bab-iii-turunana2.pdf
TRANSCRIPT
-
8/16/2019 bab-iii-turunana2.pdf
1/9
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
TURUNAN /
DIFERENSIAL
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
TURUNAN
DEFINISI TURUNAN
ATURAN PENCARIAN TURUNAN
TURUNAN TRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKAT TINGGI
DIFFERENSIAL TERDEFINISI
SOAL DAN PEMBAHASAN
LATIHAN SOAL
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
4.1 DEFINISI TURUNAN
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
-
8/16/2019 bab-iii-turunana2.pdf
2/9
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
Keterdiferensial Menunjukkan
Kekontinuan
Teorema A
Jika f ‘(c) ada, maka f kontinu di c
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
Bukti
Kita perlu menunjukkan )()(lim0
c f x f h
),()()(
)()( c xc x
c f x f c f x f
c x
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
Karenanya
)()()(
)()( limlim c xc xc f x f
c f x f chc x
)()()(
)( limlimlim c xc x
c f x f c f
c xc xc x
)(
0).(')(
c f
c f c f
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
Persamaan f’(x) didefinisikan oleh aturan
x
)x(f -)x+x(f
mil=)x('f x 0
ymil=
x 0 x
Karena y = f(x) maka persamaan itu dapat
pula dinyatakan dalam bentuk:D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
mil=)x('f x 0
f
x
ymilx 0 x
milx 0
f x
Bentuk-bentuk serta
Lazim dinotosikan dengan yangdf
dx
disebut dengan notasi leibniz
-
8/16/2019 bab-iii-turunana2.pdf
3/9
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
Jadi untuk menyatakan turunan suatu fungsi f(x) =
y dapat digunakan notasi-notasi berikut:
df dx
)x('f atau
df
dxNotasi dapat juga ditafsirkan sebagai:
df
dx
dy
dx)f (
xd d
)y(xd d
= dan =D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
dimanaxd d
dy
dx
df
dx
menyatakan operasi turunan
terhadap x. Jadi dibaca turunan dari y
terhadap x dan dibaca turunan f terhadap
x
Jadi apabila ada persamaan , maka
adalah 2X
1+2
x
dy
dx
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
4.2 Aturan Pencarian Turunan
Proses pencarian turunan suatu fungsi
langsung dari definisi turunan, yakni dengan
menyusun hasil bagi selisih dan menghitung
limitnya.
h
x f h x f )()(
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
Aturan dasar turunan sbb:
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
TEOREMA TENTANG ATURAN
TURUNAN
-
8/16/2019 bab-iii-turunana2.pdf
4/9
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
Teorema A
(Aturan Fungsi Konstanta)
Jika f(x)=k dengan k suatu konstanta maka untuksembarang x, f’(x)=0
0)( k D
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
Bukti
00)()(
)(' limlimlim000
hhh h
k k
h
x f h x f x f
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
Teorema B
(Aturan Fungsi Identitas)
Jika f(x)=x maka untuk sembarang x, f’(x)=1
1)( k D
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
Bukti
1)()(
)(' limlimlim000
h
h
h
xh x
h
x f h x f x f
hhh
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
Teorema C
(Aturan Pangkat)
, dengan n bilangan bulat positif,
maka
n x x f Jika )(.
1)('
nnx x f
1)( nn nx x D
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
Bukti
h
xh x
h
x f h x f x f
nn
hh
)()()()(' limlim
00
h
xhnxhh xnn
hnx x nnnnnn
h
1221
0
...2
)1(
lim
h
hnxhh xnn
hnxh nnnn
h
1221
0
...2
)1(
lim
-
8/16/2019 bab-iii-turunana2.pdf
5/9
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
Di dalam kurung siku , semua suku kecuali yang
pertama mempunyai h sebagai faktor,sehinggamasing-masing suku ini mempunyai limit nol bila
h mendekati nol, jadi
Ilustrasi Teorema C
1)(' nnx x f
23 3)( x x D D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
Teorema D
(Aturan Kelipatan Konstanta)
Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsiyang terdefinisikan, maka )('.)()'( x f k xkf
)(.)](.[ x Df k x f k D
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
Bukti
Andaikan maka x f k xF ),(.)(
h
x f k h x f k
h
xF h xF xF
hh
)(.)('.)()()( limlim
00
h
x f h x f k
h
x f h x f k
hh
)()(.
)()(limlim
00
)('. x f k
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
Teorema E
(Aturan Jumlah)
Jika f dan g fungsi yang terdeferensialkan,
maka )()()()'( xg x f xg f
)()()]()([ x Dg x Df xg x f D
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
Bukti
Andaikan maka xg x f xF ),(/)()(
h
xg x f h xgh x f
xF h
)]()([)()([
)( lim0
h
xgh xg
h
x f h x f
h
)()()()(lim
0
h
xgh xg
h
x f h x f
hh
)()()()(limlim
00
)(')(' xg x f D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
Teorema F
(Aturan Selisih)
Jika f dan g fungsi yang terdeferensialkan,
maka )()()()'( xg x f xg f
)()()]()([ x Dg x Df xg x f D
-
8/16/2019 bab-iii-turunana2.pdf
6/9
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
Bukti
)]()1()([)]()([ xg x f D xg x f D )]()1[()( xg D x Df
)()1()( x Dg x Df
)()( x Dg x Df
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
Contoh
)6()7()5( 2 D x D x D
)6()75()675( 22 D x x D x x D
)6()(7)(5 2 D x D x D
01.72.5 x
710 x
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
Teorema G
(Aturan Perkalian)
Jika f dan g fungsi yang terdeferensialkan,
maka )(')()()()()'*( x f xg xg x f xg f
)()()()()]()([ x Df xg x Dg x f xg x f D
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
Contoh
cari turunan dari )2)(53( 42 x x x
)53()2()2()53()]2)(53[( 244242 x D x x x x D x x x x D
)6)(2()18)(53( 432 x x x x x
25325 612540324 x x x x x
594036 235 x x x
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
Teorema H
(Aturan Hasilbagi)
Jika f dan g fungsi yang terdeferensialkan
dengan
Yaitu,
maka xg ,0)(
)(
)(')()(')()(
2
'
xg
xg x f x f xg x
g
f
)(
)()()()(
)(
)(2 xg
x Dg x f x Df xg
xg
x f D
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
Contoh 1
Cari turunan dari
22
2
)7(
)2)(53()3)(7(
x
x x x
)7(
)53(2
x
x
22
22
2)7(
)7()53()53()7(
)7(
)53(
x
x D x x D x
x
x D
22
2
)7(
21103
x
x x
-
8/16/2019 bab-iii-turunana2.pdf
7/9
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
Contoh 2
Buktikan aturan Pangkat berlaku untukpngkat integral negatif; yaitu
Penyelesaian
1)(
nn nx x D
1
2
1
2
1.10.1)(
n
n
n
n
nn
n
nnx
x
nx
x
nx x
x D x D
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
4.3 Turunan Sinus dan Kosinus
Fungsi f(x)=sin(x)dan g(x)=cos(x) keduanya
dapat didiferensialkan.
x x D cos)(sin
x x D sin)(cos
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
Contoh
Cari
Penyelesaian
)cos2sin3( x x D
)(cos2)(sin3)cos2sin3( x D x D x x D
x x sin2cos3
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
Pembuktian Dua Pernyataan Limit
1sin
lim0
t
t
t
0cos1
lim0
t
t
t
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
Contoh
?.....sin
cos1lim
0
t
t
t
01
0
sin
cos1
sin
cos1limlim
00
t
t t
t
t
t
t t
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
4.4 Aturan Rantai
(Aturan Rantai).Andaikan y=f(u) dan u=g(x)
menentukan fungsi komposit
. Jika g terdiferen-
sialkan di x dan f terdiferensialkan di u=g(x),
maka terdiferensia lkan di x dan
yakni,
g f
))(())(( xg f xg f y
)('))((')()'( xg xg f xg f
u yD D y D xu x
-
8/16/2019 bab-iii-turunana2.pdf
8/9
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
Contoh
JikaPenyelesaian : kita pikirkan ini sebagai
dan
Jadi,
y D xcari x x y ,)142( 602
60u y 142 2 x xu
u D y D y D xu x .
)44)(60( 59 xu
)44()142(60 592 x x x
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
4.5 Turunan Tingkat Tinggi
Operasi pendiferensialan mengambil sebuah
fungsi f dan menghasilkan sebuah fungsibaru f ‘. Jika f ‘ kita diferensialkan
menghasilkan fungsi lain dinyatakan oleh f ‘’
dan disebut turunan kedua dari f, dan
seterusnya.
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
Contoh
0)(""
12)('''
812)(''
786)('
:
8742)(
2
23
x f
x f
x x f
x x x f
maka
x x x x f
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
4.6 Diferensial Terdefinisi
Andaikan y=f(x) terdiferensialkan di x dan
andaikan bahwa dx, diferensilkan dari peubah
bebas x, menyatakan pertambahan
sembarang dari x. Diferensil yang
bersesuaian dengan dy dari peubah tak
bebas y didefinisikan oleh :
dx x f dy )('
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
Aturan Pangkat
Andaikan r bilangan rasional sembarang,
maka
1)( r r x rx x D
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
Contoh
Cari dy jika 133 x x y
dx xdy )33( 2
-
8/16/2019 bab-iii-turunana2.pdf
9/9
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
Rumus turunan
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
RUMUS-RUMUS TURUNAN
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS
TRIGONOMETRI
D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS