. . .

. .

. . .

. .

. . .

. .

FUNGSI

Definisi fungsi

Fungsi adalah suatu jenis relasi yang khusus yang memasangkan setiap (semua) anggota himpunan A dengan tepat satu anggota B.

Ciri khasnya : Semua anggota A harus di pasangkan ke B, dan hanya punya tepat satu pasangan di B (panah tidak boleh bercabang).

Contoh :

1. A f B

Merupakan fungsi

A f B

Bukan fungsi karena ada anggota A yang tidak punya kawan.

A f B

Bukan fungsi karena ada anggota A yang mempunyai 2 kawan di B.

2. Himpunan nama siswa serta bulan lahirnya. Misalkan A = { Ernest, Boyke, Owen, Anes, Youri } dan B = { Januari, Maret, Juni, Juli, Agustus, Desember }

ErnestBoykeOwenAnesYouri

JanuariMaretJuniJuliAgustusDesember

123

23456

Diagram panah yang menyatakan relasi antara anak dan bulan lahirnnya adalah sebagai berikut :

A ‘ Lahir pada bulan ‘ B

Perhatikan :

Setiap siswa punya bulan lahir.

Setiap siswa tepat mempunyai satu bulan lahir.

Relasi antara siswa dengan bulan lahirnya ini disebut fungsi.

3. Sebuah relasi dari himpunan A = { 1, 2, 3, } ke himpunan B = { 2, 3, 4, 5, 6 } dinamakan relasi “ setengah dari “. Apakah relasi ini merupakan suatu fungsi ?

Penyelesaian :

Kita nyatakan dahulu relasinya dengan diagram panah.

A “ Setengah dari “ B

Relasi ini merupakan sebuah fungsi.

Dalam fungsi terdapat beberapa istilah :

- Himpunan A = { 1, 2, 3 } disebut daerah asal / domain.- Himpunan B disebut daerah kawan B = { 2, 3, 4, 5, 6 } dan,- anggota-anggota B yang mempunyai hubungan dengan A yaitu {2, 4, 6 } disebut

Range / daerah hasil. {3, 5 } bukan range karena mereka tidak mempunyai hubungan dengan himpunan A.

Contoh :

Diketahui himpunan pasangan berurutan berikut.

A = { ( 1, 1 ) , ( 2, 3 ) , ( 3, 5 ) , ( 4 , 7 ) , ( 5, 8 ) }

B = { (1, 6 ) , ( 1, 7 ) , ( 2, 8 ) , ( 3, 9 ) , ( 4, 10 ) }

C = { ( 2, 5 ) , ( 3, 6 ) , (4, 7 ) }

A disebut fungsi karena setiap anggota domain mendapatkan tepat satu pasangan.

B bukan fungsi karena 1 muncul dua kali ( 1 berelasi dengan 6 dan 7 )

C merupakan Fungsi.

Notasi Fungsi

Suatu notasi fungsi / pemetaan umumnya di notasikan dengan huruf kecil. Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B dinotasikan sebagai berikut :

f : A → B

Artinya ‘fungsi f memetakan himpunan A ke B’

Jika f memetakan a ∈ A ke b ∈ B, Maka dikatakan b adalah peta dari a dan ditulis ;

f : a → b atau f ( a ) = b

f ( a ) dibaca “ f dari a “ , f ( a ) adalah peta dari a oleh fungsi f. b ∈ B yang merupakan peta dari x∈ A disebut range / daerah hasil.

1.2.3.4.

.2

.4

.6

.8.10

Contoh :

1. Relasi ‘setengah dari’ yang menghubungkan himpunan A = {1, 2, 3, 4} ke himpunan B = {2, 4, 6, 8, 10} ditunjukan dalam diagram panah berikut ;

A ‘setengah dari’ B

f : 1 → 2 atau f ( 1 ) = 2

f : 2 → 4 atau f ( 1 ) = 2

f : 3 → 6 atau f ( 2 ) = 4

f : 4 → 8 atau f ( 3 ) = 6

Range { 2, 4, 6 }

2. Diketahui suatu fungsi f : x → 5 – 2x.Jika daerah asal f adalah {-3,-2,-1, 0, 1, 2,} ,tentukan daerah hasil fungsi tersebut !

Penyelesaian :

f : x → 5 – 2x ditulis f ( x ) = 5 -2x. Daerah asal / domain fungsi = { -3, -2, -1, 0, 1, 2 }

Sekarang kita mencari pasangan / range dari daerah asal.

Untuk cari pasangan dari -3,ganti x pada f ( x ) dengan -3.

f ( -3 ) = 5 -2 ( -3 ) = 5 + 6 = 11, Jadi pasangan dari -3 adalah 11

f ( - 2 ) = 5 – 2 ( -2 ) = 5 + 4 = 9

f ( - 1 ) = 5 – 2 ( -1 ) = 5 + 2 = 7

f ( 0 ) = 5 – 2 ( 0 ) = 5 – 0 = 5

f ( 1 ) = 5 – 2 ( 1 ) = 5 – 2 = 3

f ( 2 ) = 5 – 2 ( 2 ) = 5 – 4 = 1

Jadi daerah hasil f adalah { 1, 3, 5, 7, 9, 11 }

3. Fungsi f = x → 3x – 5 dengan x ∈ { -3, -2, -1, 0, 1, 2, }. Daerah hasil fungsi f adalah :

f : x → 3x – 5 ditulis f ( x ) = 3x – 5

f ( -3 ) = 3. ( -3 ) – 5 = -9 – 5 = - 14

f ( -2 ) = 3. ( -2 ) – 5 = -6 – 5 = - 11

f ( -1 ) = 3. ( -1 ) – 5 = -3 – 5 = -8

f ( 0 ) = 3. (0) – 5 = -5

f ( 1 ) = 3. (1) – 5 = 3 – 5 = -2

f ( 2 ) = 3. (2) – 5 = 6 – 5 = 1

jadi, daerah hasil fungsi f adalah { -14, -11, -8, -5, -2, 1}

Menyatakan fungsiKarena fungsi adalah bagian dari relasi maka fungsi juga dapat dinyatakan dalam 3 cara seperti pada relasi yaitu dengan :- Diagram panah- Himpunan pasangan berurutan- Diagram cartesius

Contoh :Misalkan himpunan A = {1, 2, 3} dan B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Fungsi f : A → B ditentukan oleh f(x) = x + 2 maka daerah hasil fungsi adalah ;f(1) = 1 + 2 = 3f(2) = 2 + 2 = 4f(3) = 3 + 2 = 5

1.2.3.

.0

.1

.2

.3

.4

.5

a.b.

.1

diagram panah f diagram cartesius A B

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0

1

2

3

4

5

6

Himpunan pasangan berurutan dari fungsi f adalah {(1,3), (2,4), (3,5)}

Banyaknya pemetaan yang mungkin dari dua himpunanMisalkan banyaknya anggota himpunan A adalah n(A) dan banyaknya anggota himpunan B adalah n(B) maka ;

Banyaknya pemetaan dari himpunan A ke himpunan B = n(B)n(A)

Banyaknya pemetaan dari himpunan B ke himpunan A = n(A)n(B)

Contoh :jika A = {a,b} dan B = {1}. Maka diagram panah pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah ; A f B

n (f : A → B) = 12 = 1 buah

(dibaca : banyaknya pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah 1 buah )dan diagram pemetaan dari himpunan B ke himpunan A adalah ; B f A

.a

.b

1.2.3.

.3

.8

.27

B f A

1.

n (f : B → A) = 21 = 2 buah(dibaca : banyaknya pemetaan dari himpunan B ke himpunan A adalah 2 buah )

Korespondensi satu – satuDua himpunan A dan B dinyatakan berkorespondensi satu – satu jika semua anggota himpunan A dan himpunan B dapat dipasangkan sedemikian rupa sehingga setiap anggota himpunan A berpasangan dengan tepat satu anggota himpunan B, dan setiap anggota himpunan B berpasangan dengan tepat satu anggota himpunan A.Contoh korespondensi satu – satu dalam kehidupan sehari – hari :

- Pembalap yang sedang berlomba di arena balap mobil formula 1 akan mengemudi mobilnya sendiri – sendiri. tidak mungkin seorang pembalap mengemudi dua mobil sekaligus.

- Setiap Negara hanya mempunyai satu ibu kota Negara

Contoh : 1. Suatu fungsi ditentukan dengan formula f(x) = x3 dengan x ∈ {1, 2, 3}

Apakah fungsi itu merupakan korespondensi satu – satu ?Penyelesaian :Tentukan dahulu daerah hasil fungsi f(1) = (1)3 = 3 A f Bf(2) = (2)3 = 8f(3) = (3)3 = 27

1. .a

.b

2. Misalkan himpunan A = { a, b, c} dan himpunan B = { 1, 3, 5, 7 }. Kedua himpunan ini tidak mungkin dibuat korespondensi satu – satu karena n(A)=3 ≠ n(B)=4

Menentukan banyaknya korespondensi satu – satu Dalam korespondensi satu – satu n(A) = n(B)=N, maka banyaknya korespondensi satu – satu yang mungkin adalah :

N × (N-1) × (N-2) × . . . . . × 1

Contoh : diketahui P = {a,b,c} dan Q = {-1,0,1}. Berapa banyak korespondensi satu-satu yang mungkin dari P ke Q ?

Penyelesaian :n (P) = n(Q) = 3jadi banyaknya korespondensi satu-satu dari P ke Q adalah = 3! = 3 × 2 ×1 = 6

Membuat table nilai fungsiUntuk nilai fungsi yang banyak, akan lebih mudah dipahami jika disajikan menggunakan tabel seperti berikut :

atau

contoh :suatu fungsi f memetakan x ke 3x + 1 dari himpunan A ke himpunan B dengan A = {1, 2, 3, 5, 7} dan B = {bilangan cacah kurang dari 25}. Buatlah tabel fungsi dan tentukan range dari fungsi f dengan pasangan berurutan.Penyelesaian :Rumurs fungsi f : f(x) = 3x + 1Tabel fungsi

x 1 2 3 5 7

f(x) 4 7 10 16 22

Range dari fungsi f adalah {4, 7, 10, 16, 22}Pasangan berurutan fungsi f = {(1, 4), (2, 7), (3, 10), (5, 16), (7, 22)}

x

f(x)

x f(x)

Menghitung nilai fungsi jika nilai variabel berubahContoh :

1. Diketahui suatu fungsi f(x) = 4x2 + 2x + 25. Nilai f(12

) adalah . . .

Penyelesaian :f(x) = 4x2 + 2x + 25

f(12

) = 4.( 12 )

2

+ 2.( 12 ) + 25

= 1 + 1 + 5 = 7

2. Suatu fungsi didefinisikan sebagai f(x) = 2x + 1. Tentukan f(x + 1) dan f(2x) !Penyelesaian :f(x) = 2x + 1f(x + 1) = 2. (x + 1) + 1 = 2x + 2 + 1

= 2x + 3f(2x) = 2. (2x) + 1 = 4x + 1

3. Rumus suatu fungsi dinyatakan dengan f(x) = 2x + 5. Jika f(a) = 7, nilai a adalah . . .Penyelesaian :Diketahui rumus fungsi f(x) = 2x + 5f(a) = 7 dengan demikian ; 2. a + 5 = 7

2a + 5 = 72a = 7 – 52a = 2a = 1

Menentukan bentuk fungsi jika nilainya diketahuiContoh :1. Diketahui fungsi g(x) = 6x – a. tentukan bentuk fungsi tersebut jika g(2) = 7 !

Penyelesaian :g(x) = 6x – ag(2) = 7 → 7 = 6. 2 – a

7 = 12 – a 12 – a = 7 -a = 7 – 12 -a = -5 ( kedua ruas dikali -1 )

a = 5jadi rumus fungsi f adalah f(x) = 6x – a

2. Suatu fungsi ditentukan dengan rumus f(x) = px + q. jika f(-2) = 17 dan f(5) = -32, tentukan bentuk fungsinya !Penyelesaian :f(x) = px + qf(-2) = 17 → -2p + q = 17 (iii)f(5) = -32 → 5p + q = -32 (iv)

-7p = 49

p = 49−7

= -7

untuk mencari nilai q, substitusikan nilai p = -7 ke persamaan (iii). Sehingga :2p + q = 17-2. (-7) + q = 1714 + q = 17q = 17 – 14q = 3jadi, rumus fungsi f(x) = -7x + 3