5

BAB II

DASAR SISTEM

Pada bab ini akan dibahas beberapa teori yang mendukung skripsi ini sebagai acuan

dalam merealisasikan sistem. Pada sub bab 2.1 akan dijelaskan mengenai Prinsip

Bernoulli, sub bab 2.2 akan dijelaskan mengenai Wave Motion, sub 2.3 akan dijelaskan

mengenai Wave Energy and Power, sub bab 2.4 akan dijelaskan mengenai ACS712 5A

dan sub bab 2.5 akan dijelaskan PCDUINO sebagai pengendali utama pada bagian skripsi

ini.

2.1. Prinsip Bernoulli

Kolom udara Oscillating Water Column memiliki prinsip kerja yang hampir sama

dengan prinsip Bernoulli. Prinsip Bernoulli adalah sebuah istilah didalam mekanika fluida

yang menyatakan bahwa pada suatu aliran fluida, peningkatan pada kecepatan fluida akan

menimbulkan penurunan tekanan pada aliran tersebut. Definisi persamaan fluida

menyatakan bahwa jumlah energi pada suatu titik didalam suatu aliran tertutup sama

besarnya dengan jumlah energi di titik lain pada jalur aliran yang sama.

Tekanan didalam pipa adalah tekanan yang tegak lurus terhadap penampang. Pada

umumnya tekanan itu tidak akan tetap biarpun cairan tidak mengalir. Sebab telah diketahui

dalam hidrostatika bahwa tekanan itu bergantung pada ketinggian. Oleh sebab itu, dapat

diambil kesimpulan bahwa didalam pipa aliran ada 3 (tiga) besaran yang saling

berhubungan yaitu:

1. Kecepatan (𝑢), besaran ini berkaitan dengan tenaga gerak.

2. Tekanan (𝑝), besaran ini berkaitan dengan usaha dari luar.

3. Ketinggian (𝑧), besaran ini berkaitan dengan tenaga potensial/tempat.

Masing- masing besaran diatas menentukan persamaan tenaga, sehingga hukum

kekekalan tenaga adalah sebagai berikut:

“Perubahan tenaga gerak dan tenaga potensial adalah sama dengan usaha yang dikerjakan

dari luar.”[1]

Energi yang seimbang pada fluida adalah:

6

Potential energy lost + work done by pressure forces = gain in kinetic energy +

heat losses due to friction

Sehingga dapat ditulis sebagai berikut :

𝑚𝑔 𝑧1 − 𝑧2 + 𝑝1𝐴1 𝑢1∆𝑡 − 𝑝2𝐴2 𝑢2∆𝑡 = 1

2𝑚 𝑢2

2 − 𝑢12 + 𝐸𝑓 (2.1)

Dimana gaya tekanan 𝑝1𝐴1 melalui 𝑢1∆𝑡 dan juga untuk 𝑝2𝐴2 dan 𝐸𝑓 adalah

gesekan[2].

Gambar 2.1. Ilustrasi konservasi energi: aliran naik dari 𝒛𝟏 ke 𝒛𝟐 [2].

𝑬𝒇, gesekan fluida diabaikan, persamaan sebagai berikut[3,h.31]:

𝒑𝟏

𝝆+ 𝒈𝒛𝟏 +

𝟏

𝟐𝒖𝟏

𝟐 = 𝒑𝟐

𝝆+ 𝒈𝒛𝟐 +

𝟏

𝟐𝒖𝟐

𝟐 (𝟐. 𝟐)

𝒑

𝝆𝒈+ 𝒛 +

𝒖𝟐

𝟐𝒈= 𝒌𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏 (𝟐. 𝟑)

Penurunan persamaan diatas akan dijabarkan sebagai berikut[3,h33]:

7

Work done = kinetic energy + potential energy

∆𝑊 = ∆𝐸𝐾 + ∆𝐸𝑃 (2.4)

Ditinjau pada pipa ke 1, rumus ∆𝑊 sebagai berikut:

∆𝑊 = 𝐹1 ∆𝑥1 (2.5)

Diketahui bahwa rumus tekanan 𝑝 pada hukum Pascal adalah:

𝑝 =𝐹

𝐴 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐹 = 𝑝 𝐴 (2.6)

Sehingga didapat ∆𝑊 sebagai berikut:

∆𝑊 = 𝑝1𝐴1 ∆𝑥1 (2.7)

𝐴1 ∆𝑥1 dapat dikatakan sebagai Volume, sehingga persamaan dapat disederhanakan

menjadi:

∆𝑊 = 𝑝 𝑉 (2.8)

Untuk rumus ∆𝐸𝐾, energi kinetik adalah:

∆𝐸𝐾 =1

2𝑚(𝑢2

2 − 𝑢12) (2.9)

Karena ditinjau pipa ke 1, maka 𝑢22 = 0, kecepatan pada pipa ke 2 dianggap tidak

bergerak/diam dan tanda negatif yaitu usaha dari sistem, sehingga didapat persamaan

sebagai berikut:

∆𝐸𝐾 = −1

2𝑚𝑢1

2 (2.10)

Diketahui bahwa 𝜌 adalah kerapatan air, dengan rumus sebagai berikut:

𝜌 =𝑚

𝑉 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑚 = 𝜌 𝑉 (2.11)

Subtitusi persamaan (2.11) ke (2.10) sehingga didapat persamaan baru untuk ∆𝐸𝐾:

∆𝐸𝐾 = −1

2𝜌 𝑉𝑢1

2 (2.12)

Untuk rumus ∆𝑈, energi potensial adalah

∆𝐸𝑃 = 𝑚𝑔(𝑧2 − 𝑧1) (2.13)

Karena ditinjau pipa ke 1, maka 𝑧2 = 0,tinggi pipa ke 2 diasumsikan bernilai 0,

tanda negatif berarti usaha yang dilakukan oleh sistem, sehingga didapat persamaan

sebagai berikut:

∆𝐸𝑃 = − 𝑚𝑔𝑧1 (2.14)

Dengan menggunakan persamaan (2.11),sehingga ∆𝐸𝑃 diperoleh:

∆𝐸𝑃 = −𝜌 𝑉𝑔𝑧1 (2.15)

8

Setelah diketahui untuk rumus ∆𝑊 , ∆𝐸𝐾 , dan ∆𝐸𝑝 yang dapat dilihat pada

persamaan (2.8), (2.10) dan (2.15). Apabila ketiga persamaan tersebut disubtitusikan ke

persamaan (2.4), maka :

𝑝1 𝑉 = −1

2 𝜌 𝑉 𝑢1

2 − 𝜌 𝑉 𝑔 𝑧1 (2.16)

Apabila ditinjau pada pipa ke 2 akan sama hasilnya maka:

𝑝1 𝑉 +1

2 𝜌 𝑉 𝑢1

2 + 𝜌 𝑉 𝑔 𝑧1 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛 (2.17)

Apabila persamaan tersebut dibagi dengan 𝜌 𝑉 maka:

𝑝1

𝜌+

1

2 𝑢1

2 + 𝑔 𝑧1 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛 (2.18)

Sehingga hasil persamaan (2.18) sama dengan persamaan (2.2). Apabila persamaan

(2.18) dibagi dengan g, maka akan menghasilkan persamaan ke (2.3)

2.2. Wave Motion

Resultan gaya 𝐹 pada massa permukaan partikel air 𝑚 yang ditunjukkan pada

Gambar 2.2. Permukaan air tegak lurus terhadap resultan dari gaya gravitasi dan

sentrifugal yang bekerja pada elemen air massa 𝑚. Permukaan air membutuhkan posisi

yang dihasilkan oleh resultan ini, sehingga bersinggungan dengan permukaan tegak lurus

terhadap 𝐹 . Sebuah Partikel diatas puncak pada posisi P1, mengalami gaya sentrifugal

𝑚𝑟𝑤2 . Sesaat partikel menurun, dan posisi yang dipuncak adalah partikel yang

berdekatan. Pergeseran ini dengan fase yang tertunda[2,h403].

Gambar 2.2. Permukaan Gelombang air [2,h403].

9

Gambar 2.3. Karakteristik Gelombang [2,h403].

Gambar 2.4. Gaya Resultan pada permukaan partikel [2,h403].

P2 adalah posisi partikel pada tingkat air rata-rata, dan permukaan air berorientasi

tegak lurus dengan gaya 𝑭 yang dihasilkan. Pada posisi palung P3, gaya ke bawah yaitu

gaya maksimal. Pada P4, partikel hampir mencapai siklus penuh pada

pergerakannya[2,h.404].

Gambar 2.5. Percepatan dan kecepatan dari partikel permukaan air (a) permukaan

air. (b) percepatan partikel, derivasi umum. (c) kecepatan partikel [2,h404].

10

Pada awal 𝒕 = 𝟎, partikel pada tingkat air rata-rata, dan seterusnya adalah:

𝝓 = 𝝅

𝟐− 𝝎𝒕 (𝟐. 𝟏𝟗)

Rumus ketinggian permukaan air diatas rata-rata yaitu:

d𝒉

d𝒙= 𝐭𝐚𝐧 𝒔 (𝟐. 𝟐𝟎)

Diketahui pada gambar bahwa;

𝐭𝐚𝐧 𝒔 = 𝒂𝝎𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝝓

𝒈 + 𝒂𝝎𝟐 𝐜𝐨𝐬𝝓 ≈

𝒂𝝎𝟐 𝒔𝒊𝒏𝝓

𝒈 (𝟐. 𝟐𝟏)

Karena 𝒈 ≫ 𝒂𝝎𝟐, sehingga dianggap 𝒈 , terlihat pada persamaan (2.21)

Dari persamaan (2.19), (2.20) dan (2.21) didapat persa,aan sebagai berikut:

d𝒉

d𝒙=

𝒂𝝎𝟐

𝒈𝐬𝐢𝐧𝝓

d𝒉

d𝒙=

𝒂𝝎𝟐

𝒈𝐜𝐨𝐬

𝝅

𝟐− 𝝓

d𝒉

d𝒙=

𝒂𝝎𝟐

𝒈𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 (𝟐. 𝟐𝟐)

Pada Gambar 2.4(c), kecepatan partikel vertical adalah:

d𝒉

d𝒕= 𝒂𝝎𝐬𝐢𝐧𝝓

d𝒉

d𝒕= 𝒂𝝎𝐜𝐨𝐬𝝎𝒕 (𝟐. 𝟐𝟑)

Dari persamaan (2.22) dan (2.23) yaitu:

𝒉 = 𝒂 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝟐 𝒙

𝒈− 𝝎𝒕 (𝟐. 𝟐𝟒)

Dengan membandingkan persamaan umum gelombang yang berjalan dengan

panjang gelombang 𝝀 dan kecepatan 𝒄, didapat sebagai berikut[2,h.405]:

𝒉 = 𝒂 𝐬𝐢𝐧𝟐𝝅

𝝀(𝒙 − 𝒄𝒕) (𝟐. 𝟐𝟓)

Diketahui bahwa 𝒌 = 𝟐𝝅𝝀 dan 𝒄 = 𝝀/𝑻 , sedangkan 𝝎 = 𝟐𝝅

𝑻 [4,h.14],

sehingga diperoleh :

𝒉 = 𝒂 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝝅

𝝀𝒙 −

𝟐𝝅

𝝀

𝝀

𝑻𝒕

𝒉 = 𝒂 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝝅

𝝀𝒙 −

𝟐𝝅

𝑻𝒕

𝒉 = 𝒂𝐬𝐢𝐧 𝒌𝒙 − 𝝎𝒕 (𝟐. 𝟐𝟔)

11

Hal ini terlihat bahwa gerakan permukaan merupakan gelombang yang berjalan,

dimana:

𝝀 =𝟐𝝅𝒈

𝝎𝟐 (𝟐. 𝟐𝟕)

Dari persamaan (2.24), 𝒌 = 𝝎𝟐

𝒈 dan 𝒌 = 𝟐𝝅𝝀 , sehingga diperoleh pada

persamaan (2.27).

Hubungan antara periode gelombang dengan panjang gelombang pada kedalaman

permukaan air, sehingga dapat diperoleh:

𝑻 =𝟐𝝅

𝝎 (𝟐. 𝟐𝟖)

Dengan persamaan (2.27) akan didapatkan T, sebagai berikut:

𝑻 = 𝟐𝝅

(𝟐𝝅𝒈)𝟏

𝟐 (𝟐. 𝟐𝟗)

Kecepatan partikel pada puncak gelombang adalah:

𝒗 = 𝒂𝝎 (𝟐. 𝟑𝟎)

Dari persamaan (2.27) diperoleh:

𝒗 = 𝒂 𝟐𝝅𝒈

𝝀

𝟏𝟐

(𝟐. 𝟑𝟏)

Untuk kecepatan permukaan gelombang dalam ranah x adalah[2,h.405]:

𝒄 = 𝒈 𝝀

𝟐𝝅𝒈

𝟏𝟐

(𝟐. 𝟑𝟐)

Penurunan rumus kecepatan permukaan gelombang dalam ranah x adalah sebagai

berikut:

𝒄 = 𝝀

𝑻 (𝟐. 𝟑𝟑)

Telah diketahui bahwa 𝑻 = 𝟐𝝅𝝎 , sehingga:

𝒄 =𝝀

𝟐𝝅𝝎

𝒄 =𝝎𝝀

𝟐𝝅 (𝟐. 𝟑𝟒)

Dengan menggunakan rumus 𝒌 = 𝟐𝝅𝝀 , diperoleh persamaa sebagai berikut:

𝒄 = 𝝎

𝒌 𝟐. 𝟑𝟓

12

Diketahui bahwa 𝒌 = 𝝎𝟐

𝒈 , maka:

𝒄 = 𝝎

𝝎𝟐𝒈

𝒄 =𝒈

𝝎 (𝟐. 𝟑𝟔)

Dengan menggunakan persamaan (2.27) didapatkan:

𝟏 𝝎 = (𝝀 𝟐𝝅𝒈 )𝟏 𝟐 (𝟐. 𝟑𝟕)

Setelah subtitusi dengan persamaan (2.37) ke (2.36) maka akan didapat persamaan

(2.32).

Kecepatan 𝒄 disebut kecepatan fase gelombang berjalan yang dilakukan oleh

gerakan permukaan. Perhatikan bahwa kecepatan fase 𝒄 tidak tergantung pada amplitudo

𝒂, dan belum tentu berkaitan dengan kecepatan partikel 𝒗[2,h.406].

𝒄 = 𝒈𝝀

𝟐𝝅

𝟏 𝟐

(𝟐. 𝟑𝟖)

Contoh perhitungan:

Berapa periode dan kecepatan fase gelombang air dalam, panjang gelombang

adalah 100m.

Dari persamaan (2.27),

𝝎𝟐 =𝟐𝝅𝒈

𝝀

𝝎𝟐 = 𝟐𝝅 (𝟏𝟎 ms-2)

𝟏𝟎𝟎m

𝝎 = 𝟎. 𝟖 𝒓𝒂𝒅 s-1

Sehingga,

𝑻 =𝟐𝝅

𝝎

𝑻 = 𝟐𝝅

𝟎. 𝟖

𝑻 = 𝟖. 𝟎 s

Dari persamaan (2.38)

𝒄 = 𝟏𝟎 ms−𝟐 𝟏𝟎𝟎m

𝟐𝝅

𝟏𝟐

13

𝒄 = 𝟏𝟑 ms-1

Sehingga diperoleh nilai 𝝀, 𝑻, dan 𝒄 sebagai berikut [2,h.406]:

𝝀 = 𝟏𝟎𝟎 m

𝑻 = 𝟖 s

𝒄 = 𝟏𝟑 ms−𝟏 (𝟐. 𝟑𝟗)

2.3. Wave Energy and Power

Gambar 2.6.Dasar gerakan air, menunjukkan penurunan eksponensial amplitude

dengan kedalaman[2,h.407].

Teori dasar dari kedalaman gelombang air yang memperhatikan satu gelombang

regular. Partikel-partikel air di dekat permukaan akan bergerak dalam orbit melingkar, di

berbagai tahap, di arah perambatan sumbu 𝒙. Pada kolom vertikal, amplitudo sama dengan

setengah puncak ke puncak palung di permukaannya[2,h.406].

Pada Gambar 2.3(b), terlihat cuplikan unsur air di seluruh suatu luasan muka

gelombang. Volum pada suatu luasan muka gelombang dari kerapatan air dan massa 𝒎

adalah:

d 𝑽 = d𝒙 d𝒛 𝟐. 𝟒𝟎

d𝒎 = 𝝆 d𝑽 𝟐. 𝟒𝟏

Dengan persamaan (2.40), maka:

d𝒎 = 𝝆 d𝒙 d𝒛 (𝟐. 𝟒𝟐)

Energi kinetik dari total gerakan gelombang ke bawah laut terhadap satuan panjang

dalam ranah 𝒙 dan satuan luasan muka gelombang. Total energi kinetik terhadap

panjangnya gelombang dari d𝒙 adalah 𝑬𝑲 d𝒙. Setiap unsur air dari tinggi d𝒛, panjang d𝒙

dan lebar gerakan melingkar pada kecepatan angular yang konstan 𝝎 , radius orbit

melingkar 𝒓 dan kecepatan 𝒖 = 𝒓𝝎 pada Gambar 2.3(b). Energi kinetik pada kolom

14

vertikal dari dasar laut ke permukaan adalah 𝜹𝑬𝑲 d𝒙. 𝜹𝑬𝑲 𝒂𝒅𝒂𝒍𝒂𝒉 𝒑erubahan derivatif

Energi kinetik dalam hal ini perubahan derivatif yang terjadi pada sumbu 𝒙 sehingga

persamaan energi kinetik terhadap lintasan 𝒙 sebagai berikut:

𝜹𝑬𝑲d𝒙 = 𝟏

𝟐𝒎𝒖𝟐 𝟐. 𝟒𝟑

Karena 𝒎, gerakan gelombang pada kolom vertikal menyebabkan perubahan pada

𝒎, dan 𝒖 = 𝒓𝝎, akibat gerakan melingkar, sehingga persamaan akan menjadi:

𝜹𝑬𝑲 d𝒙 = 𝟏

𝟐 𝝆 d𝒙 d𝒛 𝒓𝟐 𝝎𝟐 (𝟐. 𝟒𝟒)

Setelah persamaan diatas diintegral/penjumlahan cuplikan unsur air tersebut dalam

ranah 𝒙.

𝜹𝑬𝑲 =𝟏

𝟐𝝆𝒓𝟐𝝎𝟐 d𝒛 (𝟐. 𝟒𝟓)

Radius dari orbit melingkar adalah [3,h.407]:

𝒓 = 𝒂𝒆𝒌𝒛 (𝟐. 𝟒𝟔)

Subtitusi persamaan (2.46) ke persamaan (2.45), maka:

𝜹𝑬𝑲 =𝟏

𝟐𝝆 𝒂𝟐𝒆𝟐𝒌𝒛 𝝎𝟐 d𝒛 𝟐. 𝟒𝟕

Total Energi kinetik pada kolom vertikal adalah:

𝑬𝑲 d𝒙 = 𝝆𝝎𝟐𝒂𝟐

𝟐

𝒛=𝟎

𝒛=−∞

𝒆𝟐𝒌𝒛 d𝒛 d𝒙 (𝟐. 𝟒𝟖)

Setelah proses integral, akan diperoleh:

𝑬𝑲 d𝒙 =𝟏

𝟒𝝆

𝝎𝟐𝒂𝟐

𝒌 d𝒙 (𝟐. 𝟒𝟗)

Diketahui bahwa 𝒌 = 𝟐𝝅𝝀 dan 𝝎𝟐 =

𝟐𝝅𝒈𝝀 , Energi kinetik setiap luas muka

gelombang dan panjang gelombang adalah:

𝑬𝑲 =𝟏

𝟒𝝆𝒂𝟐

𝟐𝝅𝒈

𝟐𝝅 𝝀

𝟐𝝅

𝑬𝑲 =𝟏

𝟒𝝆𝒂𝟐𝒈 (𝟐. 𝟓𝟎)

Energi potensial setiap luas muka gelombang dan panjang gelombang adalah:

𝑬𝑷 =𝟏

𝟒𝝆𝒂𝟐𝒈 𝟐. 𝟓𝟏

15

Dengan demikian, pada gerakan harmonik, rata-rata energi kinetic dan energi

potensial adalah sama/ekivalen, Sehingga total energi setiap luas muka gelombang dan

panjang gelombang adalah:

total energi = energi kinetik + energi potensial

𝑬 = 𝑬𝑲 + 𝑬𝑷 𝟐. 𝟓𝟐

𝑬 =𝟏

𝟒𝝆𝒂𝟐𝒈 +

𝟏

𝟒𝝆𝒂𝟐𝒈

𝑬 =𝟏

𝟐𝝆𝒂𝟐𝒈 𝟐. 𝟓𝟑

Apabila root mean square amplitude adalah 𝒂𝟐 𝟐 , sehingga;

𝑬 = 𝝆𝒈(𝒓𝒐𝒐𝒕 𝒎𝒆𝒂𝒏 𝒔𝒒𝒖𝒂𝒓𝒆 𝒂𝒎𝒑𝒍𝒊𝒕𝒖𝒅𝒆)𝟐 (𝟐. 𝟓𝟒)

Energi setiap unit panjang gelombang dan setiap unit lebar muka gelombang adalah:

𝑬𝝀 = 𝑬𝝀

𝑬𝝀 =𝟏

𝟐𝝆𝒂𝟐𝒈𝝀 (𝟐. 𝟓𝟓)

Diketahui bahwa 𝝀 =𝟐𝝅𝒈

𝝎𝟐 , sehingga [2,h.408];

𝑬𝝀 =𝟏

𝟐𝝆𝒂𝟐𝒈

𝟐𝝅𝒈

𝝎𝟐

𝑬𝝀 =𝝅𝝆𝒂𝟐𝒈𝟐

𝝎𝟐 𝟐. 𝟓𝟔

Diketahui bahwa 𝑻 = 𝟐𝝅𝝎 , diperoleh [2,h.409];

𝑬𝝀 =𝝅𝝆𝒂𝟐𝒈𝟐

𝟐𝝅𝑻

𝟐

𝑬𝝀 =𝟏

𝟒𝝅𝝆𝒂𝟐𝒈𝟐𝑻𝟐 𝟐. 𝟓𝟕

16

2.4. ACS712

ACS712 merupakan sensor arus AC maupun DC yang memiliki 3 macam kategori

yaitu 5A, 20A dan 30A dengan sensitivitas yang berbeda-beda sesuai dengan ketentuan

pada datasheet.

Gambar 2.7. Tabel sensitivitas keluaran pada ACS712[5,h.2]

Gambar 2.8. Block Diagram ACS712[5,h.3]

17

Gambar 2.9. Deskripsi pin-out ACS712[5,h.3]

Gambar 2.10. Grafik keluaran tegangan ACS712 terhadap arus yang mengalir[5,h.6]

18

Gambar 2.11. Grafik sensitivitas tegangan keluaran terhadap arus pada

ACS712[5,h.6]

2.5. PCDUINO3

PcDuino3 memiliki performance yang tinggi, efektif biaya karena satu board

dengan komputer. pcDuino3 ini berjalan pada system operasi seperti Ubuntu Linux dan

Android. pcDuino3 memiliki HDMI output antar muka layar desktop grafis. pcDuino3

mendukung multi-format 1080p 60fps decoder video 1080p 30fps dan H.264 dan video

MPEG4 encoder dengan mesin pemrosesan video hardware built-in. pcDuino merupakan

target khusus tuntutan yang berkembang dengan cepat dari komunitas open source.

pcDuino3 memberikan rantai alat yang mudah digunakan dan kompatibel dengan

ekosistem Arduino populer seperti Arduino Shields.

Spesifikasi pcDuino3[6]:

100% kompatibel dengan Arduino Shields

100% kompatibel dengan Linux dan Android

Support untuk C, C++ dengan GNU tool

Support Java dengan standar Android SDK Phython

Arduino pin header, Slot pada Arduino UNO: 14x GPIO, 6x PWM, 6x ADC,

1x UART, 1x SPI, 1x I2C

Dilengkapi dengan Ethernet 10M/100Mbps, WiFi, SATA

19

Gambar 2.12. Perangkat pcDuino3 tampak depan

Gambar 2.13. Perangkat pcDuino3 tampak belakang[6]