang bilangan 2, 7 dan 9

dinamakan pangkat dan angka-angka 5, (-3), ( ) dinamakan bilangan pokok.

Perhatikan Tabel berikut ini !

Bentuk Bilangan

BerpangkatDibaca Faktor Nilai

52

(-3)7

( )9

an

5 pangkat dua

negatif tiga pangkat tujuh

pangkat sembilan

a pangkat n

5 x 5 = 2 faktor

-3 x (-3) x (-3) x (-3) x (-3) x (-3) x (-3) = 7 faktor

x x x x x x x x = 9 faktor

a x a x a ….. x a = n faktor

25

-2187

an

Pangkat Nol dan NegatifJika a ≠ o dan n bilangan bulat positif (- n adalah bilangan bulat negatif) maka

Contoh : 30 = 1

3-1 = =

3-2 = = dst

Formulasi Bilangan Berpangkat

Problem Faktor Pengelompokan Nilai

25 x 21 ( 2 x 2 x 2 x 2 x 2 ) x ( 2 )

5 faktor 1 faktor

2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2

5 faktor 1 faktor

26

26 x 22 ( 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 ) x ( 2 x 2 )

5 faktor 2 faktor

2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 28

2m x 2n ( 2 x 2 x ….. x 2 ) x ( 2 x 2 x ….. x 2 )

m faktor n faktor

2 x 2 x 2 ….. x 2 2m+n

ao = 1 dan a-n =

am x a-n = am-n

Definisi : a ≠ o, m dan n sebarang bilangan bulat.

Pembagian Bilangan Berpangkat dengan Bilangan Pokok Tetap dan Perpangkatan Bilangan Berpangkat

ProblemPenulisan

LainNilai

57 = 51 57 . 5-1 = 57-1 = 56

57 = 52 57 . 5-2 = 57-2 = 55

5m = 5n 5m . 5-n = 5m-n

Problem Nilai

( 21 )3 21 . 21 . 21 = 2 . 2 . 2 = 23

( 23 )5 23 . 23 . 23 . 23 . 23 = (2 . 2 . 2) . (2 . 2 . 2) . . . (2 . 2 . 2)

5 faktor 3 faktor 3 faktor 3 faktor

= 2 . 2 . 2 . . . 2 = 215

Definisi :

Pangkat dari Perkalian dan Pembagian Suatu BilanganContoh :

1. (2 x 3 x 5)3 = 23 x 33 x 53

2. (a x b x c)8 = a8 x b8 x c8

Definisi : a ≠ o, b ≠ o, dan c ≠ o

Contoh :

1. = 3. = =

2. = 4. = =

Definisi : ; a ≠ o dan b ≠ o

( a x b x c )n = an bn cn

am : an = = am-n

( am )n = am.n = amn

=

Pangkat Bilangan Pecahanam . an = am . an dan( am ) n = amn untuk m dan n bilangan bulat

Definisi diatas juga berlaku untuk m dan n bilangan pecahan. Jadi untuk m = dan n = dengan

p, q, r, s bilangan bulat dan q ≠ o, s ≠ o

Contoh :

1. = 4 sebab 42 = 16 dan 470

2. = – 4

3. = =

KEGIATAN BELAJAR 2

Terapan Bilangan Berpangkat, Notasi Baku ( Scientific Notation )

Setiap bilangan dapat ditulis dalam notasi baku, dan terapannya digunakan pada disipin ilmu kimia, fisika, anatomi, dan yang lain

Definisi 9.9Penulisannya dinyatakan dengan notasi baku : a x 10n dengan 1< a < 10 dan n bilangan bulat.

Berikut contoh notasi baku6,4 x 106 artinya 6.400.0000,3 x 108 artinya 30.000.0003,75 x 10-5 artinya 0,00003752,0 x 10-9 artinya 0,000000002

Bilangan negatif juga boleh ditulis dalam notasi baku

Desinisi 9.10Setiap bilangan negatif dapat dinyatakan dalam notasi baku : a x 10n dengan –10 < a < –1 dan n bilangan bulat

MODUL 9KEGIATAN BELAJAR 3Logaritma dan Terapannya

Logaritma merupakan invers dari perpangkatan suatu bilangan. Materi ini sering digunakan dalam penyelesaian masalah fisika, kalkulus, persamaan diferensial dan lain-lain.

Tabel

Problem Perpangkatan Logaritma Hasil

= 3-5 = -5

= 3-4 =

-4

Jika angka 3 Anda ganti dengan a maka dapatkan suatu bentuk umum :

Keterangan :a dinamakan bilangan pokokx bilangan yang ditarik logaritmanyan hasil penarikan logaritma

Catatan :1 = a0 = 0a = a0 = 1

Contoh :

1. = 5-4 = = -4

2. 64 = 2-6 = = 6

3. -6 = 5-4 =

SIFAT-SIFAT LOGARITMA

Pembuktian formula-formula logaritma berikut ini menggunakan pendekatan dedukatif

SifatJika p, x, dan y bilangan real positif dan p ≠ 1, maka

Bukti :Misalkan = q dan = r, maka

x = dan y = pr

x . y = .x . y =

= q + r= → terbukti

Catatan :Jika bilangan pokok logaritma tidak ditulis, berarti bilangan pokok logaritmanya adalah 10

Contoh 9.91. =

= + = + 2

2. + + –

= + + –

= + + + + + = + (–1) + + 3 + + 4 – 2 – = 2 + 4

Sifat

p dan x bilangan real positif, p = 1 dan n bilangan rasional

BuktiMisalkan ; maka x =

xn =xn =

1. =

2. =

= n :

Jika kedua ruas dilogaritmakan dengan bilangan pokok p maka== nq

Jadi = → terbukti

ContohSederhanakan :

+ – ; untuk y = 0

Penyelesaian :

+ – = + –

= – – = 0

Sifat

x : p real positif dan p ≠ 1

BuktiMisal ; maka x =

log x =log x =

q =

= → terbukti

Jadi =

Contoh :Diketahui : e = 2,72Hitunglah

Penyelesaian : =

=

=

= 2,7706Catatan :Dua bilangan pokok yang umum dipakai :

1. Logaritma yang memakai bilangan pokok 102. Logaritma naturalis yang memakai bilangan pokok e = 2,72 biasa ditulis

Sifat

p, x, y elemen bilangan real positifm, n, q : p = 1; n = 0

= :

1.2.

3.

Bukti

1. . = , = =

Jadi . = 2. Misal =

= = maka = … (ii)Dari (i) dan (ii) didapat : Jadi → terbukti

Penerapan Logaritma

A. Model Bunga Majemuk

1. Dengan rumus bunga majemuk biasa : Mt = Mo

a. Tanpa menggunakan logaritma

M2 = 10.000.000

= 10.000.000 = 10.000.000 (1,2411)= 12.411.000

b. Dengan menggunakan logaritmaM2 = 10.000.000

log M2 == 7+0,0938= 7,0938

M2 = 12.411.000

2. Dengan rumus bunga majemuk sinambung = Mt =

a. Tanpa menggunakan logaritma

Mt = 10.000.000 Mt = 10.000.000 Mt = 10.000.000 (1,2214)Mt = 12.214.000

b. Dengan menggunakan logaritmaMt = 10.000.000

ln Mt = ln 10.000.000 + 0,2 ln eln Mt = 16,1181 + 0,2ln Mt = 16,3181

Mt = 12.214.000

Jadi jumlah pelunasan hutang sekitar Rp. 12.000.000,00 sampai Rp. 12.400.000,00