bab 7: desain filter respon impuls terbatas...
TRANSCRIPT
Edisi Semester 1 2017/2018
Desain Filter Respon Impuls Terbatas (FIR)
7.1 Konsiderasi Umum
7.1.1 Kausalitas dan Implikasinya
Teorema Paley-Wiener
Filter Lowpass Ideal
1 , ( )
0 ,
Respon impuls filter low pass ideal
, 0
sin
, 0
cj
c
c
c
H e
h n
n
h nn
nn
7
-
Bila mempunyai enerji terbatas dan 0 untuk 0, maka
ln
Bila square integrable dan integral pada persamaan diatas berhingga,
kemudian ada hubungan ant
j
j
h n h n n
H e d
H e
ara dan respon fasa , sehingga filter dengan
respon frekuensi ( )
adalah kausal.
j
j j
j ej j
H e e
H e H e e
1
Edisi Semester 1 2017/2018
Dari teorema Paley-Wiener : dapat bernilai nol pada beberapa nilai frekuensi,
tetapi tidak dapat bernilai nol pada band frekuensi yang berhingga, karena nilai integralnya
menjadi tak hingga. Konsek
jH e
uensinya, filter ideal tidak kausal.
dan respon fasa tidak dapat dispesifikasikan secara independen.
Ekivalen dengan dan , tidak dapat dispesifikasikan secara independen.
Hubungan ant
j j
j j
R I
H e e
H e H e
ara dan
1 -cot
2 2
Integral ini disebut transformasi Hilbert diskrit.
Kesimpulan :
Implikasi kausalitas dalam mendesain filter selektif adalah
Respon frekuensi tidak dapat
j j
R I
j
I R
j
H e H e
H e H d
H e
bernilai nol, kecuali pada satu set nilai frekuensi.
Respon magnitude tidak dapat bernilai konstan pada satu band frekuensi yang berhingga,
dan daerah transisi dari daerah passband ke stopband tid
jH e
ak dapat mempunyai kecuraman yang tak berhingga
sebagai konsekuensi fenomena Gibbs.
Bagian riil dan imajiner dari mempunyai hubungan yang memenuhi transformasi Hilbert diskrit jH e
2
Edisi Semester 1 2017/2018
7.1.2 Karakteristik Filter Selektif Frekuensi
H (ej)
0 p s
1 - 1
1 + 1
2
1
2
p
s
s p
p s
1
1
: ripple passband
: ripple stopband
: frekuensi passband
:frekuensi stopband
: lebar daerah transisi
2
Ripple passband
1 -20log
1
c
pR
2s
1
(dB)
Redaman stopband :
A -20log ( )1
dB
3
Edisi Semester 1 2017/2018
7.2 Desain filter FIR
7.2.1 Filter FIR Simetris dan Antisimetris
Filter FIR panjang dengan input dan output dideskripsikan dengan persamaan
perbedaan
-1 ... - 10 1 -1
-1
= -
0
: satu s
M x n y n
y n b x n b x n b x n MM
M
b x n kk
k
bk
et koefisien filter
Output juga dapat dinyatakan sebagai konvolusi dengan .
-1
= -
0
, 0,1,..., 1
Filter juga dapat dikarakteristikkan dengan fungsi sistem
h n x n
M
y n h k x n k
k
b h k k Mk
-1
=
0
Akar-akar dari polinomial adalah zero dari filter
MkH z h k z
k
H z H z
4
Edisi Semester 1 2017/2018
Filter FIR mempunyai fasa linier bila memenuhi kondisi
1 , 0,1,..., 1
1 1
Implikasin
h n
h n h M n n M
MH z z H z
ya akar-akar polinomial muncul sebagai pasangan yang berkebalikan.
Jika adalah pole (zero) polinomial maka 1/ 1/ juga adalah pole (zero) dari ( ).
Jika koefisien filter riil maka aka
H z
p z H z p z H zk k k k
h n
r-akar kompleks akan muncul sebagai pasangan konyugat kompleks.
Untuk kondisi simetris dan antisimetris
2 11 20 1 2 ... 2 1
11 / 2 1 2 / 2 1 2 / 2
2
h n
M MH z h h z h z h M z h M z
MM M k M kz h h n z z
2
3 / 2
M ganjil
0
1
1 / 2 1 2 / 2 1 2 / 2 M genap
0
M
M
n
M M k M kz h n z z
n
5
Edisi Semester 1 2017/2018
7.2.1.1 Filter FIR Fasa Linier Tipe 1
Filter FIR fasa linier tipe I didefinisikan sebagai filter dengan respon impuls simetris sebagai berikut
1 , 0,1,..., 1
M adalah bilangan ga
h n h M n n M
njil.
Respon frekuensi adalah
1
( )
0
3 / 21 11 / 2
( ) 2 cos2 2
0
Mj j nH e h n e
n
MM Mj MjH e e h h n n
n
Lokasi zero
1 1
Bila adalah zero dari ,maka0
1 1 00 0
Implikasinya bila adalah 0
MH z z H z
z H z
MH z z H z
jz re
-1 1zero dari maka juga zero dari .0
*Bila riil dan mempunyai zero kompleks, maka juga zero dari ,0 0
-1 1 -1 1begitu juga dengan dan .0 0
jH z z r e H z
j jh n z re z re H z
j jz r e z r e
6
Edisi Semester 1 2017/2018
Filter FIR Fasa Linier Tipe 1
h n h n H z zNH 1z
Reciprocalpair
Conjugatereciprocal
constellation
No reciprocal on u.circle
7
Edisi Semester 1 2017/2018
7.2.1.2 Filter FIR Fasa Linier Tipe 2
Filter FIR fasa linier tipe II didefinisikan sebagai filter dengan respon impuls simetris sebagai berikut
1 , 0,1,..., 1
M adalah bilangan g
h n h M n n M
2
enap.
Respon frekuensi adalah
1
11 / 2 ( ) 2 cos
20
Lokasi zero
1 1
Untuk M genap,
M
Mj MjH e e h n n
n
MH z z H z
z
-1 , menyebabkan
1 1 1 1
1 1
Persamaan ini hanya berlaku jika 1 0.Artinya filter FIR fasa linier tipe
MH H
H H
H
II selalu
mempunyai zero di -1.z
8
Edisi Semester 1 2017/2018
Filter FIR Fasa Linier Tipe 2
• Zero:
di z = -1,
H z zNH 1z
H 1 1 NH 1 H e j 0
ganjil
Seperti LPF
9
Edisi Semester 1 2017/2018
7.2.1.3 Filter FIR Fasa Linier Tipe 3
Filter FIR fasa linier tipe III didefinisikan sebagai filter dengan respon impuls simetris sebagai berikut
1 , 0,1,..., 1
M adalah bilangan
h n h M n n M
ganjil.
Respon frekuensi adalah
32
1 / 2 / 2 1 ( ) 2 sin
20
Lokasi zero
1 1
Untuk M
M
j M MjH e e h n n
n
MH z z H z
ganjil, -1 , menyebabkan
1 1 1 1
1 1
Persamaan ini hanya berlaku jika 1 0.Artinya filter FIR fasa
z
MH H
H H
H
linier tipe III selalu
mempunyai zero di 1.
Untuk M ganjil, 1 , menyebabkan
1 1 1 1
1 1
Persamaan ini hany
z
z
MH H
H H
a berlaku jika 1 0.Artinya filter FIR fasa linier tipe III selalu
mempunyai zero di 1.
H
z
10
Edisi Semester 1 2017/2018
Filter FIR Fasa Linier Tipe 3
• Zero:
H z zNH 1z
H 1 H 1 0 ; H 1 H 1 0
11
Edisi Semester 1 2017/2018
7.2.1.4 Filter FIR Fasa Linier Tipe 4
Filter FIR fasa linier tipe IV didefinisikan sebagai filter dengan respon impuls simetris sebagai berikut
1 , 0,1,..., 1
M adalah bilangan
h n h M n n M
genap.
Respon frekuensi adalah
12
1 / 2 / 2 1 ( ) 2 sin
20
Lokasi zero
1 1
Untuk M g
M
j M MjH e e h n n
n
MH z z H z
enap, 1 , menyebabkan
1 1 1 1
1 1
Persamaan ini hanya berlaku jika 1 0.Artinya filter FIR fasa linier tip
z
MH H
H H
H
e IV selalu
mempunyai zero di 1.z
12
Edisi Semester 1 2017/2018
Filter FIR Fasa Linier Tipe 4
• Zero:
H 1 H 1 0
13
Edisi Semester 1 2017/2018
4 Tipe FIR Fasa Linier
Panjang ganjil Panjang genap
Antisim
etr
isS
ime
tris
1 2
3 4
h[n]
n
H()~
ZP
h[n]
n
H()~
ZPD D
h[n]
n
H()~
ZPD
h[n]
n
H()~
ZPD
14
Edisi Semester 1 2017/2018
7.2.2 Desain Filter FIR Menggunakan Window
Respon frekuensi filter yang diinginkan ( ) dengan respon impuls adalah .
( )
0
1 ( )
2
jH e h nd d
j j nH e h n ed d
n
jh n H ed d
Respon impuls mempunyai panjang tak terbatas sehingga harus dipotong untuk mendapatkan
filter FIR dengan panjang . Hal ini ekivalen dengan mengalikan dengan window rectangular
j ne d
h nd
M h nd
1, 0,1,..., -1
0, lainnya
Respon impuls filter FIR menjadi
.
n Mw n
h n h n w nd
, 0,1,..., -1 =
0, lainnya
Efek perkalian dengan fungsi window dalam domain frekuensi
adalah konvolusi (
h n n Md
h n w nd
Hd
)dengan transformasi Fourier fungsi window
1
( )
0
1yaitu ( ) ( ) ( )
2
je w n
Mj j nW e w n e
n
j vj jvH e H e W e dvd
15
Edisi Semester 1 2017/2018
Tranformasi Fourier window rectangular adalah
1
( )
0
- sin / 21- - 1 / 2 =
- sin / 21-
Resp
Mj j nW e w n e
n
j M Me j Me
je
on magnitude fungsi window
sin / 2 ( )
sin / 2
Respon fasa fungsi window
1 sin / 2 0
2
1
2
MjW e
MM
M
sin / 2 0M
• Lebar mainlobe window menentukan band transisi filter yg didesain
• Tinggi sidelobe window menentukan ripple filter
Tidak bergantung pada panjang filter
16
Edisi Semester 1 2017/2018
- c-c
Respon frekuensi filter yang diinginkan adalah filter lowpass ideal
1
0
Contoh
cj jH e H ed LPFc
Respon impuls filter yang diinginkan adalah
sin
h nd
nch ndn
17
Edisi Semester 1 2017/2018
Hd(ejw) H (ejw)
1Konvolusi ( )dengan ( ) : ( ) ( ) ( )
2
j vj j j jvH e W e H e H e W e dvd d
nwnhnh d
18
Edisi Semester 1 2017/2018
Fenomena Gibbs
Panjang filter diperbesar
ears makin sempit
tetapi tinggi tetap(11% overshoot)
19
Edisi Semester 1 2017/2018
)2cos(08.0)2cos(46.042.0 2M
nMnnw
Window Filter FIR
• Rectangular:
• Hann:
• Hamming:
• Blackman:
2
12
11 MM nnw
)2cos(5.05.0Mnnw
)2cos(46.054.0Mnnw
mainlobe besar
Sidelobe ke-1berkurang
main lobesgt lebar
sidelobebesar!
20
Edisi Semester 1 2017/2018
10)2cos(08.0)2cos(46.042.01
21
MnnwM
nM
n
Window Filter FIR Causal
• Rectangular:
• Hann:
• Hamming:
• Blackman:
10 1 Mnnw
10 )2cos(5.05.01
MnnwM
n
10 )2cos(46.054.01
MnnwM
n
21
Edisi Semester 1 2017/2018
Window Filter FIR
Perbandingan dalam skala dB:
22M+1
22
Edisi Semester 1 2017/2018
1.8
N
1
2 / 1 , 1
2 2 / 1 1 1
Panjang filter : N
Orde filter : N-1
Window Filter FIR Causal
Rectangular : w n 1 0 n N
0 n /2Bartlett : w[n]
/2 n N
n N N
n N N
1
1
2
1 1
[ ] 0.5 0.5cos(2 ) 0 1
[ ] 0.54 0.46cos(2 ) 0 1
[ ] 0.42 0.5cos(2 ) 0.08cos(2 ) 0 1
Hann: N
Hamming : N
Blackman : N
n
N
n
N
n n
N N
w n n
w n n
w n n
6.1
N
6.2
N
6.6
N
Type of window Minimum stopband
attenuation
Transisiton bandwidth
Rectangular 21 dB
Bartlett 25 dB
Hann 44 dB
`Hamming 53 dB
Blackman 74 dB 11
N
23
Edisi Semester 1 2017/2018
Window Kaiser
• Ripple dan lebar main lobe dapat diatur
• Window Kaiser = fungsi dari adjustable parameter dan I0:
• Rumus empiris untuk redaman stopband minimum sebesar dB:
w n I0 1 ( n
M)2
I0 ()M n M
Fungsi Bessel orde satu
termodifikasi
210
5021)21(07886.0)21(5842.0
50)7.8(1102.04.0
ps
MN
N
nsisidaerah traLebar
2
3.2
8 :filter Orde
24
Edisi Semester 1 2017/2018
Contoh
Filter FIR fasa linier akan didesain dengan menggunakan metoda window.
Filter tersebut didesain untuk melewatkan sinyal pada daerah passband dengan
frekuensi 0 – 2500 Hz. Frekuensi pencuplikan 10 kHz. Ripple maksimum 3 dB pada
daerah passband. Lebar daerah transisi tidak lebih dari 1500 Hz. Redaman minimum
pada daerah stopband 18 dB. Akan didesain filter dijital dengan memilih salah satu
window pada lampiran sehingga diperoleh orde filter terendah dan memenuhi
spesifikasi filter yang diberikan.
1. Gambarkan respon magnitude filter dijital yang akan didesain H(ej).
2. Tentukan orde filter dijital.
• Tentukan respon impuls filter FIR yang akan didesain h(n).
25
Edisi Semester 1 2017/2018
7.2.3 Desain Filter FIR Menggunakan Frekuensi Sampling
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
frequency in pi units
Hr(
k)
Basic Idea :
Diberikan respon frekuensi filter ideal Hd (e j). Tentukan panjang filter M dan
cuplik Hd (e j) pada frekuensi diantara 0 - 2 sejumlah M sampel.
Hasil cuplikan Hd(e j) adalah H(k).Hasil IFFT/IDFT dari H(k) adalah respon
impuls filter hasil desain h(n).
Untuk menyederhanakan perhitungan h(n) digunakan sifat
simetris/antisimetris dari fungsi respon frekuensi tercuplik.
26
Edisi Semester 1 2017/2018
Dispesifikasikan respon frekuensi yang diinginkan Hd(ej) pada satu set
frekuensi, yaitu
Respon impuls h[n] diperoleh dari spesifikasi frekuensi yang diberikan.
Untuk menyederhanakan perhitungan digunakan sifat simetris dari fungsi
respon frekuensi tercuplik.
Respon frekuensi filter FIR yang didesain,
Misalkan respon frekuensi dispesifikasikan pada frekuensi yang diberikan
pada persamaan sebelumnya, maka
Karena h[n] riil maka kondisi simetris terpenuhi untuk H(k+),
2 -12
2
0,1,..., ,
0,1,..., 1,
0 12
M ganjil
M genap
atau
Mk M
M
k k
k
-1
0
[ ]M
j j n
n
H e h n e
2
2
2
-1
0
-1
0
[ ] , 0,1,..., 1
1[ ] , 0,1,..., 1
M
M
M
Mj k n
n
Mj k n
k
H k H k
H k h n e k M
h n H k e n MM
H k H M k
27
Edisi Semester 1 2017/2018
/
12
1
Simetris
-1-
( ) ( ) , 0,1,..., 1
2 ( ) 1 ( )
1 20 [ ] (0) 2 ( )cos
j k M
k
r
U
k
h n h M n
H k G k e k M
kG k H G k G M k
M
kh n G G k n
M M
2 1 / 2/ 21 12 2
1 1 12 2 2
-1,
2
1, 2
( ) ( )
2 ( ) 1
j k Mj
k
r
MM ganjil
UM
M genap
H k G k e e
G k H kM
1 12 2
1 1 12 2 2
0
( )
2 2 [ ] ( )sin
U
k
G k G M k
h n G k k nM M
28
Edisi Semester 1 2017/2018
/ 2 /
Antisimetris
- -1-
( ) ( ) , 0,1,..., 1
2 ( ) 1 ( )
0 [ ]
j j k M
k
r
h n h M n
H k G k e e k M
kG k H G k G M k
M
h n
1 / 2
12
1
/ 2 11
12
1
2 2( )sin , M ganjil
1 2 [ ] 1 / 2 2 ( )sin , M genap
M
k
Mn
k
kG k n
M M
kh n G M G k n
M M
2 1 / 21 12 2
1 1 12 2 2
1 12 2
12
( ) ( )
2 ( ) 1
( ) ; ( / 2) 0 untuk M ganjil
2 2 [ ] ( ) cos
j k M
k
r
H k G k e
G k H kM
G k G M k G M
h n G kM M
1 12 2
0
- 3,
2
1, 2
V
k
k n
MM ganjil
VM
M genap
29
Edisi Semester 1 2017/2018
0 0.5 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Frequency samples : M=20
frequency in pi unitsH
r(k)
0 5 10 15 20-0.2
0
0.2
0.4
Impulse Response
n
h(n
)
0 0.5 1
0
0.5
1
Amplitude Response
frequency in pi units
H(w
)
0 0.5 1-60
-45
-20
-15
0
10,agnitude Response
frequency in p units
Decib
els
Hal-hal yang dapat dilihat dari hasil desain filter menggunakan metoda frekuensi sampling adalah:
1. Approximation error , yaitu selisih respon ideal dan respon hasil desain, bernilai nol pada
frekuensi cuplikan k.
2. Approximation error , pada frekuensi selain k bergantung pada bentuk respon ideal, makin
tajam respon ideal, approximation error makin besar.
3. Error pada tepi band frekuensi lebih besar dari error dalam band frekuensi.
30
Edisi Semester 1 2017/2018
Contoh
Tentukan koefisien filter FIR fasa linier simetris
dengan panjang M = 15 dan frekuensi respon
memenuhi kondisi sebagai berikut
1, 0,1,2,32
0,4, 415
0, 5,6,7
r
kk
H k
k
7
12
1
2( ) 1 0,1,...,7
15
1 20 [ ] (0) 2 ( )cos
15 15
7
[0] [14
k
r
k
Solusi
kG k H k
kh n G G k n
U
h h
] 0.014112893
[1] [13] 0.001945309
[2] [12] 0.04000004
[3] [11] 0.01223454
[4] [10]
h h
h h
h h
h h
0.09138802
[5] [9] 0.01808986
[6] (8) 0.3133176
[7] 0.52
h h
h h
h
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.5
1
1.5
frequency dalam pi radian
Magnitude
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-100
-50
0
50
frequency dalam pi radian
Magnitude (
dB
)
31
Edisi Semester 1 2017/2018
Contoh
Desain filter FIR lowpass fasa linier simetris
dengan panjang M = 20 dengan spesifikasi
sebagai berikut
p
s
0.2 , R 0.25 dB
0.3 , A 50 dB
p
s
220
0
0.1 0,1,...,9
0.2 , 2
0.3 , 3
1, 0,1,22
3,4,5,..1020
k
p
r
Solusi
k k k
k
k
kkH
k
s
Misal maka
0
atau
/ 20
9
12
1
2
20
2( ) 1 0,1,...,7
20
( ) ( ) , 0,1,...,19
1 2[ ] (0) 2 ( )cos
20 20
r
k
r
j k
k
kH
kG k H k
H k G k e k
kh n G G k n
15 zeros
=[1,1,1,0,0,0,..,0,1,1]
0 0.5 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Frequency samples : M=20
frequency in pi units
Hr(
k)
0 5 10 15 20-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3Impulse Response
n
h(n
)
0 0.5 1
0
0.5
1
Amplitude Response
frequency in pi units
Hr(
w)
0 0.5 1-60
-40
-20
0
,agnitude Response
frequency in p units
Decib
els
32
Edisi Semester 1 2017/2018
0 0.5 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Frequency samples : M=20
frequency in pi units
Hr(
k)
0 5 10 15 20-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3Impulse Response
n
h(n
)
0 0.5 1
0
0.5
1
Amplitude Response
frequency in pi units
Hr(
w)
0 0.5 1-60
-40
-20
0
,agnitude Response
frequency in p units
Decib
els
0 0.5 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Frequency samples : M=20
frequency in pi units
Hr(
k)
0 5 10 15 20-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3Impulse Response
n
h(n
)
0 0.5 1
0
0.5
1
Amplitude Response
frequency in pi units
Hr(
w)
0 0.5 1-60
-40
-20
0
,agnitude Response
frequency in p units
Decib
els
33
Edisi Semester 1 2017/2018 34
7.2.4 Desain Filter FIR Menggunakan Teknik Desain Optimum Equiripple
Masalah pada metoda window dan frekuensi sampling adalah
• akurasi frekuensi passband dan frekuensi stopband
• nilai ripple pada daerah passband dan stopband tidak dapat dispesifikasikan secara
simultan
• error aproksimasi tidak terdistrbusi secara uniform pada interval band frekuensi
Teknik desain optimum equiripple diformulasikan sebagai
Algoritmaproblem aproksimasi Chebyshev.
Teknik ini dapat dianggap kriteria optimum dalam artian bobot kesalahan aproksimasi antara
respon frekuensi yang diharapkan dan respon frekuensi hasil desain akan tersebar pada
daerah passband dan stopband filter dengan meminimasi error maksimum.
Hasilnya, filter akan memiliki ripple pada daerah passband dan stopband..
Algoritma desain filter FIR menggunakan teknik desain optimum equiripple dengan
interpolasi polinomial sebagai solusinya dikenal dengan algoritma Parks-McClellan.
Edisi Semester 1 2017/2018 35
Tipe Filter jr eH
ganjil ,1 MnMhnh
genap ,1 MnMhnh
ganjil ,1 MnMhnh
filte panjangadalah : rMcat
Tabel 7.1 Fungsi Respon Frekuensi Bernilai Riil untuk Filter FIR Fasa Linier
kkaM
k
cos2/1
0
21cos2/
1
/kkbM
k
kkcM
k
sin2/1
1
21sin2/
1
/kkdM
k
genap ,1 MnMhnh
Edisi Semester 1 2017/2018 36
Tipe Filter Q P
ganjil ,1 MnMhnh
genap ,1 MnMhnh
ganjil ,1 MnMhnh
genap ,1 MnMhnh
2cos
sin
2sin
Tabel 7.2 Fungsi dan untuk Filter FIR Fasa Linier
kkaM
k
cos2/1
0
1
kkbM
k
cos~12/
0
kkcM
k
cos~2/3
0
kkdM
k
cos~12/
0
Q P
kkeP
ePeQeH
L
k
j
jjjr
cos0
Edisi Semester 1 2017/2018 37
PQ
eHQW
PQeHW
eHeHWE
jdr
jdr
jjdr
Respon frekuensi filter yang diinginkan
Fungsi bobot error aproksimasi
Error aproksimasi
jdr eH
W
stopband pada ,1
passband pada ,12
W
Q
eHeH
QWW
jdrj
dr
~
~
Didefinisikan
Error aproksimasi dapat dinyatakan sebagai berikut
~~ jjdr ePeHWE
Edisi Semester 1 2017/2018 38
cos~~
maxminmaxmin0
kkeHWEL
k
jdr
SkaoverSkaover
Problem pada aproksimasi Chebyshev adalah menentukan parameter filter
{((k)} yang meminimasi nilai absolut pada band frekuensi. E
S adalah disjoint union band frekuensi
Mis : passband dan stopband
Solusi problem diberikan oleh Parks and McClellan (1972), yang
menerapkan teorema pada teori aproksimasi Chebyshev, dikenal sebagai
alternation theorem.
2L1,2,...,i EE
andEE
that such Sin }{ sfrequencie 2 L least at exist must there is, That
S.in sfrequencie extremal 2 L least at exhibit E function error the
that is S,in eH to onaproximati Chebyshev weightedbest unique, the be to
kkeP
for condition t sufficienandnecessary A .π0, interval the of subsetcompact a be SLet
si
ii
L1i
jdr
L
k
j
,max
,
,
~
cos
1
22
0
Edisi Semester 1 2017/2018 39
,~
~1
cos
denganEkivalen
,~
~1
menjadi kembali dituliskandapat linier persamaan Set
. maka
stopband pada ,1
passband pada ,
Bila
.error fungsi maksimum nilaiadalah
,1~~
persamaanset mempunyai kita,diinginkan yang extremal
frekuensi Pada Chebyshev. optimasimasalah padaunik solusimenjamin alternasi Teorema
0
2
12
1L0,1,...,n eHW
kk
1L0,1,...,n eHW
P
W
E
1L0,1,...,n PeHW
n
n
n
jdr
n
n
n
L
k
jdr
n
n
n
n
nj
drn
n
Edisi Semester 1 2017/2018 40
.yaitu
iteratif, algoritmadigunakan dapat diatas persamaan kan menyelesaiUntuk
~.
.
.
~
~
1
0
~1
cos...cos2cos1
~1
cos...cos2cos1
~1
cos...cos2cos1
matriksbentuk Dalam
1
1
0
1
1
111
1
111
0
000
algorithm exchange Remex
eH
eH
eH
L
WL
WL
WL
Ljdr
jdr
jdr
L
L
LLL
Edisi Semester 1 2017/2018 41
Flowchart Algoritma Remez
Edisi Semester 1 2017/2018 42
Algoritma Parks-McClellan
2 ;1
6,14
13log20 2110 psf
fM
Tentukan aproksimasi panjang filter (M) menggunakan rumus Kaiser
Algoritma Parks-McClellan tersedia di MATLAB sebagai fungsi remez, dengan
syntax sebagai berikut;
[h]=remez(N,f,m,weights), fungsi ini digunakan untuk mendesain filter FIR orde
N (panjang filter M=N+1) yang memiliki respon frekuensi sebagaimana
dispesifikasikan pada array f dan m . Array weights menspesifikasikan fungsi
bobot pada setiap band .
Fungsi remez digunakan untuk menentukan koefisien filter yang didesain. Sesudah
koefisien filter array h diperoleh, dicek apakah redaman stopband minimum sudah
memenuhi nilai As pada sepesifikasi yang ditentukan. Jika belum maka orde filter
ditambah(atau dikurangi) .
Gunakan kembali fungsi remez untuk menentukan koefisien filter yang didesain.
Hal ini dilakukan hingga redaman stopband minimum memenuhi spesifikasi yang
ditentukan.
Edisi Semester 1 2017/2018 43
1] /[ sehingga samaadalah band setiap pada ripple Tinggi
genap. harus dan array Panjang
0]; 0 1 [1 pada
kandidefinisi yang frekuensi band batas pada diinginkan yang magnitudaRespon
];1 [0 :frekuensi band Batas
M
dB 1
log20As dB 1
1log20
dan nilaiTentukan
Solusi
50,3.0, 25.0,2.0
berikut sebagaidesain parameter dengan lowpassfilter Desain
:Contoh
12
sp
21
1
2
1
1
21
sp
weights
mf
m :f
f
Rp
dBAdBRp s
• Script MATLAB
>>wp=0.2*pi;ws=0.3*pi;Rp=0.25;As=50;
>>delta1=(10^(Rp/20)-1)/(10^(Rp/20)+1);
>>delta2=(1+delta1)*(10^(-As/20));
>weights=[delta2/delta1 1];
>>deltaf=(ws-wp)/(2*pi);
>>M=ceil((-20*log10(sqrt(delta1*delta2))-13)/(14.6*deltaf)+1)
M=43
>>f=[0 wp/pi ws/pi 1];
>>m=[1 1 0 0];
>>hd=remez(M-1,f,m,weights);
[h,w]=freqz(hd,[1]);
delta_w=2*pi/1000;
wsi=ws/delta_w+1;
Asd=-max(h(wsi:1:501))
Asd =
47.8404
Edisi Semester 1 2017/2018 44
Edisi Semester 1 2017/2018 45
Karena As =47.8404 lebih kecil dari As=50 dB maka orde filter dinaikkan sehingga
Diperoleh nilai As min=50 dB.
Panjang filter yang didapatkan adalah M=47 dan As=51.0896 dB