BAB IIPENGANTAR PROBABILITAS

Untuk mengetahui karakteristik suatu populasi sering dilakukan dengan menganalisis hanya sebagian data saja (atau sering disebut dengan sampel). Berdasarkan informasi yang terkandung dalam sampel, dilakukan pengambilan kesimpulan terhadap populasinya. Dasar logika dari proses pengambilan kesimpulan tentang suatu populasi dengan menganalisis data sampel adalah probabilitas. Oleh karena itu, pemahaman tentang teori probabilitas sangat diperlukan dan bersifat mendasar.

Kata “probabilitas” atau “peluang” adalah kata yang biasa dipakai dalam kehidupan sehari-hari. Suatu peristiwa yang mempunyai probabilitas untuk terjadi mengandung arti bahwa ada harapan peristiwa itu akan terjadi. Jika ada kepastian bahwa suatu peristiwa akan terjadi, maka peluang terjadinya peristiwa itu adalah 1. Jika tidak ada peluang sama sekali bahwa suatu peristiwa akan terjadi, maka peluangnya adalah 0.

Konsep probabilitas berhubungan dengan pengertian eksperimen atau percobaan yang menghasilkan “hasil” yang tidak pasti. Artinya, eksperimen yang diulang-ulang dalam kondisi yang sama akan memberikan “hasil” yang dapat berbeda-beda. Beberapa contoh eksperimen statistik adalah sebagai berikut :- Percobaan : pengukuran waktu reaksi kimia

Hasil : lama reaksi,- Percobaan : pengamatan sekumpulan hasil produksi

Hasil : banyaknya produk cacat dalam kumpulan produk itu.

Beberapa definisi Ruang sampel (sample space) :

Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Titik sampel :

Setiap unsur / elemen / anggota dari ruang sampel. Kejadian :

Hasil dari suatu percobaan yang mempunyai sifat tertentu.Himpunan bagian dari ruang sampel.

CONTOH 1: Dua buah uang logam dilemparkan. Tentukan yang dimaksud dengan percobaan, ruang sampel, dan titik sampelnya ! Serta berikan contoh tentang kejadian !

Jawab :Percobaan : pelemparan dua buah uang logamRuang sampel :

S = {AA, AG, GA, GG}Terdapat empat titik sampel, yaitu : AA, AG, GA, GGKejadian :

D = paling sedikit satu gambar munculD = {AG, GA, GG}.

10

2.1. MENCACAH TITIK SAMPEL

Kaidah Penggandaan

Bila suatu operasi dapat dilakukan dalam n1 cara, bila untuk setiap cara tersebut operasi kedua tersebut dapat dilakukan dalam n2 cara, bila untuk setiap pasangan dua cara yang pertama operasi ketiga dapat dilakukan dengan n3 cara, dan seterusnya, maka k operasi dalam urutan tersebut dapat dilakukan dalam n1 n2 … nk

cara.

CONTOH 2 :Bila sepasang dadu dilemparkan sekali, berapa banyaknya titik sampel dalam ruang sampelnya ?

Jawab :Dadu pertama dapat menghasilkan n1 = 6 cara. Untuk setiap cara tersebut dadu kedua dapat menghasilkan n2 = 6 cara. Dengan demikian, sepasang dadu tersebut dapat menghasilkan n1 x n2 = 6 x 6 = 36 cara.

CONTOH 3 :Berapa banyak bilangan genap, terdiri atas tiga angka yang dapat dibentuk dari angka-angka 1, 2, 5, 6, dan 9, bila setiap angka tersebut hanya boleh digunakan sekali ?

Jawab :Karena bilangan genap yang terdiri atas tiga angka ditentukan oleh angka yang menduduki posisi satuan, maka terdapat 2 pilihan angka. Untuk setiap pilihan tersebut, tersedia 4 pilihan bagi posisi ratusan dan 3 pilihan bagi posisi puluhan. Dengan demikian, terdapat (2) (4) (3) = 24 bilangan genap yang terdiri dri tiga angka.

Permutasi

Adalah susunan yang dibentuk dari suatu kumpulan obyek yang diambil sebagian atau seluruhnya. Banyaknya permutasi n obyek yang berbeda adalah n(n - 1)(n - 2)…3 2 1

= n! Banyaknya permutasi akibat pengambilan r obyek dari n obyek yang berbeda,

untuk r n, adalah n(n-1)(n-2)…(n-(r-1)) = nPr = n! / (n-r)! Banyaknya permutasi n benda berlainan yang disusun melingkar adalah (n - 1)! Banyaknya permutasi yang berbeda dari n benda yang n1 diantaranya berjenis

pertama, n2 berjenis kedua, … , nk berjenis ke-k adalah n!

n1! n2 ! … nk !dengan n1 + n2 + … + nk = n.

CONTOH 4:a. Berapa banyak susunan berbeda huruf-huruf A, B, C bisa dibentuk, bila masing-

masing huruf hanya boleh digunakan sekali ? b. Bila diambil dua huruf dari tiga huruf tsb., maka berapa susunan huruf berbeda yang

mungkin dibentuk ?

Jawab :11

a. (3) (2) (1) = 6 cara.b. (3) (2) = 6 cara.

CONTOH 5 :a. Tersedia empat angka : 1, 2, 3, 4. Berapa bilangan yang dapat dibuat dari semua angka

tersebut ?b. Bila diambil dua angka dari empat angka, maka berapakah susunan angka berbeda

yang mungkin dibentuk ?

Jawab :a. (4) (3) (2) (1) = 4 ! = 24 bilangan.b. 4P2 = (4!) / ((4-2)!) = 12 susunan angka.

CONTOH 6 :Berapa macam permutasi yang berlainankah yang dapat disusun dari kata ‘matematika’ ?

Jawab : 10 ! = 453600 macam

2! 2! 2! 1! 1! 1! 1!

Kombinasi

Adalah banyaknya cara mengambil r obyek dari n obyek tanpa memperhatikan urutan. Kombinasi adalah membuat sekatan dengan 2 sel. Satu sel berisi r benda yang

dipilih dan sel yang lain berisi n-r benda yang tidak terpilih. Banyaknya kombinasi r obyek dari n obyek yang berbeda adalah

CONTOH 7 :Dalam berapa cara 2 pertanyaan dalam soal ujian dapat dipilih, dari 3 pertanyaan yang disediakan ?

Jawab :Banyaknya cara memilih 2 dari 3 soal ujian

2.2. PROBABILITAS SUATU KEJADIAN

Kemungkinan terjadinya suatu kejadian sebagai hasil percobaan statistika dinilai dengan menggunakan bil real yang disebut bobot atau probabilitas (peluang) dengan nilai dari 0 sampai 1.

Untuk tiap titik pada ruang sampel dikaitkan dengan suatu bobot sedemikian hingga jumlah semua bobot sama dengan 1.

Bila titik sampel tertentu mempunyai kemungkinan besar untuk terjadi, maka bobot yang diberikan hendaknya dekat dengan 1. Sebaliknya, bobot yang lebih dekat dengan 0 diberikan pada titik sampel yang kecil kemungkinannya terjadi.

Probabilitas suatu kejadian A adalah :

12

Jumlah bobot semua titik sampel yang termasuk dalam A. Jadi : 0 P(A) 1

P() = 0P(S) = 1

CONTOH 8 :Sekeping uang logam setimbang dilemparkan dua kali. Berapakah probabilitasnya sekurang-kurangnya sisi gambar muncul sekali ?

Jawab :Ruang sampel percobaan ini adalah :

S = {AA, AG, GA, GG}Bila D menyatakan kejadian bahwa sekurang-kurangnya sisi gambar muncul sekali, maka

D = {GA, AG, GG} P(D) = ¼ + ¼ + ¼ = ¾

Bila suatu percobaan mempunyai N hasil percobaan yang berbeda, dan masing-masing mempunyai kemungkinan sama untuk terjadi, dan bila tepat n di antara hasil percobaan itu menyusun kejadian A, maka probabilitas kejadian A adalah :

P(A) = n/N

CONTOH 9 :Sekantung obat berisi 6 vitamin rasa jeruk, 4 rasa anggur, dan 3 rasa strawberi. Bila seseorang mengambil satu obat secara acak, carilah probabilitasnya mendapat :a. Satu rasa jerukb. Satu rasa anggur atau strawberi.

Jawab :Misalkan J, A, dan S masing-masing menyatakan kejadian bahwa yang terpilih adalah rasa teruk, anggur dan strawberi. Jumlah tablet 13, semuanya terpilih dengan probabilitas yang sama.a. Karena 6 dari 13 tablet dengan rasa jeruk, maka probabilitas kejadian J, satu rasa j eruk terpilih secara acak

P(J) = 6/13b. Karena 7 dari 13 tablet dengan rasa anggur atau strawberi, maka

P(A B) = 7/13

Definisi probabilitas berdasarkan frekuensi relatif :Penentuan probabilitas didasarkan atas pengetahuan sebelumnya atau berdasarkan bukti percobaan.Penentuan probabilitas didasarkan atas frekuensi relatif dari terjadinya kejadian apabila banyaknya pengamatan sangat besar.

Definisi probabilitas berdasarkan subyektivitas :Penentuan probabilitas didasarkan atas intuisi, keyakinan pribadi, & informasi tidak langsung lain.

2.3. ATURAN PENJUMLAHAN

Bila A dan B adalah dua kejadian sembarang, maka P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

13

Bila A dan B adalah dua kejadian yang saling terpisah (mutually exclusive), maka P(A B) = P(A) + P(B)

Bila A, B, C adalah tiga kejadian sembarang, maka P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A B) – P(A C) – P(B C)

+ P(A B C)

Bila A1, A2,.…, An adalah kejadian-kejadian yang saling terpisah, maka P(A1 A2 … An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An)

Bila A dan A’ adalah dua kejadian berkomplementer, maka P(A) + P(A’) = 1

CONTOH 10 :Peluang seorang mahasiswa lulus matematika 2/3 dan peluangnya lulus statistika 4/9. Bila peluang lulus kedua mata kuliah ¼, berapakah peluangnya lulus paling sedikit satu mata kuliah ?

Jawab : Bila M menyatakan kejadian ‘lulus Matematika’ dan S ‘lulus statistika’ maka

P(M S) = P(M) + P(S) – P(M S) = 2/3 + 4/9 – ¼ =31/36

CONTOH 11 :Berapakah probabilitas mendapat 7 atau 11 bila dua dadu dilemparkan ?

Jawab :Misalkan A kejadian jumlah 7 muncul, dan B kejadian jumlah 11 muncul. Jumlah 7 dapat muncul dalam 6 dari 36 titik sampel dan jumlah 11 dalam 2 titik sampel. Karena semua titik berkemungkinan sama maka P(A) = 6/36 = 1/6. dan P(b) = 2/36 = 1/18. Kejadian A dan B saling terpisah karena jumlah 7 dan 11 tidak mungkin terjadi pada lemparan yang sama, sehingga

P(A B) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/18 = 2/9

2.4. PROBABILITAS BERSYARAT DAN INDEPENDENSI

PENGERTIAN :Probabilitas terjadinya suatu kejadian B bila diketahui bahwa kejadian A telah terjadi disebut probabilitas bersyarat dan dinyatakan dengan P(B|A). Lambang P(B|A) biasanya dibaca “peluang B terjadi bila diketahui A terjadi” atau lebih sederhana lagi “peluang B, bila A diketahui”.

Definisi 1 :Peluang bersyarat B bila A diketahui, dinyatakan dengan P(B|A), ditentukan oleh :

14

CONTOH 12 :1. Probabilitas suatu penerbangan yang telah terjadual teratur berangkat tepat

waktu P(B) = 0,83; probabilitas sampai tepat waktu P(S) = 0,82; dan probabilitas berangkat dan sampai tepat waktu P(B S) = 0,78. Carilah probabilitas bahwa pesawat :a. sampai tepat waktu apabila diketahui berangkat tepat waktu, b. berangkat tepat waktu jika diketahui sampai tepat waktu.

Jawab :a. Probabilitas pesawat sampai tepat waktu jika diketahui berangkat tepat waktu

adalah :

b. Probabilitas pesawat berangkat tepat waktu apabila diketahui sampai tepat waktu adalah :

Definisi 2 :Dua kejadian A dan B bebas jika dan hanya jika :

P(B|A) = P(B)dan

P(A|B) = P(A).Jika tidak demikian, maka A dan B tak bebas.

CONTOH 13 :Misalkan diberikan suatu percobaan yang berkaitan dengan pengambilan 2 kartu yang diambil berturutan dari sekotak kartu dengan pengembalian. Kejadian ditentukan sebagai :

A = kartu pertama yang terambil as,B = kartu kedua sebuah skop (spade).

Karena kartu pertama dikembalikan, ruang sampel untuk kedua pengambilan terdiri dari 52 kartu, berisi 4 as dan 13 skop. Jadi

dan

Jadi, P(B|A) = P(B). Apabila hal ini benar, maka kejadian A dan B dikatakan bebas (independent).

Definisi 3 :Bila dalam suatu percobaan A dan B dapat terjadi sekaligus, maka :

P(A B) = P(A) P(BA)P(A B) = P(B) P(AB)

CONTOH 14:Suatu kantong berisi 4 bola merah dan 3 bola hitam, dan kantong kedua berisi 3 bola merah dan 5 bola hitam. Satu bola diambil dari kantong pertama dan dimasukkan tanpa

15

melihatnya ke kantong kedua. Berapakah probabilitas apabila sekarang diambil bola hitam dari kantong kedua ?

Jawab :Misalkan H1, H2, dan M1 masing-masing menyatakan mengambil 1 bola hitam dari kantong 1, 1 bola hitam dari kantong 2, dan 1 bola merah dari kantong 1. Ingin diketahui gabungan dari kejadian mutually exclusive H1 H2 dan M1 H2. Berbagai kemungkinan dan probabilitasnya diperlihatkan pada Gambar di bawah ini.

Selanjutnya,

Definisi 4 :Bila 2 kejadian A dan B bebas, maka :

P(A B) = P(A) P(B)

CONTOH 15 :Suatu kota kecil mempunyai sebuah mobil pemadam kebakaran dan sebuah ambulans untuk keadaan darurat. Probabilitas mobil pemadam kebakaran siap setiap waktu

16

Kantong 14M, 3H

Kantong 23M, 6H

Kantong 24M, 5H

H

3/7

M

4/9

M

4/7

M

3/9

H

6/9

H

5/9

95

74

21 HMP

93

73

21 MHP

94

74

21 MMP

diperlukan adalah 0,98; probabilitas mobil ambulans siap setiap waktu dipanggil adalah 0,92. Jika dalam kejadian ada kecelakaan karena kebakaran gedung, maka carilah probabilitas keduanya siap.

Jawab : Misalkan A dan B masing-masing menyatakan Kejadian mobil pemadam kebakaran dan ambulans siap. Oleh karena itu,

P(A B) = P(A) P(B) = (0,98)(0,92) = 0,9016.

Definisi 5 :Bila dalam suatu percobaan kejadian-kejadian A1, A2, …, Ak dapat terjadi, maka :

P(A1A2 …Ak) = P(A1).P(A2A1).P(A3 A1A2). P(Ak A1A2 … Ak-1)

CONTOH 16 :Tiga kartu diambil satu persatu tanpa pengembalian dari sekotak kartu (yang berisi 52 kartu). Carilah probabilitas bahwa kejadian A1 A2 A3 terjadi, apabila A1 kejadian bahwa kartu pertama as berwarna merah, A2 kejadian bahwa kartu kedua 10 atau jack, dan A3 kejadian bahwa kartu ketiga lebih besar dari 3 tetapi lebih kecil dari 7.

Jawab :Diketahui bahwa :

A1 : kartu pertama as berwarna merah,A2 : kartu kedua 10 atau jack,A3 : kartu ketiga lebih besar dari 3 tetapi lebih kecil dari 7.Selanjutnya,

sehingga diperoleh bahwa :

Definisi 5 :Bila A1, A2, …, Ak saling bebas, maka :

P(A1A2 …Ak) = P(A1).P(A2).P(A3) … P(Ak)

Teorema :Bila kejadian B1, B2, …, Bk merupakan partisi dari ruang sampel S dengan P(Bi) 0 untuk i = 1, 2, …, k, maka untuk setiap kejadian A anggota S :

17

atau P(A) = P(B1)P(AB1) + P(B2)P(AB2) +… + P(Bk)P(ABk)

BUKTI :Perhatikan diagram Venn pada Gambar di bawah ini. Terlihat bahwa kejadian A merupakan gabungan dari sejumlah kejadian yang mutually exclusive B1 A, B2

A, …, Bk A, yaitu :A = (B1 A) (B2 A) … (Bk A).

Dengan menggunakan pernyataan yang mengatakan bahwa : Apabila E1, E2,…, Ek kejadian yang disjoint, maka P(E1 E2 … Ek) = P(E1) + P(E2) + … + P(Ek).sertaApabila kejadian E1 dan E2 dapat terjadi pada suatu percobaan, maka P(E1 E2) = P(E1)P(E2| E1). Sehingga diperoleh :

P(A) = P[(B1 A) (B2 A) … (Bk A)] = P(B1 A) + P(B2 A) + … + P(Bk A)

=

CONTOH 17 :Tiga anggota koperasi dicalonkan menjadi ketua. Probabilitas Pak Ali terpilih adalah 0,3; probabilitas Pak Badu terpilih adalah 0,5; sedangkan probabilitas Pak Cokro adalah 0,2. Apabila Pak Ali terpilih, maka probabilitas kenaikan iuran koperasi adalah 0,8. Apabila Pak Badu atau Pak Cokro yang terpilih, maka probabilitas kenaikan iuran adalah masing-masing 0,1 dan 0,4. Berapakah probabilitas iuran akan naik ?Jawab :

Perhatikan kejadian sebagai berikut.A = Orang yang terpilih menaikkan iuranB1 = Pak Ali yang terpilihB2 = Pak Badu yang terpilihB3 = Pak Cokro yang terpilih.

Berdasarkan teorema jumlah probabilitas, maka diperoleh :18

A

B1

B2

Bk

B3

B4

P(A) = P(B1)P(A|B1)+ P(B2)P(A|B2)+ P(B3)P(A|B3)Dengan melihat diagram pohon pada Gambar di bawah ini, terlihat bahwa ketiga cabang mempunyai probabilitas

P(B1)P(A|B1) = (0,3)(0,8) = 0,24P(B2)P(A|B2) = (0,5)(0,1) = 0,05P(B3)P(A|B3) = (0,2)(0,4) = 0,08.

Jadi P(A) = 0,24 + 0,05 + 0,08 = 0,37.

2.5. KAIDAH BAYES

Misalkan kejadian B1, B2, …, Bk merupakan suatu partisi dari ruang sampel S dengan P(Bi) 0 untuk i = 1, 2, …, k. Misalkan A suatu kejadian sebarang dalam S dengan P(A) 0, maka :

untuk r = 1, 2, …, k.

BUKTI :Menurut definisi probabilitas bersyarat :

selanjutnya,

sehingga diperoleh :

.

CONTOH 18 :19

B2

P(B2)=0,5 A

B3

P(A|B2)=0,1

P(A|B3)=0,4

P(A|B1)=0,8B1 A

A

P(B1)=0,3

P(B3)=0,2

Kembali ke contoh sebelumnya (CONTOH 17), apabila seseorang merencanakan masuk menjadi anggota koperasi tersebut, tetapi menundanya beberapa minggu dan kemudian mengetahui bahwa iuran telah naik, berapakah probabilitas Pak Cokro terpilih menjadi ketua ?

Jawab :Dengan menggunakan Kaidah Bayes, diperoleh bahwa :

Selanjutnya, masukkan probabilitas yang telah dihitung pada contoh sebelumnya, sehingga diperoleh :

Berdasarkan kenyataan bahwa iuran telah naik, maka hasil ini menunjukkan bahwa kemungkinan besar bukan Pak Cokro yang sekarang menjadi ketua koperasi tersebut.

SOAL-SOAL LATIHAN :

1. Misalkan tiga produk diambil secara acak dari proses produksi di pabrik, kemudian setiap produk diperiksa dan digolongkan sebagai cacat (C) dan tidak cacat (B). Tentukan yang dimaksud dengan percobaan, ruang sampel, dan titik sampelnya ! Beri contoh kejadian !

2. Dalam kedokteran dikenal 8 golongan darah, yaitu AB+, AB-, A+, A-, B+, B-, O+, O-; selain itu tekanan darah dikelompokkan atas rendah, normal, dan tinggi. Berdasarkan kedua hal itu ada berapa cara seorang pasien dapat dikelompokkan ?

3. Dalam berapa cara kata “statitika’ dapat dipermutasikan ?

4. Sebuah panitia 3 orang hendak dibentuk dari sejumlah 20 orang. Berapa banyak panitia yang dapat dibentuk ?

5. Terdapat 20 nomor lotere. Ada berapa cara berbeda, bila 2 nomor diambil untuk hadiah pertama dan kedua ?

6. Sebuah sampel harus terdiri dari 5 orang responden. Jika responden tersebut harus dipilih dari suatu populasi yang terdiri dari 6 pria dan 3 wanita, dalam berapa cara sampel diatas dapat dipilih jika harus memiliki komposisi paling sedikit 3 orang responden pria ?

7. Satu tas berisi 2 botol (kecil) aspirin dan 3 botol obat masuk angin. Tas kedua berisi 3 botol aspirin, 2 botol masuk angin dan 1 botol obat rematik. Bila 1 botol diambil secara acak dari setiap tas, carilah probailitas bahwa :a. kedua botol berisi obat masuk anginb. tidak ada botol yang berisi obat masuk angin c. kedua botol berisi obat yang berlainan.

8. Dari 500 mahasiswa tingkat pertama suatu universitas, ternyata 210 mengambil mata kuliah Matematika, 258 mengambil Statistika, 216 mengambil Fisika, 122 mengambil Matematika dan Statistika, 83 mengambil

20

Statistika dan Fisika, 97 mengambil Matematika dan Fisika, dan 52 mengambil ketiga mata kuliah. Bila seorang mahasiswa dipilih secara acak di universitas tersebut, berapa probabilitas bahwa mahasiswa itu a. mengambil Matematika tapi tidak Statistikab. mengambil Fisika dan Statistika, tapi tidak Matematikac. mengambil Statistika atau Fisika.

9. Dalam suatu kotak terdapat 6 obat yang berwarna putih dan 4 obat yang berwarna kuning. Apabila dari kotak tersebut diambil satu per satu secara acak sebanyak 3, hitunglah probailitas mendapatkan semuanya berwarna putih, bila dilakukan dengan :b. dengan pengembalianc. tanpa pengembalian.

10. Peluang Tom masih hidup dalam 20 tahun mendatang adalah 0,7 dan peluang Nancy masih hidup dalam 20 tahun mendatang adalah 0,9. Berapakah peluang bahwa keduanya akan meninggal dalam 20 tahun mendatang ?

11. Dalam suatu penelitian untuk mengetahui pengaruh hipertensi pada kebiasaan merokok, dikumpulkan data yang menyangkut 180 orang.

Bukan perokok

Perokok sedang

Perokok berat

Hipertensi 21 36 30Tidak hipertensi 48 26 19

Bila seseorang diambil secara acak dari kelompok ini, carilah peluang bahwa orang itu a. menderita hipertensi, bila diketahui dia perokok berat. b. bukan perokok, bila diketahui dia tidak menderita hipertensi.

12. Peluang seorang dokter dengan tepat mendiagnosis sejenis penyakit tertentu 0,7. Bila diketahui dokter tadi salah mendiagnosis, peluang pasien akan menuntut ke pengadilan 0,9. Berapakah peluang dokter tersebut salah mendiagnosis dan pasien menuntutnya ?

13. Di suatu daerah, dari pengalaman lalu diketahui bahwa peluang orang dewasa yang berumur di atas 40 tahun menderita kanker adalah 0,02. Peluang seorang dokter mendiagnosis penderita kanker secara tepat sebagai penderita adalah 0,78, dan peluang mendiagnosis bukan penderita kanker secara salah sebagai penderita adalah 0,06.a. Tentukan peluang bahwa hasil diagnosis bagi

seseorang mengatakan bahwa ia menderita kanker.b. Tentukan berapa peluang seorang yang

didiagnosa terserang kanker memang terserang kanker.

21