ATOM HIDROGEN

Nama Kelompok :

1. L.G. Dwi Karyani (1313031019)2. I Gusti Ayu Suryani (1313031026)3. Made Enny Budi Astuti (1313031027)

JURUSAN PENDIDIKAN KIMIAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS PENDIDIKAN GANESHASINGARAJA

2015

RINGKASAN

Persamaan Schrodinger Atom Hidrogen

Atom hidrogen terdiri dari satu elektron yang bermuatan negatif dan inti yang

mengandung hanya satu proton. Elektron bergerak di sekitar inti (mengelilingi inti) sebagai suatu

gelombang. Antara inti dengan elektron terdapat gaya elektrostatik atau Coulomb (Fc). Energi

potensial sistem atom hidrogen adalah:

drdvF

, dV = Fdr

drrekV

r

0 2

2.

dimana k = 1/(4πεo)

rkeV

2

Dalam sistem atom Hidrogen terdapat dua partikel yang saling berinteraksi (proton dan

elektron), sehingga massa partikel diganti dengan massa tereduksi (μ).

Dengan demikian, persamaan schrodinger untuk sistem atom hidrogen adalah :

Ψ = fungsi gelombang sebagai fungsi kedudukan

Pada sistem atom hidrogen, sistem koordinat yang digunakan adalah koordinat bola, bukan

kotak. Dalam koordinat polar, persamaan schrodiger atom Hidrogen menjadi :

Penyelesaian Persamaan Schrodinger Atom Hidrogen

Pemecahan fungsi gelombang tersebut menghasilkan tiga persamaan.

1.

2.

3.

Μ dan β adalah tetapan, dimana β = ℓ (ℓ + 1)

Persamaan pertama adalah persamaan yang paling mudah dikerjakan, sedangkan

persamaan ke dua dan ke tiga pemecahannya sangat rumit. Fungsi gelombang yang memenuhi

persamaan pertama adalah :

Bentuk fungsi gelombang sebagai hasil penyelesaian dari persamaan ke dua adalah :

adalah persamaan Assosiasi Legendre yang mempunyai bentuk umum sebagai

berikut :

disebut persamaan Rodriques yang mempunyai bentuk sebagai berikut :

Bentuk tetapan normalisasinya yaitu ;

.

Dengan demikian harga terbesar dari m adalah ±ℓ

/m/ ≤ ℓ

Bentuk fungsi gelombang penyelesaian persamaan ke tiga adalah sebagai berikut.

e adalah bilangan alam yang harganya 2,718281

dan

ao adalah jari-jari Bohr dan e adalah muatan elektron

adalah polinomial Laquerre terasosiasi yang bentuknya adalah sebagai

berikut.

L(n + ℓ) (ρ) disebut polinomial Laquerre yang bentuknya sebagai berikut.

Tetapan normalisasi fungsi gelombang radial atom hidrogen,

memberikan informasi tentang batasan bilangan kuantum n dan ℓ. Pembilang

pada tetapan normalisasi di atas mengandung faktorial, (n - ℓ -1)!. Karena bilangan faktorial

terkecil adalah 0, maka ;

(n - ℓ -1) = 0

ℓ = n-1

Karena harga terkecil dari ℓ adalah 0 (nol), maka n mempunyai harga dari 1, 2, 3, dst.

Bilangan Kuantum Utama dan Energi Atom hidrogen

Energi Atom hidrogen diperoleh dari penyelesaian persamaan ke tiga atom hidrogen yang

harganya ;

Bilangan kuantum Azimut dan Momentum Sudut

Momentum sudut orbital dapat diperoleh dengan mengerjakan operator kuadrat

momentuk sudut terhadap fungsi gelombang penyelesaian atom hydrogen. Besarnya momentum

sudut orbital hanya ditentukan oleh bilangan kuantum azimut, sehingga bilangan kuantum ini

sering disebut dengan bilangan kuantum momentum sudut orbital.

Bilangan Kuantum Magnetik dan Arah momentum Sudut

Momentum sudut adalah vektor yang disamping memiliki besar (kuantitas) juga memiliki arah.

Besarnya harga momentum sudut dinyatakan dengan panjang anak panah sedangkan arahnya

dinyatakan dengan ujung anak panah.

Bilangan Kuantum Spin dan Arah putar elektron

Uhlenbeck dan Goudsmit mengusulkan bahwa elektron, selain beregerak mengelilingi inti atom,

juga mempunyai gerakan rotasi sehingga disamping mempunyai momentum sudut orbital, juga

memiliki momentum sudut spin.

Kebolehjadian dan Diagram Orbital

Fungsi gelombang total hasil pemecahan persamaan schrodinger non-relativistik dari atom

hidrogen adalah produk atau hasil kali dari fungsi gelombang radial.

1. Peluang Radial

Salah satu postulat mekanika kuantum menyatakan bahwa harga fungsi gelombang atau

tepatnya kuadrat fungsi gelombang adalah kebolehjadian menemukan partikel pada kedudukan

atau posisi tertentu yang selanjutnya disebut orbital. Adanya harga fungsi gelombang pada

kedudukan tertentu berarti ada peluang menemukan elektron pada kedudukan tersebut. Grafik

aluran fungsi gelombang atau kuadrat fungsi gelombang terhadap kedudukan r, θ, dan φ

memberikan diagram peluang yang sulit dipahami.

2. Peluang Sudut

Peluang menemukan elektron pada sudut-sudut tertentu dari inti atom dapat dilakukan

dengan cara yang mirip dengan pembahasan seperti peluang radial, bila kita mempunyai bentuk

diagram sudut fungsi gelombang, yaitu suatu aluran harga fungsi gelombang terhadap sudut θ

dan φ. Bentuk persamaan fungsi gelombang sudut atom hidrogen, ternyata sebagian besar fungsi

gelombang tersebut adalah imaginer, keculai bila harga m = 0.

Problem

1. Tuliskan persamaan schrodinger atom hidrogen menggunakan sistem koordinat

bola ?

Jawab : Dalam koordinat bola, persamaan Schrodinger atom hydrogen menjadi

2. Pisahkanlah persamaan schrodinger atom hidrogen menjadi persamaan yang

hanya mengandung satu variabel saja, r, θ, dan ?

Jawab: Pemisahan variabel dilakukan dengan

mensubstitusikan persamaan 2 ke dalam persamaan Schrodinger atom hidrogen,

kemudian dikalikan dan dibagi persamaan 2, sehingga akan diperoleh rumusan

sebagi berikut

(pers. 3)

Prosesnya

a. Kita pindahkan ke ruas kiri fungsi (Eψ ) pada persamaan (1) ke ruas kiri

(pers. 1a)

b. Kalikan persamaan tersebut dengan persamaan 1a menjadi

(pers. 1b)

persamaan (1b) kita lakukan pemisahan variabel sebagai fungsi

Persamaan di atas menjadi

(pers. 3)

dari persamaan 3 tampak bahwa suku pertama dan keempat hanya bergantung pada

variabel r, suku kedua dan ketiga hanya bergantung variabel dan Penjumlahan suku-

suku yang hanya bergantung pada variabel r dan dua sudut ini akan selalu sama dengan

nol untuk sembarang nilai r, dan jika masing-masing suku sama dengan konstanta.

Konstanta untuk memisahkan persamaan Schrodinger yang mengandung variabel r

berharga ± l(l+1).

c. Suku yang hanya bergantung pada variabel r menjadi

(pers. 4)

d. Suku yang hanya bergantung pada variabel dan menjadi

(pers. 5a)

e. Setelah dikalikan dengan sin2 , persamaan 5 menjadi

(pers. 5b)

tampak bahwa persamaan (5b) juga terpisah menjadi dua bagian yaitu bagian yang hanya

bergantung pada variabel dan bagian yang bergantung pada variabel θ. Selanjutnya

tetapkan masing-masing bagian sama dengan konstanta -m2 dan m2, sehingga

a) = m2 (pers. 6)

b) (pers. 7.a)

Setelah dikalikan diperoleh

(pers. 7.b)

3. Jelaskan bagaimana bilangan kuantum azimut dibatasi oleh bilangan kuantum

utama ?

Jawab: Contoh bilangan kuantum azimuth dibatasi oleh bilangan kuantum utama yaitu

tetapan normalisasi fungsi gelombang radial atom hidrogen adalah

Tetapan di atas memberikan informasi tentang batasan bilangan kuantum n dan . Pembilang

pada tetapan normalisasi di atas mengandung factorial karena bilangan factorial

terkecil adalah 0, maka harga terbesar yang diperbolehkan adalah:

= 0 atau 0

Karena harga terkecil dari adalah 0, maka n mempunyai harga dari 1, 2, 3, dst.

4. Jelaskan apa yang dimaksud dengan orientasi ruang momentum sudut orbital

terkuantisasi

Jawab : Yang dimaksud dengan orientasi ruang momentum sudut orbital terkuantisasi

adalah pengaruh medan magnet yang menyatakan arah momentum sudut orbital.

Besarnya momentum sudut orbital bergantung pada bilangan kuantum azimuth yaitu:

Sedangkan, orientasi momentum sudut orbital ditentukan oleh bilangan kuantum

magnetik (m).

5. Jelaskan apa yang dimaksud dengan kulit atom dan sub kulit atom ?

Jawab: Kulit atom merupakan tingkat energi utama yang ditentukan oleh bilangan

kuantum utama (n). Subkulit atom adalah tingkat energi tambahan yang ditentukan oleh

bilangan kuantum azimuth (l), dimana sub kulit secara lengkap dinyatakan dengan dua

bilangan kuantum, yaitu n dan l sehingga dikenal sub kulit 1s, 2s, 3d, dan seterusnya.

Setiap sub kulit tersusun atas orbital-orbital yang ditentukan oleh 3 bilangan kuantum

yaitu n, l, dan m, sehingga dikenal orbital 1s0, 2p0, 2p-1, dan lain-lain. Jadi, yang

dimaksud dengan kulit atom adalah himpunan elektron yang dapat menempati bilangan

kuantum utama (n) yang sama dan subkulit atom adalah sejumlah elektron yang

mempunyai bilangan kuantum azimuth l dalam suatu kulit.

6. Buktikan bahwa kombinasi linear fungsi gelombang imaginer 2p-1 dengan 2p+1

menghasilkan fungsi gelombang real 2px dan 2py ?

Jawab: Bukti bahwa kombinasi linear fungsi gelombang imajiner 2p-1 dengan 2p+1

menghasilkan fungsi gelombang real 2px dan 2py adalah

Persamaan fungsi gelombang imajiner 2p-1 dengan 2p+1:

Penulisan fungsi gelombang di atas secara sederhana menjadi:

Kombinasi linear:

N adalah tetapan normalisasi fungsi gelombang hasil kombinasi linear.

Penyelesaian lebih lanjut persamaan di atas:

Karena dalam kurung terdapat faktor yang berhubungan dengan variabel r, yaitu

, maka variabel r dalam kurung dapat dikeluarkan:

Besaran adalah sama dengan x pada koordinat Cartesian sehingga sama

dengan .

Penyelesaian lebih lanjut persamaan di atas:

7. Gambarkan diagram fungsi gelombang radial dan fungsi gelombang sudut

(permukaan kontur orbital) dari elektron yang berkelakuan sebagai gelombang

ψ3dxy. Jelaskan makna diagram tersebut dikaitkan dengan gambaran atom

modern

Jawab: Gambar diagram fungsi gelombang radial dan fungsi gelombang sudut

(permukaan kontur orbital) dari elektron yang berkelakuan sebagai gelombang

adalah

Makna diagram tersebut dikaitkan dengan gambaran atom modern yaitu

Diagram fungsi gelombang radial adalah sebagai berikut.

Diagram fungsi gelombang radial ini menggambarkan kebolehjadian menemukan

elektron pada volume setebal kulit bola (dr) pada jarak r dari inti (r sampai r + dr).

Berdasarkan grafik tersebut maka peluang menemukan elektron pada orbital 3dxy adalah

dari rentangan 0-20. Penggambaran diagram fungsi gelombang radial dari elektron yang

berkelakuan sebagai gelombang memiliki bilangan kuantum utama 3 dan memiliki

bilangan kuantum azimuth yaitu 2. Dari grafik peluang kebolehjadian menemukan

elektron pada atom hidrogen di atas, r adalah jarak dari inti dan a0 adalah jari-jari atom

hidrogen.

Diagram fungsi gelombang sudut (permukaan kontur orbital) dari elektron yang

berkelakuan sebagai gelombang adalah sebagai berikut.

Makna grafik sudut orbital 3dxy di atas adalah kebolehjadian menemukan elektron yang

menempati orbital 3dxy adalah di antara sumbu xy dan yz. Tanda positif dan negatif pada

diagram di atas adalah tanda matematika dari harga fungsi gelombang pada sudut dan

tertentu. Bentuk diagram permukaan kontur dan tanda matematika memegang peranan

penting dalam menggambarkan ikatan kimia. Ikatan antar orbital atom terjadi apabila

bagian positif dari orbital yang satu tumpangsuh dengan bagian negatif dari orbital yang

lain. Ikatan yang terjadi searah dengan sumbu orbital atom yang berikatan disebut dengan

ikatan sigma ( ), sedangkan ikatan kimia yang terjadi sejajar sumbu (parallel) disebut

dengan ikatan phi ( ), atau bisa ikatan delta ( ).

8. Buktikan bahwa peluang radial terbesar menemukan elektron pada orbital 1s

adalah pada jarak sama dengan jari-jari Bohr ?

Jawab: Bukti bahwa peluang radial terbesar menemukan elektron pada orbital 1s adalah

jarak sama dengan jari-jari Bohr adalah

Untuk menentukan probabilitas menemukan elektron dalam sel speris dengan ketebalan

dr pada jarak r dari inti diberikan oleh: . Peluang radial (Pr) juga

dapat dinyatakan dengan mengintegrasikan langsung kuadrat fungsi gelombang radial

terhadap integral volume, .

Karena hanya digunakan variabel radial (r), maka fungsi gelombang sudut dibuat tetap

dengan menganggapnya sebagai konstanta, maka:

Untuk menemukan kebolehjadiannya maka dapat dihitung dengan menurunkan

persamaan kerapatan peluang radial dan dihargakan 0.

9. Diketahui fungsi gelombang sudut θ atm hidrogen adalah :

Θl,m (θ) = (2l+1)(l-/m/)! / 2(l+/m/). Plm (cosθ)

Tunjukkan bahwa bilangan kuantum magnetik dibatasi oleh bilangan kuantum

azimut: /m/ ≤ 1

Jawab:

Penyelesaian fungsi gelombang ternormalisasinya adalah:

disebut sebagai polinominal Legendre terasosiasi dari derajat l dan order m

dengan l .

Persamaan untuk adalah sebagai berikut:

Persamaan tersebut ditentukan oleh dua tetapan, yaitu m dan l. Bentuk tetapan

normalisasi yaitu:

Pembilang pada tetapan diatas mengandung suku faktorial . Dari penyelesaian

persamaan gelombang yang mengandung variabel telah didapatkan bahwa m berharga

0, ±1, ±2, dst, sehingga mempunyai harga dari 0, 1, 2, dst namun tidak diperbolehkan

atau .

10. Apa yang dimaksud dengan momentum sudut orbital dan momentum sudut spin,

bilangan kuantum apa saja yang menentukan harga momentum sudut tersebut, dan

hitunglah momentum sudut orbital dan sudut spin dari elektron yang berkelakuan

sebagai gelombang ψ3dx0.

Jawab: Yang dimaksud dengan momentum sudut orbital adalah vektor yang memiliki

besar dan arah yang berhubungan dengan sifat atom dan momentum sudut spin adalah

momentum yang dibentuk akibat adanya gerakan rotasi elektron selain bergerak

mengelilingi inti atom. Bilangan kuantum yang menentukan harga momentum sudut

adalah bilangan kuantum magnetik dan bilangan kuantum spin.

Momentum sudut spin adalah momentum sudut yang disebabkan karena elektron

memiliki gerakan rotasi. Bilangan kuantum yang menentukan harga momentum sudut

spin adalah bilangan kuantum spin yang terlihat dari persamaan momentum sudut spin

dan momentum sudut spin arah z, yaitu:

dimana s = +1/2

dimana ms = -1/2 dan +1/2

Momentum sudut orbital dari elektron yang berkelakuan sebagai gelombang

adalah:

L = = [2(2+1)]1/2 =

Momentum sudut spin elektron yang berkelakuan sebagai gelombang

adalah:

=

= ½

11. Hitunglah harga ekspektasi r suatu elektron yang berkelakuan sebagai gelombang

1s dan 2s. Diketahui :