BAB VPENDUGAAN PARAMETER

4.1. INFERENSI STATISTIK

Inferensi statistik mencakup semua metode yang digunakan dalam penarikan kesimpulan atau generalisasi mengenai populasi.Inferensi statistik dapat dikelompokkan dalam 2 bidang utama:1. PENDUGAAN PARAMETER

Contoh :- Seorang calon dalam suatu pemilihan ingin menduga proporsi yang sebenarnya

pemilih yang akan memilihnya, dengan cara mengambil 100 orang secara acak untuk ditanyai pendapatnya. Proporsi pemilih yang menyukai calon tersebut dapat digunakan sebagai dugaan bagi proporsi populasi yang sebenarnya.

2. PENGUJIAN HIPOTESISContoh :- Seorang peneliti masalah kedokteran diminta untuk memutuskan, berdasarkan

bukti-bukti hasil percobaan, apakah suatu vaksin baru lebih baik daripada yang sekarang beredar di pasaran.

- Seorang insinyur ingin memutuskan, berdasarkan data contoh apakah ada perbedaan ketelitian antara dua jenis alat ukur.

Metode Pendugaan Parameter suatu populasi dapat dibedakan menjadi dua :1. METODE PENDUGAAN KLASIK

Pendugaan dilakukan berdasarkan sepenuhnya pada informasi sampel yang diambil dari populasi.

2. METODE PENDUGAAN BAYESPendugaan dengan menggabungkan informasi yang terkandung dalam sampel dengan informasi lain yang telah tersedia sebelumnya yaitu pengetahuan subyektif mengenai distribusi probabilitas parameter.

4.2. METODE PENDUGAAN KLASIK

Statistik yang digunakan untuk memperoleh sebuah dugaan bagi parameter populasi disebut penduga atau fungsi keputusan. Sedangkan adalah sebuah nilai dugaan berdasarkan sampel acak berukuran n.Misal : Fungsi keputusan S2 (yang merupakan fungsi dari sampel acak yang

bersangkutan) adalah suatu penduga bagi , sedangkan nilai dugaan s2

merupakan “realisasinya”.Sifat-sifat yang seharusnya dimiliki oleh penduga :1. TAKBIAS

Statistik dikatakan penduga takbias bagi parameter bila .2. EFISIEN

Diantara semua kemungkinan penduga takbias bagi parameter , yang ragamnya terkecil adalah penduga paling efisien bagi .

Dugaan parameter dapat dibagi menjadi :1. DUGAAN TITIK

Menentukan suatu bilangan tunggal berdasarkan sampel sebagai penduga dari parameter.

2. DUGAAN SELANG

31

Menentukan suatu interval nilai yang dengan peluang tertentu, (1-), diharapkan memuat parameter yang diduga.

Jika parameter populasi, dugaan selang dapat dinyatakan dengan : (untuk 0 < < 1)

Selang , yg dihitung dari sampel yg terpilih, disebut selang kepercayaan / interval keyakinan / confidence interval 100(1-)% untuk parameter tersebut. nilai pecahan 1- disebut koefisien kepercayaan / derajat kepercayaan / tingkat keyakinan (konfidensi).

4.3. PENDUGAAN MEAN

Penduga titik bagi mean populasi adalah statistik . Bila adalah mean sampel acak berukuran n yang diambil dari suatu populasi dengan ragam 2 diketahui maka selang kepercayaan 100(1-)% bagi adalah

dengan adalah nilai z yang luas daerah di sebelah kanan di bawah kurva normal standard adalah .CATATAN : Jika 2 tidak diketahui, tetapi sampel berukuran besar (n≥30), 2 dapat

diganti dengan s2.

Adapun penduga selang kepercayaan 100(1-)% bagi untuk sampel kecil (n<30); bila 2 tidak diketahui adalah

dengan adalah nilai t yang luas daerah di sebelah kanan di bawah kurva seluas .

SOAL 1 :Rata-rata Indeks Prestasi (IP) sampel acak 36 mahasiswa tingkat sarjana adalah 2,6. Hitunglah selang kepercayaan 95% dan 99% untuk rata-rata IP semua mahasiswa tingkat sarjana. Anggap simpangan baku populasinya 0,3.

SOAL 2 :Isi 7 botol asam sulfat (liter) adalah

9,8 10,2 10,4 9,8 10 10,2 9,6Carilah selang kepercayaan 95% untuk rata-rata isi semua botol bila distribusinya dianggap normal.

UKURAN SAMPEL BAGI PENDUGAAN Bila digunakan untuk menduga , kita yakin 100(1-)% bahwa galatnya tidak

akan melebihi . Seringkali kita ingin mengetahui berapa besar sebuah sampel harus

diambil agar galat dalam menduga tidak melebihi suatu nilai tertentu e. Ini berarti kita

harus menentukan n sehingga = e.

Jadi, bila digunakan untuk menduga , kita yakin 100(1-)% bahwa galatnya tidak akan melebihi suatu nilai tertentu e, bila ukuran sampelnya diambil sebesar

32

.

Bila hasilnya bernilai pecahan, harus dibulatkan ke bilangan bulat berikutnya yang lebih besar. Jika ragam populasi tidak diketahui, suatu sampel awal berukuran n30 dapat diambil untuk memberikan dugaan bagi .

SOAL 3 :Seberapa besar sampel harus diambil dalam contoh 1, bila kita ingin percaya 95% bahwa nilai dugaan kita tidak menyimpang dari lebih dari 0,05 ?

4.4. PENDUGAAN SELISIH DUA MEAN

Bila kita mempunyai dua populasi saling bebas dengan mean 1 dan 2 dan ragam 1

2 dan 22 maka penduga titik bagi selisih antara 1 dan 2 diberikan oleh statistik

. Bila dan masing-masing adalah mean sampel acak bebas berukuran n1 dan n2 yang diambil dari populasi dengan ragam 1

2 dan 22 diketahui, maka selang kepercayaan

100(1-)% bagi 1-2 adalah

dengan adalah nilai z yang luas daerah di sebelah kanan di bawah kurva normal standard adalah .CATATAN : Jika 1

2 dan 22 tidak diketahui, tetapi n1 dan n2 lebih besar dari 30, maka 1

2

dan 22 dapat diganti dengan s1

2 dan s22.

Adapun penduga selang kepercayaan100(1-)% bagi 1-2 untuk sampel kecil; bila 1

2=22 tapi nilainya tidak diketahui adalah

dengan derajat bebas untuk distribusi t = v =n1 + n2 – 2 dan

.

Selang kepercayaan 100(1-)% bagi 1-2 untuk sampel kecil; bila 122

2 tapi nilainya tidak diketahui

dengan derajat bebas untuk distribusi t adalah

.

Bila kita mempunyai dua populasi yang tidak saling bebas (berpasangan), selang kepercayaan 100(1-)% bagi D=1-2 untuk pengamatan berpasangan tersebut adalah

33

SOAL 4 :Suatu ujian kimia diberikan kepada 50 siswa wanita dan 75 siswa laki-laki. Siswa perempuan mendapat nilai rata-rata 76 dengan simpangan baku 6, sedangkan siswa laki-laki memperoleh rata-rata 82 dengan simpangan baku 8. Tentukan selang kepercayaan 96% bagi selisih rata-rata nilainya.

SOAL 5 :Suatu penelitian ingin menaksir selisih banyaknya bahan kimia ortofosfor yang diukur pada dua stasiun yang berlainan di suatu sungai. Sampel berukuran 15 dikumpulkan dari stasiun-1 dan Sampel berukuran 12 dikumpulkan dari stasiun-2. Dari stasiun-1 diperoleh rata-rata kadar ortofosfor 3,84 mg perliter dan simpangan baku 3,07 mg perliter, sedangkan dari stasiun-2 diperoleh rata-rata kadar ortofosfor 1,49 mg perliter dan simpangan baku 0,80 mg perliter. Cari selang kepercayaan 95% untuk selisih rata-rata kadar fosfor sesungguhnya pada kedua stasiun tersebut, anggap bahwa pengamatan berasal dari populasi normal dengan varians yang berbeda.

SOAL 6 :Data berikut (dalam hari), menyatakan waktu yang diperlukan penderita sampai sembuh. Penderita dipilih secara acak untuk mendapat salah satu dari obat yang dapat menyembuhkan infeksi berat pada saluran kencing .

Obat 1 Obat 2n1 = 14 n2 = 16

= 17 = 19s1

2 = 1,5 s22 = 1,8

Buat selang kepercayaan 99% untuk selisih rata-rata waktu sembuh untuk kedua obat tersebut, anggap populasinya berdistribusi normal dengan varians yang sama.

SOAL 7 :Dua puluh mahasiswa tingkat satu dibagi menjadi 10 pasang, setiap pasang kira-kira mempunyai IQ yang sama. Salah seorang dari setiap pasangan diambil secara acak dan dimasukkan ke dalam kelas yang menggunakan bahan terprogramkan. Anggota pasangan yang lain dimasukkan ke dalam kelas biasa. Pada akhir semester kedua kelompok tersebut diberikan ujian yang sama dan hasilnya sebagi berikut :

Pasangan Bhn Terprogram Kelas Biasa1 76 812 60 523 85 874 58 705 91 866 75 777 82 908 64 639 79 8510 88 83

Tentukan selang kepercayaan 98% bagi selisih rata-rata sesungguhnya nilai ujian untuk kedua metode pengajaran tersebut.

34

4.5. PENDUGAAN PROPORSI

Penduga titik bagi proporsi p dalam suatu percobaan binomial diberikan oleh statistik , sedangkan X menyatakan banyaknya keberhasilan dalam n ulangan. Dengan demikian, proporsi sampel akan digunakan sebagai nilai dugaan titik bagi parameter p tersebut.

Bila adalah proporsi keberhasilan dalam suatu sampel acak berukuran n, dan , maka selang Kepercayaan 100(1-)% bagi p untuk sampel besar adalah

dengan adalah nilai z yang luas daerah di sebelah kanan di bawah kurva normal standard adalah .

SOAL 8 :Dari suatu sampel acak 500 keluarga yang memiliki TV disebuah kota kecil, ditemukan bahwa 340 memiliki TV berwarna. Carilah selang kepercayan 95% bagi proporsi sesungguhnya dari keluarga yang memiliki TV berwarna di kota tersebut.

UKURAN SAMPEL BAGI PENDUGAAN p

Bila digunakan untuk menduga p, maka kita percaya 100(1-)% bahwa galatnya

tidak lebih besar dari . Seringkali kita ingin mengetahui berapa besar sebuah

sampel harus diambil agar galat dalam menduga p tidak melebihi suatu nilai tertentu e. Ini

berarti kita harus menentukan n sehingga = e.

Jadi, apabila digunakan untuk menduga p, maka kita percaya 100(1-)% bahwa galatnya tidak akan melebihi suatu besaran tertentu e bila ukuran sampelnya diambil sebesar

Bila informasi awal tentang dugaan nilai bagi p tidak dipunyai, dapat digunakan rumus

.

SOAL 9 :Dari contoh 8, berapa ukuran sampel yang diperlukan agar dugaan p meleset kurang dari 0,02 dengan kepercayaan 95% ?

4.6. PENDUGAAN SELISIH DUA PROPORSI

35

Bila dan masing-masing adalah proporsi keberhasilan dalam sampel acak yang berukuran n1 dan n2 serta dan , maka penduga titik bagi selisih antara kedua proporsi populasi p1 – p2 adalah . Sedangkan selang kepercayaan 100 (1-)% bagi p1 - p2 untuk sampel besar adalah

dengan adalah nilai z yang luas daerah di sebelah kanan di bawah kurva normal standard adalah .

SOAL 10 :ari suatu sampel acak 500 keluarga yang memiliki TV disebuah kota kecil, ditemukan bahwa 340 memiliki TV berwarna. Carilah selang kepercayan 95% bagi proporsi sesungguhnya dari keluarga yang memiliki TV berwarna di kota tersebut.

SOAL 11 :Suatu obat baru dibuat untuk mengurangi ketegangan syaraf. Dari sampel acak 100 orang yang menderita ketegangan syaraf menunjukkan bahwa 70 orang merasa tertolong oleh obat tersebut. Buat selang kepercayaan 95% bagi proporsi sesungguhnya penderita ketegangan syaraf yang tertolong oleh obat tersebut.

SOAL 12 :Suatu pengumpulan pendapat umum dilakukan terhadap penduduk kota dan di pinggiran kota untuk menyelidiki kemungkinan didirikannya suatu pabrik kimia. Ternyata 2400 di antara 5000 penduduk kota, dan 1200 di antara 2000 penduduk di pinggiran kota menyetujui rencana tersebut. Buat selang kepercayaan 90% bagi selisih proporsi sebenarnya yang menyetujui rencana tersebut.

4.7. PENDUGAAN VARIANS

Bila adalah penduga titik bagi varians sampel acak berukuran n yang diambil dari suatu populasi normal dengan varians 2, maka selang kepercayaan 100(1-)% bagi 2 adalah

dengan adalah nilai dengan derajad bebas v = n-1 yang luas daerah di sebelah kanannya sebesar .

SOAL 13 :Seorang peneliti yakin bahwa alat pengukurnya mempunyai simpangan baku = 2. Dalam suatu eksperimen dia mencatat pengukuran 4,1; 5,2; 10,2. Buat selang kepercayaan 90% bagi . Apakah data ini sesuai dengan asumsinya ?

4.8. PENDUGAAN RASIO DUA VARIANS

36

Bila dan masing-masing adalah varians sampel acak bebas berukuran n1 dan

n2 yang diambil dari populasi normal dengan varians dan , maka penduga titik bagi

rasio adalah , dan selang kepercayaan 100(1-)% bagi 12/2

2 adalah

dengan adalah nilai f untuk derajad bebas v1 dan v2 yang luas daerah di sebelah kanannya sebesar .

SOAL 14 :Berdasarkan contoh soal nomor 4, buat selang kepercayaan 98% untuk 1

2/22. Apakah

anggapan bahwa 122

2 dapat dibenarkan ?

SOAL – SOAL LATIHAN :

1. Sampel acak 8 batang rokok merk tertentu mempunyai kadar nikotin rata-rata 2,6 mg dengan simpangan baku 0,9 mg. Buat selang kepercayaan 99% untuk rata-rata kadar nikotin yg sesungguhnya rokok merk tersebut.

2. Berdasarkan soal no 1, buat selang kepercayaan 95% untuk 2.

3. Dalam suatu makalah disebutkan bahwa kandungan unsur penting dalam tomat segar dan kalengan ditentukan dengan menggunakan spektrofotometer penyerapan atom. Kandungan tembaga dalam tomat segar dibandingkan dengan kandungan tembaga dalam tomat yang sama setelah dikalengkan dicatat, dan hasilnya sebagai berikut :

Tomat Segar Kaleng1 0,066 0,0852 0,079 0,0883 0,069 0,0914 0,076 0,0965 0,071 0,0936 0,087 0,0957 0,071 0,0798 0,073 0,0789 0,067 0,06510 0,062 0,068

Cari selang kepercayaan 98% untuk selisih sesungguhnya rata-rata kandungan tembaga dalam tomat segar dan kaleng bila selisihnya dianggap berdistribusi normal.

4. Misalkan sampel random terdiri dari pasien yang diberi tablet baru. Setelah 24 jam, diperoleh kenyataan bahwa dari 80 pasien yang diberi tablet baru tersebut, 56 orang diantaranya sembuh. Buat selang kepercayaan 95% bagi proporsi semua pasien yang akan sembuh dengan tablet tersebut.

5. Suatu sampel acak 140 kaleng susu merk “Enak” yang masing-masing berlabel “isi 500 gram”, diperoleh berat rata-rata 480 gram dengan simpangan baku 150 gram.

37

Berdasarkan data tersebut, buat selang kepercayaan 99% untuk rata-rata yang sesungguhnya isi kaleng tersebut. Dapatkah berat menurut label tersebut dianggap benar ?

6. Dalam suatu larutan proses kimia, dua katalisator ingin dibandingkan pengaruhnya terhadap hasil proses reaksi. Sampel yang terdiri dari 12 larutan disiapkan menggunakan katalisator A dan sampel dengan 10 larutan menggunakan katalisator B. Katalisator A menghasilkan rata-rata 85 dengan simpangan baku 4, dan katalisator B menghasilkan rata-rata 81 dengan simpangan baku 7. Buat selang kepercayaan 90% untuk 1

2/22, anggap populasinya berdistribusi normal.

7. Dari soal nomor 6, buat selang kepercayaan 90% untuk selisih rata-rata kedua populasi.

8. Penelitian dilakukan terhadap penderita tukak lambung di kota Malang dan Surabaya. Hasil penelitian menunjukkan bahwa dari 50 orang penderita di Malang didapat 20 orang menggunakan obat ‘Aldin’, sedangkan dari 75 orang penderita di Surabaya didapat 45 orang menggunakan obat tersebut. tentukan interval kepercayaan 90% bagi selisih proporsi sebenarnya penderita yang mengkonsumsi obat ‘Aldin’ dari Surabaya dan Malang.

38