bab i vektor gaya dan resultan sistem gaya · (b) (c) p q r p q r gambar 1.3. resultan vektor dua...

BAB I VEKTOR GAYA DAN RESULTAN SISTEM GAYA

1

X(+) X(-)

Y(+)

Y(-)

BAB I

VEKTOR GAYA DAN RESULTAN SISTEM GAYA

Pada bab ini, kita akan mempelajari pengaruh gaya-gaya yang bekerja pada

suatu partikel. Pemakaian kata “partikel” tidak berarti bahwa kita membatasi

pelajaran kita pada benda yang kecil. Yang dimaksud di sini adalah ukuran dan

bentuk benda yang ditinjau tidak banyak mempengaruhi penyelesaian masalah.

Gaya termasuk besaran vektor. Sehingga pada materi ini kita akan lebih sering

menggunakan istilah vektor sebagai pengganti besaran gaya. Karena gaya merupakan

besaran vektor, maka sebuah gaya akan ditentukan oleh besar dan arahnya.

Besarnya suatu gaya ditentukan oleh suatu satuan. Dalam SI, gaya

mempunyai satuan Newton(N), sedang sistem satuan Amerika menggunakan satuan

pound(lb). Arah gaya ditentukan dengan suatu tanda panah. Perjanjian tanda yang

lazim untuk menyatakan arah gaya dapat dilihat pada gambar 1.1.

Gambar 1.1. Perjanjian tanda arah gaya

A. GAYA PADA BIDANG DATAR

Dua buah vektor , seperti tampak pada gambar 1.2(a) dan (b), yang

mempunyai besar dan garis aksi yang sama tetapi arah berbeda, akan memberikan

efek yang berlawanan bila bereaksi pada sebuah benda.


2

(a) (b)

30 30

Gambar 1.2. Vektor A dan bentuk negatifnya

(a) A A A

(b) (c)

P

Q

R

P

Q

R

Gambar 1.3. Resultan vektor

Dua buah vektor P dan Q yang bekerja pada sebuah benda A (gambar 1.3(a)) dapat

digantikan dengan sebuah vektor tunggal R yang akan memberikan efek yang sama

pada benda tersebut (gambar 1.3(c)). Vektor ini disebut vektor resultan dari vektor P

dan Q.

Dua buah vektor yang besar dan arahnya sama disebut kedua vektor itu sama,

tidak tergantung apakah keduanya mempunyai titik aksi yang sama atau berbeda

(gambar 1.4). Dua vektor yang besarnya sama, garis aksi sejajar tetapi berlawanan

arah disebut kedua tersebut berbeda (gambar 1.5).


3

A

B B

A

R

(a) (b)

Gambar 1.6. Hukum Jajaran genjang

Gambar 1.4. Dua vektor yang sama Gambar 1.5. Dua vektor yang berbeda

B. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN GAYA

Dua buah vektor gaya A dan B bekerja pada satu titik tangkap dan

membentuk sudut apit . Resultan atau jumlah kedua vektor tersebut dicari

menggunakan hukum jajaran genjang (gambar 1.6(a) dan (b)).

Besarnya resultan dapat dihitung menggunakan persamaan sebagai berikut :

R = = s (1)

Dari hukum jajaran genjang, dapat diturunkan cara lain untuk menentukan

jumlah dua buah vektor gaya. Metode ini dikenal dengan hukum segitiga (gambar

1.7(a), (b), dan (c), gambar 1.8, dan gambar 1.9)


4

A

B

-B

Gambar 1.10. Pengurangan vektor

A-B

A

B B A

A+B ATAU

A+B

A

B

(a) (b) (c)

Gambar 1.7. Hukum Segitiga

Gambar 1.8. Hukum Segitiga Gambar 1.9. Hukum Segitiga

Pengurangan vektor gaya didefinisikan sebagai penjumlahan suatu vektor

yang sama dengan arah berlawanan. Gambar 1.10 memperlihatkan pengurangan dua

vektor A dan B.


5

a b

c

Besarnya A-B dihitung menggunakan persamaan berikut ini :

A-B = s (2)

Dimana = 180 - dan cos (180 - ) = - cos , sehingga persamaan 2 dapat diubah

menjadi :

A-B = s (3)

Rumus hukum segitiga yang sering digunakan dalam perhitungan adalah

sebagai berikut :

a

sin

b

sin

sin

Contoh 1.

Dua buah gaya P dan Q beraksi pada suatu paku

A. Tentukan resultannya.


6

P = 40 N

Q = 60 N

R

20

25

Penyelesaian :

R = P P s

= s = 97.73 N

Contoh 2.

Sebuah tiang pancang ditarik dari tanah

dengan memakai dua tali seperti tampak

pada gambar.

a. tentukan besar gaya P sehingga gaya

resultan yang timbul pada tiang

mengarah vertikal.

b. Berapa besar resultan tersebut ?.

30


7

Penyelesaian :

Contoh 3.

Karena resultan kedua gaya pada tiang

harus vertikal, maka gambar gaya di

samping dapat diubah seperti tampak

pada gambar berikut.

a. Dengan menggunakan persamaan hukum

segitiga diperoleh persamaan sebagai

berikut.

30sin

120

25sin

P

sehingga :

P = 120 x 30sin

25sin = 101,43 N

b. 125sin

R

30sin

120

R = 196,6 N

Tentukan dengan trigonometri besar dan arah

resultan dua gaya seperti tampak pada gambar

di samping.


8

25 45

200 lb

300 lb

R

25

45

200 lb

300 lb

R

a

110

Penyelesaian :

R = 70 cos3002002 300 200 22

= 413,57 lb

Untuk menghitung arah resultan gaya

digunakan hukum segitiga.

110sin

413,57

asin

200

diperoleh a = 27

sehingga arah resultan gaya = 45 + 27

= 72


9

Contoh 4.

Penyelesaian :

C. KOMPONEN TEGAK LURUS SUATU GAYA

Sebuah vektor gaya dapat diuraikan dalam sebuah bidang Cartesian dalam

komponen Fx sepanjang sumbu x dan Fy sepanjang sumbu y seperti tampak pada

gambar 1.11.

Sebuah mobil mogok ditarik dengan dua tali

seperti tampak pada gambar. Tegangan di

AB sebesar 400 lb dan sudut sebesar 20.

Diketahui resultan dari dua gaya tersebut

bekerja di A diarahkan sepanjang sumbu

mobil. Tentukan dengan trigonometri (a)

tegangan pada tali AC, (b) besar resultan

kedua gaya yang beraksi di A.

a. Gunakan hukum segitiga :

20sin

400

30sin

AC

AC = 584,76 lb

b. Gunakan hukum segitiga :

20sin

400

130sin

R

R = 895,9 lb


10

Gambar 1.11. Uraian vektor

Begitu juga sebaliknya, jika diketahui dua komponen gaya Fx dan Fy yang saling

tegak lurus, maka dapat dihitung resultan kedua gaya dan arah resultan gaya tersebut

menggunakan persamaan berikut :

Fx

Fy tan (6)

22 Fy Fx F (7)

D. RESULTAN GAYA DENGAN MENAMBAH KOMPONEN X DAN Y

Tiga buah gaya F1, F2, dan F3 bekerja pada suatu bidang kartesian pada satu

titik tangkap seperti ditunjukkan pada gambar 1.12.

Dimana :

Fx = Fcos (4)

Fy = Fsin (5)


11

Untuk mencari resultan ketiga gaya tersebut, maka harus diuraikan masing-

masing gaya terhadap sumbu x dan y sehingga terdapat komponen gaya-gaya :

F1x = F1cos 1

F1y = F1sin 1

F2x = F2cos 2

F2y = F2sin 2

F3x = F3cos 3

F3y = F3sin 3

Dari komponen-komponen gaya di atas, dapat dijumlahkan secara aljabar

terhadap sumbu x dan y, yaitu :

Fx = F1x - F2x + F3x (8)

dan

Fy = F1y + F2y - F3y (9)

sehingga resultan ketiga gaya dicari menggunakan persamaan :

X

Y

F1

F2

F3

F1x

F1y

F2x

F2y

F3x

F3y

1

3

2

Gambar 1.12. Resultan Beberapa Vektor


12

X

45 lb

60 lb

75 lb

Y

2y

2x F F R (10)

Contoh 5.

Penyelesaian :

Tentukan komponen x dan y setiap gaya

pada gambar di samping.

Besar(lb) Sumbu X(lb) Sumbu Y(lb)

60 60cos 35 = 49,15 60sin 35 = 34,41

45 45cos 55 = 25,81 45sin 55 = 36,86

75 75cos 50 = 48,21 75sin 50 = 57,45


13

G

D

E

F P

600 N

56

30

Contoh 6.

Penyelesaian :

Silinder hidrolik GE menimbulkan

suatu gaya P diarahkan sepanjang

garis GE pada bagian DF.

Diketahui P harus mempunyai

komponen tegak lurus DF sebesar

600 N. Tentukan :

a. besar gaya P.

b. komponennya yang sejajar

terhadap DF.

a. Py = Psin 30

600 = 0,5P

P = 1200 N

b. Px = Pcos 30

= 1200 cos 30

= 1039,23 N


14

Contoh 7.

Penyelesaian :

Tegangan pada kabel penguat tiang

telepon sebesar 370 lb. Tentukan

komponen horizontal dan vertikal gaya

yang ditimbulkan pada penambat di C.

R = ft 18,5 17,5 6 22

Tx = - Tcos

= - 370 x 18,5

6 = - 120 lb

= 120 lb (ke kiri)

Ty = Tsin

= 370 x 18,5

17,5 = 350 lb


15

E. KESETIMBANGAN SUATU PARTIKEL

Bila resultan semua gaya yang bekerja pada suatu partikel adalah nol, maka

partikel tersebut dalam keadaan setimbang. Syarat untuk mencapai keadaan

setimbang secara matematis dapat ditulis sebagai berikut ini :

Fx = 0 dan Fy = 0 (11)

contoh 8.

Penyelesaian :

Fx = 0

TBC Cos 30 – TAC Cos 50 = 0

0,87 TBC = 0,64 TAC

TAC

TBC

TACSIN 50

TACCOS 50

TBCSIN 30

TBCCOS 30

400

X

Y

30 50

Dua kabel diikatkan bersama-

sama di C dan diberi beban

seperti terlihat pada gambar.

Tentukan tegangan di AC dan

BC.


16

A

30 60

W = 20 N

A

30 60

W = 20 N

T3

T1 T2

TBC = 0,74 TAC (a)

Fy = 0

TAC Sin 50 + TBC Sin 30 – 400 = 0

0,77 TAC + 0,5 TBC = 400 (b)

Substitusikan (a) ke dalam (b) :

0,77 TAC + 0,5 (0,74 TAC) = 400

1,14 TAC = 400

TAC = 350,88 lb

Masukkan TAC ke dalam (a) :

TBC = 0,74 x 350,88

= 259,65 lb

Contoh 9 :

Hitung tegangan tali T1, T2, dan T3 pada gambar berikut ini jika titik A setimbang. W

adalah berat benda.

Penyelesaian :

Diagram gaya-gaya yang bekerja :


17

X

Y

T1

T1cos 30

T1sin 30

T2

T2cos 60

T2sin 60

30 60

T3

Tinjau benda W :

Benda ini berada pada keadaan setimbang sehingga :

T3 = W = 20 N

Tinjau titik A :

Karena titik ini setimbang, maka berlaku syarat kesetimbangan.

FX = 0

T2cos 60 - T1cos 30 = 0

T2 2

1 = T1 3

2

1

T2 = T1 3 (1)

FY = 0

T1sin 60 + T2sin 30 - T3 = 0

T1 32

1 +T2

2

1 = T3 (2)

Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2), kita peroleh :

T1 32

1 + (T1 3 )

2

1 = 20


18

T1 3 = 20

T1 = 3

20 N

Subtitusikan nilai T1 ke persamaan (1) untuk mendapatkan nilai T2

T1 = 20 N

Contoh 10.

Penyelesaian :

Suatu kotak yang dapat

digerakkan berikut isinya

mempunyai 960 lb. Tentukan

panjang rantai terpendek ACB

yang dapat digunakan untuk

mengangkat beban kotak tersebut

bila tegangan pada rantai tidak

melebihi 730 lb.

Karena berbentuk simetris, maka TAC = TBC

= T.

Fy = 0

2T sin - 960 = 0

2 x 730 x sin = 960

sin = 0,658

= 41,1

sehingga R = 41,1 cos

13,75 = 18,33 in

maka panjang rantai minimum

=2 x 18,33 = 36,67 in


19

LATIHAN

1. Determine the magnitude of the

resultant force FR = F1 + F3 and

its direction, measured

counterclockwise from the

positive x-axis.

2. Determine the magnitude of the

resultant force FR = F1 + F2 and

its direction, measured

counterclockwise from the

positive x-axis

3. Resolve the force F1 into components acting

the u and v axes and determine the magnitudes

of the components


20

4. The plate is subjected to the two forces at A

and B as shown. If = 60, determine the

magnitude of the resultant of these forces and

its direction measured from the horizontal

5. Determine the magnitudes of F1 and F2 so that

the particle P is in equilibrium

6. Determine the magnitude and direction of F

so that the particle is in equilibrium


21

7. The device shown is used to straighten the

frames of wrecked autos. Determine the

tension of each segment of the chain, i.e.,

AB and BC if the force which hydraulic

cylinder DB exerts on point B is 3,50 kN, as

shown

8. Determine the force in cables AB and

AC necessary to support the 12 kg

traffic light

9. Coeds AB and AC can each sustain a

maximum tension of 800 lb. If the drum has a

weight of 900 lb, determine the smallest angle

at which they can be attached to the drum


22

10. The 500 lb crate is hoisted using the ropes

AB and AC. Each rope can withstand a

maximum tension 2500 lb before it breaks. If

AB always remains horizontal, determine the

smallest angle to which the crate can be

hoisted

bab i vektor gaya dan resultan sistem gaya · (b) (c) p q r p q r gambar 1.3. resultan vektor dua...

Documents