bab i - baesaran & satuan

7/17/2019 Bab i - Baesaran & Satuan

http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-baesaran-satuan 1/20

I-1

FISIKAFISIKAFISIKAFISIKA

DASAR IDASAR IDASAR IDASAR IITS ITS ITS ITS

BAB I

BESARAN DAN VEKTOR

A. Rumus-RumusBesaran

Besaran adalah keadaan benda yang dapat diukur, misalnya panjang, massa,

kecepatan, volum, gaya, dan lain sebagainya. Dalam mekanika terdapat 3 besaran dasar, yaitupanjang, massa, dan waktu. Besaran turunan adalah besaran-besaran yang dapat dinyatakan

sebagai kombinasi dari ketiga besaran dasar. Contohnya kecepatan, percepatan, gaya, usaha,

daya, dan sebagainya. Setiap besaran dilambangkan dengan sebuah simbol.

Dimensi panjang, massa, dan waktu berturut-turut adalah [L], [M], dan [T]. Dimensi

besaran turunan dapat dinyatakan sebagai kombinasi dimensi besaran dasar tersebut.

Sistem satuan

Pada pelajaran Fisika, pernyataan suatu besaran selalu diikuti oleh satuannya. Oleh

karena terdapat banyak jenis satuan maka diperlukan aturan dalam hal penggunaannya.

Sistem satuan adalah suatu cara pengaturan penggunaan satuan.

Sistem satuan yang digunakan dalam buku ini adalah

a.

Sistem Inggris Absolut

b. Sistem Internasional (SI).

Sistem Internasional merupakan sistem satuan yang diharapkan menggantikan

beraneka ragam sistem satuan yang ada sekarang.

Tabel 1.1 Besaran dan sistem satuan SI dan Inggris Absolut

Besaran

Sistem Satuan

Panjang Waktu Massa Gaya Kerja

Sistem Internasional m s kg newton (N) joule (J)

Inggris Absolut ft s lbm pdl ft-pdl

Contoh konversi satuan:

• 1 ft (foot) = 30,5 cm

• 1 in = 2,54 cm

• 1 lbm ( poundmass) = 453,59 gram

• 1 lbf ( poundforce) = 32,174 pdl ( poundal)

• 1 hp = 550 ft.lb/s = 746 W

•

1 atm = 1,013 bar = 14,7 lb/in2 = 760 torr = 1,013 × 10

5 N/m

• 1 Pa = 1 N/m2 = 1,45 × 10

-4 lb/in

2

• 1 radian (rad) = 57,30° = 57°18′

•

1 rev/min (rpm) = 0,1047 rad/s

Vektor

Vektor A dapat ditulis Ar

(huruf kapital dengan anak panah di atasnya).

Besar Ar

disimbolkan dengan A Ar

= .

Vektor satuan

Vektor satuan adalah vektor yang besarnya 1 satuan.

Vektor satuan dilambangkan dengan huruf bertopi, misal u adalah vektor satuan dari ur

.



I-2



k ji ˆdan,ˆ,ˆ adalah vektor satuan yang berturut-turut menunjuk

ke arah sumbu-sumbu x, y, dan z positif (Gambar 1.1).

Komponen Vektor

Sebuah vektor Ar

dapat diuraikan atas komponen-

komponennya terhadap sumbu x , sumbu y , dan sumbu z ,

yaitu berturut-turut adalah x A , y A , dan z A (Gambar 1.2),

sehingga Ar

dapat dituliskan sebagai

k A j Ai A A z y x

ˆˆˆ rr

++=

Besar Ar

adalah222

z y x A A A A ++= .

Arah A

r

ditentukan oleh salah satu dari ketiga sudut α , β , dan, yaitu sudut-sudut yang dibentuk oleh A

r masing-masing

terhadap sumbu x+, sumbu y+, dan terhadap sumbu z+.

A

A

A

A

A

A z y x

=== γ β α cos;cos;cos

Ketiga sudut α , β , dan γ mematuhi hubungan identitas

1coscoscos222

=++ γ β α

Komponen Ar

dalam dua dimensi dapat ditentukan secara analitis

dari besar A dan sudut θ (Gambar 1.3),

θ cos A A x = dan θ sin A A y =

Besar dan arah Ar adalah

22

y x A A A += dan

=

−

x

y

A

A1

tanθ

Operasi vektor

• Penjumlahan vektor

Jumlah dua vektor Ar

dan Br

(Gambar 1.4) menghasilkan

vektor resultan Rr

:

B A Rrrr

+=

Besar R

r

dihitung dengan:a. Aturan cosinus

θ cos222

AB B A R ++=

dengan θ adalah sudut apit antara pangkal Ar

dan Br

(lihat Gambar 1.5).

x

y

z

i

j

k

Gambar 1.1.

α

x

y

z

i A x

)

j A y

)

k A z

)

β γ

Ar

Gambar 1.2.

Ar

x A

y A

x

y

θ 0

Gambar 1.3.

A

r

Br

Rr

θ

Gambar 1.4.

θ

Ar

Br

Rr

β

α

Gambar 1.5.



I-3



b.

Aturan sinus (lihat Gambar 1.5)

γ β α sinsinsin

R B A==

• Selisih dua vektor

Selisih antara vektor Ar

dan Br

menghasilkan vektor resultan

Rr

(Gambar 1.6):

B A Rrrr

−=

Besar'

Rr

dihitung dengan:

θ cos222

AB B A R −+=


dan Br

.

• Perkalian vektora. Perkalian vektor dengan skalar

Perkalian vektor dengan skalar menghasilkan besaran vektor

Bc Arr

=

dengan c adalah skalar.b. Perkalian titik (dot product )

Perkalian titik antara dua vektor menghasilkan besaran skalar.

θ cos B A B A =⋅rr


dan Br

(Gambar 1.7).

Sifat perkalian titik dua vektor:

1. Jika 0=⋅ B Arr

, maka 0= Ar

atau 0= Br

atau kedua vektor itu saling tegak lurus.

2. Jika Ar

dan Br

sejajar, maka B A B A =⋅rr

.

3. Perkalian titik sebuah vektor dengan dirinya sendiri = kuadrat besar vektor itu,2

A A A =⋅rr

4.

Perkalian titik bersifat komutatif

A B B Arrrr

⋅=⋅ 5. Perkalian titik memenuhi aturan perkalian distributif

( ) C BC AC B Arrrrrrr

⋅+⋅=⋅+

6. Perkalian titik dapat ditulis dalam bentuk komponen kedua vektor itu.

Misal perkalian titik k A j Ai A A z y xˆˆˆ ++=

r dan k B j Bi B B z y x

ˆˆˆ ++=r

.

Perkalian titik B Arr

⋅ dapat ditulis:

z z y y x x z y x z y x B A B A B Ak B j Bi Bk A j Ai A B A ++=++⋅++=⋅ ˆˆˆˆˆˆ

rr

c. Perkalian silang (cross product )

Perkalian silang antara dua vektor menghasilkan vektor

baru yang arahnya tegak lurus bidang yang memuat kedua

vektor (bidang tempat kedua vektor berada – Gambar 1.8)

B AC rrr

×= dengan

θ sin B AC =

Arah C r

ditentukan sesuai arah maju sekrup putar kanan dari Ar

ke Br

.

Br

A

r

θ

θ cos A

Gambar 1.7.

θ

Ar

Br

Br

−

θ π −

Rr

Gambar 1.6.

θ

Ar

B

r

B Arr

×

A Brr

× Gambar 1.8.



I-4



Sifat perkalian silang antara dua vektor:

1. Jika θ adalah sudut apit antara kedua vektor dan n adalah vektor satuan yang

tegak lurus kedua vektor, maka perkalian silang Ar

dan Br

ditulis sebagai

( ) nθ A B B A ˆsin=×rr

2. Perkalian silang antara dua vektor Ar

dan Br

dapat dihitung dengan determinan

atau aturan Sarrus.

( ) ( ) ( ) k B A B A j B A B Ai B A B A

B B B

A A A

k j i

B A x y y x z x x z y z z y

z y x

z y xˆˆˆ

ˆˆˆ

−+−+−==×rr

3. Jika Ar

dan Br

sejajar, maka 0=× B Arr

.

4. Dari definisi perkalian silang, berlaku

0=× A Arr

A B B Arrrr

×−=× 5. Perkalian silang memenuhi hukum distributif

( ) C A B AC B Arrrrrrr

×+×=+×

6. Perkalian silang antara vektor-vektor satuan i , j , dan k adalah

k ji ˆˆˆ =× ik j ˆˆˆ =× jik ˆˆˆ =×

k i j ˆˆˆ −=× i jk ˆˆˆ −=× jk i ˆˆˆ −=×

0ˆˆˆˆˆˆ =×=×=× k k j jii

Vektor Posisi

Vektor posisi suatu titik A (Gambar 1.9) yang memiliki

koordinat ( ) z y x ,, dinyatakan sebagai k z j yi xr Aˆˆˆ ++=

r.

B. Contoh Soal

1. Sebuah kubus berukuran 10 cm × 10 cm × 10 cm. Nyatakan volumnya dalam cm3

dandalam m

3.

Penyelesaian:

Volum V sebuah kubus dengan rusuk L adalah3 L .

( )( )( ) 333cm10cm10cm10cm10 === LV

Untuk mengubahnya ke m3 digunakan 1 cm = 10-2 m,

33

32

3333m10

cm1

m10cm10cm10

−

−

=

×=

2. Kolom air raksa yang memiliki luas penampang 1 cm2 setinggi 76 cm memberi tekanan

atm1 pada dasar kolom tersebut di suatu tempat yang percepatan gravitasinya 980 cm/s2.

k

)

j

x

y

z

( ) z y x A ,,

O

z

x

y

i

Ar r

Gambar 1.9.



I-5



Jika diketahui kerapatan air raksa (Hg) ,gram/cm6,133

= tentukan tekanan tersebut dalam

sistem

a. SI,

b. Inggris absolut,

c. Psi.

Penyelesaian:

a.

Volum Hg = luas penampang × tinggi = ( )( ) 32 cm76cm76cm1 = , sehingga massa Hg

adalah

( ) ( ) gram6,1033cm76gram/cm6,1333

=== V m ρ

Berat air raksa, ( ) ( ) dyne928.012.1cm/s980gram6,10332

=== mgW

Karena tekanan = gaya berat per satuan luas penampang, maka

tekanan 1 atm = 1.012.928 dyne/cm2.

1 N = 105 dyne; 1 cm

2 = 10

-4 m

2.

2

24N/m8,292.101

m10

N12928,10atm1 ==

−

Jadi2

N/m8,292.101atm1 =

b. pdl233052,7s

ftlbm233052,7s

ft

3048,0

1lbm1059,453

1kg.m/s1N1223

2==

×==

−

22

2

2ft76391,10ft

3048,0

1m1 =

=

22ft

pdl9806,065.68

ft76391,10

pdl233052,78,292.101atm1 =×=

Jadi2

ft

pdl9806,065.68atm1 =

c. Dalam praktik, tekanan seringkali diukur dalam satuan Psi, dengan 1 Psi = 1 lbf/in.2.

lbf 224869,0s

ftslug224869,0s

ft

3048,0

1slug59,114

1N1 22 ===

( ) 2222in9969,1549in37,39m1 ==

Psi69526,14in

lbf 69526,14

in9969,1549

lbf 224869,08,292.101atm1

22 ==×=

Jadi Psi69526,14atm1 = .

3. Sebuah kubus kecil terbuat dari besi diamati di bawah mikroskop. Kubus tersebut

memiliki rusuk6

105 −

× cm. Jika diketahui kerapatan besi 7,86 gram/cm3

dan massa atom

besi adalah 56 u, dengan gram,1066,1u124−

×= carilah

a. massa kubus

b.

jumlah atom besi dalam kubus

Penyelesaian:

a. KarenaV

m= ρ , sedangkan volum kubus

3 LV = , maka massa kubus adalah

( ) ( )3

3 3 6 167,86 gram/cm 5 10 cm 9,83 10 gram.m L ρ − −

= = × = ×

Jadi massa kubus adalah gram1083,916−

×=m .



I-6



b. Jumlah atom besi dapat dihitung dari

=

atomberat

N m N A , dengan A N (disebut

bilangan Avogadro) adalah jumlah molekul dalam satu mol;

atom/mol.1002,623

×= A N Dengan demikian

( ) atom1006,1gram/mol56

atom/mol1002,6

gram1083,9

723

16

×=

×

×=

−

N

Jadi jumlah atom besi dalam kubus adalah atom1006,17

× .

4. Dengan menggunakan pendekatan dimensi, manakah persamaan di bawah ini yang benar?

a. axvvo

+= , jika v dano

v menyatakan kecepatan, a adalah percepatan, dan x adalah

posisi.

b. ( ) ( )kx y cosm2= , dengan 1m2

−=k , jika y adalah simpangan dan x adalah posisi.

Penyelesaian:

a. Nyatakan terlebih dahulu dimensi besaran setiap suku dalam persamaan axvv o += .

Besaran v dan ov keduanya bersatuan m/s; dengan demikian dimensi1

adalahdan −

LT vvo . Karena besaran a bersatuan m/s

2 dan berdimensi

2− LT ,

sedangkan x bersatuan m dan dimensi ax adalah22 −

T L . Dengan demikian dimensi

pada kedua ruas persamaan adalah2211 −−−

+= T L LT LT

Tampak bahwa dimensi pada kedua ruas tidak sama. Jadi persamaan pada soal a tidak

benar.

b. Setiap suku pada sebuah persamaan harus memiliki dimensi yang sama. Pada suku

kanan bagian ( )kxcos tidak bersatuan, sehingga satuan y adalah m. Karena y adalah

simpangan, maka dimensinya adalah [ ] L . Karena suku kiri dan kanan berdimensisama, maka untuk persamaan soal b benar.

5. Seorang mahasiswa meninggalkan desa menuju kota. Karena terhalang jurang, maka ia

harus menempuh jarak sejauh 22 km ke arah utara, kemudian meneruskan perjalanan

sejauh 47 km ke araho

60 seperti pada Gambar 1.10. Tentukan perpindahan mahasiswatersebut.

Penyelesaian:

Misal perpindahan 21 D D Drrr

+= (Gambar 1.11).

o60

TimurRumah x

yUtara

2 Dr

1 Dr

0

Gambar 1.10.



I-7



Jika Dr

diuraikan ke komponen-komponennya diperoleh

( ) km7,18km7,40km22

km5,23km5,23km0

21

21

−=−+=+=

=+=+=

y y y

x x x

D D D

D D D

Besar dan arah resultannya adalah

( ) ( ) km30km7,18km5,23 2222 =+=+= y x D D D

( ) o

x

y

D

D

5,38796,0tan

km5,23

km7,18tan

1−==

==

−θ

θ

Tanda negatif berartio5,38−=θ di bawah sumbu x+.

Jadi besar perpindahan mahasiswa adalah 30 km dengan araho

5,38− terhadap sumbu x+.

6.

Tunjukkan bahwa luas jajaran genjang dengan sisi yang dibentuk oleh vektor Ar

dan Br

(lihat Gambar 1.12) diberikan oleh B Arr

× .

Penyelesaian:

Dari Gambar 1.13 luas jajaran genjang adalah bh

Tetapi, ( ) θ θ sin180sin A Aho

=−= , dan Bb = ,

sehingga

θ sin B Ahb Luas == (1)

Ruas kanan Pers.(1) adalah besar dari B Arr

× ,

sehingga diperoleh

B A B A Luasrr

×== θ sin

Jadi terbukti bahwa luas jajaran genjang adalah B Arr

× .

7.

Diketahui 3 buah vektor masing-masing k ji A ˆ4ˆ13ˆ6 −+=r

, k ji B ˆ2ˆ2ˆ3 −−=r

, dan C r

.

Besar C r

adalah 13 satuan. Diketahui pula bahwa C r

tegak lurus Ar

.

a.

Berapa sudut antara Ar

dan Br

.

b.

Untuk soal b – d, bila C r

tidak sejajar Br

dan C B Arrr

×= , berapa sudut apit antara Br

dan C r

.

c.

Nyatakan C r

.

d.

Hitunglah C Brr

× .

θ Timur x

yUtara

2 D

r

1 Dr

0

Dr

Gambar 1.11.

Ar

Br

θ

Gambar 1.12.

Ar

Br

θ

b

h

Gambar 1.13.



I-8



Penyelesaian:

a.

Vektor k ji A ˆ4ˆ13ˆ6 −+=r

memiliki komponen A x = 6, 13= y A , 4−= z A , sedangkan

k ji B ˆ2ˆ2ˆ3 −−=r

memiliki komponen 3= x

B , 2−= y B , 2−= z B .

Misal sudut antara Ar

dan Br

adalah α . Sudut α dapat ditentukan melalui hubungan

perkalian titik

α cos B A B A =⋅rr

Untuk ruas kiri

z z y y x x B A B A B A B A ++=⋅

rr

( ) ( ) ( )2421336 −×−+−×+×=

82618 +−= = 0

Dengan demikian 0cos =α B A . Karena A dan B tidak nol, maka persamaan

tersebut berlaku hanya bila 0cos =α , dengan kata laino

90=α .

b. Karena 0=⋅ B Arr

, berarti Ar

tegak lurus terhadap Br

.

Karena diketahui bahwa Ar

tegak lurus terhadap ,C r

dan Ar

juga tegak lurus terhadap

Br

, dan

C B Arrr

×=

sehingga

θ sinC B A =

dengan θ adalah sudut apit antara Br

dan C r

. Sehingga,

θ sin. 222222222

z y x z y x z y x C C C B B B A A A ++++=++

( )

( ) ( )

( ) o

901sin

11317

221

13449

1616936

13223

4136sin

1

222

222

==

=⋅

=⋅++

++=

⋅−+−+

−++=

−

θ

θ

Jadi sudut yang dibentuk antara Br

dengan C r

adalaho90=θ , yang berarti B

r juga

tegak lurus terhadap C r

.

c. Misalkan bentuk vektor k C jC iC C z y x

) ) ) r++= . A

r dan C

r saling tegak lurus, maka

0=⋅ C Arr

( ) ( ) 04136

0

=++⋅−+

=++⋅++

k C jC iC k ji

k C jC iC k A j Ai A

z y x

z y x z y x

) ) ) ) ) )

) ) ) ) ) )

04136 =−+ z y xC C C (1)

Karena B

r

tegak lurus C

r

, maka0=⋅ C B

rr

( ) ( )( ) ( ) 0223

0

=++⋅−−

=++⋅++

k C jC iC k ji

k C jC iC k B j Bi B

z y x

z y x z y x

) ) ) ) ) )

) ) ) ) ) )

0223 =−− z y x C C C (2)

Besar C adalah 13 satuan



I-9



13222

=++= z y xC C C C

13222

=++ z y x

C C C (3)

Pers.(1) dikurangi 2 × Pers.(2),

0

017 - 0 446

04136

=

=

=−−

=−+

y

y

z y x

z y x

C

C C C C

C C C

Bila nilai 0= y

C disubstitusikan ke Pers.(1), maka diperoleh

( )

z z x

z x

z x

C C C

C C

C C

3

2

6

4

46

040136

==

=

=−+

Nilai xC dan y

C dapat disubstitusikan ke Pers.(3),

13222

=++ z y x C C C

3

9

139

13

1309

4

2

2

22

±=

=

=

=++

z

z

z

z z

C

C

C

C C

( ) 233

2

3

2±=±⋅=⋅= z x

C C

Dengan demikian vektor C r

adalah k iC ˆ3ˆ2 +=r

atau k ˆ i C 32 −−=r

d. Untuk k ˆ i C 32 +=r

,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k jik ji

k ji

C B ˆ4ˆ13ˆ6ˆ40ˆ49ˆ06

302

223

ˆˆˆ

+−+−=+++−−−=−−=×rr

( ) ( ) =++=+−+−=× 16169364136 222C Brr

satuan221

sedangkan dari k ˆ i C 32 −−=r

diperoleh

( ) ( ) ( ) k jik ji

k ji

C B ˆ4ˆ13ˆ6ˆ40ˆ49ˆ06

302

223

ˆˆˆ

−+=−+−−−−=

−−

−−=×rr

( ) =++=−++=× 16169364136222

C Brr

satuan221 .

Tampak bahwa nilai C Brr

× yang diperoleh dari kedua vektor C r

tersebut sama besar.



I-10



8. Tiga buah vektor seperti ditunjukkan pada Gambar 1.14

mempunyai besar m,4m,3 == B A dan m10=C dengan

suduto

30=θ .

a. Tentukan komponen x dan y dari ,, B Arr

dan .C r

b.

Jika Bq A pC

rrr

+= , berapa nilai p dan q ?

Penyelesaian:

a. Dari gambar, Ar

memiliki komponen ke arah sumbu , x m3= x

A .

Br

memiliki 2 komponen, yaitu ke arah sumbu x dan y,

( ) m3230cosm4coso

=== θ B B x dan ( ) m230sinm4sino

=== θ B B y .

Karena C r

tegak lurus terhadap , Br

maka komponen C r

dapat dicari dari hubungan:

0=⋅ C Brr

(1)

( ) ( )

( ) ( )[ ] [ ]

( ) ( ) 0m2m32

0ˆˆˆm2ˆm32

0ˆˆˆˆ

=+

=+⋅+

=+⋅+

y x

y x

y x y x

C C

jC iC ji

jC iC j Bi B

y x C C

−= m

3

1 (2)

Diketahui besar C r

adalah 10 m, sehingga

( )2222m10==+ C C C

y x

( ) 22m100

y xC C −= (3)

Jika nilai x

C pada Pers.(2) disubstitusikan ke Pers.(3), maka diperoleh

( )

( )

( )m103

m1009

10

m100m3

1

2

222

±=

=

−=

−

y

y

y y

C

C

C C

dan ( )m30m103

3mm =

= xC

Karena C r

berada di kuadran II, dengan demikian komponen C r

adalah m30−= xC , dan

m103= yC .

b. Jika diketahui Bq A pC rrr

+= , maka

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) jqiqi p ji ˆm2ˆm32ˆm3ˆm103ˆm30 ++=+−

( ) jqiq p ji ˆm2ˆm32m3ˆm103ˆm30 ++=+− (4)

Dari Pers.(4), komponen x dan y dapat dipisahkan menjadi

( ) ( ) 10m103m22

3=⇒= qq

Ar

Br

C r

x

y

θ

Gambar 1.14.



I-11



m30m32m3 −=+ q p

Setelah mengeliminir nilai q diperoleh

m304m303m30m3 −=−−= p

3034−= p

Dengan demikian nilai30

3

4−= p dan

102

3=q.

9. Tiga buah titik A, B, dan C berada dalam ruang koordinat kartesian ( z y x ,, ). Titik A

memiliki koordinat (2,3,1) m, B (3,5,3) m, dan C (4,6,5) m. Sebuah gaya F r

sebesar

N100 dengan titik tangkap di B membentuk sudut 60° terhadap sumbu+

x , 45° terhadap

sumbu+

y , dan γ terhadap sumbu+

z .

a. Carilah gaya F r

dan BC r r

.

b.

Hitung sudut apit antara gaya F r

dan BC r r

.

c.

Tentukan momen gaya τ r

terhadap titik A bila diketahui F r rrr

×≡τ dan A B r r r rrr

−= .

d.

Hitung usaha W yang dilakukan oleh gaya F r

, jika gaya tersebut menggeser benda

dari titik B ke titik C, dengan CBr F W rr ⋅≡ .

Penyelesaian:

a.

Vektor gaya F r

dapat dicari dengan persamaan:

k F jF iF F ˆcosˆcosˆcos γ β α ++=r

dengan ,, β α dan γ berturut-turut adalah sudut yang dibentuk antara vektor F r

dengan

sumbu-sumbu x, y, dan z.

Dari soal diketahui o60=α , o

45= β . γ belum diketahui dan besarnya dapat dicari

dari hubungan

1coscoscos222

=++ γ β α

( ) ( ) 1cos45cos60cos

2o2o2

=++ γ

( ) ( )41

42

41

2

212

212

121cos =−−=−−=γ

21

41cos ==γ

( ) o

211 60cos ==

−γ .

Sehingga

( ) ( ) ( ) k ji

k jiF

ˆ.N100ˆ2.N100ˆ.N100

ˆ60cos100ˆ45cos100ˆ60cos100

21

21

21

ooo

++=

++=r

( ) ( ) ( ) k jiF ˆN50ˆN250ˆN50 ++=r

.

BC r r

dapat dihitung dari selisih vektor posisi C r r

dan Br r

, atau BC BC r r r rrr

−= .

( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) )k jik jir r r BC BC ˆm3ˆm5ˆm3ˆm5ˆm6ˆm4 ++−++=−=

rrr

( ) ( ) ( ) k jir BC ˆm2ˆm1ˆm1 ++=

r.

b. Sudut apit antara gaya F r

dan BC r r

dapat dicari dari hubungan perkalian titik antara F r

dan BC r r

,



I-12



θ cos BC BC r F r F =⋅rr

) )

( ) ( )22222

22115025050

ˆ2ˆˆˆ50ˆ250ˆ50cos

++

++

++⋅++=

⋅=

k jik ji

r F

r F

BC

BC

rr

θ

( ) 90,0610000

10025050=

++

=

( )1 ocos 0,90 25,84θ −= =

Jadi sudut apit antara gaya F r

dan BC r r

adalaho

84,25=θ . (Bagaimana gambar F r

dan

BC r r

?)

c. Karena titik tangkap vektor di titik B (3,5,3) m, sedangkan momen gaya dihitung

terhadap titik A (2,3,1) m, maka vektor lengan gaya adalah A B r r r rrr

−= (Gambar 1.15).

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) k ji

k jik jir

ˆm2ˆm2ˆm1

ˆm1ˆm3ˆm2ˆm3ˆm5ˆm3

++=

++−++=r

( ) ( ) ( ) k jiF ˆN50ˆN250ˆN50 ++=r

Momen gaya τ adalah hasil perkalian vektor antara lengan gaya r r

dan gaya F r

atau

F r τ rrr

×= yang dapat dihitung dengan menggunakan metode Sarrus.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )k ji

k

j

i

k j i

k jik jiτ

ˆN.m100250ˆN.m10050ˆN.m2100100

25050

21ˆ

5050

21ˆ

50250

22ˆ

5025050

221

ˆˆˆ

ˆN50ˆN250ˆN50ˆm2ˆm2ˆm1

−+−−−=

+−==

++×++=r

( ) ( ) ( ) k jiτ ˆN.m29,29ˆN.m50ˆN.m42,41 −++−=r

d. Usaha (W ) didefinisikan sebagai perkalian titik antara gaya F r

dengan perpindahan

BC r r

.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k jik jir F W BC

ˆm2ˆm1ˆm1ˆN50ˆN250ˆN50 ++⋅++=⋅= rr

==++= N.m71,220N.m100N.m250N.m50 J220,71

10. Sebuah benda bermassa 2 kg bergerak pada bidang xy dengan kecepatan 3 m/s yang

membentuk sudut o60 terhadap sumbu x+ dan o

30 terhadap sumbu y_ (kuadran IV).

a. Nyatakan kecepatan ( vr

) dan hitung momentum linier benda tersebut ( vm p rr

≡ ).

b. Gambarkan vr

dan pr

pada bidang xy .

c. Hitung besar dan arah , pr rr

× bila diketahui ( ) ( ) .ˆm2ˆm1 jir −+=r

F r

r r

AB

Gambar 1.15.



I-13



Penyelesaian:

a.

Pernyataan kecepatan vr

dalam bidang xy adalah

jvivv y x

ˆˆ +=r

dengan

( ) ( ) ( ) m/s5,1m/s360360cosm/s3cos21oo

==−== α vv x

( ) ( ) ( ) m/s35,13m/s360360sinm/s3sin 21oo −=−=−== α vv y

Dengan demikian ( ) jiv ˆm/s35,1ˆm/s5,1 −=r

, dan

( )

( ) ( )( ) ji

jvivmvm p y x

ˆm/s35,1ˆm/s5,1kg2

ˆˆ

−+=

+== rr

Jadi momentum linier benda adalah ( ) ji p ˆkg.m/s33ˆkg.m/s3 −=r

.

b. Gambar kecepatan dan momentum linier benda seperti ditunjukkan Gambar 1.16.

c. Momentum sudut ( ) Lr

adalah pr L rrr

×=

Vektor posisi, ( ) ( ) jir ˆm2ˆm1 −+=r

Momentum linier, ( ) ji p ˆkg.m/s33ˆkg.m/s3 −=

r

( ) ( )( ) ( ) ji ji L ˆkg.m/s33ˆkg.m/s3ˆm2ˆm1 −×−+=

r

( )k

k

j

i

k j i

L

ˆ /skg.m633

333

21ˆ

03

01ˆ

033

02ˆ

0333

021

ˆˆˆ

2+−=

−

−+−

−

−=

−

−=r

sehingga besar momentum sudut adalah

( ) =+−=2

2 /skg.m633 L /skg.m8,0

2, dengan arah ke sumbu z+.

11.

Suatu kapal pesiar berlabuh di lautan bebas ke arah utara dengan kecepatan 15 km/jam.

Bila arus laut yang menerpa kapal berkecepatan 5 km/jam ke arah 70 ° terhadap selatan-

timur, tentukan resultan kecepatan kapal tersebut.

Penyelesaian:

Sesuai Gambar 1.17, soal ini dapat diselesaikan secara grafis, dengan Bvr

adalah

kecepatan kapal, Avr

adalah kecepatan arus.

Resultan kecepatan kapal didapatkan dari jumlah vektor kecepatan kapal relatif

terhadap air ditambah kecepatan hanyut yang disebabkan oleh arus.

x

y

vr

pr

300° 60°

Gambar 1.16.



I-14



A B vvv rrr

+=

Karena o110=θ , maka besar resultan kecepatan kapal tersebut

adalah

( ) ( ) ( )( )

km/jam09,14

110coskm/jam5km/jam152km/jam5km/jam15

cos2

o22

22

=

++=

++= θ A B A B vvvvv

dan arahnya diperoleh dari hubungan

β θ sinsin

Avv

= atauv

v A

θ β

sinsin =

( )( )

oo

48,19km/jam14,09

110sinkm/jam5== β

Jadi besar resultan kecepatan kapal adalah km/jam09,14=v dengan

arah o48,19 terhadap utara-timur .

12.

B

r

dan C

r

adalah diagonal sisi kubus yang berpotongan di titikasal seperti ditunjukkan pada Gambar 1.18. Panjang rusuk

kubus adalah a dalam satuan sembarang.

a. Tentukan komponen Dr

, bila C B Drrr

×= .

b. Carilah nilai ,, C DC Brrrr

⋅⋅ dan B Drr

⋅ .

c. Carilah sudut apit antara pangkal vektor diagonal ruang E r

dan pangkal vektor diagonal sisi Br

.

Penyelesaian:

a. Dari gambar, jaia B ˆˆ +=r

, dan k a jaC ˆˆ +=r

Untuk C B D

rrr

×= , maka tanpa menuliskan satuannya, maka( ) ( ) k j jiak a ja jaia D ˆˆˆˆˆˆˆˆ 2

+×+=+×+=r

)( ) k a jaiai jk a

k j j jk i jia

ˆˆˆˆ0ˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆˆ

2222

2

+−=++−=

×+×+×+×=

Dengan demikian satuanˆˆˆ 222k a jaia D +−=

r.

b. ( ) ) )k j j jk i jiak a ja jaiaC B ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ 2⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+=⋅

rr

2aC B =⋅rr

satuan.

( ) 0ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆ

3

222

=⋅+⋅−⋅+⋅+⋅−⋅=

+⋅+−=⋅

k k k jk i jk j j jiak a jak a jaiaC D

rr

satuan0=⋅ C Drr

.

) ( )( ) 0ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆ

3

222

=⋅+⋅−⋅+⋅+⋅−⋅=

+⋅+−=⋅

jk j j jiik i jiia

jaiak a jaia B Drr

satuan0=⋅ B Drr

.

β

vr

Avr

Bvr

O

θ

70°

U

S

TB

Gambar 1.17.

Gambar 1.18.

x

y

z a a

a

C r

Br

E r



I-15



Tampak bahwa 0=⋅=⋅ B DC Drrrr

, karena C B Drrr

×= , maka Dr

selain tegak lurus

terhadap Br

juga tegak lurus terhadap .C r

c. Karena E r

adalah vektor diagonal ruang kubus, maka satuanˆˆˆ k a jaia E ++=r

, dan

karena Br

adalah vektor diagonal sisi kubus, maka satuan.ˆˆ jaia B +=r

Sudut apit

antara pangkal E r

dan Br

dapat dicari dari hubungan

θ cos EB B E =⋅ rr (1)

Selanjutnya tanpa menuliskan satuannya, untuk ruas kiri

) ( )( )2

2

2

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆ

a

jk j j jiik i jiia

jaiak a jaia B E

=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

+⋅++=⋅rr

Dari soal didapatkan satuan,222 aaa B =+=

dan satuan3222 aaaa E =++= .

Jika besar Br

dan E r

tersebut disubstitusikan ruas kanan ke Pers.(1), maka diperoleh

o

aa

aaa

26,3563

1cos

63

1

6

2cos

cos62cos232

1

22

2

=

=

==

=

=

−θ

θ

θ θ

Jadi sudut apit antara E r

dan Br

adalaho

26,35=θ .

13. Jika 2 vektor Ar

dan Br

dijumlahkan, buktikan bahwa besar resultannya tidak mungkin

lebih besar dari B A + atau lebih kecil dari B A − .

Penyelesaian:

Misalkan Ar

terletak pada sumbu x, dan Br

terletak pada

sumbu y seperti pada Gambar 1.19. Komponen Br

adalah

θ cos B B x = dan θ sin B B y =

Dengan teorema Phitagoras diperoleh

( ) ( )

22

22222

222

cos2

sincoscos2

sincos

B AB A

B B AB A

B B Ar

++=

+++=

++=

θ

θ θ θ

θ θ

Karena 1cossin22

=+ θ θ . Sudut apit θ antara A

r

dan B

r

berkisar dario

0 sampai .360o

Nilai resultan terbesar yang mungkin terjadi ketika o0=θ ( 10cos o

= ), sehingga

( )2222 2 B A B AB A Rmaks +=++=

B A Rmaks +=

Sedangkan nilai resultan terkecil yang mungkin terjadi ketika o180=θ , sehingga

( ) ( )22

min

22

min

222

min

atau

2

A B R B A R

B AB A R

−=−=

+−=

y

Ar

Br

Rr

θ sin B

θ cos B x

θ

Gambar 1.19.



I-16



Jadi ( ) ( ) A B R B A R −=−= minmin atau ,

dengan kata lain B A R −=min atau A B R −=min , yang besarnya bergantung pada nilai

A atau B yang positif.

14.

Dua buah vektor memiliki panjang A dan B membentuk sudut θ dan kedua pangkalnya

berimpit. Dengan mengambil komponen-komponen sepanjang 2 sumbu yang salingtegak lurus, buktikan bahwa resultan hasil penjumlahan adalah

θ cos222 AB B A R ++=

Penyelesaian:

Buat kedudukan sumbu koordinat sehingga salah

satu vektor tersebut terletak pada sumbu x dan y

(lihat Gambar 1.20). Misal Ar

terletak pada sumbu

x, sehingga i A A ˆ=r

dan ( ) ( ) j Bi B B ˆsinˆcos θ θ +=r

.

Jika R B Arrr

=+ , maka

( ) ( ) j Bi B A B A R ˆsinˆcos θ θ ++=+=rrr

( ) ( )( )( )

( )( ) 21

21

21

2222

22222

22

sincoscos2

sincoscos2sincos

θ θ θ

θ θ θ θ θ

+++=

+++=

++=

B AB A

B B AB A B B A R

Karena 1sincos22

=+ θ θ , dengan demikian diperoleh

( ) 21

22 cos2 B AB A R ++= θ

Jadi terbukti bahwa ( ) 21

22 cos2 B AB A R ++= θ .

C. Soal-soal

1.

Hukum Newton tentang gravitasi universal adalah r ˆ r

MmGF 2−=

r

, dengan F

r

adalah gaya

gravitasi, M dan m adalah massa, dan r jarak antara M dan m . Satuan gaya dalam

sistem satuan SI adalah kg.m/s2. Tentukan satuan konstanta G dalam sistem satuan SI.

2. Carilah faktor konversi-antar dari (a) km/jam ke mil/jam, (b) m/s ke ft/s, (c) mil/jam ke

m/s.

3. Tiga orang mahasiswa membuktikan persamaan sebagai berikut:

a. at vt x 22

+=

b. 2

21 at t v x

o +=

c.

2

2at t v x o +=

,dengan x adalah jarak ditempuh, v adalah kecepatan, a adalah percepatan, t adalah

waktu, dan subskrip ( )nol berarti kuantitas pada waktu s.0=t

Dengan menganalisis dimensinya, manakah di antara persamaan tersebut yang tidak

benar?

4. (a) Dengan menganggap kerapatan air adalah 1 gram/cm3, tentukan kerapatan air dalam

kg/liter. (b) Jika untuk mengosongkan wadah berisi 1 liter air dibutuhkan waktu 5 jam,

hitung laju aliran massa air dinyatakan dalam kg/s.

x

y

Ar

Br

θ cos B

θ sin B

θ

Gambar 1.20.



I-17



5. Suatu inti besi mempunyai jari-jari15

104,5 −

× m dan bermassa26

103,9 −

× kg.

a. Nyatakan kerapatan massa besi dalam kg.m-3

.

b. Jika kerapatan massa bumi diasumsikan serbasama, berapakah panjang jari-jarinya,

jika diketahui massa bumi adalah24

1098,5 × kg.

6.

Satu molekul air (H2O) berisi 2 atom hidrogen dan 1 atom oksigen. Sebuah atom oksigen

memiliki massa 1,0 u dan atom oksigen 16 u, dengan gram.1066,1u124−

×=

a. Berapakah massa dalam kilogram dari 1 molekul air.

b.

Berapa banyak molekul air dalam laut dunia yang diperkirakan memiliki massa total

1,4×1021

kg.

7. Tiga vektor ,, B Arr

dan C r

masing-masing mempunyai besar 50 m dan berada pada bidang

xy . Arah ketiga vektor tersebut terhadap sumbu+

x berturut-turut adalah ,195,30oo

dano

315 . Tentukan

a. besar dan arah C B Arrr

++ .

b.

besar dan arah C B Arrr

+− .

c. besar dan arah Dr

agar ( ) ( ) 0=+−+ DC B Arrrr

.

8.

Tiga buah gaya bekerja pada sebuah titik masing-masing adalah

,ˆ2ˆ3ˆ,ˆ3ˆˆ2 21 k jiF k jiF ++−=+−=rr

dan ,ˆˆ2ˆ3 k jiF −+−=r

dengan satuan gaya dalam N.

Carilah besar dan arah dari ,, 321321 F F F F F F rrrrrr

+−++ dan 321 F F F rrr

−+ .

9. Sebuah kubus dengan panjang rusuk 2 m

ditunjukkan pada Gambar 1.21. Pada

kubus terdapat dua buah vektor DF dan DK dengan K titik tengah sisi EH .

Nyatakan vektor DF dan DK dengan

vektor satuan i , j , dan k ˆ .

Gambar 1.21.

10. Empat buah vektor ditunjukkan pada Gambar-gambar 1.22(a) dan (b). Besar

,, B A C dan D masing-masing adalah 15, 10, 30, dan 7 dengan satuan sembarang.

a. Tentukan vektor resultan.

b. Carilah besar resultan dan arahnya terhadap sumbu x.

Ar

Br

C r

30° 45°

x

y

Dr

Gambar 1.22(a).

Ar

Br

C r

30° 45°

x

y

Dr

Gambar 1.22(b).



I-18



11. Dua vektor Ar

dan Br

seperti ditunjukkan pada Gambar

1.23. Carilah vektor-vektor berikut ini secara grafik: (a)

, B Arr

+ (b) , B Arr

− (c) ,2 B Arr

+ (d) , A Br

− (e) A Brr

−2 .

12. Seorang anak sedang membuat empat garis lurus yang bergerak di atas lantai yang datar,

mulai dari titik asal sistem koordinat xy dan berakhir pada ( )m30,m140− . Komponen

x dan y dari pergerakannya adalah sebagai berikut: ( ),m60,m20 ( )m70,m − x B ,

m,m20 yC − , dan ( )m70,m60 −− .

a.

Carilah komponen x B dan yC .

b. Hitunglah besar dan sudut (relatif terhadap arah sumbu+

x ) seluruh perpindahan ini.

13. Diketahui sebuah vektor pada bidang xy yang memiliki besar 90 satuan dan komponen y

adalah – 55 satuan.

a. Carilah dua kemungkinan komponen x-nya.

b. Dengan menganggap komponen x positif, tentukan vektor yang jika ditambahkan ke

vektor pertama akan menghasilkan vektor resultan yang panjangnya 80 satuan dan

menunjuk ke arah x.

14. Seorang anak bepergian untuk perjalanan berlibur

menurut lintasan seperti ditunjukkan pada Gambar

1.24. Perjalanan total terdiri dari 4 bagian garis lurus.

Pada akhir perjalanan, berapakah resultan

perpindahan anak itu diukur dari titik awal.

15. Sebuah truk berjalan 14 blok ke arah utara, kemudian 16 blok ke arah timur, dan 26 blok

ke arah selatan. Gambarkan diagram vektornya dengan menganggap blok-blok tersebut

memiliki panjang yang sama. Tentukan perpindahan truk tersebut dari titik asalnya (besardan arah).

16. Sebuah bidang dimiringkan dengan suduto

30 terhadap arah horisontal. Pilih sumbu x yang berarah menuruni kemiringan bidang dan sumbu y tegak lurus pada bidang. Carilah

komponen x dan y percepatan gravitasi, yang memiliki besar 9,81 m/s2 dan berarah

vertikal ke bawah.

Ar

B

r

o45 o

30 x

y

Gambar 1.23.

30°

x

y

•

awal

Akhir

• 100 m

300 m

150 m200 m

60°

Gambar 1.24.



I-19



17. Sebuah pesawat udara berjalan dengan laju 785 km/jam

dengan arah 38,5° ke barat dari arah utara sepertiditunjukkan pada Gambar 1.25.

a. Carilah komponen vektor kecepatan pada arah

utara dan barat.

b.

Seberapa jauh jarak ke utara dan ke barat yangditempuh oleh pesawat tersebut setelah 3 jam.

18. Sebuah kubus dengan rusuk m2 mempunyai permukaan-permukaan sejajar dengan

bidang-bidang koordinat dengan salah satu titik sudut di titik asal. Seekor cicak mulai dari

titik asal, berjalan sepanjang tiga rusuk sampai ia ada di titik sudut yang terjauh. Nyatakan

vektor perpindahan cicak dengan menggunakan vektor satuan ,ˆ,ˆ ji dan k , dan carilah

besar perpindahan ini.

19. Dua buah vektor ji A ˆ4ˆ3 +=r

dan Br

berada dalam bidang xy . Sifat kedua vektor adalah

B Arr

≠ dan B A = . Jika Ar

tegak lurus Br

, tentukan komponen vektor Br

.

20. Dua buah vektor Ar

dan Br

memiliki komponen 5,0;6,1;2,3 === x y x B A A , dan

,5,4= y B dalam satuan sembarang.

a. Carilah sudut antara Ar

dan Br

.

b. Tentukan komponen vektor C r

yang tegak lurus , Ar

terletak dalam bidang x-y dan

memiliki besar 5 satuan.

21.

Tiga buah vektor ,, B Arr

danC r

seperti ditunjukkan pada

Gambar 1.26. Besar vektor masing-masing adalah

,3,4 == B A dan 5=C dalam satuan sembarang, carilah

besar dan arah B Arr

× , C Arr

× , dan C Brr

× . (sumbu z tidak

ditunjukkan dalam gambar).

22. Sebuah vektor Ar

dengan besar 17 m dengan suduto

56=θ berlawanan arah jarum jam dari sumbu x+

seperti ditunjukkan pada Gambar 1.27.

a.

Carilah komponen x A dan y A dari vektor itu?

b. Jika sistem koordinat kedua diputar dengan suduto

18'=θ terhadap sistem koordinat pertama.

Berapakah komponen'

x A dan'

y A dalam sistem

koordinat awal.

y

Ar

Br

C r

x

Gambar 1.26.

θ

' y

x

y

' x

x A

y A

'

y A '

x A

0

'θ

'θ

Ar

Gambar 1.27.

vr

U

S

TB

38,5°

Gambar 1.25.





24. Buktikan bahwa luas segitiga yang terbentuk antara Ar

dan Br

dan garis penghubung (seperti pada Gambar 1.28) adalah

B Arr

×21 .

26. Sebuah perahu menuju ke arah o30 terhadap utara-timur dengan kecepatan 25 km/jam

pada suatu sungai yang arusnya sedemikian sehingga resultan kecepatan relatifnya

terhadap sungai adalah 30 km/jam ke arah o60 terhadap utara-timur. Tentukan kecepatan

arus.

Ar

Br

θ

Gambar 1.28.

bab i - baesaran & satuan

Documents