1. 7 RUANG VEKTOR7.1 Ruang Vektor RealDefinisi Misalkan V sebarang himpunan benda yang dua operasinya kita definisikan yaitupenjumlahan dan perkalian dengan skalar (bilangan riil). Penjumlahan tersebut kita pahamiuntuk mengasosiasikan sebuah aturan dengan setiap pasang benda u dan v dalam V, yangmengandung elemen u + v, yang kita namakan jumlah u dan v, dengan perkalian skalar kitaartikan setiap benda u pada V yang mengandung elemen ku, yang dinamakan perkalianskalar u oleh k. Jika semua aksioma berikut dipenuhi oleh semua benda u, v, w pada V danoleh semua skalar k dan l, maka kita namakan V sebuah ruang vektor dan benda bendapada V kita namakan vektor :1. Jika u dan v adalah benda benda pada V kita namakan vektor.2. u + v = v + u3. u + (v + w) = (u + v) + w4. Ada vektor 0 di V sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u di V5. Untuk setiap u di V, terdapat u sehingga u + (-u) = (-u) + u = 06. Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor di V, maka ku berada di V7. k(u + v )= ku + kv8. (k + l)u = ku + lu9. k(lu) = l(ku)10. 1u = u7.2 Sub Ruang (Sub space)Definisi Sub himpunan W dari sebuah ruang vektor V disebut sub ruang (subspace) V jikaW itu sendiri adalah ruang vektor di bawah penjumlahan dan perkalian skalar yangdidefinisikan pada V.7.3 Vektor yang Bebas Linier dan Tak Bebas LinierDefinisi Himpunan m buah vektor (u1, u2, um) disebut tak bebas linier (linearlydependent) bila terdapat skalar skalar 1, 2, , m yang tidak semuanya nol sedemikianhingga (u1, u2, um)Sebaliknya himpunan (u1, u2, um) disebut bebas linier (linearly independent) jika 1 u1 +2 u2 + + m um = 0 hanya dipenuhi oleh 1= 2 = = m = 0.

2. Catatan : 1. Jika m=1, maka : a. Bila u = 0 (vektor nol), akan tak bebas linier, karena u = 0 0 = 0 terpenuhi juga untuk 0 b. Bila 0, akan bebas linier karena u=0 hanya dipenuhi oleh =0 2. Jika dalam himpunan terdapat vektor 0, misalnya {u1, u2,,0, um) maka himpunan itu tak bebas linier, 1 u1 + 2 u2 + + i 0+ + m um = 0 dipenuhi juga oleh I 0 3. Jika u dan v adalah 2 vektor yang berkelipatan, u = v, maka mereka tak bebas linier. Sebab u = v 1u - v = 0, artinya terdapat 0 pada 1 v + 2 u = 07.4 Kombinasi LinierDefinisi Suatu vektor v dikatakan kombinasi linier dari vektor vektor (u1, u2, um) bilaterdapat skalar skalar 1, 2, , m sedemikian hingga v = 1 u1 + 2 u2 + + m um.Contoh 8.1a = [2, 1, 2], b = [1, 0, 3], c = [3, 1, 5]Kita hendak menyatakan a sebagai kombinasi linier dari b dan cKita hitung 1, dan 2 yang memenuhi [2, 1, 2] = 1 [1, 0, 3] + 2 [3, 1, 5]2 = 1 + 3 21 = 22 = 3 1 + 5 2Dengan substitusi, diperoleh 1 = -1 dan 2 = 1Jadi penulisan yang diminta adalah a = -b + c7.5 Arti Kombinasi Linier Secara Ilmu UkurKalau v kombinasi linier dari suatu vektor u, yaitu v = u yang mana v adalah kelipatan dariu dengan garis pembawanya sama (atau sejajar), v dan u disebut kolinier (segaris).v kombinasi linier dari 2 vektor u1 dan u2, yaitu v = 1u1 + 2u2 maka v adalah diagonaljajaran genjang yang sisi sisinya 1u1 dan 2u2 . u1 dan u2 disebut koplanar (sebidang).v kombinasi linier dari 3 vektor u1 , u2 dan u3, yang tidak sebidang, yaitu v = 1u1 + 2u2 +3u3 maka v adalah diagonal paralelepipedum yang sisi sisinya 1u1, 2u2 dan 3u3.Contoh 8.2Tentukan apakah vektor merupakan kombinasi dari dua vektor berikut.a. Apakah vector w = (-12,20) merupakan kombinasi linear dari vector v1 = (-1,2) dan v2 = (4,-6)?b. Apakah vector w = (4,20) merupakan kombinasi linear dari vector v1 = (2,10) dan v2 = (-3,-15)?c. Apakah vector w = (1,-4) merupakan kombinasi linear dari vector v1 = (2,10) dan v2 = (-3,-15)? 3. Penyelesaian:a. Pada masing-masing kasus ini kita akan membuat dan menyelesaikan persamaan berikut w = c v1 + c v2 Buat dalam dua bentuk persamaan berikut Solusi dari SPL tersebut adalah c1 = 4 dan c2 = -2. Oleh karena itu, w merupakan kombinasi linier dari v1 dan v2 dan kita dapat tuliskan w = 4v1 - 2 v2b. Pada masing-masing kasus ini kita akan membuat dan menyelesaikan persamaan berikut w = c v1 + c v2 Buat dalam dua bentuk persamaan berikut Solusi dari SPL tersebut adalah t adalah bilangan real Berikut adalah beberapa kombinasi liniernya.c. Pada masing-masing kasus ini kita akan membuat dan menyelesaikan persamaan berikut w = c v1 + c v2 Buat dalam dua bentuk persamaan berikut Sistem tidak mempunyai solusi dan w bukan merupakan kombinasi linier dari v1 dan v27.6 Dimensi dan BasisDefinisi Jika V adalah sebarang ruang vektor dan S = {v1, v2, , vr} merupakan himpunanberhingga dari vektor vektor pada S, maka S disebut basis untuk V jika : (i). S bebaslinier S merentang VDefinisi Dimensi sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagaibanyaknya vektor pada basis untuk V. 4. Contoh 8.3Tentukan apakah masing-masing himpunan vector berikut adalah basis untuk R3?Jawab a. v1 = (1,-1,1), v2 = (0,1,2), dan v3 = (3,0,-1) b. v1 = (1,0,0), v2 = (0,1,0), dan v3 = (0,0,1) c. v1 = (1,1,0) dan v2 = (-1,0,0) d. v1 = (1,-1,1), v2 = (-1,2,-2), dan v3 = (-1,4,-4)Penyelesaian:a. v1 = (1,-1,1), v2 = (0,1,2), dan v3 = (3,0,-1) Kita buat persamaan berikutDalam bentuk matriksDeterminan dari matriksDet(A) = -10det(A) 0 Dengan demikian vektor-vektor tersebut merupakan basis di R3Contoh 8.2Tentukan dimensi dari ruang vektor yang dibentuk oleh :a. p = [1, -2, 3, 1] dan q = [2, -4, 5, 2]b. b.u = [5, 7, 11, 4] dan v = [10, 14, 22, 8]Penyelesaian: 5. a. Kedua vektor pembentuk tidak berkelipatan, jadi sistem pembentuk bebas linier. Berarti dimensi = 2b. Kedua vektor berkelipatan. Vektor u maupun v 0, jadi keduanya merupakan sistem pembentuk yang bebas linier. Berarti dimensi = 1Latihan 7 1. Tentukan dimensi dan basis dari ruang vektor yang dibentuk oleh :(i).a = [1, 1, 2], b= [1, 2, 5] , c = [5, 3, 4](ii). p = [1, 2, 2], q = [2, 4, 4] , r = [1, 0, 1](ii)u = [1, 0, 1], v = [3, 0, 3] , w = [2, 0, 2] 2. Apakah himpunan himpunan vektor ini merupakan basis R-3 ?(i). [1, 1, 1] , [1, -2, 3](ii).[1, 0, 0], [1, 1, 0], [1, 1, 1](iii). [1, 1, 2], [1, 2, 5], [5, 3, 4] 3. Diketahui L dibentuk oleh p = [1, 3, 1], q= [2, 1, 0], dan r = [ 4, x-2, 2]Ditanya :(i)Nilai x supaya L berdimensi 2(ii) Nilai y supaya vektor a = [3, 2-y, 4] L{p,q,r}(iii) Koordinat a di atas relative terhadap basis {p,q} 6. Pustaka1. Anton, H. Aljabar Linier Elementer, Edisi kedelapan, Jakarta: Erlangga, 20002. Dawkins, P. Linear Algebra. http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx