bab 7 basis dan dimensi

Kombinasi Linier

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona [email protected]

Definisi Kombinasi LinierMisalkan V ruang vektor. S={u1, u2, ..., un}V. Misalkan aV. Vektor a disebut dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari S, jika terdapat skalar-skalar (konstanta riil) k1, k2, ..., kn, sehingga memenuhi persamaan: k1u1+ k2u2+ ...+ knun=a Contoh: (a, b, c)=a(1, 0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1), berarti vektor (a, b, c) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}


Contoh Kombinasi Linier 1Tunjukkan u=(2, 3, -1) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari W={a1=(1, 0, 1), a2=(0, 1, -1), a3=(1, 1, -1)} dan tuliskan bentuknya. Jawab: Akan dicari skalar-skalar k1, k2, dan k3 yang memenuhi: u= k1a1+ k2a2+ k3a3. (2, 3, -1)= k1(1, 0, 1)+ k2(0, 1, -1)+ k3(1, 1, -1) (2, 3, -1)=(k1, 0, k1)+ (0, k2, -k2)+ (k3, k3, - k3) (2, 3, -1)=( k1+ k3, k2+ k3, k1-k2-k3) Berarti membentuk sistem persamaan linier: 2= k1 + k3 3= k2 + k3 -1= k1 - k2 - k3 Untuk menghitung skalar-skalarnya dapat digunakan eliminasi Gauss-Jordan. Dari eliminasi Gauss-Jordan di dapat: k1=2, k2=3, dan k3=0. Berarti kombinasi liniernya adalah: u= 2a1+ 3a2


1

Contoh Kombinasi Linier 3 (1/ 2)Apakah a=(2, -1, 3) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari S={u1=(2, -2, 4), u2=(0, 1, 2), u3=(1, 0, 4)}? Jawab: Akan dicari k1, k2, dan k3 yang memenuhi persamaan: a=k1u1+k2u2+k3u3 (2, -1, 3)=k1(2, -2, 4)+k2(0, 1, 2)+k3(1, 0, 4) (2, -1, 3)=(2k1+k3, -2k1+k2, 4k1+2k2+4k3) Didapat sistem persamaan linier: 2 = 2k1 + k3 -1 = -2k1+ k2 3 = 4k1+2k2+4k3


Contoh Kombinasi Linier 3 (2/2)Dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan sistem persamaan linier ini akan diselesaikan:

2 0 2 0 1 2 2 0 1 2 2 1 0 1 b + b ~ 0 1 1 1 ~ 0 1 2 1 4 2 4 3 b3 2b1 0 2 2 1 b3 2b2 0 0

1 1

2 1 0 3

Karena sistem persamaan linier di atas tidak mempunyai solusi, berarti a tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari S.


Contoh Kombinasi Linier 4 (1/ 2)Apakah a=(2, -1, 6) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari S={u1=(2, -2, 4), u2=(0, 1, 2), u3=(1, 0, 4)}? Jawab: Akan dicari k1, k2, dan k3 yang memenuhi persamaan: a=k1u1+k2u2+k3u3 (2, -1, 6)=k1(2, -2, 4)+k2(0, 1, 2)+k3(1, 0, 4) (2, -1, 6)=(2k1+k3, -2k1+k2, 4k1+2k2+4k3) Didapat sistem persamaan linier: 2 = 2k1 + k3 -1 = -2k1+ k2 6 = 4k1+2k2+4k3


2

Contoh Kombinasi Linier 4 (2/ 2)Dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan sistem persamaan linier ini akan diselesaikan:

2 0 1 2 2 1 0 1 b + b ~ 2 1 4 2 4 6 b3 2b1

2 0 1 2 0 1 1 1 ~ 0 2 2 2 b3 2b2

2 0 1 2 0 1 1 1 0 0 0 0

Karena sistem persamaan linier di atas mempunyai solusi tak hingga banyaknya, yaitu: k1= 1 t, k2=1 t, k3=t, berarti a dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari S, yaitu: a=(1 t)u1+(1 t)u2+ tu3 dengan t sebarang bilangan riil


Kombinasi Linier-Sub Ruang (1/ 3)Misalkan V Ruang Vektor dan B={v1, v2, ..., vr} V, Maka himpunan dari semua kombinasi linier dari B, yaitu: W={k1v1+k2v2+ +krvr| k1,k2, ,krR} membentuk sub ruang. Bukti: 1. Ambil k1=k2= ... = kr = 0, maka: 0v1+0v2+ ...+0vr =o. Jadi W .


Kombinasi Linier-Sub Ruang (2/ 3)2. Ambil u, w W. Akan diperlihatkan u+w W Misalkan u= l11v1+l12v2+ +l1rvr dimana l11,l12, ,l1rR dan w = l21v1+l22v2+ +l2rvr dimana l21,l22, ,l2rR {aksioma u+w= (l11v1+l12v2+ +l1rvr)+(l21v1+l22v2+ +l2rvr) asosiatif} = l11v1+l12v2+ +l1rvr + l21v1+l22v2+ +l2rvr {aksioma asosiatif} {aksioma = l11v1+ l21v1+l12v2+ l22v2+ +l1rvr + l2rvr distributif} = (l11+l21)v1+(l12+l22)v2+ +(l1r+l2r)vr {sifat bilangan riil} (l11+l21),(l12+l22), ,(l1r+l2r)R Jadi u+wW


3

Kombinasi Linier-Sub Ruang (3/ 3)3. Ambil uW dan cR. Akan diperlihatkan cuW Misalkan u=l11v1+l12v2+ +l1rvr dimana l11,l12, ,l1rR cu = c(l11v1+l12v2+ +l1rvr) distributif} = cl11v1+cl12v2+ +cl1rvr {sifat bilangan riil} cl11, cl12, , cl1rR Jadi cuW W sub ruang dari V

{aksioma


Tantangan 11. Manakah vektor-vektor di bawah ini yang dapat dinyatakan sebagaikombinasi linier dari S={a1=(1, -1, 0), a2=(0, 2, 1), a3=(1, 1, 1), a4=(1, 3, 2)}

a. b. c. d. e. f.

u=(2, 0, 1) u=(-1, 1, 1) u=(0, 2, 3) u=(4, 3, -1) u=(2, 1, -1) u=(0, 0, 1)


Tantangan 22. 3. Apakah vektor-vektor pada bidang 3x + 2y z = 0, dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari S={a1=(2,0,3), a2=(0,1,2)}? Jelaskan! Manakah polinom-polinom di bawah ini yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari: S={p1=2+3x2, p2=-1+x+3x2, p3=3+x+9x2}

a. b. c. d. e. f.

3+x+2x2 2x + 5x2 1+x+6x2 2 + 2x +12x2 5 2x2 4+2x+15x2


4

Membangun


MembangunMisalkan V ruang vektor. S={u1, u2, ..., ur} V. S disebut membangun V, jika setiap vektor di V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari S atau terdapat skalar-skalar k1, k2, , krR, sehingga memenuhi: v= k1u1+k2u2+ +krur untuk setiap vV Contoh: S={e1=(1, 0, 0), e2=(0, 1, 0), e3=(0, 0, 1)} membangun R3. Karena setiap vektor di R3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari S, (k1, k2, k3)= k1e1 + k2e2 + k3e3. B={p1=1, p2=x, p3=x2} membangun P2. Karena setiap vektor di P2 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari B, a+bx+cx2=ap1+bp2+cp3.


Contoh MembangunApakah himpunan-himpunan di bawah ini membangun ruang vektor yang sesuai? a. B={u1=(1, 2), u2=(-1, 1), u3=(0, 3)} b. Q={p1=2+x+2x2, p2=-1 + 2x +3x2, p3=3x + 4x2} 2 0 0 3 1 0 c. M= Jawab: a. BR2, ambil w=(a, b). Apakah w=(a, b) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari B, w=k1u1+k2u2+k3u3 selalu mempunyai solusi?

m 1 = , m 2 = 2 1, m 3 = 2 1 1 0

(a, b)=k1(1, 2)+k2(-1, 1)+k3(0, 3) (a, b)=(k1, 2k1)+ (-k2, k2)+ (0, 3k3) (a, b)=(k1 - k2, 2k1 + k2 + 3k3) Didapat sistem persamaan linier: a= k1 - k2 b=2k1 + k2 + 3k3

Diselesaikan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan GaussAljabar Matriks - Mahmud 'Imrona [email protected]

5

Jawab Membangun (1/5)a+b 1 1 0 a 1 1 0 a 1 1 0 a b1 +b2 1 0 1 3 2 1 3 b b 2b ~ 0 3 3 b-2a 1 b2 ~ (b- 2a) ~ (b - 2a) 3 0 1 1 1 2 0 1 1 3 3 dikembalikan ke bentuk sistem persamaan linier, didapat: a+b k1 + k3 = 3 b - 2a k2 + k3 = 3 dengan subtitusi mundur, didapat: a +b k1 = k3 3 b - 2a k2 = k3 3 karena k3 dapat bernilai sebarang, maka k3 dimisalkan sebagai sebuah parameter, k3=t, sehingga, k1=(a+b)/3 -t, dan k2=(b-2a)/3 - t, yang berarti selalu mempunyai solusi. Jadi, B membangun R2.Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona [email protected]

Jawab Membangun (2/5)Karena QP2, maka akan ditunjukkan bahwa Q membangun P2 atau w=k1p1+k2p2+k3p3 selalu mempunyai solusi dengan w=a+bx+cx2. a+bx+cx2= k1(2+x+2x2)+k2(-1 + 2x +3x2)+k3(3x + 4x2) a+bx+cx2= (2k1+ k1x+2k1x2)+ (-k2 + 2k2x +3k2x2)+ (3k3x + 4k3x2) a+bx+cx2= (2k1 - k2)+ (k1 + 2k2 + 3k3)x + (2k1 + 3k2 + 4k3)x2 Didapat sistem persamaan linier: 2 1 0 k 1 a a=2k1 - k2 1 2 3 k = b b= k1 + 2k2 + 3k3 2 c=2k1 + 3k2 + 4k3

2

3

4 k 3

c

Persamaan matrik di atas selalu mempunyai solusi, jika matrik koefisien mempunyai invers, berarti determinan matrik koefisien tidak sama dengan nol. 2 1 0 b1 2b2 0 5 6 5 6 =-(10-6)=-40 1 2 3 3 = = 1 2 1 2 2 3 4 b3 2b2 0 1 2 Jadi, Q membangun P2.Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona [email protected]

Jawab Membangun (3/5)Karena MM2x2, maka akan ditunjukkan bahwa M membangun M2x2. Berarti pula apakah persamaan w=k1m1+k2m2+k3m3 selalu mempunyai solusi untuk bentuk umum w, w= a b Didapat sistem persamaan linier: a= 2k1 + k3 b= 3k2 c= -k1 + 2k2 + 2k3 0 3 1 0 a b = 2 0 d= k2 + k3 c d k1 1 0 + k2 2 1 + k3 2 1 Diselesaikan menggunakan eliminasi 2k 1 + k 3 3k 2 Gauss-Jordan: a b = c d k 1 + 2k 2 + 2k 3 k 2 + k 3 2 0 1 0 0 1 a b3 1 0 3 0 b ~ 2 2 2 c b1 0 1 1 d2 2 c 3 0 b 0 1 a b3 + 2b1 1 1 d 1 0 ~ 0 0 c 3 0 b b4 ~ 4 5 a + 2c 1 1 d b2 2 2

c d


6

Jawab Membangun (4/6) 1 0 0 0 2 1 4 3

1 2 c 0 1 d ~ 0 5 a + 2c b3 4b2 0 b b4 3b2 0 c d

2 1

~ 0 1 a + 2c - 4d 0 3 b - 3d b4 + 3b3 2 1 c d

1 0 0 0

2 2 1 1

0 1 a + 2c - 4d 0 0 3a + 6c + b - 15d

Sistem persamaan linier di atas, hanya mempunyai solusi jika 3a+b+6c15d=0, sedangkan yang diminta untuk sebarang nilai: a, b, c, dan d. Jadi, ada matrik 2x2 yang tidak bisa dinyatakan sebagai kombinasi linier dari M.Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona [email protected]

Jawab Membangun (4/5)Contoh penyangkal: 1 1 u= 1 1

1 1 1 1

Didapat sistem persamaan linier: + k3 1= 2k1 3k2 1 2 0 0 3 1 0 1= = k1 + k2 + k3 1= -k1 + 2k2 + 2k3 1 1 0 2 1 2 1 1= k2 + k3 Diselesaikan dengan eliminasi Gauss-Jordan: 1 3k 2 2k1 + k 3 = k + 2k + 2k k + k 1 2 3 2 3 1


Jawab Membangun (5/5)2 0 1 0 1 0 0 0

0 1 1 b3 1 0 3 0 1 ~ 2 2 1 b1 2 0 1 1 12 1 2

1 2 2 1 0 3 0 1 ~ 0 1 1 b3 + 2b1 0 1 1 1 0 2 1 0 0 2 1 1 0 1 1 -1 - 5

2 2 1 1 3 0 1 b4 0 ~ 4 5 3 0 1 1 1 b2 0

2 2 1 1 1 1 ~ 4 5 3 b3 4b2 3 0 1 b4 3b2

1 1 0 1 ~ 0 0 1 -1 0 3 - 2 b4 + 3b3 0 1

Dari matrik terakhir ini, terlihat bahwa SPL tidak mempunyai solusi. Jadi, ada matrik 2x2 yang tidak bisa dinyatakan sebagai kombinasi linier dari M. Jadi, M tidak membangun ruang vektor M2x2.


7

Bebas Linier


Bebas LinierMisalkan V ruang vektor. B={a1, a2, ..., an}V. Himpunan B disebut bebas linier, jika persamaan vektor: k1a1 + k2a2 + ...+ knan = o hanya dipenuhi oleh k1 = k2 = ...= kn = 0 (hanya solusi trivial). Jika terdapat solusi yang lain (solusi tak trivial), maka B disebut tak bebas linier/ bergantung linier. Contoh: S={e1=(1, 0, 0), e2=(0, 1, 0), e3=(0, 0, 1)} bebas linier, karena (0, 0, 0)=ae1 + be2 + ce3=(a, b, c), berarti hanya dipenuhi oleh a=b=c=0. B={p1=1, p2=x, p3=x2} bebas linier, karena 0=ap1+bp2+cp3=a+bx+cx2, berarti a=b=c=0. 1 0 0 1 0 0 0 0 bebas linier, M= m1 = 0 0, m 2 = 0 0, m 3 = 1 0, m 4 = 0 1 karena persamaan vektor berikut

0 0 =am +bm +cm +dm = a b 1 2 3 4 0 0 , berarti didapat: a=b=c=d=0. c dAljabar Matriks - Mahmud 'Imrona [email protected]

Sifat-sifat Himpunan Tak Bebas Linier (Bergantung Linier)1.

2.

Jika B={v1, v2, ..., vn} himpunan tak bebas linier, maka selalu satu vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor yang lainnya atau vi=k1v1+k2v2+...+ki-1vi1+ki+1vi+1+ ...+knvn untuk i=1, 2, ..., n Jika B={ v1, v2} himpunan tak bebas linier, maka v1=kv2 {v1 kelipatan dari v2}


8

Tantangan1. Apakah himpunan-himpunan di bawah ini membangun dan bebas linier? a. B={u1=(1, 2), u2=(-1, 1), u3=(0, 3)} b. Q={p1=2+x+2x2, p2=-1 + 2x +3x2, p3=3x + 4x2} c. M= m

1

2 = 1

0 0 , m2 = 0 2

3 1 0 , m3 = 1 2 1

d. Q={u1=(1, 0, 1, 2), u2=(2, 2, 3, 7), u3=(1, 1, 2, 4), u4=(-1, -1, -2, -2)} e. B={u1=(2, 1), u2=(0, 1), u3=(3, 3)} f. B={p1=1 - x - x2 + 2x3, p2= x + 3x2, p3=2 2x - x2 + 4x3, p4=-1 + 2x + 4x2 + x3} g. B={p1=1 - x, p2=1 + 2x, p3=2 + x} 2. Tentukan vektor-vektor yang membangun himpunan semua vektor di bidang: 2x + 3y z = 0. Apakah vektor-vektor tersebut bebas linier? Jelaskan!Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona [email protected]

Basis dan Dimensi


BasisMisalkan V ruang vektor. B={u1, u2, ..., un} V. B disebut basis ruang vektor V, jika B memenuhi dua aksioma, berikut: 1. B bebas linier 2. B membangun V

Contoh: S={e1=(1, 0, 0), e2=(0, 1, 0), e3=(0, 0, 1)} basis di R3. B={p1=1, p2=x, p3=x2} basis polinom berderajat maksimal 2 M= m1 =

1 0 0 1 0 0 0 0 , m2 = 0 0, m3 = 1 0, m4 = 0 1 basis matrik 2x2. 0 0

Basis-basis di atas disebut basis baku dari masing-masing ruang vektor


9

Basis Tidak Tunggalcontoh: Q={p1=2+x+2x2, p2=-1 + 2x +3x2, p3=3x + 4x2}, juga basis P2, karena: k1p1+k2p2+k3p3=o, hanya dipenuhi oleh k1=k2=k3=0 k1p1+k2p2+k3p3=a+bx+cx2, selalu mempunyai solusi berapapun a, b, dan c Kedua persamaan di atas mempunyai matrik koefisien 2 1 0 1 2 3 dan mempunyai solusi seperti yang 3 4 2 dikehendaki, jika determinannya tidak sama dengan nol.2 1 0 b1 2b2 0 5 6 5 6 =-(10-6)=-40 = 1 2 1 2 3 3 = 1 2 2 3 4 b3 2b2 0 1 2


Ruang Vektor Berdimensi BerhinggaMisalkan {o}V ruang vektor. V disebut berdimensi berhingga, jika mempunyai himpunan yang banyak anggotanya berhingga yang menjadi basis. Jika tidak ada himpunan yang demikian ini disebut berdimensi tak hingga. Perkecualian, walaupun ruang vektor nol tidak mempunyai basis, namun dianggap berdimensi berhingga. Contoh: R3, P2, M2x2 termasuk berdimensi berhingga.


Dimensi Ruang VektorMisalkan V ruang vektor berdimensi berhingga, dimensi dari V, ditulis dim(V), adalah banyaknya anggota (kardinalitas) dari basis. Perkecualian, untuk ruang nol didefinisikan berdimensi nol. Contoh: dim(R3)=3, dim(Rn)=n, dim(M2x2)=4, dim(P2)=3, dim(Pn)=n+1. Tentukan dimensi dari sub ruang pada bidang: -x + 2y +5z=0. Jawab: x=2y+5z, sehingga (x, y, z) = (2y+5z, y, z) dan karena y dan z variable bebas, y=t, z=s, akibatnya: (x, y, z)=(2t+5s, t, s)= t(2, 1, 0)+s(5, 0, 1) {dapat dibaca vektor pada bidang x+2y+5z=0 dibangun oleh vektor (2, 1, 0) dan (5, 0, 1)}. Karena (2, 1, 0) dan (5, 0, 1) tidak saling berkelipatan, maka bebas linier. Jadi, basis sub ruang x+2y+5z=0 adalah {(2, 1, 0), (5, 0, 1)} berarti berdimensi 2.

1. 2.


10

Contoh

(1/ 2)

Tentukan basis dan dimensi dari ruang solusi sistem persamaan linier homogen berikut: 2x + 2y 3z =0 2x + 3y z w = 0 2x + 5y + 3z 3w = 0 Jawab:2 2 3 0 0 b1 2b2 2 2 3 0 0 2 2 3 0 0 2 3 1 1 0 b b ~ 0 1 2 1 0 ~ ~ 0 1 2 1 0 1 2 0 3 6 3 0 b3 3b2 0 0 0 0 0 2 5 3 3 0 b3 b1

2 0 7 2 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0

2x 7z + 2w = 0 atau x = (7z 2w)/2 y + 2z - w = 0 atau y = - 2z + wAljabar Matriks - Mahmud 'Imrona [email protected]

Contoh

(2/2)

karena z dan w anu yang bebas, misalkan z = t dan w=s, maka didapat: x = (7t 2s)/2 y = -2t + s Sehingga solusinya berbentuk: (x, y, z, w)=t (7/2, -2, 1, 0) + s (-1, 1, 0, 1) Jadi, basis ruang solusi sistem persamaan linier di atas adalah: {(7/2,-2,1,0), (-1,1,0,1)} dan dimensi: 2


Tantangan1.a. b. c. d. e.

Apakah himpunan vektor-vektor di bawah ini basis ruang vektor yang sesuai? Jelaskan.B={u1=(3, 0), u2=(1, 2), u3=(-2, 1)} B={u1=(2, 1, 0), u2=(1, -1, 2), u3=(-2, 2, 1)} B={u1=(1, 0, 1, 2), u2=(2, 2, 3, 7), u3=(1, 1, 2, 4), u4=(-1, -1, -2, -2)} B={p1=1 - x, p2= 2 + 3x} B={p1=1 - x - x2 , p2= x + 3x2, p3=2 2x - x2}

2.a. b.

Tentukan basis dan dimensi dariruang vektor polinom yang berbentuk a+bx+cx2, dengan syarat a=b+2c. Semua vektor berbentuk (a, b, c, d) dengan b = a 3d, c = a + d


11

Tantangan3.

Tentukan basis dan dimensi ruang solusi sistem persamaan linier homogen berikut:2x1 + x2 x3 + 2x4 x5 = 0 4x2 3x3 + 3x4 4x5 = 0 x1 + 2x2 + x3 x4 x5 = 0

a. 2x1 + 3x2 2x3 + x4 3x5 = 0 b. 4x1 + 3x2 + 3x3 4x4 5x5 = 0 3x1 + x2 + 2x3 3x4 4x5 = 0


12

bab 7 basis dan dimensi

Documents