BAB II

PELUANG

A.Kaidah Pencacahan

Jika seseorang memiliki dua baju (a,b), tiga celana (x,y,z ) dan satu sepatu ( p ),maka

banyaknya cara ia dapat memasangkan ketiganya adalah :

(i) Diagram Pohon

baju celana sepatu pasangan

x p axpa y p ayp

z p azp

x p bxpb y p byp

z p bzp

Jumlah 6 pasang

(ii) Diagram kotak

baju celana sepatu pasangan

2 3 1 2.3.1 = 6

B. Pengisian Tempat

Bila suatu kegiatan pertama dapat dikerjakan dengan k1 cara yang berbeda dan kegiatan

kedua dapat dikerjakan dengan k2 cara yang berbeda dan seterusnya , maka kegiatan –

kegiatan tersebut dapat dikerjakan secara berurutan dalam :

k1 x k2 x …x kn cara yang berbeda.

Contoh 1:

Terdapat angka 3, 4, 5, 6 dan 7 , akan disusun bilangan yang terdiri dari tiga bilangan

dan ketiga bilangan tersebut adalah bilangan genap.Berapa bilangan yang dapat disusun

bila :

a. angka – angka itu boleh ada yang sama;

b. angka – angka itu tidak boleh ada yang sama .

Jawab :

a ( boleh ada angka yang sama )

I II III

Kotak I dapat diisi dengan 5 cara yang berbeda.

Kotak II dapat diisi dengan 5 cara yang berbeda

Kotak III dapat diisi dengan 2 cara ( karena bilangan yang akan dibentuk merupakan

bilangan genap sehingga kotak III hanya mungkin diisi dengan angka 4 atau 6 )

Jadi banyaknya bilangan genap yang dapat dibentuk adalah 5 x 5 x 2 = 50 cara.

b. Jika angka – angka yang dibentuk tidak boleh ada angka yang sama, maka tentukan

dulu untuk satuan sehingga ketiga bilangan menjadi bilangan genap.

Kotak III dapat diisi oleh 4 atau 6

Kotak II dapat disi oleh 4 cara yang berbeda ;

Kotak I dapat diisi oleh 3 cara yang berbeda.

Jadi banyaknya cara menyusun tiga angka yang merupakan bilangan ganjil dari angka

– angka tersebut dengan semua angka berbeda adalah : 3 x 4 x 2 = 24 cara.

C. Notasi Faktorial

n! = n(n-1)(n-2)...1; n! dibaca “ n faktorial “

0! = 1! = 1

Contoh 2 :

Tentukan nilai dari :

1. 5! = 5.4.3.2.1 = 120

2. 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

3.

UJI KOMPETENSI 1

1. Hitunglah !

a. 6! b 10! c. d. 5! – 4!

Jawab :

2. Susunanlah bilangan yang kurang dari 1000 dari angka – angka 1, 2,3, 4, 5, 6 dan 7

jika tidak ada angka yang berulang!

Jawab :

3. Berapa macam susunan huruf yang dapat dibentuk oleh huruf – huruf pada kata

DOMAIN tanpa ada pengulangan , jika :

a. huruf pertama adalah huruf vokal ;

b. huruf ketiga adalah huruf konsonan ;

c. huruf pertama, ketiga dan kelima adalah vokal !

Jawab :

4. Seorang atlet memiliki 4 jaket sport , 5 celana sport dan 3 sepatu sport. Berapa banyak

cara memakai pasangan jaket, celana dan sepatu tersebut ?

Jawab :

5. Pengurus sutuatu kelas yang terdiri dari satu laki-laki dan satu perempuan akan dipilih

dari 10 siswa dan 6 siswi . Berapa banyak cara untuk membentuk pengurus kelas

tersebut ?

Jawab :

D. Permutasi

Permutasi didefinisikan sebagai suatu susunan unsur – unsur yang tidak memperhatikan

urutan.

Permutasi n unsur : Pn

Permutasi r unsur dari n unsur yang tersedia dinotasikan : dimana :

Conoh 3:

1. Tentukan banyaknya cara menyusun bilangan dari tiga angka ( 2, 3,4) jika :

a.tidak boleh ada angka yang sama ;

b.boleh ada angka yang sama.

Jawab:

a.

b.

2. Tentukan banyaknya cara menyusun pengurus kelas ( ketua, wakil ketua dan

sekretaris) pada suatu pemilihan jika calon 5 calon pengurus !

Jawab :

cara.

E. Permutasi n unsur dengan dengan beberapa unsur yang sama

Permutasi n unsur dengan k,l,m yang sama :

Contoh 4 :

Tentukan banyaknya permutasi dari kata berikut :

a. BATUBATA

b. MATEMATIKA ( permutasi 4 huruf )

Jawab:

a. n = 8; B = 2; A = 3; T = 2

b. n = 10; M = 2; A = 3; T = 2;

F. Permutasi Siklis

Permutasi siklis adalah permutasi unsur – unsur yang secara melingkar.

Contoh 5:

Empat orang duduk mengelilingi meja bundar , maka banyaknya cara keempat orang

duduk dengan formasi berbeda adalah:

Jawab :

fomasi.

UJI KOMPETENSI 2

1. Tentukan nilai dari :

a. 6P2 b. 5P4 c. 10P4

Jawab :

2. Berapa banyak susunan yang berbeda yang dibuat dari huruf-huruf pada kata berikut :

a. KELELAWAR b. SURAKARTA

Jawab :

3. Diketahui 8 orang duduk mengelilingi suatu meja , ada berapa cara mereka duduk apa

bila ada 2 orang yang harus selalu berdampingan ?

Jawab :

4. Tentukan nilai n pada pernyataan berikut !

a. b. c.

Jawab :

5. 6 pemuda dan 3 pemudi akan duduk berjajar pada sebuah bangku. Berapa macam posisi

duduk yang mungkin jika yang menempati bagian pinggir hanya pemuda saja ?

Jawab :

G. Kombinasi

Kombinasi adalah susunan unsur-unsur tanpa memperhatikan urutannya.

Kombinasi r unsur dari n unsur adalah

Contoh 6:

Sebuah kelas akan mengirimkan anggota kelasnya untuk mengikuti lomba cerdas

cermat. Ada berapa cara mengirimkan utusan jika terdapat 5 calon ?

Jawab:

UJI KOMPETENSI 3

1. Hitunglah tiap bentuk kombinasi berikut !

a. b. c. d.

Jawab :

2. Tentukan nilai n dari :

a. nC4 = nC3 b. nC2 = 105 d. 2nC5 = 2nP4

Jawab :

3. Dari 8 pelajar akan dipilih 5 pelajar untuk mengikuti jambore pramuka . Berapa banyak

cara memilih pelajar tersebut !

Jawab :

4. Berapa banyak susunan tim bola volley dari 12 pemain yang tersedia ?Jawab :

5. Dari 20 penari di suatu sanggar , pada saat yang bersamaan mereka melakukan

pertunjukan di hotel A sebanyak 5 penari dan di hotel B sebanyak 9 penari . Berapa

macam komposisi penari yang menari di kedua tempat tersebut?

Jawab:

H. Peluang suatu kejadian

Peluang kejadian A Peluang Koplemen A ( bukan A )

P(A) = P(Ac) =1 – P(A)

~ P(A) = peluang kejadian A

~ n(A) = banyak anggota A

~ n(S) = banyak anggota S

~ S = himpunan dari semua kejadian yang mungkin dalam suatu percobaan.

~ A = himpunan bagian dari S yang menyatakan suatu kejadian dari suatu percobaan.

Contoh 7 :

Pada pemilihan ketua RT dengan calon sebanyak 4 orang yaitu : Anto, Ahmad, Carli

dan Dede.

Tentukan :

a. Peluang terpilihnya ketua RT dengan huruf depan A ;

b. Peluang terpilihnya ketua RT dengan huruf depan bukan A!

Jawab:

S = { Anto, Ahmad, Carli, Dede } , maka n(S) = 4

A = Kejian terpilihnya ketua RT dengan huruf depan A , maka A = { Anto, Ahmad}

n(A) = 2

a. P(A) = =

b. P(Ac) = 1 – P(A) = 1-

I. Frekuensi Harapan ( fh ) Suatu Kejadian

Frkuensi harapan adalah banyaknya suatu kejadian yang mungkin diharapkan muncul

dari n buah percobaan.

Dalam hal ini :

~ fh (A) = frekuensi A yang diharapkan muncul n adalah banyaknya percobaan.

Contoh 8:

Dari 60 kali pelemparan dua keping uang logam . Berapa kali diharapkan muncul dua

sisi yang sama ?

Jawab:

S = { AA, AG, GA, GG } ,

A = { AA, GG }

Sehingga peluang P (A) = dan ;

fh (A) = 60 . = 30

J. Kejadian Majemuk

1. Peluang Dua Kejadian

Jika A dan B adalah dua kejadian pada ruang sampel S, paluang kejadian A atau B

( ditulis ) adalah :

fh (A) = n. P(A)

Contoh 9:

Sebuah kartu diambil secara acak dari kotak yang berisi seperangkat kartu yang sama

bentuknya bernomor 1 sampai dengan 8. Misalnya A adalah kejadian terambilnya kartu

bernomor genap dan B adalah kejadian terambilnya kartu bernomor prima. Tentukan

peluang kejadian A atau B !

Jawab :

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } ,

A = { 2, 4, 6, 8 } , maka

B = { 2, 3, 5, 7 } , maka

, maka

Sehingga :

2. Kejadian Saling Lepas

Jika A dan B dua kejadian yang saling lepas, maka berlaku :

Contoh 10:

Pada pelemparan dua buah dadu merah dan putih bersama – sama . A adalah kejadian

munculnya mata dadu berjumlah 5 dan B adalah kejadian muncul mata dadu berjumlah

10. Hitung peluang kejadian A atau B !

Jawab :

S = { (1,1),(1,2),(1,3),…,(6,5),(6,6)}

A = {(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}

B = { (4,6).(5,5),(6,4) }

Karena , maka A dan B saling lepas.

Jadi peluang kejadian A atau B adalah

3. Dua Kejadian yang Saling Bebas

Dua kejadian A dan B dikatakan dua kejadian yang saling bebas jika :

Contoh 11 :

Pada pelemparan dua dadu sekaligus , tentukan kejadian A dan kejadian B sebagai

beriku :

A = kejadian muncul mata dadu pertama genap

B = kejadian mata dadu kedua bernomor 6.

Apakah A dan B saling bebas ? tentukan peluang kejadian A dan kejadian B !

Jawab :

S = { (1,1),(1,2),(1,3),…,(6,5),(6,6)}

A = { (2,1),(2,2),….,(6,5),(6,6)}

B = { (1,6),(2,6),…,(5,6),(66)}

Sehingga :

………………(

P(A

………… (

Karena , maka A dan B dua kejadian yang saling bebas.

4. Kejadian Bersyarat

Kejadian A merupakan syarat untuk terjadinya kejadian B, maka :

Contoh 12:

Sebuah kotak berisi 5 kelereng berwarna merah dan 3 kelereng berwarna putih. Dua

kelereng diambil secara acak berturut-turut dari kotak tersebut. Tentukan peluang kedua

kelereng yang terambil berwarna merah jika :

a. Pengambilan kelereng dilakukan dengan pengembalian;

b. Pengambilan kelereng dilakukan tanpa pengembalian.

Jawab :

Misalnya A kejadian pngambilan pertama kelereng berwarna merah dan B kejadian

pengambilan kedua juga diperoleh kelereng berwarna merah.Oleh karena itu, peluang

diperoleh dua kelereng berwarna merah adalah .

a. Pengambilan kelereng dilakukan dengan pengembalian , maka:

Berati

b. Pengambilan kelereng dilakukan tanpa pengembalian , maka :

Berarti ,

UJI KOMPETENSI 4

1.Sebuah kelas terdiri dari 40 siswa . 15 siswa memiliki hobi main basket, 20 siswa hobi

main volley, dan 10 siswa tidak hobi kedua-duanya .

a. Buatlah diagram Vennnya !

b. Jika dari kelas tersebut dipilih satu siswa, tentukan :

i. hobi main basket;

ii. hobi main volley;

iii. hobi main basket dan volley;

iv. hobi main basket atau main volley !

Jawab:

2. Dari setumpuk kartu bridge ( jumlah 52) . Diambil dua buah kartu sekaligus .

Tentukanpeluang terambilnya kartu :

a. hati ( heart);

b. as !

Jawab :

3. Sebuah kotak berisi 5 buah kelereng merah, 4 kelereng putih dan 3 kelereng hitam.Jika

diambil 2 kelereng sekaligus tanpa pengembalian, tentukan peluang terambilnya :

a. 2 kelereng merah;

b. 2 kelereng putih;

c. 1 kelereng merah dan 1 kelereng hitam!

Jawab :

4. Dua kubus bernomor di lempar satu kali bersama – sama. Tentukan peluang terjadinya

muncul jumlah nomor-nomor kedua kubus adalah 10 jika :

a. nomor 5 muncul pada kubus pertama;

b. paling tidak nomor 5 muncul pada sebuah kubus !

Jawab:

5. Dua kartu diambil dari satu set kartu bernomor 1 sampai dengan 20 satu persatu tanpa

pengembalian . Tentukan peluang bahwa kedua kartu yang terambil adalah;

a. kartu pertama bilangan prima dan kartu kedua bilangan genap;

b. kartu pertama bilangan paling besar 4 dan kartu kedua bilangan paling kecil 15 !

Jawab:

EVALUASI KOMPETENSI

I. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat!

1. Diketahui angka – angka 0,1,2,3,4,5 dan 6. Banyaknya penyusunan bilangan yang terdiri

atas empat angka dan tidak boleh ada angka yang berulang adalah…….

a. 720 b. 840 c. 2.401 d. 1.296 e. 2.058

2. Jika n bilangan asli yang memenuhi persamaan P(n, 5) = 2P(n, 3) , nilai 2n2 + n + 1

adalah…..

a. 55 b. 56 c. 60 d. 65 e. 70

3. Banyaknya susunan huruf – huruf yang berbeda yang dapat dibentuk dari kata "

BOROBUDUR" adalah…..

a. 22.680 b. 5.040 c. 1.296 d. 362.880 e. 24

4. Suatu pertemuan dihadiri oleh 18 peserta. Apabila peserta saling berjabat tangan ,

banyaknya jabata tangan yang terjadi adalah…..

a. 81 b. 120 c. 144 d. 153 e. 306

5. Didalam suatu kelas yang terdiri atas 40 siswa .Dari jumlah tersebut , 25 siswa gemar

matematika, 21 siswa gemar Akuntansi dan 9 siswa gemar kedua-duanya. Peluang

seorang siswa yang tidak gemar kedua-duanya adalah…..

a. b. c. d. e.

6. Sebuah kotak berisi 8 kelereng berwarna merah dan 6 kelereng berwarna biru . Jika

diambil dua kelereng satu persatu tanpa pengembalian , peluang terambil kedua-duanya

kelereng berwarna biru adalah....

a. b. c. d. e.

7. Sebuah dadu bersisi 6 dilemparkan sebanyak 600 kali . Frekuensi harapan munculnya

angka 2 atau 5 adalah……

a. 100 kali b. 200 kali c. 300 kali d. 400 kali e. 500 kali

8. Sebuah dadu bersisi 6 dilemparkan 18 kali . Frekuensi harapan munculnya angka kurang

dari 3 atau angka lebih dari 4 adalah ….

a. 6 kali b. 12 kali c. 15 kali d. 8 kali e. 4 kali

9. Sebuah mata uang dan sebuah dadu dilempar undi satu kali . Peluang munculnya angka

pada mata uang dan bilangan ganjil pada dadu adalah……

a. b. c. d. e.

10. Suatu kompetisi sepak bola diikuti 7 tim, yaitu A, B, C, D, E, F dan G. Bendera tiap tim

akan dikibarkan pada 7 tiang yang diatur dalam satu baris. Banyaknya cara untuk

mengatur agar bendera – bendera tim A dan tim B berada di ujung adalah….

a. cara b. cara c. 5! cara d. 2(5!) cara e. 2(6!) cara

11. Dari seperangkat kartu bridge diambil satu kartu secara acak , peluang terambilnya kartu

king atau as adalah….

a. b. c. 52

1d. e.

12. Tiga koin dilempar bersama satu kali. Peluang tidak satupun muncul angka adalah….

a. b. c. d. e.

13. Tiga mata uang logam dilambungkan bersama- sama . Peluang bahwa muncul paling

sedikit ada satu sisi angka adalah ….

a. b. c. d. e.

14. Diketahui P(A) = dan P( = . maka P( B | A ) adalah…..

a. b. c. d. e.

15. Sebuah kantong berisi 6 bola merah, 4 bola putih dan 8 bola biru. Apabila 3 bola

diambil secara random , peluang P bahwa paling sedikit 1 merah adalah….

a. b. c. d. e.

II. Jawablah soal – soal berikut ini dengan singkat dan tepat !

1. Tiga mata uang logam dilempar bersama . Tentukan peluang muncul paling sedikit 1

angka !

Jawab :

2. Dari satu set kartu bridge diambil sebuah kartu secara acak , tentukan peluang

terambilnya kartu As atau King !

Jawab :

3. Dalam berapa cara pengurus yang terdiri dari 3 orang yang dapat dipilih dari 4 orang pria dan 4 orang wanita , jika semua berhak menjadi pengurus ?Jawab :

4. Sebuah kotak berisi 3 bola kuning , 2 bola merah, dan 4 bola hijau. Diambil 3 buah bola .

Tentukan peluang terambilnya 2 bola kuning dan 1 bola hijau jika pengambilannya satu

persatu tanpa pengembalian !

Jawab :

5. Diketahui persamaan (n + 1 )! = 10n!. Tentukan nilai !

Jawab :