Pengenalan Dasar SinyalSistem Linier

-Harmini-

Universitas Semarang

Penilaian

• Tugas 20%• UTS 30%• UAS 40%• Kehadiran 10%

Bab 1 Pengenalan Dasar Sinyal

Tujuan:1. Siswa mampu menyelesaikan permasalahan

terkait dengan konsep sinyal, menggambarkan perbedaan sinyal waktu kontinyu dengan sinyal waktu diskrit

2. Siswa mampu menjelaskan dasar proses sampling

3. Siswa mampu menggambarkan operasi dasar sinyal

Sub Bab

1. Pengantar2. Klasifikasi sinyal3. Sinyal Waktu Kontinyu4. Sinyal Waktu Diskrit5. Sinyal Sinusoida6. Proses Sampling7. Operasi Dasar Sinyal

• Oppenheim, Signal and System, 1997• Schaum Series, Signal and System, Theory and

Problem, McGraw-Hill, 1995• Benoit Boulet, Fundamental of Signal and

System, Charles River Media, 2005

Definisi Sinyal

• Fungsi yang merepresentasikan besaran fisik atau

variabel yang berisi informasi tentang tingkah laku atau

phenomena alam pada sistem.

• Sinyal direpresentasikan sebagai sebuah fungsi variabel

t yang independen.

• Waktu direpresentasikan t , sehingga sinyal dinotasikan

dengan x(t).

• Memiliki nilai real atau nilai skalar yang merupakan

fungsi dari variabel waktu t.

Contoh Sinyal

• Gelombang tegangan dan arus yang terdapat pada suatu rangkaian listrik.

• Sinyal audio seperti sinyal wicara atau musik• Gaya-gaya pada torsi dalam suatu sistem

mekanik• Laju aliran pada fluida atau gas dalam suatu

proses kimia

Klasifikasi Sinyal

Klasifikasi sinyal antara lain:

1. Sinyal dalam domain waktu kontinue dan diskrit

2. Sinyal analog dan digital

3. Sinyal real dan komplek

4. Sinyal genap dan ganjil (Even and Odd Signal)

5. Sinyal periodik dan non - periodik

Sinyal Kontinyu dan Diskrit• Sinyal dikatakan sebagai sinyal kontinyu jika t merupakan variabel

kontinyu yang mempunyai nilai bilangan real x(t)• X(t) sering disebut sebagai sinyal analog.

f (t) (− ∞, ∞)∈

• Sinyal dikatakan diskrit apabila x[t] mempunyai nilai bilangan riil pada waktu t yang terdiskritasi t=tn, dimana n adalah bilangan bulat.

• Sinyal diskrit dihasilkan dari penyamplingan sinyal waktu kontinyu tn= n.T dimana n adalah interval sampling

Sinyal Analog dan Digital

• Sinyal analog adalah sinyal kontinue x(t) yang mempunyai interval secara kontinue (a,b) dimana a = -∞ sampai b = +∞.

• Sedangkan jika sinyal waktu diskrit x[n] hanya dapat mengambil nilai yang terbatas.

Sinyal Real dan Complex• Sinyal real jika nilainya berupa bilangan real dan sinyal

complex jika nilainya berup bilangan complex.

• Dimana:x1(t) dan x2(t) adalah sinyal real dan j =

Sinyal Genap dan Ganjil (Even and Odd signal)• Sinyal x(t) atau x[n] disebut sinyal genap atau even signal jika:

• Sinyal x(t) atau x[n] disebut sinyal ganjil atau odd signal jika:

Sinyal Periodik dan non Periodic• Sinyal x(t) diktakan sebagai sinyal periodic dengan periode T

jika ada nilai positif (non-zero) T:

Sinyal waktu kontinyu

• Fungsi Step• Fungsi Ramp• Fungsi Impulse• Sinyal Periodik

Fungsi Step• Heavyside unit function atau Fungsi Unit Step:u(t) =

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

waktu(t)

u(t)

Unit Step clc;clear all;k=0;for t=-1:0.01:3, if t<= 0, k=k+1;x(k)=0; elseif t >= 0, k=k+1;x(k)=1; endendt=-1:0.01:3;plot(t,x):grid;xlabel('waktu (t)')ylabel('u(t)')

Shifted Unit Step• u(t-t0) =

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Shifted Unit Step

Waktu (t)

U(t

)

clc;clear all;t0=1;k=0;for t=-1:0.01:3, if t<= t0, k=k+1;x(k)=0; elseif t >= t0, k=k+1;x(k)=1; endendt=-1:0.01:3;plot(t,x):grid;xlabel('waktu (t)')ylabel('u(t)')

Fungsi Ramp• Fungsi ramp (tanjakan) r(t) didefinisikan secara matematik:

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

waktu (t)

u(t)

fungsi ramp

clc;clear all;k=0;for t=-1:0.01:3,if t< 0, k=k+1;x(k)=0;elseif t >= 0, k=k+1;x(k)=t;endendt=-1:0.01:3;plot(t,x);xlabel('waktu (t)')ylabel('u(t)')title ('fungsi ramp')

Fungsi Impulse

•

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Waktu (t)

u(t)

Fungsi Impulseclc;clear all;k=0;for t=-1:0.01:3, if t == 0, k=k+1;x(k)=1; else k=k+1;x(k)=0; endendt=-1:0.01:3;plot(t,x):grid;xlabel('waktu (t)')ylabel('u(t)')

Unit impulse δ(t) juga dikenal sebagai fungsi delta atau distribusi Dirac

Sinyal Periodik• Sebuah sinyal waktu kontinyu x(t), disebut periodik dengan

periode T (riil) positif, apabila: x(t+nT) = x(t), untuk semua t, -∞ < t<∞, n=1,2,3,...

• u(t) =

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

waktu (t)

u(t)

sinyal periodik

Sinyal periodik gelombang kotak • T=4• X(t+nT) adalah:

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Waktu (t)

u(t)

sinyal periodik berupa sinyal persegi

• Contoh lain sinyal periodik adalah suatu sinyal sinusoida• X(t) = A cos (ωt +θ)Dimana:A : AmplitudoΩ : Frekuensi dalam radian per detik (rad/detik)Θ : fase dalam radianFrekuensi f dalam hertz (Hz) atau siklus per detik adalah sebesar

f =ω/2π.

Contoh sinyal periodik• Jika x1(t) dan x2(t) adalah sinyal-sinyal periodik dengan

masing-masing periodenya T1 dan T2:X1(t+nT1) + x2(t+nT2) = x1(t) + x2(t), untuk semua t

Persamaan diatas terpenuhi sabagai sinyal periodik jika dan hanya jika T1/T2 = p/q, dimana p dan q adalah integer.

Contoh:

T1/T2 = 4/6 sehingga 3T1 = 2T2 =T, jadi x1(t) dan x2(t) akan periodik pada :T= 3T1 = 3*4 =12 second

0 5 10 15 20 25-1

-0.5

0

0.5

1

Waktu (t)

u(t)

sinyal periodik berupa sinyal sinus

0 5 10 15 20 25-2

-1

0

1

2

Waktu (t)

xy(t

)=x1

(t)

+ x

2(t)

sinyal periodik berupa sinyal sinus

t=(1:100)/4;x1=cos (pi/2*t);x2=cos (pi/3*t);xy=x1+x2;subplot(2,1,1)plot(t,x1,t,x2,'linewidth',2)xlabel('Waktu (t)')ylabel('u(t)')title('sinyal periodik berupa sinyal sinus')subplot (2,1,2)plot(t,xy,'linewidth',2)xlabel('Waktu (t)')ylabel('xy(t)=x1(t) + x2(t)')title('sinyal periodik berupa sinyal sinus')

Sinyal dengan pergeseran waktu• X(t+t1), jika t1 negatif maka x(t) digeser kekanan sebesar t1

jika t1 positif maka x(t) digeser kekiri sebesar t1

• u(t-1) =

• u(t) =

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

waktu (t)

u(t)

sinyal pergeseran waktu

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

waktu (t)

u(t)

sinyal pergeseran waktu

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 60

0.5

1

waktu (t)

u(t)

sinyal pergeseran waktu

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 60

0.5

1

waktu (t)

u(t)

sinyal pergeseran waktu

Sinyal Interval per interval• Sinyal kontinyu sering ditentukan oleh interval per interval• Contoh:

Sinyal diatas dapat dinyatakan secara analitik dalam fungsi unit step u(t) dan pergeseran waktu dari u(t+t1)

contoh• X(t) =u(t+1)-2u(t-1) +u(t-3)• Penyelesaian:• X(t) = (1)[u(t+1)-u(t-1)] + (-1)[u(t-1)-u(t-3)]

-1 0 1 2 3 4 5 6-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

waktu (t)

x(t

)

sinyal kontinyu interval per interval

Sinyal waktu diskrit

• Pada sinyal diskrit x[t] t disebut sebagai variabel waktu diskrit (discrete time variable) jika t hanya menempati nilai-nilai diskrit t=tn untuk beberapa rentang nilai integer pada n.

• Sebagai contoh t dapat menempati suatu nilai integer 0,1,2,3,..; dimana t=tn=n untuk suatu nilai n=0,1,2,3,..

• Salah satu cara yang sangat umum adalah sinyal waktu diskrit dihasilkan dari penyamplingan sinyal waktu kontinyu, tn=n.T, dimana T adalah interval sampling

contoh• X[n]=[0 1 2 1 0 -1 0] artinya x[0]=0, x[1]=2, x[2]=1, x[3]=0 dan

x[4]=-1 sementara untuk x[n] yang lain adalah nol

1 2 3 4 5 6 7-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

waktu (t)

x(t)

Sinyal Diskrit

clc;clear all;x = [0 1 2 1 0 -1 0];t=1:1:7;plot(t,x);stem(t,x);grid on;

Sinyal Diskrit dan Sinyal Digital• Pada sinyal digital, sinyal diskrit hasil proses pensamplingan

diolah lebih lanjut. • Sinyal hasil sampling akan dibandingkan dengan beberapa nilai

threshold tertentu sesuai dengan level-level digital yang dikehendaki

• Apabila suatu nilai sampel yang didapatkan memiliki nilai lebih tinggi dari sebuah treshold maka nilai digitalnya ditetapkan mengikuti nilai integer diatasnya, tetapi apabila nilainya lebih rendah dari threshold ditetapkan nilainya mengikuti nilai integer dibawahnya. Proses ini didalam proses ADC (Analog to Digital converter) sebagai kuantisasi (Quantizing)

contoh• Ditentukan level digital sebanyak 11, mulai dari 0 sampai

dengan 10, jika nilai treshold sebanyak 10 atau level kuatisasi sebesar ±0.5 terhadap nilai integer, maka tunjukkan gambaran bentuk sinyal diskrit dan sinyal digital yang dihasilkan.

Sekuen Konstan• Sinyal ini dihasilkan dari sampling sinyal waktu kontinyu yang

nilainya konstan, misalnya sinyal DC. Representasi bentuk sinyal waktu diskrit berupa deret pulsa-pulsa bernilai sama mulai dari negatif tak berhingga sampai dengan positif berhingga.

• Gambaran matematis untuk sinyal ini adalah:f(nT)=1 untuk semua nilai n

Fungsi step diskrit• Fungsi unit step diskrit u[n]:

clc;clear all;k=0;for t=-1:1:6,if t< 0, k=k+1;x(k)=0;elseif t >= 0, k=k+1;x(k)=1;endendt=-1:1:6;plot(t,x);stem(t,x);grid onxlabel('waktu (t)')ylabel('u(t)')title ('Sinyal Diskrit fungsi step')

-1 0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

waktu (t)

u(t)

Sinyal Diskrit fungsi step

Sekuen Impulse• Sekuen impulse bukan merupakan bentuk sampel dari suatu

sinyal waktu digital. Sekuen impulse pada saat bernilai 1 untuk titik ke -0 dan yang lainnya bernilai nol.

-1 0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

waktu (t)

u(t)

Sinyal Diskrit Fungsi Impulse

Fungsi ramp diskrit

-1 0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

waktu (t)

u(t

)

Sinyal Diskrit fungsi ramp

Sekuen rectangular (persegi)

• Sebuah fungsi pulsa rectangular waktu diskrit PL[n] dengan panjang L didefinisikan sebagai berikut:

Sinusoida Diskrit• Sebuah sinyal diskrit x[n] akan

menjadi bentuk sinyal diskrit periodik apabila terjadi perulangan bentuk setelah suatu periode r tertentu.

• X[n+r]=x[n]• Sinyal sinus x[n]= A cos (Ωn+θ)

Sinyal Sinusoida

• Semua sinyal yang ada didalam proses pengolahan sinyal dapat didekati dengan model dasar sinyal sinus.

• Lebih mudah dipahami• Memiliki frekuensi tunggal• Parameter pada sinyal sinus

y(t)= A sin (2πft + θ)dimana:A = Amplitudo (dalam nilai real)f = frekuensi (dalam Hz)θ = fase awal sinyal (antara 0 s/d 360o) atau dalam radian (0 s/d 2π)

Contoh• Y(t) = 5 sin (2πft)• Y(t) = 5 sin (2π2t) Artinya:Amplitudo = 5Frekuensi = 2

HzFase awal = 0o

Contoh soal

1. Gambarkan sebuah sinyal sinus waktu kontinyu dengan periode T=0,2 dan fase awal θ = 0

2. Gambarkan sebuah sinyal sinus waktu diskrit dengan periode Ω = 2π dan fase awal θ = 90o

3. Gambarkan sebuah sinyal sinus waktu kontinyu dengan periode Ω = 5π dan fase awal θ = 0.5π radiant

Catatan:Radian = (derajad/180 )* pi

Proses Sampling

• Proses pengambilan sampel disebut dengan sampling dan dilakukan secara periodik setiap T detik yang kemudian dikenal dengan periode sampling.

• Proses pengambilan sample bisa dilakukan dalam waktu ts (time sampling) yang jauh lebih kecil dibandimgkan T, sehingga output yang dihasilkan berupa pulsa-pulsa sinyal tersampel.

Rangkaian Sampling

contoh• Diberikan sebuah sinyal sinus dalam waktu kontinyu yang

memiliki bentuk satu periode. Sebagai bentuk penyederhanaan dianggap bahwa sinyal tersebut memiliki frekuensi 1 Hz dan fase awalnya nol, serta amplitudo 5 volt. Untuk penggambaran sinyal diskrit sinus dilakukkan dengan pengambilan sampel sebanyak 16 dengan periode sampling yang uniform. Gambarkan bentuk sinyal tersebut dalam waktu kontinyu dan dalam waktu diskrit.

Penyelesaian Bentuk penggambaran sinyal diskrit adalah berupa titik sampel-sampel yang diambil pada periode tertentu untuk sinyal sinus yang disampel

Gambar hasil sampling

Operasi Dasar Sinyal• Untuk sinyal waktu kontinyu dan waktu diskrit• Operasi dasar sinyal antara lain:

1. Atenuasi (Pelemahan)2. Amplifikasi (Penguatan)3. Delay (Pergeseran)4. Penjumlahan5. Perkalian

Atenuasi (Pelemahan)

• Secara matematis:h(t) = a* s(t)dimana:a<1, yang merupakan konstanta pelemahan yang terjadi

Contoh atenuasi

• Sebuah sinyal sinus s(t) = 2 sin (2πfst) melalui suatu medium kanan yang bersifat meredam dengan konstanta atenuasi 0,5. berikan gambaran bentuk sinyal sebelum dan sesudah melalui medium

Penyelesaian:Bentuk sinyal setelah melalui medium merupakan hasil kali masuk dengan konstanta redaman yang memiliki kanal yang dilauinya. Dengan memanfaatkan persamaan matematik diatas diperoleh bentuk sinyal keluaran:

Amplifikasi• Secara matematis persamaan sama dengan operasi atenuasi

tetapi konstanta pada amplifikasi a>1Contoh:

sebuah sinyal sinus x(t)= 2 sin(2πfst) dekuatkan oleh sebuah rangkaian dengan gain 2x. Berikan gambaran bentuk sinyal sebelum dan sesudah melewati penguat.

Penyelesaian:Hasil sinyal adalah hasil kali antara sinyal yang masuk dengan gain. Dengan memanfaatkan persamaan matematik diatas diperoleh bentuk sinyal keluaran sebagai berikut:

Xo(t) = 2*x(t) = 2*2* sin(2πfst) = 4 sin (2πfst)

Contoh amplifikasi

Pergeseran

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

waktu (t)

u(t)

sinyal tanpa pergeseran waktu

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

waktu (t)

u(t)

sinyal pergeseran waktu

-2 -1 0 1 2 3 4 50

0.5

1

waktu (t)

u(t)

sinyal tanpa pergeseran waktu

-2 -1 0 1 2 3 4 50

0.5

1

waktu (t)

u(t)

sinyal pergeseran waktu

Penjumlahan

Secara matematik dapat dituliskan sebagai berikut:

Contoh penjumlahan sinyal• Sinyal sinus f(t)= sin(4πfct) dijumlahkan dengan sinyal h(t)=sin(8πfct).• Proses penjumlahan dilakukan dengan menjumlahkan komponen sinyal

f(t) dan sinyal h(t) untuk setiap kali nilai t yang sama.• Secara matematis dituliskan:

g(t)=f(t) +h(t)g(t)= sin(4πfct) + sin(8πfct).

Perkalian

• Dalam operasi matematik perkalian antar dua sinyal, sinyal komponen ke-t sinyal-sinyal pertama dikalikan dengan komponen ke-t sinyal ke dua.

Contoh perkalian sinyal• Sebuah pemancar AM DSB-SC menggunakan operasi perkalian dalam proses

modulasi sinyal informasi Si= 2 sin (2πfst) dan sinyal carrier Sc = 4 sin (2πfct). Nilai fs = 1 sedangkan fc = 8. bagaimana gambaran proses operasi perkalian kedua sinyal tersebut? Dan bagaiman bentuk sinyal akhir yang dihasilkan?

Penyelesaian:S(t) = Si(t) x Sc(t)

= 2 sin (2πfst) x 4 sin (2πfct)

Langkah membangkitkan sinyal menggunakan MATLAB• Buka M-File• Membangkitkan sinyal sinusoida

Fs=100; t=(1:100)/Fs; s1=cos(2*pi*t + pi/2);plot(t,s1)%stem(t,s1);grid onxlabel('Waktu (t)')ylabel('u(t)')title('sinyal periodik berupa sinyal sinusoidal')

• Lakukan perubahan pada nilai S1• s1=sin(2*pi*t*10); (ganti angka 10 dengan 15 dan 20)• Lakukan perubahan amplitudo (5,10, 15 dan 20)• Lakukan perubahan phase• s1=2*sin(2*pi*t*5 + pi/2); (ganti dengan 45,120, 180 dan 225)

Pembangkitan sinyal persegiFs=100;t=(1:100)/Fs;s1=SQUARE(2*pi*5*t);plot(t,s1,'linewidth',2)axis([0 1 -1.2 1.2])

Operasi dasar sinyal (Matlab)• Penguatan sinyalT=100;t=0:1/T:2;f1=1;y1=sin(2*pi*t);subplot(2,1,1)plot(t,y1)a=input('nilai pengali yang anda gunakan (> 0): ');y1_kuat=a*sin(2*pi*t);subplot(2,1,2)plot(t,y1_kuat)

• Pelemahan sinyal penguatan negatif , konstanta penguatan bernilai < 1

• Penjumlahan dua sinyalT=100;t=0:1/T:2;f1=1;y1=sin(2*pi*t);subplot(3,1,1)plot(t,y1)f2=2;pha2=pi/2;y2=sin(2*pi*t+pi);subplot(3,1,2)plot(t,y2)

T=100;t=0:1/T:2;f1=1;f2=2;pha2=pi/2;y1=sin(f1*pi*t);subplot(3,1,1)plot(t,y1)y2=sin(f2*pi*t+ pha2);subplot(3,1,2)plot(t,y2)y3=y1+y2;subplot(3,1,3)plot(t,y3)

Perkalian Sinyal• Perkalian sinyal

T=100;t=0:1/T:2;f1=1;f2=2;pha2=pi/2;y1=sin(f1*pi*t);subplot(3,1,1)plot(t,y1)y2=sin(f2*pi*t+ pha2);subplot(3,1,2)plot(t,y2)y3=y1.*y2;subplot(3,1,3)plot(t,y3)

Soal Latihan (secara analitis)

1. Beri gambaran sebuah sinyal waktu kontinyu yang bersifat periodik berupa sinyal sinus dengan frekuensi f = 10Hz, dan fase awal θ = π/2 radiant.

2. Ulangi langkah tersebut untuk nilai f= 20 Hz,40 Hz dan 50 Hz dengan fase awal θ = 0.

3. Berikan persamaan untuk sinyal pada gambar berikut:

Soal latihan (melalui MATLAB)1. Bangkitkan sinyal sinus pada soal nomor 1 dengan menggunakan

Matlab untuk waktu dari t = 0 sampai t = 2 detik.2. Bangkitkan sebuah sinyal sinus s1(t) = sin(8πfct) dan jumlahkan

dengan sebuah sinyal s2(t) = sin(5πfct + 0.5π). Berikan gambaran hasil penjumlahan kedua sinyal tersebut.

3. Bangkitkan sebuah sinyal sinus s1(t) = sin(2πfst) dan kalikan dengan sebuah sinyal s2(t) = sin(5πfct). Berikan gambaran hasil perkalian kedua sinyal tersebut.

4. Sebuah kanal memiliki sifat melemahkan sinyal yang dilaluinya sehingga menyebabkan level sinyal yang lewat turun 20%. Apabila sebuah sinyal sinus memiliki persamaan s1(t) = sin(5πfct), dengan fc=10, maka beri gambaran bentuk sinyal sebelum dan sesudah atenuasi.

5. Sebuah sistem penguat memiliki gain 2,5x. Apabila sebuah sinyal sinus memiliki persamaan s1(t) = sin(5πfct), bagaimanakah bentuk sinyal sebelum dan sesudah amplifikasi terjadi

TERIMA KASIH