bab ii landasan teori a. macam-macam sistem koordinatrepository.ump.ac.id/6804/3/alina rahmatika bab...
TRANSCRIPT
BAB II
LANDASAN TEORI
A. Macam-macam Sistem Koordinat
Allah SWT menciptakan alam semesta ini dalam keadaan yang
teratur rapi. Regularitas gerakan matahari, planet, satelit, komet dan
benda-benda langit lainnya menyebabkan gerakan benda-benda langit
tersebut dapat dipelajari dengan seksama. Dengan memahami gerakan
benda-benda langit tersebut, manusia dapat memperkirakan peristiwa-
peristiwa yang terjadi di masa depan dengan akurat. Kapan matahari
terbenam, kapan terjadi bulan purnama, kapan terjadi gerhana matahari
dan gerhana bulan dapat dihitung dengan ketelitian tinggi.
Sistem koordinat adalah suatu cara/metode untuk menentukan letak
suatu titik. Posisi benda langit seperti matahari dapat dinyatakan dalam
sistem koordinat tertentu, misalkan dalam sistem koordinat ekliptika.
Untuk memudahkan pemahaman terhadap posisi benda-benda langit,
diperkenalkan beberapa sistem koordinat.
Adapun beberapa macam sistem koordinat, antara lain:
1. Sistem Koordinat Kartesius
Untuk menyatakan posisi sebuah benda dibutuhkan suatu sistem
koordinat yang memiliki pusat koordinat dan sumbu koordinat. Sistem
koordinat yang paling dasar/sederhana adalah sistem koordinat
kartesius. Jika berbicara ruang dua dimensi, maka koordinat kartesius
5
Aplikasi Sistem Koordinat..., Alina Rahmatika, FKIP UMP, 2012
dua dimensi memiliki pusat di O dan dua sumbu koordinat yang saling
tegak lurus yaitu x dan y. Dalam gambar di bawah ini, titik P dinyatakan
dalam koordinat x dan y.
Bulan dalam berevolusi mengelilingi bumi, suatu saat bulan
berada pada arah yang berlawanan dengan matahari dan posisi
matahari, bumi dan bulan berada pada suatu garis lurus yang disebut
bulan purnama (full moon). Bulan purnama juga sering disebut dengan
istilah istiqbal. (Azhari, 2007:19)
Gambar 1. dapat digunakan untuk menentukan waktu terjadinya
bulan purnama. Waktu bulan purnama dapat dicari melalui titik potong
antara lintasan edar matahari dan bulan yang saling berpotongan. Jika
posisi matahari dan bulan pada saat bulan purnama berada pada titik
potong tersebut, maka rumus persamaan garis lurus dapat digunakan
untuk menentukan waktu terjadinya bulan purnama. Garis lurus adalah
sebuah garis yang merupakan objek geometris, jika ditempatkan pada
suatu bidang koordinat maka garis ini akan mempunyai persamaan
yaitu persamaan garis lurus. Persamaan garis lurus adalah suatu
persamaan yang jika digambarkan ke dalam bidang koordinat kartesius
Gambar 1. Sistem Koordinat Kartesius
y
x O
P
Aplikasi Sistem Koordinat..., Alina Rahmatika, FKIP UMP, 2012
akan membentuk sebuah garis lurus. Untuk mengetahui persamaan
garis lurus, maka diperlukan suatu kemiringan garis (gradien).
Gradien
Gradien suatu garis lurus adalah perbandingan antara komponen
y (ordinat) dan komponen x (absis) antara dua titik pada garis itu.
Gradien suatu garis sering disebut kecondongan sebuah garis atau
kemiringan sebuah garis dan biasanya dinotasikan dengan huruf kecil
m. Adapun garis-garis dengan beragam kemiringan yaitu jika garis
mendatar maka mempunyai kemiringan nol, garis yang naik ke kanan
mempunyai kemiringan positif dan garis yang jatuh ke kanan
mempunyai kemiringan negatif. Semakin besar kemiringannya, maka
semakin condong garis tersebut. Konsep kemiringan garis tegak tidak
mempunyai arti karena akan menyangkut pembagian dengan nol. Oleh
karena itu, kemiringan untuk garis tegak dibiarkan tak terdefinisi.
(Purcell, 2003: 25)
y
x
Q
O
x2 – x1
Gambar 2. Gradien Pada Bidang Koordinat Kartesius
P
R
y2 – y1 (x1, y1)
(x2, y2)
Aplikasi Sistem Koordinat..., Alina Rahmatika, FKIP UMP, 2012
Berdasarkan Gambar 2, menunjukkan bahwa sebuah garis lurus
pada bidang koordinat yang melalui titik P dan R. Garis lurus tersebut
dibentuk oleh titik-titik dengan koordinat (x1, y1) dan (x2, y2), maka
untuk mengetahui kemiringan suatu garis (gradien) yang mempunyai
titik P dan R dapat menggunakan perbandingan komponen y dan
komponen x sebagai berikut:
xyGradien
Komponen Komponen
=
xym
∆∆
=
m = 12
12
xxyy
−−
Jadi, kemiringan suatu garis (m) adalah .12
12
xxyy
−−
(Purcell, 2003: 24)
Gambar 3. Menunjukkan Sebuah Garis K yang Melalui Titik (1, 4) dan Titik yang Lain
x
y K
(x, y)
(1, 4)
x2 – x1
y2 – y1
Aplikasi Sistem Koordinat..., Alina Rahmatika, FKIP UMP, 2012
Berdasarkan Gambar 3 di atas, ambil sebarang titik lain pada
garis K, misalkan titik dengan koordinat (x, y). Jika titik-titik dengan
koordinat (1, 4) dan (x, y) digunakan untuk mengukur kemiringan garis
K, maka harus diperoleh m = 21 sebagai berikut:
Titik (x, y) sebagai titik (x1, y1) dan titik (1, 4) sebagai titik (x2, y2).
Gradien = xy
Komponen Komponen
m = 12
12
xxyy
−−
21 =
1 4
−−
xy
atau setelah mengalikannya dengan (x – 1) akan diperoleh persamaan:
y – 4 = )1 (21
−x
Persamaan ini dipenuhi oleh semua titik pada garis K, bahkan
oleh titik (1, 4). Selanjutnya, tak satu pun titik yang tidak terletak pada
garis tersebut dapat memenuhi persamaan tersebut. Berdasarkan contoh
pada Gambar 3 yang telah dilakukan di atas, maka dapat diperoleh
bentuk persamaan:
y - y1 = m(x – x1)
Bentuk y - y1 = m(x – x1) merupakan bentuk persamaan garis lurus yang
mempunyai gradien dan sebuah titik koordinat.
(Purcell, 2003: 25)
Aplikasi Sistem Koordinat..., Alina Rahmatika, FKIP UMP, 2012
Contoh :
Tentukan bentuk persamaan garis untuk garis yang melalui titik (3, 2)
dan mempunyai gradien 2 !
Jawab:
y - y1 = m(x – x1)
y – 2 = 2(x – 3)
y – 2 = 2x – 6
2x – 6 – y + 2 = 0
2x – y – 6 + 2 = 0
2x – y – 4 = 0
Jadi, bentuk persamaan garis lurusnya adalah 2x – y – 4 = 0.
Berdasarkan Gambar 2 dan Gambar 3, maka rumus gradien dan
bentuk persamaan garis lurus yang mempunyai gradien dan sebuah titik
koordinat yang telah diketahui dapat digunakan untuk mengetahui
bentuk persamaan garis lurus melalui dua titik dengan cara sebagai
berikut:
Rumus gradien yaitu m = 12
12
xxyy
−−
dianggap sebagai persamaan (1) dan
bentuk persamaan garis lurus yang mempunyai gradien dan sebuah titik
koordinat yaitu y - y1 = m(x – x1) dianggap sebagai persamaan (2).
Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2), maka akan
diperoleh sebagai berikut:
Aplikasi Sistem Koordinat..., Alina Rahmatika, FKIP UMP, 2012
y - y1 = m (x - x1)
y – y1 =
y - y1 =
12
1
yyyy
−−
=
12
1
yyyy
−−
=
12
1
xxxx
−−
Jadi, bentuk persamaan garis yang melalui dua titik adalah
2. Sistem Koordinat Kutub
Jika O merupakan titik pusat koordinat dan garis OX merupakan
sumbu absis, maka titik P dapat ditentukan koordinatnya dalam sistem
koordinat polar berdasarkan sudut vektor (αv) dan radius vektor (r) atau
(garis OP) yaitu P (r, αv).
12
1
yyyy
−−
=12
1
xxxx
−−
O
( )112
12 xxxxyy
−−−
( )( )12
112
xxxxyy
−−−
( )( )( )( )1212
112
xxyyxxyy
−−−−
Gambar 4. Garis yang Melalui Titik P(r, αv)
αv y r
x
P(r, αv)
X
Y
Aplikasi Sistem Koordinat..., Alina Rahmatika, FKIP UMP, 2012
3. Sistem Koordinat Bola
Sistem koordinat kartesius tiga dimensi (x, y, z) pada Gambar 5
dapat diubah menjadi sistem koordinat bola (spherical coordinate) tiga
dimensi (r, α, β) seperti pada Gambar 6. Dalam koordinat kartesius tiga
dimensi, seluruh koordinat (x, y dan z) berdimensi panjang. Sedangkan
dalam koordinat bola, terdapat satu koordinat yang berdimensi panjang
(r) dan dua koordinat lainnya berdimensi sudut (α dan β). Titik P masih
tetap menyatakan titik yang sama dengan titik P pada Gambar 5. Jarak
titik P ke pusat O sama dengan r. Jika titik P diproyeksikan ke bidang
datar xy, maka sudut antara garis OP dengan bidang datar xy adalah β
(beta). Selanjutnya sudut antara proyeksi OP pada bidang xy dengan
sumbu x adalah α (alpha).
Gambar 5. Sistem Koordinat Kartesius Tiga Dimensi (x, y, z)
Gambar 6. Sistem Koordinat Bola Tiga Dimensi (r, α, β)
z
y
x
O β α
P(r, α, β)
Aplikasi Sistem Koordinat..., Alina Rahmatika, FKIP UMP, 2012
B. Bola Bumi
Bumi merupakan salah satu di antara sembilan planet yang
mengelilingi matahari sebagai pusat tata surya. Bumi itu sebagai benda
putar yang berbentuk seperti bola, sehingga bumi dapat dianggap sebagai
bola bumi. Hal ini dapat dibayangkan jika setengah lingkaran diputar
mengelilingi diameter sebagai sumbu putarnya. Pada bola bumi ada
beberapa istilah atau bagian-bagian yang perlu diketahui sebelum
mempelajari lebih dalam mengenai ilmu falak, diantaranya adalah:
Seandainya dalam khayalan dihadirkan sebuah bola bumi yang
berputar dari barat ke timur satu kali dalam sehari semalam, seolah-olah
bola bumi itu berputar pada sebuah poros. Maka, semua titik di permukaan
bumi itu bergerak dari barat ke timur juga, kecuali dua buah titik di
sebelah utara dan selatan yang tidak bergerak. Kedua titik itu dinamakan
Kutub Bumi Utara (KBU) dan Kutub Bumi Selatan (KBS).
Gambar 7. Garis-garis Semu Pada Permukaan Bola Bumi
KBS
B T
Greenwich
Equator bumi
Gar
is b
ujur
Garis lintang
KBU
Aplikasi Sistem Koordinat..., Alina Rahmatika, FKIP UMP, 2012
Khatulistiwa/equator bumi
Adalah lingkaran yang membagi dua sama besar bola bumi menjadi bagian
selatan dan bagian utara.
Garis Bujur
Adalah lingkaran-lingkaran besar yang melalui titik kutub dan
memotong tegak lurus garis equator atau khatulistiwa. Jika setiap titik di
permukaan bumi ditarik garis-garis bujur, maka garis-garis bujur itu akan
memenuhi seluruh permukaan bumi dan membentuk bangun bulat seperti
bola. Garis bujur yang melintasi kota Greenwich mempunyai kedudukan
istimewa. Dari bujur Greenwich (bujur 0o) ke arah timur sampai 180o
dinamakan bujur timur dan ke arah barat sampai 180o dinamakan bujur
barat. Lambang bujur tempat adalah τ (Torsi).
Garis Lintang
Adalah lingkaran-lingkaran yang sejajar dengan garis equator atau
khatulistiwa. Jika pengamat berdiri di selatan khatulistiwa, maka lintang
tempat pengamat bernilai negatif. Kemudian jika pengamat berdiri di
sebelah utara khatulistiwa, maka lintang tempat pengamat bernilai positif.
Lambang lintang tempat adalah φ (fi).
Selain bumi memiliki beberapa bagian pada permukaannya, bumi
juga melakukan beberapa gerakan yang alami yaitu gerak rotasi bumi dan
revolusi bumi. Rotasi bumi adalah perputaran bumi pada sumbunya dari
arah barat ke timur dengan durasi rata-rata 24 jam untuk satu kali putaran
atau 15° per jam. Dalam waktu bersamaan ketika bumi mengelilingi
Aplikasi Sistem Koordinat..., Alina Rahmatika, FKIP UMP, 2012
matahari, bulan juga mengelilingi bumi pada orbitnya. Hanya saja
kecepatan bulan dalam mengelilingi bumi jauh lebih besar dari kecepatan
bumi dalam mengelilingi matahari, yaitu 13° per hari. Oleh karena itu,
setiap kali satu putaran bumi mengelilingi matahari terjadi dua belas kali
putaran bulan mengelilingi bumi. Dalam perjalanan mengitari bumi itu,
suatu saat bulan berada diantara matahari dan bumi atau bulan berada
dibelakang matahari dan bumi. Poros (sumbu) bumi merupakan garis
khayal yang menandakan sumbu rotasi dari bumi yang melalui kutub utara
dan kutub selatan. (Syamsul, 2011: 62)
Revolusi bumi adalah gerak bumi mengelilingi matahari dari arah
barat ke timur dengan menempuh jarak 00°59′08.33″ per hari dengan
kecepatan 107.000 km per jam atau sekitar 29,7 km per detik.
Sebagaimana diketahui bahwa Hukum Keppler pertama menyebutkan
bahwa bumi beredar mengelilingi matahari berada di salah satu titik
fokusnya. Lintasan penuh elips ini ditempuh bumi dalam waktu satu tahun
(365,25 hari) atau dengan kata lain bumi berevolusi sempurna dalam
waktu satu tahun. (Anwar, 2011: 62)
Bentuk perjalanan keliling bumi mengelilingi matahari membentuk
sebuah lingkaran telur (lingkaran berbentuk elips) yang menyebabkan
jarak bumi dari matahari bervariasi dari segi jauh atau dekatnya. Aphelion
adalah titik terjauh bumi dari matahari dalam perjalanannya mengitari
matahari. Perihelion adalah titik terdekat bumi dengan matahari.
(Anwar, 2011: 63)
Aplikasi Sistem Koordinat..., Alina Rahmatika, FKIP UMP, 2012
B T
C. Bola Langit
Sebenarnya bola langit itu sama sekali tidak ada, hanya karena
ruangan langit itu sangat luas maka para sarjana astronomi menganggap
bahwa bola langit itu ada untuk memudahkan penelitian-penelitian di
ruang angkasa. Sehingga, benda-benda langit itu mudah dan dapat
diketahui dimana tempatnya, letaknya dan bagaimana hubungannya
dengan benda-benda angkasa yang lain. Adapun bola langit yang dianggap
ada ialah lingkaran khayal yang merupakan batas pandang mata pengamat
ke angkasa yaitu tempat benda-benda langit berada. Seolah-olah semua
benda langit melekat pada langit. Bintang, matahari dan bulan tampak
seolah-olah sama jauhnya dari mata pengamat walaupun letak bintang itu
sangat jauh dibandingkan dengan letak bulan ke bumi. (Shadiq, 1994: 16)
Gambar 8. Bola Bumi yang diekspansikan menjadi Bola Langit
Bola bumi
Bola langit
KBU
KBS
Aplikasi Sistem Koordinat..., Alina Rahmatika, FKIP UMP, 2012
Keterangan: Pt : Pengamat di pusat bumi atau pusat bola langit B : Bulan yang letaknya sangat dekat ke bumi tampak seolah – olah berada di B1 M : Matahari tampak seolah-olah berada di M1 Bt : Bintang yang letaknya sangat jauh dari bumi, tampak seolah-olah
berada di Bt1
C.1. Sistem Koordinat Ekliptika
Secara abstrak bola langit dapat digambarkan seperti pada
Gambar 9. Bidang ekliptika yang berbentuk elips jika diekpansikan
akan memotong bola langit dalam bentuk lingkaran ekliptika yang biasa
disebut lingkaran ekliptika atau ekliptika. Lingkaran ekliptika adalah
lingkaran yang seakan-akan dilalui oleh matahari dan merupakan jalan
peredaran matahari dalam waktu satu tahun.
Pt
B
M
Gambar 9. Letak Benda-benda Langit Pada Bola Langit
M1
Bt1 Bt
B1
λ
Gambar 10. Peredaran Matahari Pada Lingkaran Ekliptika
λ λ φ β
Pole
Lingkaran ekliptika
M
M2
M1
Aplikasi Sistem Koordinat..., Alina Rahmatika, FKIP UMP, 2012
Keterangan : M : Matahari M1, M2 : Perjalanan matahari pada garis edar
Sistem koordinat ekliptika merupakan sistem koordinat bola
dimana lingkaran ekliptika sebagai lingkaran tengah atau lingkaran
utamanya dan bujur yang melewati vernal equinox (titik Aries) sebagai
bujur standar dengan garis normal dari bidang ekliptika yang
menembus kutub bola langit. Sebuah benda langit yang berada pada
bola langit, kedudukannya dalam sistem koordinat ekliptika ditentukan
oleh:
a) Bujur ekliptika (diberi tanda λ )
Bujur ekliptika adalah sudut yang dibentuk oleh garis yang
menghubungkan pengamat dengan titik Aries (garis Ptγ dalam
Gambar 11) dan garis yang menghubungkan pengamat dengan
proyeksi benda langit pada lingkaran ekliptika (garis Ptk′ dalam
Gambar 11) atau dalam Gambar 11 dinyatakan oleh sudut γPtk′ atau
busur γk′. Bujur ekliptika dihitung mulai 00 360 sampai 0 dan diukur
mulai dari titik menelusuri ekliptika ke arah timur. (Azhari, 2007:31)
b) Lintang ekliptika (diberi tanda β )
Lintang ekliptika adalah sudut yang dibentuk oleh garis yang
menghubungkan antara pengamat dan proyeksi benda langit pada
lingkaran ekliptika (Ptk′ pada Gambar 11) dan garis yang
menghubungkan pengamat dengan benda langit (garis PtK pada
Gambar 11) dinyatakan oleh sudut k′PtK atau busur k′K.
Aplikasi Sistem Koordinat..., Alina Rahmatika, FKIP UMP, 2012
Lintang ekliptika diukur mulai dari ekliptika sampai kutub
utara ekliptika untuk benda-benda langit yang berada sebelah utara
ekliptika atau dari 0° sampai 90°. Sedangkan, untuk benda-benda
langit yang berada sebelah selatan ekliptika, pengukurannya dimulai
dari ekliptika sampai kutub selatan ekliptika atau dari 0° sampai
-90°. (Azhari, 2007: 32)
Setiap hari matahari terlihat terbit di sebelah timur, lalu bergerak
makin lama makin tinggi, hingga akhirnya pada tengah hari mencapai
tempat kedudukannya yang paling tinggi pada hari itu yang dinamakan
titik kulminasi. Setelah itu, matahari meneruskan perjalanannya di
lingkaran ekliptika dan pada senja hari terlihat bahwa matahari
terbenam dari ufuk timur ke ufuk barat. Perjalanan matahari seperti itu
bukanlah gerak matahari yang sebenarnya.
Gambar 11. Sistem Koordinat Ekliptika
K
KLS
T B Pt
Ekliptika
k’ β
λ
γ
KLU
Aplikasi Sistem Koordinat..., Alina Rahmatika, FKIP UMP, 2012
Akibat rotasi bumi dari arah barat ke timur, maka matahari
tampak seperti bergerak dari timur ke barat. Namun, sebenarnya
matahari tersebut tidak bergerak. Gerakan matahari ini disebut sebagai
gerak semu matahari atau lingkaran semu matahari. Karena gerak semu
ini dapat dilihat setiap hari, maka disebut gerak semu harian matahari
atau lingkaran semu harian matahari. Disamping melakukan perjalanan
semu harian, matahari juga melakukan perjalanan tahunan yang
sesungguhnya, yaitu perjalanan matahari dari arah timur ke barat dalam
waktu satu tahun (365,2425 hari) untuk sekali putaran. Dengan
demikian dalam sehari matahari dapat bergerak sebesar 0°59′08,33″.
Keterangan : A : Posisi matahari saat terbit B : Posisi matahari saat kulminasi C : Posisi matahari saat terbenam
Gambar 12. Perjalanan Semu Harian Matahari
Lingkaran semu harian matahari
Timur
Barat
Deklinasi 0° Deklinasi -23
o
21 Deklinasi 23
o
21
A
B
C
Aplikasi Sistem Koordinat..., Alina Rahmatika, FKIP UMP, 2012
C.2. Sistem Koordinat Equator
Lingkaran besar khatulistiwa yang berbentuk elips melewati
pusat bumi dengan bidangnya yang tegak lurus sumbu rotasi bumi,
jika diekpansikan maka akan memotong bola langit dalam bentuk
lingkaran khatulistiwa langit yang biasa disebut equator langit.
Sistem koordinat equator merupakan sistem koordinat bola
dengan khatulistiwa langit sebagai equator (lingkaran tengah) dan
garis normal dari khatulistiwa langit menembus bola langit pada
kutub lintang utara (KLU), kemudian dari KLU ditarik bujur
melewati vernal equinox sebagai bujur standar.
Dalam sistem koordinat equator, kedudukan suatu benda langit pada
bola langit dapat ditentukan oleh:
Gambar 13. Equator Bumi dan Equator Langit
KLU
KLS
Equator langit
Equator bumi
Bola langit
Bola bumi
Aplikasi Sistem Koordinat..., Alina Rahmatika, FKIP UMP, 2012
a) Asensiorekta (diberi tanda α)
Adalah jarak dari vernal equinox ke bujur bola langit diukur
melalui lingkaran waktu dan dihitung dengan derajat, menit dan
detik.
b) Deklinasi (diberi tanda δ)
Adalah jarak dari suatu benda langit ke equator langit diukur
melalui lingkaran waktu dan dihitung dengan derajat, menit dan
detik.
Berdasarkan Gambar 14. sistem koordinat equator dapat
digunakan untuk mengetahui waktu di bumi saat benda-benda langit
seperti matahari dan bulan beredar pada lintasannya. Hal itu dapat
diketahui dengan cara memproyeksikan benda-benda langit ke
sistem koordinat equator.
Gambar 14. Sistem Koordinat Equator
Aplikasi Sistem Koordinat..., Alina Rahmatika, FKIP UMP, 2012
C.3. Sistem Koordinat Ekliptika dan Sistem Koordinat Equator
Berdasarkan Gambar 15, dapat diketahui bahwa hubungan
sistem koordinat ekliptika dan sistem koordinat equator dapat
digunakan untuk mengetahui fenomena gerhana bulan. Pada Gambar
15 juga menggambarkan fenomena bulan purnama karena jika
terjadi gerhana bulan pasti akan terjadi bulan purnama, namun jika
terjadi bulan purnama belum tentu terjadi gerhana bulan. Sistem
koordinat ekliptika dapat digunakan untuk menggambarkan posisi
benda-benda langit seperti matahari dan bulan beserta regularitas
edarannya, sedangkan sistem koordinat equator dapat digunakan
untuk mengetahui waktu di bumi pada saat benda-benda langit
beredar pada lintasannya dan dapat juga untuk mengetahui waktu
terjadinya fenomena alam seperti gerhana bulan, dan lain-lain.
Pada fase new moon, seluruh bagian bulan yang gelap akan
menghadap ke bumi. New moon atau ijtimak merupakan bulan baru
yaitu bulan dalam berevolusi mengelilingi bumi, suatu saat bulan
Pole
Gambar 15. Gambaran Gerhana Bulan Pada Sistem Koordinat Ekliptika dan Sistem Koordinat Equator
Ekliptika
Penumbra Umbra
VE
AE
Equator
Aplikasi Sistem Koordinat..., Alina Rahmatika, FKIP UMP, 2012
akan berada pada arah yang sama dengan matahari atau letak bulan
diantara matahari dan bumi. Sementara itu pada fase full moon,
seluruh permukaan bulan yang terang akan menghadap ke bumi.
Meskipun pada fase full moon kedudukan bulan berada satu arah
dengan matahari, namun karena bidang lintasan bulan mengelilingi
bumi tidak berimpit dengan bidang ekliptika, maka kedudukan bumi,
bulan dan matahari tidak selalu berada dalam satu garis lurus.
(Azhari, 2007:19)
Untuk menentukan waktu terjadinya bulan purnama, maka
diperlukan program pendukung yaitu program data Winhisab.
Program ini dapat mempermudah dalam pengambilan data-data yang
update dan akurat yang akan digunakan dalam menentukan waktu
bulan purnama.
Program data Winhisab yaitu salah satu dari Software
Aplikasi Falak (SAF) adalah Program hasil kreasi Badan Hisab dan
Rukyat (BHR) Departemen Agama RI. Program ini direlease mulai
tahun 1996. Program komputer ini didesain khusus untuk
perhitungan (hisab) terhadap hitung-hitungan ilmu falak. Progarm
data Winhisab berisi tentang data-data sebagai berikut:
a) Tinggi hilal saat matahari terbenam
Tinggi hilal saat matahari tenggelam adalah data dalam
program Winhisab, yang didapat dengan menggunakan data GHA
(Greenwich Hour Angle) atau sudut waktu untuk kota-kota
Aplikasi Sistem Koordinat..., Alina Rahmatika, FKIP UMP, 2012
Greenwich. Greenwich Hour Angel ini biasanya diberi simbol “t”,
karena data “t” tidak disediakan oleh alamanak falakiyah ini.
Sebagai gantinya, dapat menggunakan apparent right ascension
(asensiorekta), baik untuk bulan maupun matahari.
b) Data astronomi matahari dan bulan
Data astronomi matahari dan bulan adalah data yang
disediakan dalam program Winhisab yang mana data tersebut sering
digunakan dalam melakukan kegiatan hisab dan rukyat, untuk
menentukan arah kiblat, waktu-waktu ibadah dan hari-hari besar
Islam.
Berikut ini rincian dari data astronomi matahari dan bulan:
1) Data Astronomi Matahari
Ecliptic Longitude
Ecliptic longitude dikenal dalam Bahasa Indonesia
sebagai bujur astronomis. Data ini adalah jarak matahari dari
titik Aries yang diukur sepanjang lingkaran ekliptika.
Ecliptic Latitude
Ecliptic latitude dikenal dalam Bahasa Indonesia sebagai
lintang astronomis. Data ini adalah jarak titik pusat matahari
dari lingkaran ekliptika. Sebenarnya ekliptika itu sendiri adalah
lingkaran yang ditempuh oleh gerak semu matahari secara
tahunan. Oleh karena itu, matahari selalu berada di lingkaran
ekliptika. Namun, karena jalannya tidak rata persis maka ada
Aplikasi Sistem Koordinat..., Alina Rahmatika, FKIP UMP, 2012
sedikit geseran. Keadaan seperti ini dapat kita lihat dari nilai
ecliptic latitude yang selalu mendekati nol.
Apparent Right Ascension
Apparent right ascension dikenal dalam Bahasa
Indonesia dengan asensiorekta. Data ini adalah jarak matahari
dari Titik Aries (vernal equinox) yang diukur sepanjang
lingkaran equator.
Apparent Declination
Apparent dec, singkatan dari Apparent declination
dikenal dalam Bahasa Indonesia sebagai deklinasi matahari atau
lebih dikenal sebagai deklinasi. Data ini adalah jarak matahari
dari equator. Jika nilai deklinasi positif, berarti matahari berada
di sebelah utara equator dan jika nilai deklinasi, negatif berarti
matahari berada disebelah selatan equator.
True Geosentric Distance
True geosentric distance dikenal dalam Bahasa
Indonesia dengan istilah jarak geosentris. Data ini
menggambarkan jarak antara bumi dan matahari. Nilai pada data
ini merupakan jarak rata-rata bumi dengan matahari sekitar 150
juta km. Oleh karena itu, bumi dalam mengelilingi matahari
tidak tetap setiap saat bumi menempati titik perigee (titik
terdekat), sedangkan jarak terjauh pada saat bumi menempati
titik terjauh yaitu titik apogee.
Aplikasi Sistem Koordinat..., Alina Rahmatika, FKIP UMP, 2012
Semi Diameter
Semi diameter dikenal dalam Bahasa Indonesia sebagai
jari-jari. Data ini adalah jarak titik pusat matahari dengan
piringan luarnya.
True Obliquity
True obliquity dikenal dalam Bahasa Indonesia sebagai
kemiringan ekliptika. Data yang ini adalah kemiringan ekliptika
dari equator.
Equation of Time
Equation of time dikenal dalam Bahasa Indonesia
sebagai perata waktu. Data ini adalah selisih antara waktu
kulminasi matahari hakiki dengan waktu kulminasi matahari
rata-rata. Data ini biasanya dinyatakan dengan huruf “e” kecil.
2) Data Astronomi Bulan
Apparent Longitude
Apparent longitude dapat diterjemahkan sebagai bujur
astronomis bulan yang terlihat. Lebih dikenal dengan sebagai
bujur astronomi bulan. Data ini adalah jarak antar titik Aries
(vernal equinox) diukur sepanjang lingkaran ekliptika.
Apparent Latitude
Apparent latitude dapat diterjemahkan sebagai lintang
astronomis bulan yang terlihat, lebih dikenal sebagai lintang
astronomis bulan. Data ini adalah jarak antara bulan dengan
Aplikasi Sistem Koordinat..., Alina Rahmatika, FKIP UMP, 2012
lingkaran ekliptika yang diukur sepanjang lingkaran kutub
ekliptika.
Apparent Right Ascension
Apparent right Ascension dikenal dalam Bahasa
Indonesia sebagai asensiorekta dari bulan yang terlihat. Data ini
adalah jarak titik bulan dari titik Aries diukur sepanjang
lingkaran equator.
Apparent Declination
Apparent declination dikenal dalam Bahasa Indonesia
sebagai deklinasi bulan. Data ini adalah jarak bulan dari equator.
Horizontal Parallax
Parallax yang dikenal dalam Bahasa Indonesia sebagai
“benda terlihat”. Data ini adalah sudut antara garis yang ditarik
dari benda langit ke titik pusat bumi dan garis yang ditarik dari
benda langit ke mata si pengamat. Sedangkan, horizontal
parallax adalah parallax dari bulan yang sedang berada persis di
garis ufuk.
Semi Diameter
Semi diameter yang dikenal sebagai jari-jari adalah jarak sudut
antara titik pusat bulan dengan piringan luarnya.
Aplikasi Sistem Koordinat..., Alina Rahmatika, FKIP UMP, 2012
Angle Bright Limb
Angle bright limb yang dikenal dalam istilah Bahasa
Indonesia sebagai sudut kemiringan hilal. Data ini adalah sudut
kemiringan piringan hilal yang memancarkan sinar sebagai
akibat arah posisi hilal dari matahari. Sudut ini diukur dari garis
yang menghubungkan titik pusat hilal dengan titik pusat
matahari dengan arah sesuai dengan perputaran jarum jam.
Fraction Illumination
Fraction illumination adalah besarnya piringan bulan
yang menerima sinar matahari terlihat dari bumi, maka
bentuknya akan berupa bulatan penuh. Dalam keadaan seperti
ini, nilai fraction illumination adalah mendekati satu atau nilai
FI terbesar, yaitu persis saat pada puncaknya bulan purnama.
Sedangkan jika bumi, bulan, dan matahari persis berada pada
satu garis lurus, maka akan terjadi gerhana matahari total.
Dalam keadaan seperti ini nilai fraction illumination bulan (FIB)
adalah nol.
Setelah program data Winhisab dan fenomena bulan purnama
diketahui, maka langkah selanjutnya adalah menentukan tanggal
terjadinya bulan purnama dengan cara-cara sebagai berikut:
Aplikasi Sistem Koordinat..., Alina Rahmatika, FKIP UMP, 2012
a) Buka program data Winhisab, kemudian klik hilal atau klik
gambar seperti bulan sabit.
b) Klik tulisan “ijtimak” pada program data Winhisab dan ubahlah
tanggal sesuai yang diinginkan.
c) Tanggal ijtimak yang telah diketahui pada poin b ditambah 14
hari, tanggal ini merupakan tanggal bulan purnama. Setelah itu,
klik tanda ephemeris (berwarna kuning) yang ditunjuk tanda
panah dan ubahlah tanggal sesuai tanggal bulan purnama,
kemudian klik tanda seperti huruf U (update) dan secara otomatis
Hilal
Ijtimak
Aplikasi Sistem Koordinat..., Alina Rahmatika, FKIP UMP, 2012
semua data pada program Winhisab tersebut akan berubah sesuai
tanggal yang diinginkan.
d) Belum tentu tanggal bulan purnama yang telah diketahui pada
poin c merupakan tanggal bulan purnama yang sebenarnya. Oleh
karena itu, perlu dicari FIB terbesar sesuai tanggal yang diperoleh
pada poin c melalui program data Winhisab. Jika pada tanggal
tersebut tidak terdapat FIB terbesar, maka cari FIB terbesar pada
sebelum dan sesudah tanggal pada poin c tersebut. Sehingga,
tanggal yang mempunyai FIB terbesar itu merupakan tanggal
terjadinya istiqbal (bulan purnama) yang sebenarnya.
C.4. Sistem Koordinat Horizon
Sistem koordinat horizon merupakan sistem koordinat bola
dengan lingkaran horizon sebagai lingkaran tengah dan garis normal
dari horizon menembus bola langit pada Kutub Langit Utara (KLU)
menjadi titik zenith dan menembus bola langit pada Kutub Langit
Selatan (KLS) menjadi titik nadir, kemudian dari KLU ditarik bujur
Ephemeris Update
Aplikasi Sistem Koordinat..., Alina Rahmatika, FKIP UMP, 2012
melewati vernal equinox sebagai bujur standar dan jika arah utara
dan selatan pada bumi diekspansikan menembus bola langit akan
menjadi KLU dan KLS.
Berdasarkan Gambar 16, dapat dijelaskan beberapa istilah
yang terdapat pada gambar tersebut yaitu titik zenith adalah titik
puncak pada bola langit yang letaknya dianggap berada di atas
kepala pengamat. Sedangkan, titik nadir adalah titik terendah dari
bola langit yang yang letaknya dianggap berada di bawah kaki
pengamat. Meridian langit adalah lingkaran vertikal yang melalui
kutub langit (KLU dan KLS) dan dihubungkan oleh poros langit
yang merupakan perpanjangan dari poros bumi yang
menghubungkan KBU dan KBS (Shadiq, 1994:19). Lingkaran
vertikal adalah lingkaran-lingkaran yang melalui titik zenith dan titik
nadir serta tegak lurus dengan lingkaran horizon atau garis yang
menghubungkan titik zenith dengan titik nadir serta melalui tempat
pengamat berdiri (bumi).
Keterangan: Pt = Pengamat di bumi T = Timur B = Barat U = Utara S = Selatan Z = Zenith N = Nadir M = Matahari K = Titik perpotongan
lingkaran horizon dengan lingkaran vertikal yang ditarik melalui M.
S U
Gambar 16. Sistem Koordinat Horizon
Z
N
B
P
T
Lingkaran Horizon
Mer
idia
n la
ngit
Ting
gi
Ling
kara
n V
ertik
al
M
Pt L
S
Aplikasi Sistem Koordinat..., Alina Rahmatika, FKIP UMP, 2012
Lingkaran ufuq adalah lingkaran yang persis membagi dua
bagian sama besar bola langit yang merupakan batas pandang si
pengamat atau merupakan batas diantara belahan langit yang tampak
dan belahan langit yang tidak tampak oleh pengamat. Lingkaran
ufuq biasa disebut juga dengan horizon. Jika matahari berada diatas
ufuq, hari dalam keadaan siang dan jika matahari berada di bawah
ufuq, hari dalam keadaan malam. (Shadiq, 1994:19)
Adapun manfaat dari sistem koordinat horizon adalah untuk melihat
berbagai gejala alam yang terjadi karena rotasi bumi seperti:
a) Terjadinya pergantian siang dan malam
Daerah bumi yang terkena sinar matahari dinamakan siang,
sedangkan daerah bumi dibelakangnya yang tidak terkena sinar
matahari dinamakan malam. Akibat adanya rotasi menyebabkan
terjadinya pergiliran daerah siang dan malam secara bergantian.
Jika rotasi bumi terjadi selama 24 jam, maka lama siang dan
malam masing-masing terjadi selama 12 jam.
b) Perbedaan waktu di berbagai tempat di muka bumi
Akibat gerakan rotasi bumi dari barat ke timur
menyebabkan daerah sebelah timur akan menjumpai siang
terlebih dahulu, dibanding daerah barat. Perbedaan ini
menyebabkan adanya perbedaan waktu di setiap bagian bumi.
Karena rotasi bumi maka permukaan bumi di sebelah timur akan
Aplikasi Sistem Koordinat..., Alina Rahmatika, FKIP UMP, 2012
melihat matahari terbit dan terbenam lebih cepat daripada daerah
di sebelah barat.
Untuk menyamakan waktu secara internasional digunakan
waktu GMT (Greenwich Mean Time). Waktu ini sesuai dengan
waktu di kota Greenwich kecuali di daerah dekat kutub.
Ditetapkan bahwa kota Greenwich sebagai bujur 0°. Garis bujur
di sebelah timur Greenwich dinamakan BT (garis bujur timur),
sedangkan garis bujur disebelah baratnya dinamakan BB (garis
bujur barat).
Di Indonesia, ada 3 zona waktu yaitu (1) Waktu Indonesia
Barat (WIB), yang meliputi Sumatera, Jawa, Madura, Kalimantan
Barat, dan Kalimantan Tengah. (2) Waktu Indonesia Tengah
(WITA), meliputi Kalimantan Selatan, Kalimantan Timur,
Sulawesi, Bali, Nusa Tenggara Barat dan Nusa Tenggara Timur.
(3) Waktu Indonesia Timur (WIT), meliputi Maluku dan Papua.
Perhitungannya adalah WIB = GMT + 7, WITA = GMT + 8 dan
WIT = GMT + 9.
c) Gerak semu harian bintang
Akibat rotasi bumi dari arah barat ke timur maka bintang-
bintang (termasuk matahari) tampak seperti bergerak dari timur
ke barat. Namun, sebenarnya bintang-bintang tersebut tidak
bergerak. Oleh karena itu, gerakan bintang ini disebut sebagai
gerak semu. Karena gerak semu ini dapat dilihat setiap hari, maka
Aplikasi Sistem Koordinat..., Alina Rahmatika, FKIP UMP, 2012
disebut gerak semu harian. Dengan gerak semu harian ini, maka
matahari tampak terbit di timur dan terbenam di barat demikian
juga dengan bintang-bintang pada malam hari.
D. Fenomena Gerhana Bulan
Menurut majelis tarjih dan tajdid pimpinan pusat muhammadiyah
dalam bukunya menjelaskan bahwa gerhana adalah peristiwa alam yang
terjadi beberapa kali setiap tahun. Dalam hadist-hadist Nabi SAW
peristiwa tersebut dinyatakan sebagai bagian dari tanda-tanda kebesaran
Allah SWT. Ada dua macam gerhana, yaitu gerhana matahari yang dalam
fikih disebut kusuf dan gerhana bulan yang disebut khusuf. Bila titik
perpotongan berhimpit atau mendekati garis lurus antara matahari dan
bumi, maka terjadilah gerhana yaitu gerhana matahari pada saat bulan
berada di antara matahari dan bumi, atau gerhana bulan apabila bumi
berada di antara matahari dan bulan.
Gerhana bulan (khusuf) terjadi ketika bulan masuk ke dalam
bayangan yang dibentuk oleh bumi. Fenomena ini hanya dapat terjadi
ketika bumi secara langsung berada diantara matahari dan bulan, atau
dapat dikatakan ketika bulan sedang berlawanan dengan matahari. Ini
berarti menunjukkan bahwa akan terjadi bulan purnama. Namun hal itu
juga merupakan proses gambaran terjadinya gerhana bulan. Sehingga,
dapat disimpulkan bahwa pada saat terjadi bulan purnama belum tentu
terjadi gerhana bulan juga, akan tetapi jika terjadi gerhana bulan pasti
terjadi bulan purnama juga.
Aplikasi Sistem Koordinat..., Alina Rahmatika, FKIP UMP, 2012
Kondisi terjadinya gerhana bulan mensyaratkan bulan dekat
dengan garis ekliptika ketika gerhana total, yang berarti bulan harus dekat
dengan titik node (titik perpotongan ekliptika dengan garis orbit bulan).
Ketika seluruh piringan bulan gelap, itu menunjukkan gerhana bulan total.
Ketika hanya sebagian piringan bulan yang gelap, itu menunjukkan
gerhana bulan partial/sebagian. (Smart, 1980:378)
1. Macam-macam gerhana bulan
Macam-macam gerhana bulan dapat dikategorikan berdasarkan
keadaan saat fase puncak gerhana, gerhana bulan dapat dibedakan
menjadi 4 macam yaitu :
a) Gerhana Bulan Total
Jika saat fase maksimum gerhana, keseluruhan bulan masuk
ke dalam bayangan inti (umbra bumi), maka gerhana tersebut
dinamakan gerhana bulan total. Gerhana bulan total ini maksimum
durasinya bisa mencapai lebih dari 1 jam 47 menit.
M •
Moon’s Orbit
Matahari
Bumi
BM
Gambar 17. Gambaran Umum Gerhana Bulan
B
Penumbra
Umbra
Aplikasi Sistem Koordinat..., Alina Rahmatika, FKIP UMP, 2012
b) Gerhana Bulan Sebagian
Jika hanya sebagian bulan saja yang masuk ke daerah
umbra bumi, dan sebagian lagi berada dalam bayangan tambahan
(penumbra bumi) pada saat fase maksimumnya, maka gerhana
tersebut dinamakan gerhana bulan sebagian.
c) Gerhana Bulan Penumbra Total
Pada gerhana bulan jenis ketiga ini, seluruh bulan masuk ke
dalam penumbra pada saat fase maksimumnya. Tetapi tidak ada
Gambar 18. Gerhana Bulan Total
Gambar 19. Gerhana Bulan Sebagian
Aplikasi Sistem Koordinat..., Alina Rahmatika, FKIP UMP, 2012
bagian bulan yang masuk ke umbra atau tidak tertutupi oleh
penumbra. Pada kasus seperti ini, gerhana bulannya dinamakan
gerhana bulan penumbra total.
d) Gerhana Bulan Penumbra Sebagian
Pada gerhana bulan jenis terakhir ini, jika hanya sebagian
saja dari bulan yang memasuki penumbra, maka gerhana bulan
tersebut dinamakan gerhana bulan penumbra sebagian. Gerhana
bulan penumbra biasanya tidak terlalu menarik bagi pengamat.
Karena pada gerhana bulan jenis ini, penampakan gerhana hampir-
hampir tidak bisa dibedakan dengan saat bulan purnama biasa.
Gambar 21. Gerhana Bulan Penumbra Sebagian
Gambar 20. Gerhana Bulan Penumbra Total
Aplikasi Sistem Koordinat..., Alina Rahmatika, FKIP UMP, 2012
Setelah macam-macam gerhana bulan diketahui, maka selanjutnya
perlu mengetahui fase-fase yang dialami gerhana bulan. Semua fase yang
dialami gerhana bulan pada saat awal dan akhir terjadinya gerhana bulan
dapat digambarkan secara keseluruhan sebagai berikut:
Berdasarkan Gambar 22, dapat dijelaskan bahwa gerhana bulan
mempunyai waktu untuk setiap fasenya baik mulai dari awal
penumbra sampai akhir penumbra kembali. Fase-fase tersebut tidak
semuanya dapat dilalui karena semua fase sangat bergantung dengan
jenis gerhana bulannya. Momen terjadinya gerhana bulan diurut
berdasarkan urutan terjadinya yaitu awal gerhana penumbra, awal
gerhana umbra, tengah gerhana bulan, akhir gerhana umbra, dan akhir
gerhana penumbra.
Awal gerhana penumbra adalah kontak penumbra yaitu saat piringan
bulan bersinggungan luar dengan penumbra bumi. Ini menandai
dimulainya gerhana bulan secara keseluruhan.
Gambar 22. Fase-fase Gerhana Bulan
Aplikasi Sistem Koordinat..., Alina Rahmatika, FKIP UMP, 2012
Awal gerhana umbra adalah kontak umbra yaitu saat piringan bulan
bersinggungan luar dengan umbra bumi.
Tengah gerhana bulan adalah saat jarak pusat piringan bulan dengan
pusat umbra/penumbra mencapai minimum.
Akhir gerhana umbra adalah kontak umbra yaitu saat piringan bulan
kembali bersinggungan luar dengan umbra bumi.
Akhir gerhana penumbra adalah kontak penumbra yaitu saat piringan
bulan kembali bersinggungan luar dengan penumbra bumi. Ini adalah
kebalikan dari proses awal gerhana penumbra, dan menandai
berakhirnya peristiwa gerhana bulan secara keseluruhan.
Lintasan peredaran bulan mengelilingi matahari tidak berhimpit
dengan lintasan peredaran bumi mengelilingi matahari melainkan
berpotongan dengan membentuk sudut kemiringan sebesar 05°08′. Pada
Gambar 15, memperlihatkan adanya dua daerah bayang-bayang bumi yaitu
umbra (daerah yang gelap/bayangan inti) dan penumbra (daerah yang
samar-samar/bayangan tambahan).
2. Langkah-langkah perhitungan waktu gerhana bulan
Menurut majelis tarjih dan tajdid pimpinan pusat muhammadiyah
dalam bukunya menjelaskan bahwa waktu terjadinya gerhana bulan dapat
diketahui melalui rumus ephemeris. Dikatakan rumus ephemeris karena
data-data yang digunakan dalam perhitungan diambil dari ephemeris
program data Winhisab.
Aplikasi Sistem Koordinat..., Alina Rahmatika, FKIP UMP, 2012
Adapun rumus ephemeris dengan langkah-langkah sebagai berikut:
a) Menentukan tanggal ijtimak
b) Menentukan tanggal bulan purnama
c) Menentukan saat terjadinya istiqbal (bulan purnama)
d) Menentukan tanggal terjadinya gerhana bulan dengan cara sebagai
berikut:
1) Menentukan harga apparent latitude (βb) pada saat istiqbal
2) Menentukan batas terjadinya gerhana bulan dengan melihat besarnya
apparent latitude (βb), yaitu:
1) βb > 1°36′38″ = tidak mungkin terjadi gerhana penumbra
2) 1°26′19″ < βb < 1°36′38″ = mungkin terjadi gerhana penumbra
3) 1°03′46″ < βb < 1°26′19″ = pasti terjadi gerhana penumbra
4) 0°53′26″ < βb < 1°03′46″ = mungkin terjadi gerhana umbra
5) βb < 0°53′26″ = pasti terjadi gerhana umbra
f) Menentukan besarnya semi diameter matahari (s.d.m), Semi Diameter
bulan (S.D.b), dan Horizontal Parallax bulan (HPb) pada saat istiqbal
g) Menentukan Horizontal Parallax matahari (HPm)
HPm = 8.794′′ / TGD (True Geocentric Distance).
h) Menentukan jari-jari bayangan semu (f1) dan jari-jari bayangan inti
bumi (f2)
f1 = 1.02 x (HPb + s.d.m + HPm)
f2 = 1.02 x (HPb - s.d.m + HPm)
Aplikasi Sistem Koordinat..., Alina Rahmatika, FKIP UMP, 2012
Nilai f1 dicari untuk menentukan besarnya jari-jari daerah
penumbra pada saat terjadi gerhana bulan. Nilai f2 digunakan untuk
menentukan besarnya jari-jari daerah umbra saat terjadi gerhana bulan.
i) Menentukan awal dan akhir gerhana bulan dengan jalan sebagai berikut:
1) H = sin-1 (sin βb / sin 05°09′)
2) U = tan-1 (tan βb / sin H)
3) Z = sin-1 (sin U x sin H)
4) K = cos βb x (B′ - B′′) / cos U
5) P = f1 + S.D.b
6) Q = f2 + S.D.b
7) R = f2 - S.D.b
8) b = cos-1 (cos βb / cos Z)
9) c = cos-1 (cos P / cos Z)
10) d = cos-1 (cos Q / cos Z)
11) e = cos-1 (cos R / cos Z)
12) t = (b/K) x 1 jam
13) T1 = (c/K) x 1 jam
14) T2 = (d/K) x 1 jam
15) To (Tengah gerhana) = saat istiqbal ± t – 2.5 menit (konstanta)
Jika harga apparent latitude bulan semakin membesar maka nilai t
(-) dan sebaliknya jika nilai harga apparent latitude bulan semakin
kecil maka nilai t (+).
Aplikasi Sistem Koordinat..., Alina Rahmatika, FKIP UMP, 2012
16) Awal gerhana penumbra = To – T1
17) Awal gerhana umbra = To – T2
18) Akhir gerhana umbra = To + T2
19) Akhir gerhana penumbra = To + T1
Aplikasi Sistem Koordinat..., Alina Rahmatika, FKIP UMP, 2012