Bab 7 Solusi Persamaan Diferensial Biasa 7.1. Solusi Persamaan Diferensial Biasa Tunggal Deferensiasi secara umum dapat dinyatakan secara umum sebagai berikut:

)y,t(f)t('ydtdy)y,x(f)x('y

dxdy

==== jugademikian (7-1)

Jika dx = h, maka persamaan (7-2) dapat dimodifikasi menjadi persamaan berikut:

)y,x(fhy)x('ydxyy nn1n +=+=+ (7-2) Dari persamaan (7-1) dan (7-2) dapat dikembangkan persamaan diferensial biasa (PDB) dengan orde n yang secara umum mempunyai ekspresi sebagai berikut:

y(n)(x) = f (x, y(x), y'(x), ., y(n-1)(x)) (7-3) Untuk solusi analitik persamaan (7-3) diintroduksi (x) yang memenuhi persamaan (7-3) dan persamaan berikut ini: (n)(x) = f(x, (x), '(x), , (n-)(x)) (7-4) Solusi analitik persamaan (7-3) akan menghasilkan n buah konstanta. Jika y(xo), y'(xo),,y(n1)(xo) dievaluasi pada satu nilai, yaitu x = x0, maka kita akan mempunyai kasus nilai awal (initial value problem). PDB dapat dikelompokkan menjadi linier dan non linier. PDB dikatakan linier jika fungsi f dalam persamaan (7-3) mengandung variabel y dan turunannya yang linier. Salah satu sifat PDB linier adalah sebagai berikut: Jika y1(x), y2(x), ym(x) adalah solusi persamaan (7-3), maka y(x) = c1y1 (x) + c2y2(x) + cmym(x) juga merupakan solusi persamaan (7-3) Contoh: solusi analitik persamaan y = y adalah y1(x) = ex atau y2(x) = e-x, maka y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) atau y(x) = c1ex + c2e-x adalah solusi persamaan y = y. Ada beberapa metode solusi numerik PDB dengan tingkat akurasinya masing-masing. Berikut ini akan dikemukakan dua metode yang banyak dipakai, yaitu metode Runge-Kutta dan metode Prediktor-Korektor.

Catatan Kuliah - Dr.Ir. Lilik Eko Widodo, MS

VII-1

7.1.1. Metode Runge-Kutta Metode ini menghasilkan tingkat akurasi yang tinggi tanpa menuntut adanya turunan yang lebih tinggi. Metode ini dikembangkan berdasar persamaan (7-2), padamana persamaan (7-2) dapat dipandang sebagai metode Runge-Kutta orde satu. Sedangkan berikut ini adalah metode Runge-Kutta orde dua yang dinyatakan sebagai berikut: yn+1 = yn + ak1 + bk2 (7-5) padamana: k1 = hf (xn, yn) k2 = hf (xn+ h, yn+ k1) h = xn+1 - xn Algoritma metode Runge-Kutta orde 2:

Untuk persamaan:

y = f(x, y) , y(xo) = yoa = b = , = = 1

Hitung yn sampai dengan y(xo+nh) untuk h konstan dan n = 0, 1, 2, dengan menggunakan rumus berikut:

yn+1 = yn + (k1 + k2) dengan k1 = hf (xn, yn) k2 = hf (xn+h, yn+k1)

Algoritma metode Runge-Kutta orde 4:

Untuk persamaan

y' = f(x, y) , y(xo) = yo Hitung yn sampai dengan y(xo + nh) untuk h konstan dan n = 0, 1, 2, dengan menggunakan rumus berikut:

yn+1 = yn + 1/6 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4) dengan: k1 = hf (xn, yn) k2 = hf (xn+ h, yn+ k1) k3 = hf (xn+ h, yn+ k2) k4 = hf (xn+h, yn+k3) Ilustrasi 1: Penerapan metode Runge-Kutta orde 2:

Diketahui : y

x)y,x(f'y 1== dan y(0) = 1

Ditanya : solusi untuk interval x = 0 sampai x = 1 dengan h = 0.1 Jawaban diberikan pada Tabel 7.1 dan digambarkan pada Gambar 7.1

Catatan Kuliah - Dr.Ir. Lilik Eko Widodo, MS

VII-2

Tabel 7.1: Solusi PDB dengan Metode Runge-Kutta Orde Dua

x yn k1 k2 y yn+1

0 1 -0.1000 -0.1111 -0.1056 0.8944 0.1 0.8944 -0.1018 -0.1162 -0.1090 0.7855 0.2 0.7855 -0.1073 -0.1275 -0.1174 0.6681 0.3 0.6681 -0.1197 -0.1524 -0.1360 0.5321 0.4 0.5321 -0.1479 -0.2203 -0.1841 0.3479 0.5 0.3479 -0.2374 -0.8551 -0.5462 -0.1983 0.6 -0.1983 0.5642 -0.2133 0.1754 -0.0229 0.7 -0.0229 4.4387 0.0474 2.2430 2.2201 0.8 2.2201 0.0350 0.0357 0.0353 2.2554 0.9 2.2554 0.0457 0.0465 0.0461 2.3015 1 2.3015 0.0566 0.0576 0.0571 2.3586

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

xn

y n

Gambar 7.1: Plot Solusi PDB dengan Metode Runge-Kutta Orde Dua

Catatan Kuliah - Dr.Ir. Lilik Eko Widodo, MS

VII-3

7.1.2. Metode Prediktor-Korektor Metode prediktor-korektor sebagaimana metode Runge-Kutta juga didasarkan pada persamaan (7-2) dengan beberapa modifikasi. Integrasi numerik dengan metode prediktor - korektor didasarkan pada interpolasi polinomial di titik xn+1 dan xn yang dinyatakan sebagai berikut:

[ ] ......,2,1n)y,x(f)y,x(f2hyy 1n1nnnn1n =++= +++ (7-6)

x : variabel bebas y : variabel tidak bebas h : xn+1 - xn Persamaan (7-6) merupakan persamaan implisit untuk yn+1, karena yn+1 muncul sebagai argumen di sebelah kanan tanda sama dengan. Jika f(x,y) merupakan fungsi non linier, maka secara umum persamaan (7-6) tidak dapat diselesaikan secara eksak. Untuk itu yn+1 diselesaikan dengan cara iterasi. Dengan mempertahankan harga xn, kita dapatkan hasil pendekatan pertama pada

sebagai berikut:

( )01ny +

1ny + (7-7) ( ) )y,x(hfyy nnn

01n +=+

Selanjutnya dengan ( ) )y,x(f 0 1n1n ++ dilakukan iterasi pertama, dengan cara mensubstitusikannya ke dalam persamaan (7-6), sehingga didapatkan persamaan berikut:

( ) ( )[ )y,x(f)y,x(f2hyy 0 1n1nnnn

11n +++ ++= ] (7-8)

Iterasi kedua diperoleh dengan mensubstitusikan ke dalam persamaan (7-8). Secara umum iterasi akan menghasilkan persamaan berikut:

( ) )y,x(f 1 1n1n ++

( ) ( )[ ] ......,2,1k)y,x(f)y,x(f2hyy 1k 1n1nnnn

k1n =++=

+++ (7-9)

Iterasi dapat dihentikan jika persyaratan akurasi pada dua iterasi terdekat terpenuhi. Algoritma metode Prediktor - Korektor: Step 1 : langkah prediksi (outer iteration)

untuk n mulai dari 1 dan untuk persamaan y' = f(x,y), y(x0) = y0 dengan h = xn+1 - xn (ditentukan) dan xn = x0 + nh, hitung dengan persamaan (7-7). ( )0 1ny +

Catatan Kuliah - Dr.Ir. Lilik Eko Widodo, MS

VII-4

Step 2 : langkah koreksi (inner iteration) untuk k = 1,2, hitung ( )k 1ny + dengan persamaan (7-9), sampai persyaratan akurasi berikut dipenuhi: