bab i pendahuluan

1Bandung Structural Engineering e-School

1PENDAHULUAN

1.1. Analisis Struktur dengan Pemrograman KomputerPenggunaan komputer dalam analisis struktur sudah menjadi keharusan di era informasiini. Perangkat lunak (software) tentang analisis struktur telah banyak dikembangkan dandigunakan oleh insinyur-insinyur struktur di seluruh dunia. Graphical User Interface(GUI) sebagai salah satu komponen perangkat lunak yang canggih telah begitumemanjakan penggunannya sedemikian sehingga tidak perlu pengetahuan konseptualyang cukup untuk sekedar melakukan perhitungan struktur-struktur sederhana.

Disisi lain, sejalan dengan perkembangan teknologi informasi disegala bidang makatantangan disain juga berkembang pesat terlebih dengan perkembangan penelitian padaarea struktur tahan gempa. Disamping itu struktur-struktur menantang seperti struktur-struktur dengan ekspresi arsitektur yang khusus, sruktur jembatan bentang panjang,anjungan lepas pantai dan lain sebagainya membutuhkan pengetahuan konseptual yangkuat yang mendasari penggunaan komputer.

Tanpa penguasaan konsep yang mendasari operasi perangkat lunak atau programkomputer, kemampuan memecahkan masalah disain seorang insinyur struktur menjadisangat terbatas dan tereduksi hanya menjadi operator perangkat lunak. Kemampuanuntuk melakukan inovasi-inovasi yang berarti menjadi mustahil. Pemahaman akan teoridan proses pemrograman yang mendasari suatu perangkat lunak tetap sangat dibutuhkan.

Luput dari perhatian dunia pendidikan teknik sipil pada umumnya, rekayasa struktur padakhususnya bahwa terjadi loncatan pendekatan antara materi-materi analisis struktur yangdiberikan pada awal semester dan materi-materi yang diberikan diakhir semesterperkuliahan jenjang strata 1. Pada awal perkuliahan, materi yang diberikan adalah statikayang kemudian dilanjutkan oleh materi yang berisi metode klasik dengan model elemenstruktur 1D. (selanjutnya disebut metode klasik 1D). Pada akhir perkuliahan, materi yangdiberikan merupakan metode-metode matriks yang menjadi dasar operasi komputer.Terdapat perbedaan yang mendasar antara metode-metode klasik dengan metode matriksbahkan juga diantara metode klasik itu sendiri.

Metode-metode klasik 1D yang populer umumnya menggunakan pendekatan yangbersifat global. Sebagai contoh adalah statika untuk struktur-struktur statis tertentu yangbertumpu pada persamaan-persamaan keseimbangan yang ditinjau langsung secara


global. Untuk struktur statis tak tentu, analisis yang paling populer karena lebih mudahadalah metode yang berbasis pada proses distribusi momen yang bersifat iterativ.

Pendekatan pada analisis struktur dengan metode klasik 1D bervariasi pada tekniksolusinya sehingga tidak dapat diperoleh pemrograman yang kompak yang dapat berlakuluas. Pengertian kompak dan luas akan pembaca pahami sejalan dengan pembahasanbuku ini bab demi bab. Analisis dengan metode klasik juga tidak dapat dikembangkanmenjadi analisis model struktur yang disusun dari elemen-elemen 2D dan 3D

1.2. Analisis klasik : Struktur statis tertentu dan tak tentuDalam khasanah metode klasik 1D, selama struktur yang elemen-elemennya dimodelkansebagai elemen 1D dapat diselesaikan dengan persamaan keseimbangan global makastruktur tersebut termasuk struktur statis tertentu. Diselesaikan di atas mempunyaipengertian bahwa gaya-gaya reaksi dapat diperoleh bila diketahui gaya-gaya aksinya

Solusi struktur statis tertentu umumnya merupakan metode hand calculation sehinggabersifat praktis. Walaupun demikian, metode ini tetap dapat diprogramkan pada komputerseperti yang akan dibahas pada Bab 2. Pada pembahasan tersebut, akan terlihatketerbatasannya untuk dapat diprogramkan dengan kompak.

Untuk struktur yang elemennya dimodelkan sebagai elemen 1 Dimensi (1D) tidak dapatdiselesaikan dengan persamaan keseimbangan global maka struktur tersebut termasukstruktur statis tak tentu. Tidak dapat diselesaikan di atas mempunyai pengertian bahwagaya-gaya reaksi tidak diketahui lebih banyak dari jumlah persamaan keseimbangan yangharus dipenuhi.

Struktur statis tak tentu mempunya variasi metode penyelesaian yang cukup beragamseperti Metode Cross, Takabeya dan Kani yang dapat dikelompokkan sebagai metodedistribusi momen. Metode slope deflection, column analogy adalah metode-metodelainnya untuk menyelesaikan struktrur statis tertentu berdasarkan pendekatan yangberbeda..

Secara umum, keluaran dari metode penyelesaian struktur statis tertentu maupun tak tentudalam metode kalsik 1D adalah gaya-gaya reaksi (gaya-gaya luar) dan gaya-gaya dalam.Pada dasarnya gaya-gaya dalam adalah akumulasi tegangan-tegangan yang bekerja padapenampang sebagai penyederhanaan elemen struktur nyata yang 3D menjadi modelstruktur dengan elemen 1D. Perhitungan tegangan dan deformasi struktur sebagai targetperhitungan lainnya dijembatani oleh teori mekanika bahan (strength of material).

Idealnya suatu metode analisis struktur dapat menghasilkan target keluaran berupategangan-tegangan dan deformasi-deformasi yang terjadi pada struktur dengan satupendekatan yang sama. Dengan kata lain analisis dilakukan dengan model struktur 3D.Tetapi analisis tersebut di atas memerlukan usaha yang sangat besar sehingga tidakpraktis untuk digunakan sebagai disain standar. Analisis 3D hanya dilakukan padaanalisis yang bersifat khusus. Misalnya, analisis yang tidak dapat disederhanakan oleh


analisis 1D seperti distribusi tegangan pada sambungan struktur anjungan lepas pantai.Untuk mendapatkan dasar bagi suatu metode yang dapat merangkum semuapermasalahan dapat dilakukan dengan teori elastisitas dimana struktur dianalisis darihubungan konstitutiv yaitu hubungan yang mendasari perilaku material struktur apapunyang akan meregang jika mengalami tegangan. Hubungan antara regangan dan teganganini disebut sebagai modulus elatisitas ang nilainya berbeda antar satu jenis materialdengan material lainnya sehingga dijadikan sebagai nilai yang mewakili properti material

1.3. Teori ElastisitasSeperti telah disinggung di atas, teori elastisitas dikembangkan dalam rangkamendapatkan dasar yang kokoh, terstruktur dan rasional untuk menyelesaikan semuamasalah struktur. Teori ini berangkat dari analisis elemen differensial 3D. Untuk masalahyang sederhana seperti balok yang diletakkan diatas landasan, suatu elemen differensialdengan volume dx.dy.dz menerima tegangan seperti ditunjukkan oleh Gambar 1.1. Jikalantai licin maka tegangan yang signifikan pada kasus ini adalah tegangan arah z akibatberat sendiri balok. Tegangan-tegangan geser dan tegangan normal arah horsontal (x,y)pada elemen differnsial dapat diabaikan

Untuk masalah yang lebih kompleks seperti balok yang melentur pada satu arah zz(memutari sumbu z), elemen differensial menerima tegangan seperti ditunjukkan olehGambar 1.2. Karena melentur, tegangan normal arah x sangat besar dibanding teganganarah z. Deformasi lentur selalu diikuti regangan geser sekaligus tegangan geser dalam

0ZZ

0XX

dzzZZ

ZZ .

dz

dx dx

0. dxdx

d XX

dyx+dx

x

h

dy

Gambar 1.1. Analisis elemen differensial 3D (kasus balok diatas tumpuan menerus licin)

h

Elemen differensialdx.dy.dz

Irisan differensialdx.b.h

h

(*) gaya-gaya tidak divisualisasikan


rangka mempertahankan keseimbangan sistem. tegangan normal dan geser pada arah ypada model struktur diabaikan karena tidak signifikan.

Pada masalah balok 3D yang melentur hanya pada arah zz, analisis suatu irisan volumedx.b.h pada balok misalnya dapat disederhanakan menjadi analisis 2D yaitu piasdifferensial dx.h seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 1.3.a. Perilaku setiap penampangmemanjang dx.h (bukan penampang melintang) sepanjang lebat balok sama.

Untuk memperoleh elemen differensial 2D sebagai dasar analisis maka perlu dilakukanpengisolasian dengan teknik potongan. Dalam hal ini teknik potongan adalah teknik yangbiasa digunakan untuk mencari gaya-gaya dalam. Model struktur balok 2D dipotong padax+x dan tinjau salah satu hasil potongan. Keseimbangan dapat terjaga bila diberikanserangkaian tegangan pengganti sepanjang ketinggian balok seperti yang ditunjukkanoleh Gambar 1.3.c. Sal;ah satu potongan yang ditinjau dipotong pada x dan tinjau salahsatu hasil potongan, dalam hal ini pias setebal x. Keseimbangan tetap terjaga denganmemberikan gaya pengganti seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 1.3.e.

Selanjutnya diisolasikan elemen 2D (x.z) dari pias 2D (x.h) dengan cara yang analogdengan isolasi pias 2D diatas. Potongan dilakukan pada z+z untuk kemudian diberikantegangan pengganti untuk tetap memelihara keseimbangan. Potongan berikutnya padapenampang z untuk kemudian juga diberikan tegangan pengganti. Dengan mengganti xdengan dx dan z dengan dz pada proses isolasi elemen 2D yang analog maka diperoleh

0ZZ

0. dz

zZZ

ZZ

0XX

dy

dz

dx

Gambar 1.2. Analisis elemen differensial 3D di atas dua tumpuan pada ujung-ujungnya


h

dxxXX

XX .

ZX

dzzXZ

XZ .


elemen diffrensial 2D (dx.dz). Dalam hal ini dx <<<< x dan dz <<<< z. Eksprtesi<<<< menandakan jauh lebih kecil sedemikian sehingga dx = dz mendekatti nol. Hasilisolasi dalam bentuk elemen differensial 2D ini yang menjadi basis bagi penyelesaianmodel struktur 2D.

dx0ZZ

0. dz

zZZ

ZZ

XXdzdx

xXX

XX .

ZX

dzzXZ

XZ .

potongan lainnya(tidak ditinjau)

x+x

x+x

x

(g) Isolasi elemen differensial 2D

(a). model 2D dipotong pada penampang x+x

(d) model 2D dipotong pada penampang x


(b). tinjau hanya salah satu potongan

(c). tegangan-tegangan penggantipengganti

(e). tegangan-tegangan pengganti

x

potongan lainnya(tidak ditinjau) x

dx

dz

z +zz


Pada dasarnya tegangan-tegangan yang bekerja pada suatu penampang hanya terdiri daritegangan geser yang bekerja sejajar bidang hasil irisan suatu penampang dan tegangannormal yang bekerja tegak lurus dengannya. Regangan yang terjadi juga hanya regangangeser dan regangan normal. Akumulasi tegangan geser menghasilkan gaya dalam geserpada penampang. Distribusi tegangan normal pada penampang balok dengan materialseragam tergantung dari arah pembebanannya. Untuk kasus balok sederhana yangdibebani hanya pada arah lateral akan menghasilkan tegangan normal yang sedemikianmembentuk blok tarik dan blok tekan pada penampang. Akumulasi tegangan normalbalok sederhana adalah nol atau tidak menghasilkan gaya dalam normal. Untuk balokberdiri yang dibebani beratnya sendiri maka penampang balok akan menerima tegangannormal yang seragam. Akumulasi tegangan normal balok berdiri menghasilkan gayadalam normal.

Untuk kasus balok berdiri di atas, pada level differensial, hubungan konstitutiv dalamrezim elastis dinyatakan dengan tegangan, modulus elastisitas dan regangan. Moduluselastisitas merepresentasikan perilaku tunggal material sebagai hasil penyederhanaanmasalah. Pada level irisan penampang dengan tebal differensial (katakan dx) deformasimerupakan akumulasi dari regangan. Gaya dalam normal tekan akan diikuti deformasiirisan berupa perpendekan dan sebaliknya untuk gaya dalam normal tarik. Akumulasiregangan pada penampang adalah perpanjangan atau perpendekan irisan searah denganarah tegangan. Gaya dalam geser adalah akumulasi tegangan geser akan diikutideformasi geser yang juga merupakan akumulasi dari regangan geser.

Untuk kasus balok sederhana, tegangan geser selalu diikuti oleh tegangan normal yangmemiliki distribusi tegangan yang membentuk blok tekan dan tarik. Kedua blok di batasioleh garis netral. Akumulasi tegangan normal pada kasus ini adalah nol memberikankonfirnasi bahwa balok memang tidak dibebani secara aksial. Gaya dalam geser adalahakumulasi tegangan geser akan diikuti deformasi geser yang juga merupakan akumulasidari regangan geser. Akumulasi regangan normal pada kasus balok sederhanamenghasilkan balok atau segmen balok yang melentur yang juga menghasilkan blokregangan tarik dan blok regangan tekan. Pada kasus balok lentur tegangan normal padapenampang dipengaruhi oleh posisi tegangan normal yang ditinjau terhadap garis netral.Mengapa poisisi garis netral dijadikan referensi jarak dapat dijawab dengan mudah.

Dengan mengintrodusir suatu besaran baru yaitu (nilai tegangan) dikalikan dengan (jaraktegangan yang ditinjau ke garis netral) untuk kemudian diakumulasikan pada suatu irisanpenampang melentur maka diperoleh besaran momen. Akumulasi regangan normal padakasus balok berdiri adalah perpanjangan atau perpendekan rata-rata. Pada kasus balooksederhana, akumulasi regangan geser adalah deformasi geser rata-rata yang jugadibarengi oleh regangan normal yang diakumulasikan menjadi kurvatur. Penertiankurvatur akan dibahas mendalam pada bab 4.

Gambar 1.3. Proses isolasi analisis elemen differensial

(f) pias 2D h.dx yang diisolasi


Akumulasi tegangan secara matematis dinotasikan sebagai integrasi tegangan. Untukkasus balok berdiri, gaya dalam normal pada penampang x dinotasikan sebagai

h

XX

b b

XXXX dxbdydxP00 0

... (1.1)

Untuk kasus balok sederhana, gaya dalam geser dan momen dapat dinotasikan sebagai

h

XZ

b b

XZXZ dxbdydxV00 0

... (1.2)

h

XX

b ha

hbXXyy dxzbdydxzM

00

...... (1.3)

Untuk kasus balok sederhana yang juga menerima gaya aksial kana dibahas lengkap padabab-bab terakhir buku ini.

Untuk kasaus balok sederhana, jika tegangan-tegangan yang bekerja pada penampnag xdan x+dx diintegrasikan sepanjang ketinggian balok dimana distribusi tegangansepanjang ketinggian balok diasumsikan memenuhi fungsi tertentu maka masalah 2Ddapat disederhanakan lagi menjadi analisis 1D dimana pias 2D (h.dx) diwakili oleh suatusegmen diffrensial selebar dx. Integrasi tegangan σxx dikalikan dengan jaraknya ke garis

(a penyederhanaan 2D 1D

x+dx

x

MX

(b) Model analisis differensial 1D

MX + dMX

VX

dx

Gambar 1.4. Proses penyederhanaan analisis elemen differensial 2D 1D

MX MX + MX

VX +VX

VX

PCX

PTXVX

PCX + PCX

VX +VX

PTX + PTX

VX +dVX

distribusi tegangan asumsi

x


netral sepanjang ketinggian penampang menghasilkan momen Myy(x). Integrasi teganganσxx sepanjang ketinggian penampang menghasilkan gaya geser Vxz(x). Integrasi masing-masing tegangan pada bidang (x + dx) menghasilkan Myy(x + dx) dan Vxz(x + dx). sepertiyang ditunjukkan oleh Gambar 1.4.

Analisis elemen differnsial 3D menghasilkan persamaan

0...........

dydxdzbdydxdydxdz

z ZZZZ

ZZ

(1.4)

Karena tegangan diasumsikan konstan pada arah x dan y maka persamaan 1.4 dapat di-integrasikan dengan integral rangkap menjadi analisis 1D

0..........

dzdbdbdbdz

z ZZZZ

ZZ

0.... AdzAd ZZ (1.5)

0..... 2

2

Adzdz

wdAE (1.6)

Persamaan diatas persamaan differensial penentu 1D untuk kasus balok berdiri yangdibebani beratnya sendiri. Syarat batas dari kasus di balok berdiri adalah

w(0) = 0 (1.7)

Persamaan 1.7 menyatakan bahwa deformasi balok berdiri adalah sama dengan 0 padakoordinat z = 0

dx0ZZ

0. dz

zZZ

ZZ

XXdzdx

xXX

XX .

ZX

dzzXZ

XZ .

dxZZ

dzzZZ

ZZ .

dz

ZX

Gambar 1.5. Isolasi elemen differensial 2D kasus balok berdiri

q

dz

dx


Keseimbangan segmen dx pada masalah yang secara fisik dan matematis telahdisederhanakan ini dijadikan suatu governing equation dengan mengambil asumsi-asumsikinematis tertentu. Suatu governing equation adalah persamaan yang mewakilipermasalahan dalam bentuk persamaan differensial atau disebut persamaan differensialpenentu. Untuk kasus balok berdiri yang hanya dibebani berat sendiri menghasilkangoverning equation yaitu persamaan 1.6. Untuk kasus balok sederhana, penyederhanaandengan mengambil asumsi-asumsi kinematis tertentu sehingga terbentuk governingequation yang akan dijelaskan pada bab-bab selanjutnya. Penyelesaiannya persamaandifefrensial penentu bersifat umum. Penyelesaian khusus yang bersifat nyata tergantungdari syarat-syarat batas dan syarat-syarat awal. Untuk kasus ”balok” berdiri syarat batasadalah persamaan 1.7

Persamaan differensial dapat diselesaikan secara eksak jika masalahnya bersifat kontinudan sederhana seperti balok sederhana 1D. Untuk masalah yang tidak kontinu dankompleks, solusi diperoleh dengan teknik-teknik pendekatan yang non eksak. Masalahyang lebih kompleks seperti model struktur 1D tapi diskontinu, struktur yang dimodelkansebagai struktur 2D atau 3D dan lainnya diselesaikan dengan metode pendekatan. Daripersamaan differnsial penentu ini juga dapat dikembangkan metode analisis diskrit yanglebih kompak untuk diterapkan pada suatu program komputer. Metode KekakuanLansung dan Metode Elemen Hingga adalah contoh-contohnya dan sering disebutsebagai metode matriks.

Dari uraian paragraf di atas dapat disimpulkan bahwa analisis dengan pendekatan metodeelastisitas telah secara lengkap mendefinisikan semua output analisis dari awalpembentukan teori analisis.

1.5. Metode MatriksDalam rangka mendapatkan metode yang dapat diprogramkan dengan lebih terstrukturpada komputer maka dikembangkan metode matriks sejak pertengahan tahun 1950-an.Konsep kekakuan sebagai konsekuensi dari metode diskrit mulai diperkenalkan karenamodel struktur dimodelkan sebagai gabungan atau rakitan dari beberapa elemen.Permasalahan struktur direpresentasikan oleh persamaan-persamaan pada titik-titikdiskrit model struktur elemen 1D. Hubungan konstitutiv pada tinjauan titik sesuaiHuklum Hooke diekspansikan menjadi hubungan pada ujung-ujung elemen.

Untuk struktur dengan model elemen 1D, kekakuan elemen diturunkan langsung secarafisik dan visual dari asumsi deformasi pada ujung-ujung elemen. Metode ini disebutsebagai Metode Kekakuan Langsung. Karena sifatnya yang kompak, metode ini tidakmembedakan model struktur dengan elemen-elemen 1D itu statis tertentu atau statis taktentu. Metode ini cukup berhasil untuk menjawab masalah-masalah struktur denganelemen-elemen berperilaku balok (beam) atau batang (bar). Pengertian berperilaku balokdisini adalah elemen berdeformasi dengan melentur. Pengertian berperilaku batangmenunjukkan bahwa deformasi elemen dominan memendek atau memanjang


Gambar 1.6.a menunjukkan model struktur yang dapat dievaluasi secara kontinu denganmetode statika maupun teori elastisitas. Untuk analisis praktis tanpa penggunaan kalkulusmaka gaya P diberikan pada ujung atas model kontinu karena targetnya memang mencarigaya dalam normal maksimum. Walaupun bebannya diskrit karena diakumulasikan padaujung atas struktur, model analisis 1D pada Gambar 1.6.b tetap kontinu karena dapatdievaluasi langsung pada setiap titik pada model struktur. Dengan menerapkanpersamaan keseimbangan, gaya dalam normal sebagai keluaran dar analisis statika dapatdi peroleh disetiap koordinat model 1D (sumbu z), yaitu

Z

dzAzP0

..)( (1.8)

Untuk z = h, maka gaya dalam normal maksimum adalah HAdzAzPH

MAKS ....)(0

.

Gambar 1.6.c menunjukkan kasus ”balok” berdiri yang disederhanakan denganmengganti elemen struktur dengan suatu pegas dan beban diakumulasikan pada ujungatas pegas. Karena beban diskrit keseimbangan ditinjau hanya pada ujung-ujung pegas.Jika adalah regangan total , adalah tegangan rata-rata maksimum sebagai konsekuensidari beban yang diakumulasikan pada ujung elemen pegas dan E adalah moduluselastisitas rata-rata atau modulus elastisitas yang disederhanakan menjadi seragamdisemua bagian pegas.

Hubungan konstitutiv material balok berdiri pada level diffeernsial yang dibebani hanyaoleh beratnya sendiri (dan efek rasio Poisson diabaikan) dapat diformulasikan sebagai

Gambar 1.6. Visualisasi model kontinu 1D ke model diskrit 1D

(a). model kontinubeban kontinu

(b) model akontinubeban diskrit

dz

w

RA

(c) model diskrit (d) evaluasi model diskrit

Pw

k

k.w

RA

Pw

RA

Pw

k

RA

Z

dzAzP0

..)(


dzdwzEZZ ).( (1.8)

Dengan penyederhanan sekaligus diskritisasi di atas maka hubungan konstitutiv dapatdituliskan kembali sdalam format diskrit

AEAZZ .... (1.9)

Dalam hal ini, A adalah luas penampang balok yang nyata. adalah regangan total padaujung pegas yang dalam format diskrit dapat dituliskan sebagai

OL

(1.10)

Hubungan diskrit pada ppersamaan 1.9 dapat dituliskan kembali sebagai

wH

AEP ... (1.11)

Diskritisasi analisis diatas mengintrodusir konsep kekakuan. Karena struktur digantikanoleh pegas yang diasumsikan linier maka properti yanmg ada pada struktur diwakili olehkekakuan sebagaimana kekakuan pegas. Dari persamaan diskrit model struktur 1D diatas.Kekakuan struktur diwakili oleh 1 elemen diskrit dengan kekakuan yang nilainyatergantung dari nilai E, A dan H atau

wkp .. (1.12)

P merupakan gaya luar, k : kekakuan elemen dan w : deformasi total pada ujung elemen.Hasil analisis statika adalah gaya-gaya dalam. Perpindahan titik-titik pada struktur yangmenunjukkan deformasi struktur dikembangkan dari keluaran gaya-gaya dalam denganmetode lain diluar statika. Pada kasus balok berdiri yang dimodelkan oleh satu elemen ,gaya luar yang bekerja juga nmerupakan gaya dalam sperti yang ditunjukkan olehGambar 1.7.b-i Balok berdiri yang dimodelkan tersusun lebih dari 1 elemen akanmenghasilkan gayagaya dalam dan gaya-gaya luar yang berbeda pada titik-titik evaluasidi ujung-ujung elemen.Lihat Gambar 1.7.b-ii

Persamaan 1.12 akan diekspansikan menjadi persamaan dalam bentuk array (larik) untukkasus balok berdiri yang disusun oleh lebih dari 1 elemen, p diekspansikan menjadi {P}: vektor gaya, k diekspansikan menjadi [K]: matriks kekakuan struktur dan wdiekspansikan menjadi {W}: vektor perpindahan struktur. Penurunan matriks kekakuanakan dibahas pada Bab 3. Pada metode diskrit ini, keluaran dari hasil analisis strukturyang pertama bukan gaya-gaya dalam melainkan vektor perpindahan, jika yang diketahuiadalah vektor gaya-gaya luar dan matriks kekakuan. Gaya-gaya dalam diperoleh dengananalisis pada setiap elemen pembentuk struktur.


Gaya dalam yang diperoleh pada analisis dengan metode kekakuan langsung hanya padaujung-ujung elemen. Gaya dalam pada elemen dapat diperoleh dengan interpolasi antaraujung-ujung elemen. Untuk mendapatkan model analisis diskrit yang baik makapenggunaan banyak elemen untuk memodelkan suatu struktur sering menjadi lebihmerepresentasikan perilaku struktur nyatanya. Walaupun demikian, semakin banyakelemen tidak selalu konvergen. Fenomena ini akan dibahas pada bab-bab akhir buku ini.

Diskritisasi memperkenalkan konsep Degree of Freedom (DoF) yang jugamerepresentasikan tingkat kerumitan masalah strukturnya. Perpindahan struktur padametode ini dievaluasi pada ujung-ujung elemen. Untuk kasus balok berdiri yang telahdiuraikan di atas yang dimodelkan sebagai struktur 1D, ujung atau simpul (node) strukturhanya berdeformasi pada satu arah. Deformasi pada model diskrit hanya ditinjau secaralangsung pada simpul-simpul elemen.

w

R

Keluaran analisis : perpindahan , w & Gayadalam normal, Ni

Evaluasi : diskrit / dapat dilakukan hanyapada titik diskrit (zi) . i =1,2,........

Beban : dapat dimodelkan (d.i). diskrit 1level (d.ii). diskrit 3 level

DoF : (i) 1/simpul (1 DoF, 1DoF dikekang)(ii) 1/simpul (3 DoF, 1 DoF dikekang)

Keluaran analisis : gaya dalamnormal, N(z)

Evaluasi : kontinu / g.d. normal dapatdilakukan disetiap titik (z).

Beban dapat dimodelkan (c.i). kontinu(c. ii). diskrit

DoF : ∞ atau (tidak ada konsep DoF) Perpindahan : w dihitung dengan

pendekatan lain strength of material

Gambar 1.7. Visualisasi model kontinu ke model diskrit 1D

(a.) Model struktur 1D kontinu (b). Model struktur 2D diskrit

(d.ii)(d.i)

N (z) = P

(a.ii)

z

R

P P

k

k1

k2

k3

(a.i)

z dz

R

Z

dzA0

..P(z ) =

Z

dzA0

..N(z ) =

l

w3

w2

w1

l1

l2

l3

1 DoFaktif

1 DoFterkekang


Deformasi diantara simpul-simpul diperoleh secara tidak langsung melalui imterpolasi.Deformasi pada simpul ini yang mendasari konsep DoF. Pada kasus balok berdiri yangdimodelkan tersusun dari 1 atau lebi elemen-elemen diskrit 1 DoF ( Degree of Freedom)pada setiap simpul, yaitu arah translasi sumbu z. Pada model analisis struktur hanyadimungkinkan berdeformasi pada arah yang ditentukan. Penyederhanaan inidimungkinkan dengan menimbang bahwa deformasi kearah lainnya tidak signifikan padastruktur nyatanya. Struktur yang dimodelkan kontinu pada dasarnya tidak mengenalkonsep DoF. Kalaupun dipandang dari konsep DoF maka model struktur kontinu dapatdianggap sebagai model struktur dengan DoF tak terhingga.

Pada model struktur 2D dan 3D yang didiskritisasi dengan membentuk struktur darieleman-elemen 2D atau 3D deformasi pada sudut-sudut elemen merupakan perpindahanyang dapat diuraikan pada 3 arah sumbu yang saling tegak lurus. Karena struktur nyatakasus ”balok” berdiri hanya menerima beratnya sendiri maka model analisisnya dapatdisederhananakan menjadi analisis model 2D. Deformasi yang diizinkan adalah

Gambar 1.8. Visualisasi model kontinu ke model diskrit 1D & 2D

Keluaran analisis : perpindahan , w & Gayadalam normal, Ni

Evaluasi : diskrit / dapat dilakukan hanyapada titik diskrit (xi, zj) . i =1,2,....16 danj=1,2,3, 4

Beban : dapat dimodelkan (d.i). diskrit 3level (d.ii). diskrit 4 1 level

DoF = 1/simpul (60 DoF, 4DoF dikekang)

Keluaran analisis : gaya dalamnormal, N(z)

Evaluasi : kontinu / g.d. normal dapatdilakukan disetiap titik (x, z).

Beban dapat dimodelkan (c.i). kontinu(c. ii). diskrit



z

xdz

z

x

(a.i) (a.ii) (b.i) (b.ii)

(a). Model struktur 2Dkontinukontinu

(b). Model struktur 2D diskrit


deformasi satu arah sumbu z pada setiap sudut elemen 2D seperti yang ditunjukkanGambar 1.8.b, dengan mengabaikan efek Poisson.

Untuk memahami konsep DoF perlu dicermati gambar 1.8.b dimana suatu masalahstruktur 2D dimodelkan dengan cara yang berbeda. Kedua model sama-sama disusunoleh 15 elemn 2D. Model pembeban pada model 1.8.b-1 diberikan pada 3 level diskritsedang model 1.8.b-2 pembebanannya diakumulasi pada 1 level atau level teraratas.Jumlah DoF pada kedua model sama yaitu 60 DoF aktif karena 4 DoF lainnya dikekang.Yang membedakan hanya bagaimana beban-bebannya didiskritisasikan.

Model analisis struktur yang belum didiskritisasi ditunjukkan oleh gambar ilustrasi padaGambar 1.8.a. Analisis yang melibatkan dua variabel menambah kerumitan solusinyasehingga jarang sekali diselesaikan dengan solusi yang bersifat kontinu atau eksak.Analisis terbatas pada perumusan persamaan penentunya yang umumnya berupapersamaan differensial. Solusinya dikembangkan dengan metode non eksak atau dengandiskritisasi model analisisnya.

Perlu dicermati disini, diskritisasi model struktur 2D menghasilkan elemen-elemen 2Dyang lebih kecil atau elemen lokal terangkai satu sama lain membentuk elemen strukturatau elemen global. Berbeda dengan model struktur diskrit 1D dapat dirumuskan denganmetode kekakuan langsung, model diskrit 2D atau 3D sulit untuk dirumuskan denganmetode kekakuan langsung.

Dibutuhkan pendekatan yang lebih canggih, pendekatan yang tidak bertumpu padaanalisis fisik secara langsung. Untuk itulah MEH awalnya dikembangkan untukmengatasi semua masalah struktur solid yang bertumpu kepada persamaan energi. Jumlahatau integrasi kerja luar yang terjadi pada suatu struktur sama dengan jumlah atauintegrasi kerja dalam akibat deformasi setiap bagian struktur adalah persamaan energi.Integrasi disini menyiratkan bahwa penjumlahan tersebut diatas adalah penjumlahan darirumusan yang kontinu. Perlu ditekankan disini, integrasi hanya sebatas pada setiapelemen lokal atau setiap elemen penyusun struktur. Operasi integrasi bukan dimaksudkanuntuk mendapatkan solusi melainkan untuk mendapat besaran-besaran diskrit yaitumatriks kekakuan elemen serta gaya-gaya luar yang bekerja pada simpul-simpul elemendiskrit. Persamaan simultan yang terdiri dari keseimbangan-keseimbangn pada setiapsimpul inilah yang dicari solusinya.

Pertanyaan yang akan timbul adalah persamaan kontinu apa yang diintegrasikan padasetiap elemen? Hal inilah yang merupakan topik penting bagi pengembangan MEHkarena persamaan kontinu pada elemen merupakan persamaan-persamaan deformasielemen asumsi atau yang populer dengan istilah shape function (fungsi bentuk).Keleluasan untuk menentukan fungsi bentuk inilah yang membuat MEH dapatmengakomodasi luas masalah-masalah struktur solid pada umumnya. Penurunan MEHuntuk kasus-kasus yang sederhana akan dinahas pada bab terakhir buku ini setelahmetode matriks kekakuan dibahas secara mendalam.


Model analisis 2D diskrit lebih mudah diselesaikan dengan MEH dibanding bersusahpayah merumuskan solusinya melalui prosedur pada metode kakakuan langsung. Kalaumemang masalahnya dapat disederhanakan menjadi kasus 1D seperti kasus pada Gambar1.8 maka analisis 2D menajdi terlalu berlebihan kecuali memang kasus-kasus khususseperti balok berdiri yang mempunyai baguian-bagian diskontinu seperti lubang, coakan,tonjolan dan lainnya.

Untuk kasus balok sederhana yang melentur pada arah yy (memutari sumbu y) dandimodelkan tersusun dari elemen 2D maka deformasi yang diizinkan adalah translasikedua arah sumbu yaitu sumbu x dan z seperti ditunjukkan Gambar 1.8.b. Model struktur2D kontinu tidak mudah diselesaikan dengan teori elastisitas sehingga MEH menjadipilihan yang rasional jika memang informasi yang ingin diperoleh tidak dapat disediakanoleh analisis model struktur 1D yang lebih sederhana. Analisis struktur 2D memangtidak dibahas dalam buku ini dan masalahnya sedikit disinggung untuk memberikantambahan pemahaman bagaimana suatu analisis layak disedrhanakan menjadi analisis1D.

Keluaran analisis : perpindahan , w & θgaya dalam momen M(z) dan geser V(z).

Evaluasi : diskrit / dapat dilakukan hanyapada titik diskrit (zi) . i =1,2,3,4,5

Beban : harus dimodelkan diskrit, dalamhal ini pada setiap simpul

DoF : (i) 2/simpul (7 DoF aktiv, 3DoFdikekang)

Keluaran analisis : gaya dalam momenM(z) dan geser V(z).

Evaluasi : kontinu / g.d. momen & geserdapat dilakukan disetiap titik (z).

Beban dimodelkan kontinu (dapat jugadiskrit)

DoF : ∞ atau (tidak ada konsep DoF) Perpindahan : w dan θ dihitung dengan


Keluaran analisis : perpindahan , w &Tegangan normal & geser rata-rata

Evaluasi : diskrit / dapat dilakukan hanyapada titik-titik diskrit (xi, zj) . i =1,2,3j=1,2,....21.

Beban : diskrit 1 level DoF : (i) 2 DoF/simpul (60 DoF, 3DoF

dikekang)

Keluaran analisis : tegangan normal,σ(z) dan tegangan geser τ(z)

Evaluasi : kontinu / tegangan-tegangandapat dilakukan disetiap titik (x, z).

Beban dimodelkan kontinu (dapat jugadiskrit)



(a). Model struktur 2D kontinu

x z

x

(b). Model struktur 2D diskrit

w


Jika elemen-elemen model struktur (diskrit) disederhanakan menjadi elemen 1D makaakan terdapar 2 DoF pada setiap simpul yaitu satu pada arah translasi z. Arah lainnyaadalah arah rotasi yy yang sebenarnya merupakan akumulasi deformasi simpul-simpulelemen 2D pada arah sumbu z yang diakumulasikan menjadi parameter baru, yaitu rotasiarah yy. Analisis model 1D kontinu akan menghasilkan deformasi yang disajikan dalambentuk kurva lendutan 1D seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 1.8.c. Rotasi padamodel struktur diskrit di atas merupakan rotasi dari sudut garis singgung pada titik-titikevaluasi (simpul-simpul). Gambar 1.8.b memperlihatkan arah deformasi pada modelanalisis 1D diskrit disetiap simpul. Bagimana anggapan-anggapan geometri penampangini akan dibahas pada Bab 5 tentang balok.

Karena keterbatasan metode kekakuan langsung seperti yang telah disinggung di atas,pada perjalanannya metode matriks juga dikembangan berdasarkan Metode ElemenHingga (MEH) yang dapat menyelesaikan masalah-masalah struktur yang lebih luas lagi.Struktur dengan elemen-lemen 2D atau bahkan 3D dapat diselesaikan oleh MEH. Suatuhal sering kali mustahil diselesaikan oleh metode-metode yang bersifat kontinu. Bahkanmetode ini dikembangkan juga untuk menyelesaikan masalah-masalah diluar analisisstruktur.

Berbeda dengan metode kekakuan langsung yang diturunkan dari analisis fisik deformasistruktur, MEH diturunkan dari persamaan energi seperti yang telah dibahas sekilas diatas.Seperti halnya metode kekakuan langsumg, MEH juga menggunakan formatpersamaan simultan yang disajikan dalam bentuk array. Yang membedakan adalahpenurunan matriks kekakuan serta vektor-vektor gaya luar dan perpindahannya. Contohpenurunan akan disajikan pada bab-bab akhir buku ini.

Karena MEH juga merupakan metode diskrit dan dibangun dari fungsi-fungsi bentuk(shape function) yang diasumsikan maka metode ini juga merupakan metode non eksak.Kesalahan-keslahan perhitungan bisa sangat kecil dibanding metode eksaknya atau hasileksperimen sehingga dapat diabaikan tetapi bisa juga menjadi signifikan. Hal ini umunyaberhubungan dengan asumsi-asumsi yang digunakan berbeda secara signifikan dengankondisi nyatanya atau algoritma programnya yang mengandung kelemahan serta sebab-sebab lain yang sampai sekarang masih menjadi topik penelitian.

Untuk masalah-masalah yang lebih kompleks seperti analis dengan elemen 2D dan 3D,meshing (bagaimana elemen-elemen diatur untuk membentuk suatu model analisis)

Gambar 1.9. Visualisasi model kontinu ke model diskrit 1D & 2D

(c). Model struktur 1D kontinu (d). Model struktur 1D diskrit


menentukan hasil analisis. Oleh karena itu analisis dengan bantuan MEH menjadi topikyang berkembangkan sangat luas dan menjadi lahan penelitian sampai saat ini. Intepretasihasil menjadi bagian dari analisi struktur dengan MEH.

Untuk memberikan gambaran bagaimana pendekatan yang digunakan pada metodeklasik, metode elastis dan metode matriks, ringkasan dalam bentuk ilustrasi disajikanpada Gambar 1.10. Model struktur yang dibandingkan adalah model struktur 1Dmengingat metode klasik hanya dapat menyelesaikan model-model analisis 1D. Analisismodel 1D dengan metode klasik tidak dapat diekspansikan menjadi analisis 2D atau 3D.

1. Metode klasik 1D Tidak perlu analisis pers differensial Struktur statis tertentu Tidak ada konsep DoF

2. Metode Elastis 1D Perlu pers differensial penentu Tidak ada istilah statis tertentu atau

tak tentu Tidak ada konsep DoF

Solusi : Hand calculation gaya luar :

∑M = 0, ∑F = 0 (∑FX = 0∑F Y= 0) gaya-gaya dalam

dengan metode potongan deformasi struktur : dihubungkan oleh

mekanika bahan (strength of material) analisis tegangan : dihubungkan oleh

Mekanika bahan (strength of material)

Solusi : Computer programming penurunan matriks kekakuan elemen sesuai

pendekatan yang dipilih : Metode KekakuanLangsung atau MEH

diskritisasi (model struktur) termasukpemebentukan vektor beban

susun matrisk kekakuan elemen ( lokal)berdasarkan properti material dan geometrielemen

assembly (rakit) matriks-matriks kekakuanelemen (lokal) menjadi matriks kekakuanstruktur (global)

aplikasi pengekangan pada matriks kekakuanglobal sesuai informasi kekangan

Solusi tahap pertama : vektor perpindahandiperoleh ( lendutan pada titik-titik diskrit )

gaya dalam diperoleh dengan mengembalikananalisis pada elemen-elemen lokal

Solusi : Hand calculation gaya luar : persamaan differensial (Bernoulli- Euler) syarat batas : w(0)=0, w(L)=0, metode potongan untuk mencari

konstanta – konstanta integrasi

gaya-gaya dalammetode potongan

deformasi struktur :dapat diperoleh dari analisis

analisis tegangan : dihubungkan olehmekanika bahan (strength of material)

3, Metode matriks 1D Perlu pers differensial penentu Tidak ada istilah statis tertentu atau

tak tentu menggunakan konsep DoF

l

xdx x= lx=0


Disisi lain, analisis model 1D dengan metode elastis secara teoritis dapat diekspansikanmenjadi analisis 2D atau 3D tetapi membutuhkan usaha yang sangat besar dan seringtidak dapat diselesaikan dengan metode eksak. Analisis model 1D dengan metode matriksberdasarkan MEH secara teoritis dapat diekspansikan menjadi analisis 2D atau 3D tetapidisisi lain juga membutuhkan usaha yang lebih besar tetapi mempunyai probabilitas yangtinggi untuk dapat diselesaikan.

Gambar 1.10. Visualisasi model kontinu dengan berbagai metode

bab i pendahuluan

Documents