UKURAN DISPERSI A.PENGERTIAN DISPERSI Ukurandispersiatauukuranvariasiatauukuranpenyimpanganadalah ukuranyangmenyatakanseberapajauhpenyimpangannilai-nilaidatadarinilai-nilai pusatnya atau ukuran yang menyatakan seberapa banyak nilai-nilai data yang berbeda dengan nilai-nilai pusatnya. B.JENIS-JENIS UKURAN DISPERSI 1.Jangkauan (Range, R) Jangkauan atau ukuran jarak adalah selisih nilai terbesar data dengan nilai terkecildata.Caramencarijangkauandibedakanantaradatatunggaldandata berkelompok. a.Jangkauan Data Tunggal Bilaadasekumpulandatatunggal,X1,X2,.....,Xnmakajangkauannya adalah : Contoh: Tentukan jangkauan data : 12, 14, 10, 8, 6, 4, 2 Penyelesaian : Data diurutkan :2,4,6,8,10,12, 14 X7 = 14 dan X1 = 2 Jangkauan = X7 X1 = 12 2 = 12 b.Jangkauan Data Berkelompok Dapat ditentukan dengan dua cara :-Jangkauanadalahselisihtitiktengahkelastertinggidengantitiktengah kelas terendah. Jangkauan = Xn X1 -Jangkauanadalahselisihtepiataskelastertinggidengantepikelas terendah.Contoh : Tentukan jangkauan dari distribusi frekuensi berikut!Nilai UjianFrekuensi (f)Titik Tengah (X) 31-40135.5 41-50245.5 51-60555.5 61-701565.5 71-802575.5 81-902085.5 91-1001295.5 80 Penyelesaian: Titik tengah kelas terendah=35,5 Titik tengah kelas tertinggi=95,5 Tepi bawah kelas terendah=30,5Tepi atas kelas tertinggi=100,5 1.Jangkauan = 95,5 35,5 = 60 2.Jangkauan = 100,5 30,5 = 70 2.Jangkauan Antarkuartil dan Jangkauan Semi Interkuartil Jangkauanantarkuartiladalahselisihantarkuartilatas(Q3)dankuatil bawah (Q1). Dirumuskan : 1 3Q Q JK =Jangkauansemiinterkuartiladalahsetengahdariselisihkuartilatas(Q3) dan kuatil bawah (Q1). Dirumuskan :( )1 3 21Q Q Qd =Rumus-rumus di atas berlaku untuk data tunggal dan data berkelompok. Contoh : a.Untuk Data Tunggal Tentukan jangkauan antarkuartil dan jangkauan semi interkuartil dari : 2,6,8,5,4,9,12 Penyelesaian: Q1= 4 dan Q3 = 95 4 91 3= = = Q Q JK ( ) ( ) 5 , 2 4 9211 3 21= = = Q Q Qd b.Untuk data Kelompok Tentukanjangkauanantarkuartildanjangkauansemiinterkuatildistribusi frekuensidariTabelNilaiUjianStatistikdari80mahasiswauniversitas Borobudur Tahun 1997 Nilai UjianFrekuensi (f)Titik Tengah (X) 31-40135.5 41-50245.5 51-60555.5 61-701565.5 71-802575.5 81-902085.5 91-1001295.5 80 ( )5 , 68158480 110 5 , 601=||||.|

\|+ = Q( )5 , 862048480 310 5 , 803=||||.|

\|+ = Q15 5 , 68 5 , 861 3= = = Q Q JK ( ) ( ) 5 , 7 5 , 68 5 , 86211 3 21= = = Q Q Qd Jangkauanantarkuartil(JK)dapatdigunakanuntukmenemukandata pencilan,yaitudatayangdianggapsalahatausalahukuratauberasaldarikasus yang menyimpang, karena itu perlu diteliti ulang. Data pencilanadalah data yang kurang dari pagar luar. L =1,5 x JK PD=Q1 L PL =Q3 + L Keterangan: L= satu langkah PD= pagar dalam PL= pagar luar Contoh soal: Selidikilah apakah terdapat data pencilan dari data dibawah ini! 15, 33, 42, 50, 51, 51, 53, 55, 62, 64, 65, 68, 79, 85, 97. Penyelesaian: Q1= 50 dan Q3 = 68 JK = 68 50 = 18 Sehingga : L = 1,5 x 18 = 27 PD= 50 27 = 23 PL= 68 + 27 = 95 Padadatadiatasterdapatnilai15dan97yangberartikurangdaripagar dalam(23)ataulebihdaripagarluar(95).Dengandemikian,nilai15dan97 termasukdatapencilan,karenaituperluditelitiulang.Adanyanilai15dan97 mungkin disebabkan salah dalam mencatat, salah dalam mengukur, atau data dari kasus menyimpang. 3.Deviasi Rata-Rata (Simpangan Rata-Rata) Deviasirata-rataadalahnilairata-ratahitungdarihargamutlak simpangan-simpangannya. a.Deviasi rata-rata data tunggal nX XX XnDR= =1Contoh soal : Tentukan deviasi rata-rata data 7,6,3,4,8,8 Penyelesaian: X = 7 + 6 + 3 + 4 + 8 + 8 = 36 Sehingga mean (rata-rata hitung) adalah :6636= = X 10 6 8 6 8 6 4 6 3 6 6 6 7 = + + + + + = X Xi 67 , 1610= == nX XDRi b.Deviasi rata-rata untuk data berkelompok nX X fX X fnDR= =1 Contoh : Tentukan deviasi rata-rata distribusi frekuensi berikut : Nilai UjianFrekuensi (f)XX X X X f 31-40135.541.12541.125 41-50245.531.12562.25 51-60555.521.125105.625 61-701565.511.125166.875 71-802575.51.12528.125 81-902085.58.875177.5 91-1001295.518.875226.5 JUMLAH80808 Penyelesaian : Dari contoh sebelumnya didapatkan bahwa625 , 76 = X 1 , 1080808= == nX X fDR 4.Varians Variansadalahnilaitengahkuadratsimpangandarinilaisimpanganrata-ratakuadrat.Varianssampeldisimbolkandengans2.Varianspopulasi disimbolkan dengan 2(sigma). a.Varians data tunggal Dapatdigunakandenganduametode,yaitumetodebiasadanmetode angka kasar. 1.Metode Biasa a.Untuk sampel besar (n > 30) : b.Untuk sampel kecil (n) 30 s : 2.Metode Angka Kasar a.Untuk sampel besar (n > 30) : b.Untuk sampel kecil (n) 30 s : Contoh : Tentukan varians dari data 2,3,6,8,11 ? Penyelesaian: n = 5 ( )n X X=2s2( )12s2 X X= n22s2|.|

\| =nXnX( )) 1 (212s2X= n n nX6511 8 6 3 2=+ + + += XX X X ( )2X X X2 2 3 6 8 11 -4 -3 0 2 5 16 9 0 4 25 4 9 36 64 121 3054234 1.Metode Biasa 2.Metode Angka Kasar b.Varians data berkelompok Untuk data berkelompok, dapat digunakan dengan tiga metode, yaitu : 1) Metode biasa,a.Untuk sampel besar (n > 30) : b.Untuk sampel kecil (n) 30 s : 2) Metode angka kasarb.Untuk sampel besar (n > 30) : c.Untuk sampel kecil (n) 30 s : ( )nf X X=2s2( )12s2 X X= nf222s|.|

\| EE=nfXnfX( )( ) 12 22sEE=n nfXnfX( )5 , 131 55412s2== X X= n( ) ( ) ( )( )5 , 131 5 52301 5234) 1 (212s2==XX= n n n3) Metode coding a.Untuk sampel besar (n > 30) : 222 2||.|

\| = nfunfuC sb.Untuk sampel kecil (n) 30 s : ( )( ) 1 1222 2 = n nfunfuC sKeterangan: C= panjang interval kelas u= CM XCd =M= rata-rata hitung sementara Contoh :Tentukan Varians dari distribusi frekuensi berikut : Nilai UjianFrekuensi (f) 31-401 41-502 51-605 61-7015 71-8025 81-9020 91-10012 JUMLAH80 Penyelesaian : 1.Dengan Metode Biasa 625 , 76 = XNilai Ujian Frekuensi (f) X ( )2 ( )2 f 31-40135.5-41.1251691.2661691.266 41-50245.5-31.125968.7661937.531 51-60555.5-21.125446.2662231.328 61-701565.5-11.125123.7661856.484 71-802575.5-1.1251.26631.641 81-902085.58.87578.7661575.313 91-1001295.518.875356.2664275.188 JUMLAH8013598.750 2.Dengan Metode Angka Kasar Nilai UjianFrekuensi (f)XX2 fXfX2 31-40135.51260.2535.501260.25 41-50245.52070.2591.004140.50 51-60555.53080.25277.5015401.25 61-701565.54290.25982.5064353.75 71-802575.55700.251887.50142506.25 81-902085.57310.251710.00146205.00 91-1001295.59120.251146.00109443.00 JUMLAH806130.00483310.00 3.Metode coding Nilai UjianFrekuensi (f)Xuu2fufu2 31-40135.5-416-416 41-50245.5-39-618 51-60555.5-24-1020 61-701565.5-11-1515 71-802575.50000 81-902085.5112020 91-1001295.5242448 JUMLAH80359137 ( )984 , 16880750 , 135982s2= == n f984 , 168222s =EE=|.|

\|nfXnfX( )( )984 , 1681 1222 2= = n nfunfuC s 5.Simpangan Baku (Standar Deviasi) Simpangan baku adalah akar dari tengah kuadrat. Simpangan Baku sampel disimbolkan dengan s. Simpangan Baku populasi disimbolkan dengan . Menentukan simpangan baku :varians = sRumus diatas berlaku untuk data tunggal dan data kelompok. Contoh a.Untuk data Tunggal Tentukan simpangan baku (standar deviasi) dari data 2,3,6,8,11 ? Penyelesaian: Dari perhitungan sebelumnya, diperoleh s2 = 13,5 Simpangan bakunya adalah: 67 , 3 5 , 13 var = = = ians s b.Untuk data Kelompok Contoh :Tentukan simpangan baku dari distribusi frekuensi berikut : Nilai UjianFrekuensi (f) 31-401 41-502 51-605 61-7015 71-8025 81-9020 91-10012 JUMLAH80 Penyelesaian : Dari contoh soal diatas diperoleh varian = 168,984 Sehingga simpangan baku adalah : 99 , 12 984 , 168 varians = = = s C.KOEFISIEN VARIASI Koefisien dispersi atau variasiyang telah dibahas sebelumnya merupakan dispersiabsolut,sepertijangkauan,simpanganrata-rata,simpangankuartildan simpanganbaku.Untukmembandingkandispersiatauvariasidaribeberapa kumpulandata,digunakanistilahdispersirelatif,yaituperbandinganantara dispersi absolut dan rata-ratanya.Dispersi relatif digunakan untuk membandingkan tingkat variabilitas nilai-nilaiobservasisuatudatadengantingkatvariabilitasnilai-nilaiobservasidata lainnya. Koefisien variasi adalah contoh dispersi relatif.Ada empat macam dispersi relatif, yaitu : 1.Koefisien Variasi (KV) Jika dispersi absolut digantikan dengan simpangan bakunya maka dispersi relatifnya disebut koefisien variasi (KV). % 100 =XsKVKeterangan: KV= koefisien variasi s= simpangan baku X = rata-rata Contoh Soal: Darihasilpenelitian2SekolahDasarKelas1,diketahuijumlahsiswa yang menyukai matematika adalah : Sekolah Dasar X =800 =AX anak,8 =AsSekolah Dasar Y =550 =BX anak,3 =BsTentukan Koefisien variasi masing-masing! Penyelesaian: % 1 % 1008008% 100 = = =AAAXsKV% 55 , 0 % 1005503% 100 = = =BBBXsKV 2.Variasi Jangkauan (VR) Variasijangkauanadalahdispersirelatifyangdispersiabsolutnya digantikan dengan jangkauan. % 100 =XRVR3.Variasi Simpangan Rata-Rata (VSR) VariasiSimpanganRata-Rataadalahdispersirelatifyangdispersi absolutnya digantikan dengan simpangan rata-rata. % 100 =XSRVR4.Variasi Kuartil (VQ) VariasiKuartiladalahdispersirelatifyangdispersiabsolutnyadigantikan dengan kuartil.% 100% 1001 31 3+= =Q QQ QVQMeQdVQ DISPERSIABSOLUTdigunakanuntukmengetahuitingkatvariabilitas nilai-nilai observasi pada suatu data, sedangkan DISPERSI RELATIF digunakan untuk membandingkan tingkat variabilitas nilai-nilai observasi suatu datadengan tingkat variabilitas nilai-nilai observasi data lainnya