bab iii model bayes untuk pendugaan area kecil berbasis ... · jika penarikan contoh dilakukan...
TRANSCRIPT
30
BAB III Model Bayes untuk Pendugaan Area Kecil Berbasis
Peubah Respon Binomial 3.1. Pendahuluan
Peubah respon yij merupakan peubah respon biner yang diukur pada area
ke-i dimana yij bernilai 1 atau 0. Sebagai contoh yij adalah peubah yang
mengukur kemampuan baca tulis, maka yij =1 jika individu tertentu di area ke–i
bisa baca dan tulis dan yij =0 jika tidak bisa baca tulis. Jika peubah yij
diasumsikan memiliki sebaran Bernoulli dengan parameter pi, maka fungsi
massa peluang dari yij
)1()|( iyiiij pppyf ji −=
adalah:
(3.1)
atau ditulis )(| ~ i
ind
iij pBernoullipy , untuk j=1,2,.....ni
∑= j iji yy
; i=1,2,.....,m. Selanjutnya
didefinisikan , adalah jumlah kejadian yang menjadi perhatian di area
ke-i , maka yi
iii yni
yi
i
iii pp
yn
pyf −−
= )1()|(
memiliki sebaran Binomial dengan fungsi peluang:
(3.2)
atau ditulis: ),(~| ii
ind
ii pnBinomialpy . Dalam contoh kasus penelitian ini, yi
Parameter area kecil yang ingin diduga adalah proporsi area kecil,
adalah jumlah individu di area ke-i yang bisa membaca dan menulis.
ij ijii NyYp /∑== , dimana ∑= j iji yy merupakan statistik minimum cukup
dari pi
ip̂
. Jika penarikan contoh dilakukan dengan metode acak sederhana, maka
penduga proporsi di area ke-i yaitu , diturunkan melalui metode pendugaan
peluang maksimum (ML), yaitu iiij
iji nynyp //ˆ ==∑ . Penduga ML ini
merupakan pendugaan langsung melalui pendekatan klasik.
Melalui pendekatan Bayes, pendugaan parameter ip dapat dilakukan
secara langsung yaitu dengan tidak memanfaatkan informasi tambahan dari
31
peubah penyerta dan pendugaan tidak langsung yaitu menggunakan model
dengan memanfaatkan informasi dari peubah penyerta.
Pendugaan langsung melalui pendekatan Bayes adalah menganggap
parameter pi
Untuk pendugaan berbasis model, digunakan transformasi fungsi logit
terhadap p
merupakan peubah yang memiliki distribusi tertentu. Dalam
pendugaan Bayes terdapat dua jenis informasi yaitu informasi prior diperoleh dari
sebaran prior dan informasi dari hasil survai. Untuk peubah binomial, sebaran
prior yang digunakan adalah sebaran beta atau logit normal.
ij atau logit (pij
Clarke et al. (2006) mengembangkan metode SAE berdasarkan data biner
untuk menduga angka pengangguran di area kecil. Pendugaan angka
pengangguran didasarkan pada data pengangguran dari Labour Force Survey
(LFS) dan data administratif. Peubah penyerta yang digunakan adalah usia yang
dibagi ke dalam 3 kelompok (16-24 tahun, 25-49 tahun dan lebih dari 50 tahun),
dan jenis kelamin. Pendugaan parameter model diperoleh dengan menggunakan
pendugaan Kemungkinan Quasi Berpenalti (KQB) atau Penalized Quasi
Likelihood (PQL) untuk pendugaan β dan µ dan menggunakan Kemungkinan
Maksimum Berkendala (KMB) atau Restricted Maximum Likelihood (REML)
untuk menduga σ. Untuk membuktikan konsistensi penduga parameter β
dilakukan dengan cara meregresikan nilai β berdasarkan dua data yaitu dari
pemerintah lokal dan dari parlemen, membandingkan CV (Coefficient of
Variation) keduanya, dan membandingkan standard error masing-masing dengan
standard error dari pendugaan langsung. Diperoleh hasil bahwa metode yang
digunakan memiliki konsistensi terhadap penduga dan memberikan nilai SE lebih
baik dibandingkan dengan pendugaan langsung
). Beberapa peneliti yang telah mengembangkan
model pendugaan area kecil untuk data biner melalui pendekatan Bayes adalah
Malec et al. (1997) mengembangkan Model SAE untuk data biner yang
diaplikasikan pada data survei di bidang kesehatan berbasis kombinasi area dan
unit. Pendugaan parameter yang dilakukan oleh Malec et al. (1997) adalah
metode Bayes berhirarki yang dibandingkan dengan metode standar dan metode
Bayes Empirik.
Chandra et al. (2009) mengembangkan pendugaan area kecil untuk
proporsi dalam survai bisnis. Metode pendugaan parameter yang mereka
kembangkan adalah Empirical Best Predictor (EBP) dibawah model linier
campuran terampat dan Model-Based Direct Estimator (MBDE). Selanjutnya
32
Boostra et al. (2011) mengembangkan pendugaan area kecil untuk status
tenaga kerja di Australia. Model yang digunakan adalah model berbasis unit,
yang merupakan model linier campuran dengan pengaruh area (dalam hal ini
area adalah kota). Metode pendugaan parameter model menggunakan
Kemungkinan Maksimum (KM). Untuk memilih kovariat dalam model dilakukan
diagnostik secara grafis. Diperoleh bahwa model SAE menghasilkan KTG lebih
kecil dari metode pendugaan yang lain.
3.2. Metode Pendugaan Langsung Melalui Pendekatan Bayes.
Melalui pendekatan Bayes Rao (2003) menyatakan bahwa, metode
pendugaan langsung untuk parameter ip dapat dilakukan melalui dua alternatif
cara yaitu: 1) dengan mengasumsikan bahwa parameter pi
[ ])1/(log)(log iii pppit −=
merupakan peubah
yang memiliki sebaran beta dengan parameter α dan β dan 2) dengan
menggunakan fungsi logit atau probit )(1ip−Φ yang
diasumsikan memiliki sebaran normal. Untuk alternatif 1, sebaran beta untuk
parameter parameter ip merupakan sebaran prior, sedangkan untuk alternatif 2,
sebaran priornya adalah menggunakan sebaran normal.
3.2.1. Pendugaan Bayes Menggunakan Sebaran Prior Beta
Untuk alternatif 1, dimana pendugaan Bayes diturunkan dengan
menggunakan sebaran prior Beta, maka parameter pi
0,0);,(~ >> βαβαBetapiid
i
dianggap sebagai sebuah
peubah acak yang memiliki sebaran peluang Beta atau ditulis
. Beta (α,β) menyatakan sebaran Beta dengan
parameter α dan β dengan bentuk fungsi peluang:
.0,0;)1()()()(),|( 11 >>−
ΓΓ+Γ
= −− βαβαβαβα βα
iii pppf (3.3)
Pendugaan Bayes untuk parameter pi diperoleh dengan mencari nilai ekspektasi
dari sebaran posterior untuk pi yaitu dengan mencari sebaran marjinal dari
sebaran bersama dari (yi, pi
), yaitu:
.)1()()()()1(),( 11 −−− −
ΓΓ+Γ
−
= βα
βαβα
iiyn
iyi
i
iii ppxpp
yn
pyf iii (3.4)
33
Dari persamaan (3.4) maka diperoleh sebaran posterior pi
yang
merupakan sebaran bersayarat dari pi jika yi
.)(
),/,(),,/(i
iiii yf
pyfypf βαβα =
diketahui yaitu:
(3.5)
Sebaran posterior pi α+iy merupakan sebebaran Beta dengan parameter ( )
dan ( β+− ii yn ), atau ditulis:
).,(~,,| βαβα +−+ iii
ind
ii ynybetayp (3.6)
Penduga Bayes dari pi
βααβαβα++
+==
i
iii
Bi n
yypEp ),,|(),(ˆ
dan varians posteriornya diberikan oleh:
(3.7)
dan
.))(1(
))((),,|( 2βαβαβαβα+++++
+−+=
ii
iiiii nn
ynyypV (3.8)
Penduga Bayes Empirik untuk pi
α̂
diperoleh dengan menggantikan α dan
β dengan penduganya yaitu dan β̂ yang dapat diperoleh dengan dua cara
yaitu dengan menggunakan metode momen atau dengan memaksimumkan
fungsi kemungkinan dari sebaran posterior atau disebut sebagai metode KM
(Kemungkinan Maksimum), akan diperoleh nilai KMα̂ dan KMβ̂ .
Dengan menggunakan metode penduga momen, maka dugaan untuk α
dan β diperoleh dengan menyelesaikan persamaan berikut:
βα
αˆˆ
ˆˆ+
=p dan [ ]∑ −−−−
−−−=
++ i TiT
pT
mnnnppmppsn
)1(/)ˆ1(ˆ)1)(ˆ1(ˆ
1ˆˆ1
2
2
βα (3.9)
dimana 22 )ˆˆ)(/( ppnns ii Tip −=∑ , .∑= i iT nn
Sedangkan menggunakan metode peluang maksimum, MLα̂ dan MLβ̂
diperoleh dengan memaksimumkan fungsi likelihood l(α,β) dari sebaran beta-
binomial BinomialBetayind
i −~,| βα :
)()()(
)()()(),(
1 βαβα
βαβαβα
ΓΓ+Γ
++Γ−+Γ+Γ
= ∏
=x
nyny
yn
li
iii
i
in
i
i
(3.10)
dimana fungsi sebarannya berbentuk:
34
.)()()(
)()()(),|(
βαβα
βαβαβα
ΓΓ+Γ
++Γ−+Γ+Γ
= x
nyny
yn
yfi
iii
i
ii
(3.11)
Rao (2003) menyatakan bahwa Fungsi (3.11) di atas dapat disederhanakan
menjadi:
∑
∑ ∑ ∑ ++−++++=
=
−
=
−−
=
−
=
m
i
y
h
yn
h
n
h
i ii ihhhcl
1
1
0
1
0
1
0)log()log()log(),( βαβαβα (3.12)
dimana ∑ +−
=
1
0)log(
iy
hhα akan sama dengan nol; jika yi ∑ +
−−
=
1
0)log(
ii yn
hhβ=0 dan sama
dengan nol jika yi=ni )/()( βααµ +==ijyE. dan )/(1 βατ += ,
)1/(1),( ++== βαρ ikij yyCorr untuk .kj ≠ Dengan menggunakan µ dan τmaka bentuk fungsi likelihoodnya menjadi:
.)1log()1log()log(),(1
0
1
0
1
01
+−+−+++= ∑ ∑ ∑∑
−
=
−−
=
−
==
i ii iy
h
yn
h
n
h
m
ihhhconstl ττµτµτµ
Selanjutnya penduga ML dapat diperoleh dengan metode Newton-Raphson
atau metode iteratif yang lain karena bentuk tertutup (closed –form) untuk MLα̂
dan MLβ̂ tidak ada.
Dengan menggantikan α dan β dengan α̂ dan β̂ ke dalam persamaan
(3.7) dan (3.8) diperoleh penduga Bayes Empirik dari pi
pppp iiiBi
EBi ˆ)ˆ1(ˆˆ)ˆ,ˆ(ˆˆ γγβα −+==
yaitu:
(3.13)
dimana ( )βαγ ˆˆ/ˆ ++= iii nn .
Penduga Bayes Empirik dari parameter piEBip̂ ( ) adalah rata-rata terbobot
dari penduga langsung p̂ . Jika ni
ip̂
membesar maka bobot yang diberikan
kepada akan lebih besar. Persamaan penduga tersebut di atas serupa
dengan penduga Fay-Heriot untuk model berbasis area. Penduga EBip̂
mendekati tidak bias untuk piEBip̂ jika m besar karena E( -pi) akan mendekati
nol.
35
Pendugaan KTG dapat dicari melalui metode Jackknife, yang
menghasilkan penduga )ˆ( EBipKTG yang mendekati tak bias. Penduga Jackknife
dari )ˆ( EBipKTG yaitu )ˆ( EB
ipktg diperoleh dengan cara menghitung :
[ ]∑ −−
−==
−−
m
liiilliiii ygyg
mmygM
11111 ),ˆ,ˆ(,ˆ,ˆ(1),ˆ,ˆ(ˆ βαβαβα
(3.14)
( )21
,2 ˆ1ˆ ∑ −−
==
−
m
l
EBi
EBlii pp
mmM (3.15)
dimana
)ˆ,ˆ,(ˆ σµiiEBi ykp =
)ˆ,ˆ,(ˆ , lliiEB
li ykp −−− = σµ
21)ˆˆ)(1ˆˆ(
)ˆ)(ˆ(),,|(),ˆ,ˆ(
βαβα
βαβασµ
+++++
+−+==
ii
iiiiiii
nnyny
ypVyg
dan ),ˆ,ˆ(1 illi yg −− σµ diperoleh dengan menggantikan µ dan σ̂ dengan
l−µ̂ dan l−σ̂ (diperoleh dengan menghilangkan area ke-l)
Penduga ML diperoleh dari { }miny ii ,.....,1),,( ≠
iiEBi MMpktg 21
ˆˆ)ˆ( += (3.16)
3.2.2. Pendekatan Bayes Menggunakan Sebaran Prior Logit-Normal.
Transformasi fungsi logit pi [ ])1/(log)(log iii pppit −= yaitu diasumsikan
memiliki sebaran normal ),( 2σµN , ditulis:
[ ] ).,(~)1/(log)(log 2σµNpppitiid
iii −= (3.17) Dengan mendefinisikan σµ /])([log −= ii pitz , maka zi
akan memiliki sebaran normal standar N (0,1) atau ditulis
)1,0(~/])([log Npitz ii σµ−= maka pi
.1
)(i
i
z
z
ii eezup σµ
σµ
σµ +
+
+=+=
dapat dinyatakan sebagai fungsi µ dan σ sebagai berikut:
(3.18)
Penduga Bayes untuk pi ),,|(),(ˆ σµσµ iiBi ypEp = adalah yang diperoleh
dari nilai ekspektasi pi dari sebaran posterior pi jika yi, µ dan σ diketahui.
36
lmplementasi dari penduga Bayes Empirik lebih kompleks untuk model logit
normal karena tidak ada bentuk analitik untuk penduga Bayes dan varians
posterior dari pi . Untuk model logit-normal, Rao (2003) mengatakan bahwa
penduga Bayes dari pi
)1,0(~ Nzi
dapat dinyatakan sebagai rasio dari integral berdimensi
satu atas sebagai berikut:
{ }[ ]
{ }[ ]),(exp),(exp)(),,/(),(ˆ
2
21
zyhEzyhzhEypEp
i
iii
Bi σµ
σµσµσµσµ+
++==
(3.19)
dimana
).1log()())(,(2z
iii enyzzyh σµσµσµ ++−+=+
Ragam posteriornya adalah ),,|( σµii ypV , yang dapat dianggap merupakan
fungsi dari ( iy,,σµ ) atau ditulis sebagai ),,(),,|( 1 iiii ygypV σµσµ = :
[ ] .,(ˆ),,|(),,|(22 σµσµσµ B
iiiii pypEypV −= (3.20)
Pendugaan terhadap µ dan σ diperoleh dengan memaksimumkan fungsi
Log likelihood, l(µ,σ), untuk model logit-normal yaitu:
{ }[ ][ ].),(explog),(1
2∑=
++=m
ii zyhEconstl σµσµ
(3.21)
Selanjutnya dengan menggunakan pendugaan ML diperoleh penduga EB
dari pi )ˆ,ˆ(ˆˆ σµBi
EBi pp = , dengan menggantikan µ̂ dan σ̂ .
Pendugaan KTG
Perhitungan )ˆ( EBiJ pmse menggunakan penduga ML cukup rumit,
sebaliknya menggunakan metode momen seperti yang dilakukan oleh Jiang
(1998) lebih mudah dilakukan, yaitu dengan menyamakan:
)]([ˆ 1 zhEnpny TTi i σµ +==∑
[ ])()1()( 21
2 zhEnnyyi
iiii
i σµ +
−=− ∑∑ .
Perhitungan )]([)( 1 zhEpE i σµ += dan )]([)( 21
2 zhEpE i σµ += dilakukan dengan
menggunakan integrasi Monte Carlo.
Penduga Jackknife dari )ˆ( EBipMSE yaitu )ˆ( EB
ipmse diperoleh dengan
menggantikan )ˆ,ˆ,(ˆ σµiiEBi ykp = dan )ˆ,ˆ,(ˆ , llii
EBli ykp −−− = σµ dalam persamaan
(3.14) dan (3.15).
37
3.3. Metode Pendugaan Tak Langsung Melalui Pendekatan Bayes.
Sesuai dengan prosedur yang dilakukan oleh Malec et al. (1997),
diasumsikan bahwa tiap individu dalam populasi dapat dimasukkan ke dalam
kelompok yang saling terpisah (mutually exclucive and exhoustive) berdasarkan
pada status sosial-ekonomi atau status demografi tertentu. Misalkan Yij
merupakan peubah acak biner untuk individu ke-j dalam area i dimana i=1,2.....I;
j=1,......,Ni maka Yij merupakan peubah acak bebas Bernoulli dengan (Yij =1|
pij)=pij
,)(log iTijij xpit υβ +=
. Model yang menghubungkan parameter dengan kovariatnya adalah
model regresi logistik dengan efek acak area sebagai berikut:
).,0(~ 2υσυ N
iid
i (3.22) Model di atas disebut sebagai model linier logistik campuran yang
merupakan anggota dari model linier campuran terampat. Peubah tak bebasnya
adalah logit (pij) dan peubah bebas adalah X. Selanjutnya xij
Untuk kasus pendugaan proporsi penduduk yang bisa baca tulis, maka
dugaan proporsi penduduk yang bisa baca tulis p
adalah vektor
kovariat tetap dan diasumsikan tidak tergantung pada i.
i adalah jumlahan dari jumlah
penduduk dalam percontohan yang bisa baca tulis dibagi dengan jumlah
percontohan di area ke-i dan penduga pi
*)1( iiiii yfyfp −+=
dari individu yang tidak bisa baca tulis
yang tidak terambil sebagi contoh. Secara matematis ditulis sebagai berikut:
(3.23)
dimana:
{ }misjxy iijij ,....,1;),,( =∈
si adalah percontohan berukuran ni is′ dari area ke-i dan adalah unit-
unit yang tidak diambil contohnya.
fi = ni/Ni
iy
,
adalah rata-rata contoh (proporsi)
)/('
*ii
slili nNyy
i
−∑=∈
adalah rata-rata dari unit-unit yang tidak diambil
contohnya dalam area i. Penduga Bayes dari *
iy diberikan oleh:
( )υσβ ,,|ˆ )()( iciB
ci ypEp = )/( iisl il nNpi
−∑= ′∈
38
dimana:
yi
adalah dari contoh dalam area ke i.
),,,|( υσβiililil ypyEp = untuk isl ′∈ .
Penduga Bayes dari *iy adalah ( )υσβ ,,|ˆ )()( ici
Bci ypEp = , sehingga penduga
Bayes dari pi
.ˆ)1(),(ˆˆ )(B
ciiiiBi
Bi pfyfpp −+== υσβ
dapat dinyatakan sebagai:
(3.24)
Sehingga:
∑
∑
∑
=
∑=
∈
∈
i
i
sjiij
Tiji
l sjiij
Tijiil
liil
Bci
zyyxhE
zyyxhpE
ypEp
βσ
βσ
σβ υ
,,,exp
,,,exp(
,,|ˆ )(
(3.25)
dimana
( )[ ]..exp1log)(,, ∑∑∑∈∈∈
++−+
=
iii sj
Tiji
sjij
Tij
sjij
Tiji zxyzyxzyxh σβσββσ
(3.26)
Rao (2003) mengatakan bahwa pendugaan parameter model β dan υσ
dapat dilakukan melalui berbagai cara, diantaranya algoritma EM, MCMC seperti
yang disarankan oleh Mc Coullagh dan Searle (2001) dan KQB. Selain itu untuk
mendapatkan dugaan β dan υσ juga dapat digunakan metode momen.
Dengan menggunakan KM ataupun metode momen maka akan diperoleh
β̂ dan υσ̂ sehingga dapat diperoleh BE untuk pi
)ˆ,ˆ(ˆ υσβBi
EBi pp =
(proporsi di area ke i) yaitu
. Jika fiBip̂ (sampling fraction) dapat diabaikan, maka dapat
diekspresikan sebagai:
.,,/1ˆ1
≈ ∑
=
iN
liil
i
Bi ypE
NP υσβ (3.27)
Ragam posterior Pi
,,,|,,/)1((
)ˆ()1(),,/(
2
2)(
*2
+
−=
−−=
∑∑′∈′∈
−
ii sliil
sliilili
Bciiiii
ypVyppEN
pyEfyPV
υυ
υ
σβσβ
σβ
tereduksi menjadi:
(3.28)
39
.,,,exp
,,,exp(,,|
2
2
=
∑
∑ ∑
∑
∈
∈
i
i
sjiij
Tiji
l sjiij
Tijiil
liil
zyyxhE
zyyxhpEypE
βσ
βσσβ υ (3.29)
Tidak ada bentuk analitik (closed form) untuk mendapatkan nilai ekspektasi
di atas sehingga perhitungan nilai ekspektasi dilakukan dengan metode numerik.
Pendugaaan )ˆ( EBipKTG dilakukan dengan metode Jackknife yaitu
dengan menggantikan )ˆ,ˆ,(ˆ σµiiEBi ykp = dan )ˆ,ˆ,(ˆ , llii
EBli ykp −−− = σµ dalam
persamaan (3.24) sampai dengan persamaan (3.29) sehingga diperoleh nilai
iM1ˆ dan iM 2
ˆ , sekaligus diperoleh nilai KTG yaitu iM1ˆ + iM 2
ˆ .
3.4. Aplikasi : Pendugaan Angka Melek Huruf di Tingkat Kecamatan, Kabupaten Sumenep Berbasis Data Susenas
Model SAE yang telah dibahas pada sub bab (3.2) dan (3.3) di atas
diaplikasikan pada pendugaan angka melek huruf di tingkat kecamatan disalah
satu Kabupaten di Jawa Timur yaitu Kabupaten Sumenep dan Kabupaten
Pasuruan Provinsi Jawa Timur. Data dasar yang digunakan adalah data Survei
Ekonomi Nasional (Susenas) yang dilakukan oleh BPS tahun 2010. Untuk
Kabupaten Sumenep, dari populasi sebesar 339.403 tangga diambil contoh
sebanyak 2307 rumah tangga dan rata-rata jumlah contoh di tiap kecamatan 86
rumah tangga.
Berdasarkan data Susenas Kabupaten Sumenep rata-rata proporsi yang
bisa baca dan tulis di tiap kecamatan sekitar 77.6%. Gambar 3.1 menunjukkan
bahwa terdapat dua kecamatan yang memiliki proporsi terendah yaitu kecamatan
Batuputih (39.5%) dan kecamatan Talango (58%), Angka melek huruf di
Kabupaten Pasuruan relatif lebih baik dibandingkan dengan Kabupaten
Sumenep, rata-rata proporsi yang bisa baca dan tulis di tiap kecamatan sekitar
90,07%. Di Kabupaten pasuruan terdapat tiga kecamatan yang memiliki proporsi
terendah yaitu kecamatan Puspo (75,5%), Lekok (75,5) dan kecamatan Nguling
(71%).
40
(a) Kabupaten Sumenep (b) Kabupaten Pasuruan
Gambar 3.1. Proporsi Penduduk 10 tahun ke atas yang bisa baca tulis berdasarkan data
Susenas tahun 2010 di Kabupaten Sumenep dan Pasuruan
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
Arj
asa
Sape
ken
Blut
oRa
'As
Kang
ayan
Man
ding
Gay
amG
ilige
nten
gKa
liang
etKo
ta S
umen
epPr
agaa
nN
ongg
unon
gD
asuk
Saro
nggi
Mas
alem
buBa
tuan
Gan
ding
Lent
eng
Ruba
ruA
mbu
nten
Gul
uk G
uluk
Paso
ngso
ngan
Dun
gkek
Bata
ng B
atan
gG
apur
aTa
lang
oBa
tupu
tih
Kecamatan
proporsi
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
Purw
osar
i
Keja
yan
Bang
il
Gem
pol
Rejo
so
Won
orej
o
Pand
aan
Beji
Tosa
ri
Suko
rejo
Tutu
r
Prig
en
Gon
dang
Wet
an
Lum
bang
Purw
odad
i
Gra
ti
Krat
on
Win
onga
n
Pasr
epan
Rem
bang
Pusp
o
Leko
k
Ngu
ling
Pohj
entr
ek
Kecamatan
proporsi
40
3.4.1. Pendugaan Langsung
Penduga langsung untuk proporsi penduduk berusia 10 tahun ke atas dan
nilai KTG nya adalah sebagai berikut:
1) Menggunakan metode klasik dengan rumus .//ˆ iiij
iji nynyp == ∑
2) Menggunakan pendekatan Bayes dengan sebaran prior beta.
Pendugaan α dan β menggunakan metode momen, yaitu dengan
menghitung α̂ dan β̂ menggunakan persamaan (3.9), dimana:
2)ˆˆ)(/(2 pipi Tninps −∑= , ∑= i inTn
p̂ adalah proporsi penduduk yang bisa baca tulis dihitung dari contoh
ni
n
: ukuran contoh di kecamatan ke-i
T
Sedangkan penduga p
: jumlah contoh Susenas di Kabupaten Sumenep.
i
( )..ˆˆ/ˆ βαγ ++= iii nn
dihitung dengan menggunakan rumus (3.13)
dimana
Untuk pendugaan )ˆ( EBipKTG dilakukan dengan menggunakan
metode Jackknife, diperoleh dengan menggantikan )ˆ,ˆ,(ˆ σµiiEBi ykp =
dan )ˆ,ˆ,(ˆ , lliiEB
li ykp −−− = σµ dalam persamaan (3.14) Dan ),ˆ,ˆ(1 ii yg σµ dan
),ˆ,ˆ(1 illi yg −− σµ dalam persamaan (3.15) dimana:
21)ˆˆ)(1ˆˆ(
)ˆ)(ˆ(),,|(),ˆ,ˆ(
βαβα
βαβασµ
+++++
+−+==
ii
iiiiiii
nnyny
ypVyg
l−µ̂ dan l−σ̂ adalah dugaan dariµ dan σ yang dihitung dari data tanpa
kecamatan ke l.
Penduga )ˆ( EBipKTG adalah ii
EBij MMpktg 21
ˆˆ)ˆ( += diperoleh dari
persamaan (3.16).
3) Menggunakan fungsi logit(pi), maka penduga parameter pi
berikut:
menggunakan rumus pada persamaan (3.19). Selanjutnya integral
pembilang dan penyebut pada persamaan (3.19) dihitung dengan
langkah sebagai
1. Menghiitung penduga µ̂ dan σ̂ dari distribusi normal
[ ] ),(~)1/(log)(log 2σµNpppitiid
iii −=
41
µ̂ = rata-rata dari logit (pij
σ̂
)
= standard deviasi dari logit (pij
2. Membangkitkan z dari distribusi N(0,1) dengan mengambil n=500,
kemudian untuk tiap nilai z dari langkah ke dua, hitung:
)
Aa { }[ ]),(exp)( 21 zyhzhE i σµσµ ++ =
= { } 221 2/1exp
21),(exp)( aaia zxzyhzh −++π
σµσµ , a=1,...500
dimanai
i
z
z
i eezh σµ
σµ
σµ +
+
+=+
1)(1 dan
)1log()())(,(2z
iii enyzzyh σµσµσµ ++−+=+
Atau:
22/1
21)1log()exp(
1aa
a
azz
iiaz
z
a exenyzxe
eA −+
+
+
+−++
=π
σµ σµσµ
σµ
Sehingga:
{ }[ ] xzyhzhE i 500
1),(exp)( 21 =++ σµσµ ∑a A
3. Menghitung
a
+−+= + )1log()(exp az
iiaa enyzB σµσµ x22/1
21
aze−
π
{ }[ ] aa
i BzyhE ∑=+500
2 5001),(exp σµ
Penduga Bayes dihitung dengan mencari rasio dari hasil pada
langkah ke -2 dan ke-3 diatas
Nilai KTG dihitung dengan menggunakan metode Jacknife menggunakan
rumus (3.16) namun dengan menghitung varians (pi
[ ]221 ,(ˆ),,|(),,|(),ˆ,ˆ( σµσµσµσµ B
iiiiiii pypEypVyg −==
) melalui rumus:
dimana: )]([)( 1 zhEpE i σµ += dan )]([)( 21
2 zhEpE i σµ +=
)]([ˆ 1 zhEnpny TTi i σµ +==∑
[ ])()1()( 2
12 zhEnnyy
iiii
ii σµ +
∑ −=−∑
Dengan mengaplikasikan metode momen seperti yang telah dijelaskan
oleh persamaan (3.9), pendugaan parameter α dan β menggunakan sebaran
prior Beta adalah:
42
Kabupaten Sumenep: α̂ = 6.007941dan β̂ =1.735254.
Kabupaten Pasuruan: α̂ = 16,1824 dan β̂ =1,6204..
Selanjutnya dengan menggunakan sebaran prior logit-normal pendugaan
proporsi di area kecil (kecamatan) dilakukan dengan cara numerik menggunakan
persamaan (3.19) yaitu dengan membangkitkan nilai z dari sebaran N(0,1)
n=500. Hasil pendugaan parameter (pi
) dengan mengaplikasikan metode
pendugaan langsung ditunjukkan oleh Lampiran 8 dan Lampiran 9, secara
grafis ditunjukkan oleh Gambar 3.2. Dapat dilihat bahwa untuk pendugaan
langsung, metode KM memberikan hasil yang hampir sama dengan metode
Bayes yang menggunakan sebaran prior logit normal, demikian juga dengan
pendekatan menggunakan sebaran prior beta.
(a) Kabupaten Sumenep (b) Kabupaten Pasuruan
Gambar 3.2.
Hasil Pendugaan angka melek huruf dengan menggunakan metode klasik dan Metode Bayes
Pada pendugaan proporsi dengan menggunakan sebaran prior logit
normal, sebaliknya untuk sebaran prior Beta, bobot untuk komponen contoh
pada iy yaitu ( )βαγ ˆˆ/ˆ ++= iii nn relatif besar yaitu sekitar 0.905 untuk
Kabupaten Sumenep dan 0,827 untuk kabupaten Pasuruan. Oleh karena itu
pendugaan Bayes secara langsung lebih dipengaruhi oleh komponen contoh
karena bobot untuk komponen populasi relatif kecil sehingga tidak memberikan
pengaruh yang berarti pada penduga Bayes.
Hasil dugaan KTG menggunakan metode Jackknife untuk pendugaan
langsung yang ditunjukkan oleh Gambar 3.3 memperlihatkan bahwa kedua
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 5 10 15 20 25 30
Pendekatan Kalsik MLPendekatan Bayes Logit (pEB Logit)Pendekatan Bayes Beta (pEB Beta)
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
0,95
1
0 5 10 15 20 25
Pendekatan Kalsik ML
Pendekatan Bayes Logit (pEB Logit)
Pendekatan Bayes Beta (pEB Beta)
43
metode pendugaan langsung kurang memberikan akurasi yang bagus karena
menghasilkan nilai MSE relatif tinggi dan kurang stabil.
(a) Kabupaten Sumenep (b) Kabupaten Pasuruan
Gambar 3.3 Plot dari nilai dugaan KTG menggunakan sebaran prior Beta dan Logit-Normal
melalui metode pendugaan langsung
3.4.2. Pendugaan Tak Langsung
Melalui pendugaan tak langsung, angka melek huruf diduga melalui model
dengan peubah penyerta usia dan jenis kelamin. Peubah usia dibagai kedalam 5
katagori yaitu antara 10 -30 tahun, 30-40 tahun, 40-50 tahun, 50-60 tahun dan di
atas 60 tahun dan jenis kelamin dibedakan atas 2 katagori yaitu laki-laki dan
perempuan. Oleh karena itu setiap individu di area ke i dapat diklasifikasikan
kedalam k kelompok, k =1,2....10 yang merupakan kombinasi antara usia dan
jenis kelamin. Sedangkan peubah respon untuk model SAE adalah proporsi
penduduk berusia 10 tahun ke atas yang bisa baca tulis di kelompok ke k di area
ke i. Karena penarikan contoh dalam Susenas dilakukan dengan cara memilih
contoh blok sensus secara acak pada tahap pertama dan selanjutnya memilih
contoh keluarga dalam blok sensus yang terpilih pada tahap kedua, maka area
kecil yang dimaksud pada penelitian ini adalah blok sensus.
Gambar 3.4 yang menjelaskan hubungan antara kemampuan baca tulis
dengan usia dinyatakan dalam grafik, menunjukkan bahwa makin tinggi proporsi
usia, maka pendudukan yang bisa baca dan tulis semakin kecil. Terlihat bahwa
proporsi penduduk laki-laki yang bisa baca dan tulis cenderung lebih banyak
dibandingkan dengan penduduk perempuan. Berdasarkan uji korelasi dengan
0
0,001
0,002
0,003
0,004
0,005
0,006
0,007
0,008
0,009
0,01
0 5 10 15 20 25 30
KTG logit KTG beta
0
0,0005
0,001
0,0015
0,002
0,0025
0,003
0,0035
0,004
0,0045
0 5 10 15 20 25
KTG Logit KTG Beta
44
mengambil α=5% terbukti bahwa kemampuan baca tulis dipengaruhi oleh usia
dan jenis kelamin. Dengan demikian pendugaan tak langsung (berbasis model)
dapat dilakukan dengan memanfaatkan peubah jenis kelamin usia sebagai
peubah penyerta ke dalam model SAE.
(a) Kabupaten Sumenep (b) Kabupaten Pasuruan
Gambar 3.4.
Hubungan kemampuan baca tulis dengan usia berdasarkan jenis kelamin di Kabupaten Sumenep dan Kabupaten Pasuruan
Melalui pendugaan tak langsung yaitu dengan melalui model SAE,
pendugaan parameter model menggunakan metode KQB yang kemudian
digunakan untuk menduga *iy berdasarkan sebaran prior logit normal
menggunakan pendekatan Bayes Empirik (persamaan 3.25). Perhitungan nilai
harapan pembilang dan penyebut dari persamaan tersebut menggunakan
metode Montecarlo.
Hasil pendugaan parameter dan KTG menggunakan metode pendugaan
tak langsung untuk Kabupaten Sumenep dan kabupaten Pasuruan dapat dilihat
pada Lampiran 8 dan Lampiran 9. Dalam bentuk grafik dapat dilihat pada
Gambar 3.5 untuk Kabupaten Sumenep dan dan Gambar 3.6 untuk Kabupaten
Pasuruan.
Melalui pendekatan Bayes, berdasarkan pendugaan tak langsung, rata-
rata angka melek huruf kecamatan di Kabupaten Sumenep sebesar 0,827
dengan dugaan KTG sebesar 0,027. Kecamatan Batuputih yang memiliki angka
melek huruf terendah berdasarkan pendugaan langsung sebesar 0,510.
Sedangkan untuk Kabupaten Pasuruan, rata-rata angka melek huruf kecamatan
berdasarkan pendugaan langsung sebesar 0,927 dengan nilai KTG sebesar
0,995 0,965
0,853
0,721
0,573
0,9860,907
0,624
0,441
0,200
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
10-30 tahun
31-40 tahun
41-50 tahun
51-60 tahun
> 60 tahun
Laki-laki Perempuan
0,99 0,97 0,96
0,840,76
1,000,95
0,810,77
0,37
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
10-30 tahun
31-40 tahun
41-50 tahun
51-60 tahun
> 60 tahun
Laki-laki Perempuan
45
0,036. Kecamatan Nguling memiliki angka melek huruf terendah yaitu
berdasarkan pendugaan langsung sebesar 0,725 .
Gambar 3.5. Plot hasil dugaan angka melek huruf dan KTG di Kabupaten Sumenep
Gambar 3.6. Plot hasil dugaan paramater pi
Pasuruan (angka melek huruf) dan KTG di Kabupaten
3.5. Pembahasan
Pendugaan angka melek huruf (proporsi penduduk berusia 10 tahun ke
atas yang bisa baca tulis) seperti dijelaskan oleh Gambar 3.2 menunjukkan
bahwa metode pendugaan langsung melalui pendekatan Bayes Empirik
memberikan hasil yang hampir sama dengan metode pendugaan langsung
secara melalui pendekatan klasik. Hal ini disebabkan karena nilai dugaan α dan
β relative kecil dibandingkan dengan nilai n i iy sehingga bobot untuk yaitu
0,500
0,550
0,600
0,650
0,700
0,750
0,800
0,850
0,900
0,950
1,00010 30 50 70 80 10
0
120
140
160
180
200
220
240
250
Kecamatan
proporsi
Dugaan Angka Melek Huruf
0,00E+00
2,00E-02
4,00E-02
6,00E-02
8,00E-02
1,00E-01
1,20E-01
1,40E-01
10 30 50 70 80 100120140160180200220240250
Kecamatan
Dugaan KTG
KTG
0,700
0,750
0,800
0,850
0,900
0,950
1,000
10 30 50 70 90 110
130
150
170
190
210
230
Kecamatan
proporsi
Dugaan Angka Melek Huruf
0,00E+00
2,00E-02
4,00E-02
6,00E-02
8,00E-02
1,00E-01
1,20E-01
1,40E-01
1,60E-01
1,80E-01
10 30 50 70 90 110
130
150
170
190
210
230
Kecamatan
Dugaan KTG
KTG
46
( )βαγ ˆˆ/ˆ ++= iii nn sangat besar (sekitar 0.905). Demikian juga untuk pendugaan
Bayes Empirik dengan sebaran prior logit normal, bobot untuk komponen
populasi terlalu kecil sehingga sebaran prior tidak terlalu berpengaruh kepada
penduga Bayes.
Nilai pendugaan KTG pendugaan langsung cenderung rendah, baik untuk
pendugaan berbasis sebaran prior Beta maupun sebaran logit normal. Nilai KTG
untuk pendugaan angka melek huruf di kecamatan Batuputih jauh lebih tinggi
dibandingkan kecamatan yang lain karena nilai dugaan angka melek huruf di
Kecamatan Batuputih sangat rendah dibandingkan dengan kecamatan lainnya.
Tabel 3.2 menunjukkan rata-rata pendugaan angka melek huruf dan KTG
kecamatan di Kabupeten Sumenep dan kabupaten Pasuruan menggunakan
pendekatan Bayes.
Tabel 3.2. Rata-rata pendugaan angka melek huruf dan KTG kecamatan di Kabupeten Sumenep dan kabupaten Pasuruan menggunakan pendekatan Bayes
Metode
Kabupaten Sumenep Kabupaten Pasuruan
Rata-rata Kecamatan
Rata-rata KTG
Rata-rata Kecamatan
Rata-rata KTG
Pendugaan langsung
- Prior Beta 0,7789 0,0019 0,9034 0,0009
- Prior Logit-normal 0,7794 0,0026 0,9046 0,0012
Pendugaan Tak langsung (Model –logit normal) 0,827 0,027 0,927 0,036
Tabel 3.2 di atas menunjukkan bahwa pendugaan Bayes berbasis model
menunjukkan perbedaan yang cukup signifikan dengan metode tak langsung
baik melalui pendekatan klasik maupun Bayes.
Keberadaan peubah penyerta yaitu usia dan jenis kelamin sangat
berpengaruh pada penduga pi, karena bobot untuk komponen model lebih
dominan dibandingkan dengan bobot untuk komponen penduga langsung
disebabkan oleh kecilnya sampling fraction (f i=ni/Ni).