Bab 3 Model Black-Scholes

3.1 Pengantar

Konsep arbitrase merupakan suatu konsep yang dalam keadaan tertentu memungkinkan untuk membangun hubungan yang tepat antara harga dan untuk menentukan harganya. Kemudian akan dibahas strategi opsi secara umum dengan menggunakan arbitrase dan model pergerakan harga aset yang telah dibahas dalam bab sebelumnya, untuk memperoleh persamaan diferensial Black-Scholes pada harga opsi yang paling sederhana, yang disebut opsi Eropa Vanila (European vanilla option). Akan dibahas juga syarat batas yang harus dipenuhi oleh berbagai jenis opsi.3.2 Arbitrase Arbitrase adalah pembelian dan penjualan secara bersamaan atas barang yang sama didalam dua pasar atau lebih dengan harapan akan memperoleh laba dari perbedaan harganya.

Arbitrase juga merupakan salah satu konsep fundamental yang mendasari teori harga derivatif keuangan dan lindung nilai (hedging). Kata kunci yang sering diungkapkan dalam arbitrase adalah `instan' dan `bebas resiko'. Dengan berinvestasi di ekuitas, misalnya, salah satunya mungkin dapat melebihi bank, tetapi hal ini tidak dapat dipastikan. Jika seseorang ingin return yang lebih besar maka harus menerima risiko yang lebih besar. Jika seseorang bisa meminjam uang lebih kecil dari return atas investasi alternatifnya maka ia harus meminjam sebanyak mungkin dari bank untuk berinvestasi dalam menghasilkan kesempatan yang lebih tinggi. Dengan demikian tentunya kita berharap bank untuk menaikkan suku bunganya saat menarik uang dan/atau hasil dari investasi lainnya turun. Ada beberapa penyesuaian dalam argumen ini karena adanya faktor-faktor pergeseran seperti biaya transaksi, perbedaan tingkat suku bunga pinjaman dan kredit, likuiditas, hukum pajak, dll. Tetapi secara keseluruhan prinsipnya adalah suara, karena pasar dihuni oleh pemain Arbitrase yang tugasnya (dibayar tinggi) adalah untuk mencari dan mengeksploitasi penyimpangan (mispricings).3.3 Nilai opsi, Payoff, dan Strategi V : nilai opsi C(S,t) : nilai opsi call

P(S,t) : nilai opsi put. Nilai ini adalah fungsi dari nilai sekarang aset dasar, , dan waktu, . Nilai opsi juga tergantung pada parameter berikut: , fluktuasi nilai aset tersebut; , harga-pelaksanaan; , batas akhir; , tingkat suku bunga.Pertama, pertimbangkan apa yang terjadi hanya pada saat batas akhir call option, yaitu, pada saat . Argumen arbitrase sederhana memberitahu kita nilainya pada waktu khusus ini.Jika saat akhir masa, ini membuat keuangan untuk melaksanakan call option, menyerahkan jumlah , untuk mendapatkan aset senilai . Keuntungan dari transaksi tersebut kemudian . Di sisi lain, jika saat akhir masa, kita seharusnya tidak memanfaatkan opsi tersebut karena kita akan membuat kerugian .

Dalam hal ini, opsi tersebut berakhir tidak bernilai. Dengan demikian, nilai dari call option pada batas akhir dapat ditulis sebagai

Seperti kami lebih dekat dengan tanggal batas akhirnya kami bisa mengharapkan nilai call option untuk mendekati . Untuk mengkonfirmasi hal ini kami mereproduksi pada Gambar 3.1 gambar dari Bab 1 yang membandingkan indeks Data call option dengan nilai opsi saat akhir masa untuk tetap. Dalam gambar ini kami menunjukkan sebagai fungsi untuk tetap dan menempatkan data nyatanya untuk diambil dari rangkaian call option Februari. Perhatikan bahwa data real selalu tepat di atas garis prediksi. Ini mencerminkan fakta bahwa masih ada waktu yang tersisa sebelum opsi tersebut berakhir - ada potensi lagi untuk harga aset akan meningkat lebih lanjut, memberikan opsi tersebut nilai yang lebih besar. Perbedaan antara nilai opsi sebelum dan pada akhir masa disebut nilai waktu (time value) dan nilai intrinsik pada akhir masa.

Jika seseorang memiliki opsi dengan diberikan harga pelaksanaan, maka salah satu kurang tertarik pada bagaimana nilai opsi bervariasi dengan harga pelaksanaan daripada bagaimana variasinya dengan harga aset, . Pada Gambar 3.2 kita Plot

sebagai fungsi dari (garis tebal) dan juga nilai opsi pada beberapa waktu sebelum akhir masa. Kurva yang terakhir ini hanya bentuk sketsa yang bisa diterima untuk nilai opsinya. Untuk saat ini pembaca harus percaya bahwa nilai opsi sebelum akhir masa adalah bentuk ini. Kemudian dalam bab ini kami melihat bagaimana untuk mendapatkan persamaan dan kadang-kadang rumus untuk kurva tersebut. Garis tebal, menjadi payoff untuk opsi saat akhir masa, disebut payoff diagram. Pembaca harus menyadari bahwa beberapa penulis menggunakan istilah ` payoff diagram ' atau `diagram laba' berarti perbedaan antara nilai terminal dari kontrak (payoff kami) dan premi asli. Kami memilih untuk tidak menggunakan definisi ini karena dua alasan. Pertama, premi dibayar pada awal kontrak opsi dan returnnya, jika ada, hanya didapat pada akhir masa. Kedua, payoff diagram memiliki interpretasi alami, seperti yang kami lihat, sebagai syarat akhir untuk persamaan difusi.

Sekarang harus jelas bahwa setiap opsi dan portofolio opsi memiliki payoff sendiri saat akhir masa. Sebuah argumen yang sama dengan yang diberikan di atas untuk nilai call saat akhir masa mengarah ke payoff untuk put option. Pada akhir masa itu tidak bernilai jika namun memiliki nilai untuk . Jadi payoff saat akhir masa untuk put option adalah

Payoff Diagram untuk European put ditunjukkan pada Gambar 3.3, di mana garis tebal menunjukkan fungsi payoff . Kurva lain lagi adalah sketsa nilai opsi sebelum akhir masa. Meskipun nilai waktu dari call option dari Gambar 3.2 di mana-mana positif, untuk put nilai waktunya adalah negatif untuk yang cukup kecil, dimana nilai opsi jauh di bawah payoffnya. Kami kembali ke titik ini nanti.Meskipun dua struktur paling dasar untuk payoffnya adalah call dan put, pada prinsipnya tidak ada alasan mengapa kontrak opsi tidak dapat ditulis dengan hasil yang lebih umum. Contoh dari payoff lain ditunjukkan pada Gambar 3.4. Payoff ini dapat ditulis sebagai

dimana adalah fungsi Heaviside, yang memiliki nilai 0 ketika argumennya negatif tetapi 1 sebaliknya. Opsi ini dapat ditafsirkan sebagai kontrak langsung pada harga aset, itu disebut cash-or-nothing call. Opsi dengan payoff umum biasanya disebut binari atau digitals.

Dengan menggabungkan call dan put dengan berbagai harga pelaksanaan seseorang dapat membangun portofolio dengan berbagai macam payoff. Sebagai contoh, kami tunjukkan pada Gambar 3.5 payoff untuk `penyebaran vertikal yang kasar', yang dibangun dengan membeli satu call option dan menjual satu call option dengan tanggal akhir masanya yang sama tapi harga pelaksanaan yang lebih besar. Portofolio ini disebut `kasar' karena keuntungan investor dari kenaikan harga aset, 'vertikal' karena ada dua harga pelaksanaan yang berbeda terlibat, dan `menyebar' karena terdiri dari jenis opsi yang sama, disini call. Fungsi payoffnya untuk portofolio ini dapat ditulis sebagai

dengan . Banyak portofolio lainnya dapat dibuat. Beberapa contoh adalah `kombinasi ', yang berisi call dan put, dan `horizontal' atau `kalender' menyebar, yang berisi call dengan tanggal akhir masanya yang berbeda.Daya tarik strategi tersebut adalah kemampuan mereka untuk mengarahkan ulang risiko. Dalam pertukaran untuk premium - yang merupakan kemungkinan kerugian maksimum dan dikenal dari awal - seseorang dapat membuat portofolio untuk mendapatkan keuntungan dari hampir setiap langkah dalam aset. Jika seseorang memiliki pandangan pada pasar dan ini ternyata benar maka, sebagaimana telah kami lihat, seseorang dapat membuat keuntungan besar dari gerakan relatif kecil dalam aset.

3.4 Pesamaan Put Call

Meskipun opsi call dan put yang secara dangkal berbeda, sebenarnya mereka dapat dikombinasikan sedemikian rupa bahwa mereka berkorelasi sempurna. Hal ini ditunjukkan oleh argumen berikut.Misalkan kami adalah salah satu aset lama, salah satu put lama dan salah satu call pendek. Call dan put keduanya memiliki tanggal akhir masanya yang sama, , dan harga pelaksanaan yang sama, . Dilambangkan dengan nilai portofolionya. Dengan demikian kami memiliki

dimana dan adalah masing-masing nilai-nilai put dan call. Pembayaran untuk portofolio ini pada akhir masa adalah

Hal ini dapat ditulis kembali sebagai

Atau

atau S lebih besar atau lebih kecil dari saat akhir masa payoffnya adalah selalu sama, yaitu E.Sekarang tanyakan pertanyaan Berapa banyak saya akan membayar untuk portofolio yang memberi jaminan di ?Hal ini, tentu saja, pertanyaan yang sama yang kami ajukan pada Bab 1, dan jawabannya dengan mendiskontokan nilai akhir portofolio. (Perhatikan bahwa di sini kita harus menganggap keberadaan suku bunga bebas risiko yang dikenal selama masa opsi.) Jadi portofolio ini sekarang bernilai . Ini menyamakan return dari portofolio dengan return dari deposito bank. Jika hal ini tidak terjadi maka Arbitrase bisa (dan akan) membuat keuntungan tanpa risiko instan: dengan membeli dan menjual opsi dan saham dan pada saat yang sama meminjam uang dalam proporsi yang benar, mereka bisa mengunci keuntungan hari ini dengan nol payoff di masa depan. Jadi kami menyimpulkan bahwa

Hubungan antara aset dasar dan opsi disebut persamaan put-call. Ini adalah contoh dari eliminasi risiko, dicapai dengan melakukan satu transaksi dalam aset dan setiap opsi. Pada bagian berikutnya, kami melihat versi yang lebih canggih dari ide ini, yang melibatkan penyeimbangan kembali terus menerus, bukan salah satu transaksi di atas, memungkinkan kami untuk nilai call Eropa dan opsi put secara independen.3.5 Analisis Black Scholes

Sebelum menjelaskan analisis Black-Scholes yang mengarah pada nilai opsi kita daftar asumsi yang kita buat untuk sebagian besar buku ini. Harga aset mengikuti random walk lognormal (2.1). Model-model lain memang ada, dan dalam banyak kasus adalah mungkin untuk melakukan analisis Black-Scholes untuk menurunkan persamaan diferensial untuk nilai opsi. Rumus eksplisit jarang ada untuk model tersebut. Namun, ini seharusnya tidak mencegah penggunaannya, karena solusi numerik yang akurat biasanya cukup mudah. Tingkat bunga bebas risiko dan aset volatilitas adalah fungsi dari waktu yang dikenal selama masa opsi. Hanya dalam Bab 17 dan 18 kami drop asumsi perilaku deterministik , ada model suku bunga oleh persamaan diferensial stokastik. Tidak ada biaya transaksi terkait dengan portofolio lindung nilai.Dalam Bab 16 kami menggambarkan sebuah model yang memungkinkan untuk biaya transaksi. The underlying asset tidak membayar dividen selama masa opsi.Asumsi ini dapat dijatuhkan jika dividen diketahui sebelumnya. Mereka dapat dibayar baik pada interval diskrit maupun kontinu selama masa opsi. Kami membahas hal ini lebih lanjut dalam Bab 6. Tidak ada kemungkinan arbitrase.Tidak adanya peluang arbitrase berarti bahwa semua portofolio bebas risiko harus mendapatkan return yang sama. Perdagangan underlying asset tersebut dapat berlangsung terus menerus.Ini jelas merupakan idealisasi, dan menjadi penting dalam bab tentang biaya transaksi, Bab 16. Short selling diperkenankan dan aset yang habis dibagi.Kami berasumsi bahwa kami dapat membeli dan menjual beberapa jumlah (tidak harus integer) underlying asset, dan bahwa kami boleh menjual aset yang tidak kami miliki.Misalkan kita memiliki opsi yang hanya bergantung pada nilai dan . Hal ini tidak diperlukan pada tahap ini untuk menentukan apakah adalah call atau put; memang, bisa menjadi nilai portofolio seluruh opsi yang berbeda meskipun untuk kemudahan pembaca bisa memikirkan call atau put sederhana. Menggunakan lemma Ito, persamaan (2.8), kami dapat menulis (3.3)Ini memberikan random walk diikuti oleh . Perhatikan bahwa kita memerlukan untuk memiliki minimal satu derivatif dan dua turunan.Sekarang menyusun portofolio yang terdiri dari satu opsi dan sejumlah dari underlying asset tersebut. Jumlah ini belum ditentukan. Nilai portofolio ini

Kenaikan nilai portofolio ini dalam satu waktu-langkah adalah

Berikut dipertahankan tetap selama waktu-langkah, jika tidak maka akan berbentuk dalam . Menempatkan (2.1), (3.3) dan (3.4) bersama-sama, kita menemukan bahwa mengikuti random walknya

(3.5)Seperti yang telah ditunjukkan dalam Bagian 2.4, kami bisa menghilangkan komponen acak dalam random walk ini dengan memilih

Perhatikan bahwa adalah nilai pada awal dari langkah-waktu dt.Hal ini menghasilkan portofolio yang naik sepenuhnya deterministik:

Kita sekarang banding ke konsep arbitrase dan penawaran dan permintaan, dengan asumsi tidak ada biaya transaksi. Return sejumlah yang diinvestasikan dalam aset tanpa risiko akan memperlihatkan pertumbuhan selama . Jika sisi kanan dari (3.7) lebih besar dari jumlah ini, arbitrager dapat menghasilkan jaminan keuntungan tanpa risiko dengan meminjam sejumlah untuk berinvestasi di portofolio. Return untuk strategi bebas risiko ini akan lebih besar daripada biaya pinjaman.Sebaliknya, jika sisi kanan dari (3.7) kurang dari maka arbitrager tersebut akan pendek portofolio dan investasi di bank. Baik dengan cara arbitrager akan membuat tanpa risiko, tanpa biaya, keuntungan instan. Adanya Arbitrase tersebut dengan kesempatan untuk memperdagangkan dengan biaya rendah memastikan bahwa pengembalian atas portofolio dan pada rekening tanpa risiko yang kurang lebih sama. Dengan demikian, kita memiliki

Mengganti (3.4) dan (3.6) ke (3.8) dan membagi seluruh oleh kita sampai pada

Ini adalah persamaan diferensial parsial Black-Scholes. Dengan ekstensi dan varian, memainkan peran utama dalam sisa buku ini. Sulit untuk terlalu menekankan fakta bahwa, di bawah asumsi yang dinyatakan sebelumnya, setiap keamanan derivatif yang harganya hanya bergantung pada nilai saat ini dari dan , dan yang dibayar di muka, harus memenuhi persamaan Black-Scholes (dan varian menggabungkan dividen atau waktu tergantung parameter). Banyak penilaian opsi tampaknya masalah rumit, seperti opsi eksotik, menjadi sederhana ketika melihat dengan cara ini. Hal ini juga penting untuk dicatat, meskipun, bahwa banyak pilihan, misalnya opsi Amerika, memiliki nilai yang bergantung pada sejarah harga aset serta nilai sekarang. Kita lihat nanti bagaimana mereka masuk ke dalam kerangka kerja Black-Scholes.Sebelum pindah, kita membuat tiga pernyataan tentang turunan kita baru saja melihat. Pertama, delta, yang diberikan oleh

adalah laju perubahan nilai opsi kami atau portofolio opsi terhadap S. Hal ini penting dalam teori dan praktek, dan kami return berulang-ulang. Ini adalah ukuran korelasi antara pergerakan opsi atau produk turunan lainnya dan orang-orang dari underlying aset tersebut.Kedua, operator diferensial linear diberikan oleh

memiliki interpretasi keuangan sebagai ukuran perbedaan antara return atas portofolio opsi lindung nilai (dua bentuk pertama) dan return atas deposito bank (dua periode terakhir). Meskipun perbedaan ini harus identik dengan nol untuk opsi Eropa, untuk menghindari arbitrase, kami lihat nanti bahwa ini tidak perlu jadi untuk opsi Amerika.Ketiga, kami perhatikan bahwa persamaan Black-Scholes (3.9) tidak mengandung parameter pertumbuhan . Dengan kata lain, nilai opsi tidak tergantung pada seberapa cepat dan lambat aset tumbuh. Satu-satunya parameter dari persamaan diferensial stokastik (2.1) untuk harga aset yang mempengaruhi harga opsi adalah ketidakstabilan, . Konsekuensi dari ini adalah bahwa dua orang mungkin berbeda dalam perkiraan mereka untuk namun masih setuju pada nilai opsi.3.6 Persamaan Black-Scholes

Persamaan (3.9) adalah persamaan diferensial parsial pertama yang telah kita diturunkan dalam buku ini. Teori dan metode untuk solusi persamaan diferensial parsial dibahas secara mendalam dalam Bab 4 dan 5; namun, sekarang kita memperkenalkan beberapa hal dasar dalam teori sehingga pembaca menyadari apa yang akan kami capai. Dengan menurunkan persamaan diferensial parsial untuk kuantitas, seperti harga opsi, kami telah membuat langkah besar menuju nilai temuannya.

Kami berharap untuk dapat menemukan pernyataan untuk nilai ini dengan memecahkan persamaan. Kadang-kadang ini melibatkan solusi dengan cara numerik jika formula yang tepat tidak dapat ditemukan. Namun, persamaan diferensial parsial sendiri umumnya memiliki banyak solusi, misalnya, nilai-nilai put, call dan sendiri semua yang memenuhi persamaan Black- Scholes. Nilai opsi harus tunggal (jika tidak, kemungkinan akan timbul arbitrase), dan juga, untuk penjabaran solusi, kami juga harus menerapkan syarat batas. Sebuah syarat batas menentukan perilaku solusi yang diperlukan di beberapa bagian dari solusi awal.Jenis yang paling sering dari persamaan diferensial parsial dalam masalah finansial adalah persamaan parabola. Persamaan parabola untuk fungsi adalah hubungan khusus antara dan turunan parsialnya terhadap variabel independen dan . Dalam kasus yang paling sederhana , turunan tertinggi terhadap adalah turunan kedua, dan turunan tertinggi terhadap hanya turunan pertama. Jadi (3.9) muncul ke dalam kategori ini. Jika persamaan linear dan tanda-tanda turunan tertentu adalah sama, ketika mereka muncul di sisi yang sama dari persamaan, maka persamaan disebut parabola mundur; yang lainnya disebut parabola maju. Persamaan (3.9) adalah parabola mundur.

Setelah kami putuskan bahwa persamaan diferensial parsial kami adalah tipe parabola ini kita dapat membuat pernyataan umum tentang jenis syarat batas yang mengarah ke solusi tunggal. Biasanya, kita harus mengajukan dua syarat di , yang memiliki turunan kedua yang terkait dengan itu,tetapi hanya satu di . Misalnya kita bisa menentukan bahwa

dan pada dimana dan diberikan fungsi dari .Jika persamaan ini adalah tipe mundur kami juga harus memaksakan syarat akhir seperti pada dimana adalah fungsi yang diketahui. Kami kemudian menyelesaikan untuk di wilayah . Artinya, kami menyelesaikan `dalam waktu mundur', karena nama itu. Jika persamaan adalah tipe maju kita memaksakan syarat `awal' pada , katakanlah, dan memecahkan dalam , kearah depan. Tentu saja, kita bisa merubah dari mundur ke maju dengan perubahan sederhana dari variabel . Inilah sebabnya mengapa kedua jenis persamaan secara matematis ekuivalen dan itu adalah umum untuk mengubah persamaan mundur ke persamaan maju sebelum analisis apapun. Hal ini penting untuk diingat, bagaimanapun, bahwa persamaan parabola tidak dapat diselesaikan dalam arah yang salah; yaitu, kita tidak boleh memaksakan syarat awal pada persamaan mundur.3.7 Syarat Batas dan Akhir untuk Opsi EropaSetelah diturunkan persamaan Black- Scholes untuk harga suatu opsi, kami selanjutnya harus mempertimbangkan syarat akhir dan batas, karena kalau tidak persamaan diferensial parsial tidak memiliki solusi yang tunggal. Untuk saat ini kita membatasi perhatian kita pada call Eropa, dengan nilai sekarang dinotasikan dengan , dengan harga pelaksanaan dan tanggal kadaluwarsa .

Syarat akhir, yang akan diterapkan pada , berasal dari argumen arbitrase yang dijelaskan dalam Bagian 3.3. Pada , harga dari suatu call dapat diketahui dengan pasti payoffnya:

(3.10)

Ini adalah kondisi akhir untuk persamaan diferensial parsial.

Kami `Ruang' atau harga aset syarat batas kami diterapkan pada harga aset nol, , dan sebagai . Kami bisa melihat dari (2.1) bahwa jika adalah pernah nol maka juga nol dan karena itu tidak pernah bisa berubah. Ini adalah satu-satunya kasus deterministik dari persamaan diferensial stokastik (2.1). Jika pada akhir masapayoffnya adalah nol. Dengan demikian call option tidak berharga pada bahkan jika ada waktu yang lama untuk akhir masa. Karena itu pada kami memiliki .

(3.11)Dengan meningkatnya harga aset tanpa terikat menjadi semakin mungkin bahwa opsi akan dilaksanakan dan besarnya harga eksekusi menjadi kurang dan kurang penting. Jadi seperti nilai opsi menjadi aset dan ditulis sebagai .

(3.12)Untuk call option Eropa, tanpa kemungkinan latihan awal, (3.9)-(3.12) dapat diselesaikan dengan tepat untuk memberikan nilai Black-Scholes dari call option. Kami menunjukkan bagaimana melakukan dalam Bab 5, dan pada akhir bagian ini kami mengutip hasil untuk call dan put Eropa.Untuk put option, dengan nilai , syarat akhir payoffnya adalah

.

( 3.13 )

Kami telah punya sebutan bahwa jika pernah nol maka ini harus tetap nol. Pada kasus ini payoff akhir untuk put diketahui dengan pasti menjadi . Untuk menentukan dihitung secara sederhana dengan nilai sekarang dari jumlah dan diterima pada waktu . Misalkan suku bunga tetap maka kondisi batas pada menjadi

(3.14)

Secara umum, suku bunga bergantung waktu kami punya:

dengan opsinya tidak seperti di pelaksanaan dan jadi

dengan

(3.15)

Technical Point: Syarat Batas pada Ketakhinggaan.

Kami lihat selanjutnya bahwa kami dapat mengubah (3.9) menjadi persamaan dengan koefisien konstan dengan perubahan variabel . Titik menjadi dan menjad i. Seperti yang kami lihat juga , analogi fisik untuk masalah finansial adalah aliran panas di batang yang tak terbatas. Jelas, resep suhu batang di tidak memiliki efek apapun pada nilai terbatas kecuali suhu sangat tinggi di sana. Jika suhu di tak terhingga adalah berperilaku baik maka suhu di setiap wilayah tehingga batangnya adalah sepenuhnya oleh data awal: tidak dapat dipengaruhi oleh ujung di tak terhingga. Karena sebagian besar masalah opsi dapat diubah menjadi persamaan difusi juga tidak benar-benar diperlukan untuk meresepkan kondisi batas di dan . Kami hanya perlu bersikeras bahwa nilai opsi tidak tunggal.

Kami bisa membedakan antara Resep keadaan batas pada urutan untuk membuat solusi yang tunggal,dan Menentukan solusi di lingkungan batas, barangkali untuk membantu atau memeriksa solusi numerik .Syarat batas (3.11) dan (3.12) berisi informasi lebih banyak dari yang diperlukan matematis sempurna (lihat Bagian 4.3.2). Namun demikian, mereka berguna dalam finansial: mereka memberitahu kami informasi lebih lanjut tentang perilaku opsi pada bagian khusus tertentu dari sumbu dan dapat digunakan untuk meningkatkan ketelitian metode numerik. Hal ini dapat menunjukkan bahwa ekspresi yang lebih akurat untuk perilaku sebagai adalah.

(3.16)

Ini merupakan perbaikan sederhana untuk (3.12) yang melaporkan harga pelaksanaan di diskonto. Sepanjang buku ini kami memberikan kondisi batas untuk menunjukkan perilaku lokal dari harga opsi.

3.8 Formula Black- Scholes untuk Opsi EropaDi sini kami mengutip solusi yang tepat dari masalah call option Eropa (3.9)-(3.12) ketika tingkat bunga dan volatilitas adalah konstan; Dalam bab 5 kami menunjukkan bagaimana untuk mendapatkan secara sistematis. Dalam Bab 6 kami mengehentikan kendala bahwa dan yang konstan dan menemukan formula yang lebih umum.Ketika konstan dan solusi yang tepat, dengan jelas untuk call Eropa adalah

(3.17)dimana adalah fungsi distribusi kumulatif untuk variabel random standar normal, diberikan dengan

Disini

Dan

Untuk put, yaitu (3.9), (3.13), (3.14) dan (3.15), solusinya adalah.

(3.18)

Ini sangat mudah untuk menunjukkan bahwa memenuhi keseimbangan put-call (3.2).

Delta untuk call Eropa adalah,

(3.19)

dan untuk put nya itu adalah

Yang terakhir ini mengikuti dari yang sebelumnya oleh keseimbangan put-call.

Turunan lainnya dari nilai opsi ( sehubungan dengan dan ) dapat digunakan sebagai peran penting dalam memagari nilai dan secara singkat dibahas di akhir bab ini .

Dalam Gambar 3.6 dan 3.7 kami menunjukkan plot dari call Eropa dan nilai put untuk beberapa kali sampai habis waktu. Perhatikan bagaimana kurva pendekatan payoff dengan .

Pada Gambar 3.8 kami menunjukkan delta call Eropa sebagai fungsi dari , lagi untuk beberapa kali sampai habis waktu. Delta ini selalu antara nol dan satu, dan pendekatan langkah fungsi seperti . Ingat bahwa penulis call option akan diminta untuk memberikan aset jika pada waktu berakhir, dan bukan sebaliknya. Jika ia mengikuti strategi lindung nilai delta, dengan portofolio , ia secara otomatis akan memegang jumlah yang benar (satu atau nol) dari aset pada waktu berakhir. Hal ini menjadi harapan, karena lindung nilai delta adalah strategi bebas risiko sampai waktu berakhir. Jika opsi berakhir pada uang masuk, aset yang dibutuhkan akan dibeli selama masa opsi, pertama dalam mendirikan lindung nilai awal, dan kedua dalam serangkaian transaksi perubahan. Biaya pembelian tersebut dan / atau penjualan dikurangi harga pelaksanaan , adalah persis seimbang dengan premi awal dan bunga bank. Sebaliknya, jika opsi berakhir uang keluar, lindung nilai awal secara bertahap dijual. (Hal ini juga harus dicatat bahwa jika nilai aset yang hampir habis waktua dalah ditutup ke , lindung nilai dapat berubah hampir dari nol sampai hampir satu setiap waktu. Ini canggung untuk penanganan dalam praktek, karena setiap transaksi menimbulkan biaya-biaya. Kami membahas biaya transaksi lebih lanjut dalam Bab 16. )

Persamaan (3.17) dan (3.18) untuk nilai-nilai call dan put Eropa yang menarik dalam memuat fungsi mereka untuk distribusi normal kumulatif . Dengan demikian nilai opsi terkait dengan fungsi kepadatan probabilitas untuk variabel random . Hal ini dapat ditunjukkan, dan kami mendiskusikan hal ini dalam Bab 5, bahwa nilai opsi memiliki interpretasi alamiah sebagai nilai diskon tertentu yang diharapkan dari hasil diakhir waktu. Hal ini menyebabkan subjek `valuasi risiko netral' pernyataan kesatuan, sebuah ungkapan yang dijelaskan di sana.3.9 Lindung Nilai (Hedging) dalam praktek Hedging adalah reduksi dari sensitifitas portofolio untuk pergerakan dari underlying aset dengan mengambil posisi sebaliknya dalam instrumen finansial berbeda. Dua keadaan ekstrim diperkenalkan diatas; di kedua keadaan sensitifitas dari portofolio berkurang hingga nol. Contoh pertama dalam demonstrsi dari kesamaan put-call untuk opsi eropa dan yang kedua dalam analisis Black-Scholes dengan delta hedging, ini, meskipun pada dasarnya strategi hedging berbeda. Terlebih dahulu melibatkan satu dari stransaksi dalam tiga produk (call, put dan underlying). portofolio yang dihasilkan kemudian dapat tinggalkan dengan return tanpa resiko. Terakhir, ini adalah strategi yang dinamis; delta hedge adalah hanya bebas resiko secara instan, dan membutuhkan penyeimbangan kembali secara kontinu dari pirtofolio dan rasio kepemilikan dalam aset dan hasil turunannya. Posisi delta hedge harus di pantau secarakontinu, dan dalam praktiknya dapat mengalami kerugian karena biaya transaksi di underlying.

Satu digunakan untuk hedging-delta adalah untuk penjual opsi yang juga ingin menutup posisinya. Jika penjual dapat memperoleh premi sedikit lebih tinggi atas nilai wajar untuk opsi maka dia bisa bertransaksi dalam underlying (atau kontrak berjangka pada underlying, karena ini biasanya lebih murah untuk perdagangan karena biaya transaksi lebih rendah) untuk mempertahankan posisi delta-netral hingga akhir masa. Karena dia menuntut lebih untuk opsi daripada secara teoritis seimbang dia membuat keuntungan bersih tanpa ada resiko dalam teori. Ini hanya kebijakan praktis untuk mereka yang memiliki akses kepasar dengan biaya transaksi rendah seperti pelaju pasar. Jika biaya traksaksi adalah signifikan maka rehedging sering di perlukan untuk mempertahankan posisi delta netral menjadikan kebijakan praktis. Akan di bahas lebih lanjut dalam bab 16.

Delta untuk sebuah portofolio lengkap adalah tingkat perubahan nilai portofolio terhadap perubahan di underlying aset. Tulis untuk nilai dari portofolio.

Kemudian ketika delta hedging diantara opsi dan modal, posisi yang disebut delta-hedging karena sensitifitas portofolio lindung nilai terhadap perubahan harga aset adalah secara instan nol. Untuk portofolio umum biaya dari posisi delta-nentral boleh memaksa posisi singkat dalam aset underlying. Hal ini perlu menjual dari aset yang mana tidak mendapatkan yang selayaknya jadi disebut short selling. Seorang pialang mungkin memerlukan margin untuk menutupi kerugian terhadap penjual jangka pendek, namun margin ini biasanya menerima tingkat bunga perbankan.

Disana ada beberapa strategi berdagang yang canggih daripada delta hedging, dan sekarang kami mengatakan hanya dasar. Dalam delta hedging komponen acak yang terbesar dari portofolio adalah penghapusan (eliminasi). Pertama dapat menjadi lebih halus dan urutan hedge sangat kecil berpengaruh urutan, misalnya, dengan kelengkungan(turunan kedua) dari nilai portofolio sehubungan dengan underlying aset. Ini memerlukan pengetahuan dari gamma portofolio,yang didefinisikan oleh,

Kekurangan dari nilai waktu dalam portofolio adalah diwakili oleh theta, diberikan berikut;

Terakhir, sensitifitas untuk keadaan terbang adalah selalu disebut vega dan diberikan berikut;

Dan sensitifitas untuk suku bunga disebut rho, dimana,

Hedging terhadap salah satu dari dependensi ini perlu menggunakan opsi lain serta aset itu sendiri. Dengan keseimbangan yang tepat dari underlying aset dan turunan lainnya. Hedger dapat menghilangkan ketergantungan jangka pendek portofolio pada pergerakan waktu harga aset volatilitas atau suku bunga. 3.10 Volatilitas TersiratKami punya usul dalam model diatas dan analisis itu cara untuk menggunakan Black-Scholes dan model lainnya adalah untuk mengambil perkiraan nilai parameter dari data terdahulu, subtitusi mereka kedalam formula (atau mungkin memecahkan sebuah persamaan numerik), dan juga mengambil nilai dari hasil derivatif. Ini bukan lagi penggunaan palling umum dari model opsi, setidaknya untuk opsi paling sederhana. Ini antara lain karena kesulitan dalam mengukur nilai volatilitas underlying aset. Meskipun asumsi kami berlawanan, ini tidak tampak menjadi kasus bahwa volatilitas adalah konstan untuk periode waktu jangka panjang. Selain itu, tidak jelas bahwa volatilitas terdahulu adalah independen dari kurun waktu yang di hitung, atau bahwa secara akurat memprediksi polatilitas di masa mendatang yang kami butuhkan, selama masa opsi.Sebuah pengukuran langsung dari volatilitas karena itu sulit dalam praktiknya. Namun, meskipun kesulitan ini jelas benar bahwa harga opsi di kutip di pasar. Hal ini menunjukkan bahwa, bahkan jika kita tidak tahu volatilitas, pasar tahu itu. Akibat formula Black-Scholes untuk call, untuk contoh, dan subtitusi dalam suku bunga, harga dari underlying aset, harga pelaksanaan dan pada akhir masa. Semua disana sangat mudah untuk ukuran dan salah satu kutipan secara konstan atau menetapkan bagian dari kontrak opsi. Semuayang tersisa adalah untuk menentukan volatilitas dan harga opsi berikut. Ketika semua harga opsi call naik monoton dengan volatilitas (ini mudah untuk menunjukkan rumus eksplisit dan, seperti yang telah disebutkan jalas secara finansial) disana ada korespondensi satu satu (one-to-one) diantara volatilitas dan harga opsi. Kemudian kami dapat mengambil harga opsi dalam pasar dan, bekerja kembali, kesimpulan pendapat pasar dari hasil untuk volatilitas selama sisa waktu opsi, volatilitas ini berasal dari harga di kutip untuk opsi tunggal, di sebut volatilitas tersirat. Ada cara yang lebih maju menghitung pandangan pasar volatilitas menggunakan lebih dari satu harga opsi. Secara khusus, menggunakan harga opsi untuk berbagai akhir masa yang bisa, pada prinsipnya menyimpulkan pendapat pasar tentang nilai nilai masa mendatang un tuk volatilitas nerlying (bentuk struktur volatilitas)

Satu ciri-ciri yang luar biasa dari volatilitas tersirat adalah bahwa volatilitas tersirat tidak muncul untuk menjadi konstan diharga pelaksanaan. Artinya, jika nilai underlyingnya, tingkat bunga dan waktu akhir masa adalah tetap, harga opsi di harga pelaksanaan harus mencerminkan nilai uniform untuk volatilitas. Dalam praktiknya hal ini tidak terjadi dan ini menekankan kelemahannya dalam beberapa bagian dari model. (juga, put dan call cendrung memberikan nilai volatilitas yang sedikit beda.) yang bagian modelnya tidak akurat adalah subyek dari banyak penelitian akademik. Kami menggambarkan pengaruh ini pada gambar (3.9) yang menunjukkan volatilitas sebagai fungsi dari harga pelaksanaan opsi menggunakan kata indeks FT-SE pada gambar 1.1. perhatikan bagaiman volatilitas opsi secara mendalam dalam uang lebih besar dari uang mereka. Kurva ini secara tradisional di sebut smile. , meskipun tergantung pada kondisi pasar mungkin miring seperti pada gambar 3.9 atau bahkan cemberut.

Tehnik pokok: volatilitas berdagang

Praktek volatitas tidak konstan, juga tidak dapat di prediksi untuk rentang waktu lebih dari beberapa bulan, ini tentunya, membatasi validitas dari setiap model yang mengasumsikan sebaliknya. Masalah ini dapat dikurangi dengan menetapkan harga opsi menggunakan volatilitas tersirat seperti penjeasan diatas. kemudian salah satu strategi berdagang adalah untuk menghitung nilai volatilitas dari harga semua opsi pada underlying yang sama dan tanggal akhir yang sama dan kemudian untuk membeli satu dengan volatilitas yang lebih rendah dan menjual satu dengan lebih tinggi. harapannya harga berpindah sehingga volatilitas menjadi lebih atau kurang sebanding dan portofolio memperoleh untung.

Model yang lebih canggih menggambarkan volatilitas sendiri seperti variabel acak memenuhi beberapapa persamaan differensial stokastik. Akibatnya dalam model dua faktor .jika volatilitas adalah acak maka ini tidak mungkin lagi untuk membangun hedge yang baik, ynag mana portofolio tumbuh dengan jumlah determinan, menggunakan aset sendiri. Namun, pada prinsipnya mungkin untuk menggunakan opsi lain, tetapi rincian terlalu rumit untuk masuk kesini.BAB 4 PERSAMAAN DIFFERENSIAL PARSIL

4.1 Pendahuluan

Model dari bab 3 berujung pada formulasi dari masalah penetapan harga untuk hasil turunan seperti persamaan differensial parsil. Kami sekarang memutuskan untuk mendiskusikan model finansial, bagian ini dan pada bab selanjutnya, sementara teori di belakang seperti persamaan differensial. Pada bab ini kami menggambarkan teori dasar dan syarat batas dan awal. Pada bab 5 kami menurunkan beberapa solusi eksplisit, termasuk rumus asli Black-Scholes. Kemudian, pada bab 7 akan dibahas secara detail masalah khusus yang timbul ketika ada batasbatas bebas. Bab ini adalah tentang keterangan keterangan penting ketika menimbang penilaian dari pilihan Amerika.

Belajar persamaan differensial parsil yang lengkap umumnya adalah suatu usaha yang besar. Untungnya, bagaimanapun, hampir semua persamaan differensial parsil ditemukan pada aplikasi finansial termasuk lebih banyak subset dikendalikan dari keseluruhan: orde kedua persamaan parabola linear. Secara teknik terminologinya adalah didiskusikan dibawah: lebih detailnya perlakuan dari tempat yang melebihi bidang teks yang diberikan pada beberapa referensi di akhir bab ini.

Kami mulai bab ini dengan mengulang orde kedua persamaan parabola linear: interpretasi fisiknya, sifat-sifat matematika dari solusinya, dan teknik untuk memperoleh solusi eksplisit ke pokok permasalahan. Kemudian, kami manfaatkan pengetahuan ini kemodel finansial untuk mendapatkan solusi eksplisit ke beberapa masalah nilai opsi,dan kami susun atur untuk metode numerik dari bab 8 dan 9.

Sebelum melakukan ini, terlebih dahulu, ini berguna untuk langkah sebelumnya dan mempertimbangkan pertanyaan terminologi umum kami boleh meminta ketika memisalkan persamaan differensial parsial. Dengan demikian pertanyaan biasanya dimasukkan beberapa atau semua seperti berikut:

Apakah pertanyaan membuat berguna secara matematik? Jika ini menjadi pemecah pada suatu bagian, apakah kita harus mengatakan solusi pada batas dari bagian di orde untuk mendapatkan masalah well-posed,

Apakah persamaan matematis masuk akal? Jika harus dipecahkan di suatu bagian, apa yang harus kami katakan tentang solusi pada batasnya untuk mendapatkan masalah well-posed, yaitu yang salah satu solusinya ada, tunggal, dan dalam beberapa hal, well-behaved? Demikian spesifikasi solusi pada batasnya disebut syarat batas atau, jika diterapkan pada nilai tertentu dari waktu, syarat awal atau syarat akhir. Istilah well-behaved yang digunakan di sini adalah biasanya diambil untuk menyiratkan bahwa solusi secara kontinu bergantung pada syarat awal dan batas, sehingga perubahan kecil dalam syarat ini tidak dapat menyebabkan perubahan besar dalam solusi itu sendiri. Di luar ini, kami juga ingin tahu apa sifat matematika solusi yang harus atau yang dapat dimiliki. Misalnya, apakah dijamin akan halus atau bisa memiliki diskontinuitas?

Dapatkah kita mengembangkan alat-alat analisis untuk memecahkan persamaannya? Solusi eksplisit berguna untuk menggambarkan perilaku umum dari persamaannya dan untuk aplikasi mereka dalam prakteknya. Kami mencatat, meskipun, banyak solusi eksplisit mungkin begitu rumit untuk bisa digunakan kurang praktis daripada pendekatan numerik yang dirancang dengan baik. Bagaimana kita harus memecahkan persamaan numerik, haruskah ini menjadi penting? Apa implikasi sifat matematis dari solusinya miliki metode numerik untuk kita pilih? Apakah ada formulasi alternatif, seperti perubahan variabel atau pernyataan yang lemah dari masalah (lihat Bab 7), yang mengarah ke lebih baik (lebih sederhana, lebih mudah disesuaikan, lebih akurat, lebih kuat, lebih cepat) skema numerik?

4.2 Persamaan Difusi

Persamaan panas atau difusi

(4.1)

telah dipelajari selama hampir dua abad sebagai model aliran (atau difusi) panas di media kontinu. Ini adalah salah satu yang paling sukses dan banyak digunakan model matematika terapan, dan teori yang cukup pada sifat dan solusi yang tersedia. Hal ini sering membantu sebagai panduan untuk intuisi untuk menghasilkan ingatan situasi fisik yang mengarah ke persamaan panas. Jadi, kami ingat bahwa persamaan (4.1) model difusi panas dalam satu dimensi ruang, di mana merupakan suhu dalam panjang, tipis, seragam bahan yang sisi-sisinya sempurna terisolasi sehingga suhu bervariasi hanya dengan jarak sepanjang batang dan, tentu saja, dengan waktu .

Kami mulai dengan daftar dari beberapa sifat dasar dari persamaan difusi.

Ini adalah persamaan linear. Artinya, jika dan adalah solusi, maka juga solusi untuk setiap konstanta dan . Ini adalah persamaan orde kedua, karena turunan orde tertinggi terjadi adalah yang kedua, dalam bentuk . Ini adalah persamaan parabola. Karakteristiknya yang diberikan oleh = konstan. (Istilah `parabola 'dan`karakteristik' dibahas lebih lanjut dalam Technical Titik 1 pada akhir bagian ini.) Jadi, informasi menjalar di sepanjang garis-garis ini di ruang , dan jika perubahan dibuat untuk pada titik tertentu, misalnya pada batas dari daerah solusi, efeknya dirasakan instan di tempat lain. Secara umum, solusinya adalah analisis fungsi dari . Ini berarti bahwa untuk setiap nilai lebih besar dari waktu awal, dianggap sebagai fungsi dari memiliki serangkaian kekuatan konvergen bentuk hal untuk setiap jauh dari batas-batas spasial. Untuk tujuan praktis, untuk kami dapat memikirkan solusi dari persamaan difusi sebagai spersamaan halus fungsi dari seperti yang kami rasa perlu, tapi ketidak kekontiuan dalam waktu dapat disebabkan oleh syarat batasnya. Ini adalah konsekuensi dari kenyataan bahwa informasi menyebar dengan kecepatan tak terhingga sepanjang karakteristik konstan.

Dari sudut pandang fisik, difusi adalah proses merapikan: panas mengalir dari panas ke dingin dan demikian meratakan perbedaan suhu. Sifat-sifat di atas menuju beberapa cara untuk menunjukkan bahwa solusi dari persamaan difusinya, yang merupakan model matematika dari proses fisik, memiliki kecenderungan yang sama. Mengantisipasi beberapa hasil dari Section 4.3, dapat ditunjukkan lebih lanjut bahwa meskipun nilai awal mungkin agak tidak teratur atau bergerigi, untuk setiap solusi dari masalah nilai awal

dengan data awal

Dan

seperti adalah analitik untuk semua . Kelancaran ini, yang merupakan karakteristik dari semua (maju) persamaan parabola linear, sangat membantu ketika datang ke solusi numerik. Sebuah ilustrasi dari semua hal ini adalah solusi khusus berikut, yang diturunkan dalam Bagian 5.2:

(4.2)

Untuk ini adalah kurva Gaussian mulus, tetapi pada itu adalah `sama ' ke fungsi delta (maka dinotasikan): .

Pada , hilang untuk , pada itu adalah `tak terbatas' , namun integralnya adalah 1. (Ini harus diartikan sebagai berikut: karena untuk semua, batas sebagai menuju nol dari atas dariintegral masih 1. Informasi lebih lanjut tentang fungsi delta diberikandi Technical Angka 2 di bawah ini.) Kami menunjukkan pada Gambar 4.1 untuk beberapanilai ; perhatikan bagaimana kurva menjadi lebih tinggi dan sempit sebagai mendapat lebih kecil .

Nilai awal fungsi delta untuk mengatakan bahwa semua panas pada awalnya terkonsentrasi pada . Fungsi model ini evolusi dari ideal hotspot , jumlah unit panas awalnya terkonsentrasi ke satu titik , dan ini disebut solusi fundamental dari persamaan difusi. Ini juga menggambarkan kecepatan propagasi tak terbatas yang disebutkan di atas. Pada , solusi (4.2) adalah nol untuk semua , tetapi untuk setiap , betapapun kecilnya, dan setiap , namun besar , ; panas awalnya terkonsentrasi pada segera berdifusi keluar ke semua nilai . Catatan , meskipun, yang jatuh dengan sangat cepat karena .

Akhirnya, perhatikan bahwa sisi kanan dari persamaan ( 4.2 ) hanya distribusi normal teori probabilitas , dengan rata-rata nol dan variansi .

Ini solusi dari persamaan difusi dapat diartikan sebagai fungsi kepadatan probabilitas dari posisi future dari partikel yang mengikuti konstan koefisien acak berjalan sepanjang sumbu . Fungsi delta kondisi awal hanya mengatakan bahwa partikel pada awalnya dikenal sebagai titik asal.

Teknis Titik 1: Karakteristik Persamaan Diferensial Parsil Linear Orde Kedua. Kami dapat memikirkan karakteristik persamaan linear orde kedua sebagai kurva sepanjang yang dapat menyebarkan informasi, atau sebagai kurva di mana diskontinuitas dalam turunan kedua dapat terjadi. Misalkan memenuhi persamaan linier orde kedua yang umum

.Idenya adalah untuk melihat apakah bentuk turunannya dapat ditulis dalam bentuk dari arah turunan, sehingga persamaannya adalah sebagian seperti persamaan diferensial biasa di sepanjang kurva dengan vektor ini sebagai garis singgung. Kurva ini adalah karakteristik. Jika kami menulisnya sebagai ,di mana adalah parameter sepanjang kurva, maka dan didapatkan

Lalu sekarang muncul pertanyaan apakah persamaan ini, dianggap sebagai kuadrat di ), memiliki dua akar real berbeda, dua akar real yang sama , atau tidak ada akar real sama sekali. Kasus-kasus ini sesuai dengan yang lebih besar dari nol, nol, atau kurang dari nol. Kasus pertama, dua keluarga real dari karakteristik, disebut hiperbolik, dan khas dari masalah gelombang propagasi. Ini tidak sering terjadi di bidang finansial . Kasus kedua, bentuk persegi sempurna, disebut parabola; persamaan difusi , yang , adalah contoh yang paling sederhana. Semua persamaan orde kedua dalam buku ini adalah parabola . Kasus terakhir, tanpa karakteristik nyata , adalah disebut berbentuk ellips, dan khas dari masalah steady-state seperti opsi abadi dalam model multi- faktor yang berada di luar cakupan buku ini .

Perhatikan bahwa definisi yang diberikan di sini adalah pointwise: hiperbolik / parabola / elips ditentukan pada setiap titik. Hal ini memungkinkan untuk sebuah persamaan mengubah jenis sebagai dan berbeda-beda, jika perubahan diskriminannya berubah tanda. Secara khusus, persamaan Black- Scholes ( di dan bukan dan ),

adalah parabola untuk ( itu sebenarnya hiperbolik di , di mana mengurangi ke persamaan diferensial biasa dengan karakteristik ) . Fakta ini memiliki implikasi finansial penting: garis adalah penghalang di mana informasi tidak bisa dilewati.

Teknis Titik 2 : Fungsi Delta dan Fungsi Heaviside.

Fungsi Delta Dirac, ditulis , sebenarnya bukan fungsi dalam arti kata normal, tetapi lebih merupakan `fungsi umum'. Untuk alasan teknis, definisi ini adalah sebagai peta linear, tapi itu kenyataannya dimotivasi oleh kebutuhan untuk deskripsi matematis dari batas fungsi yang efek terbatas pada interval yang lebih kecil dan lebih kecil, tetapi belum tetap terbatas.Anggaplah, misalnya, bahwa saya menerima uang pada tingkat dalam waktu dimana adalah sama dengan fungsi berikut :

Fungsi ini digambarkan dalam Gambar 4.2 untuk beberapa nilai . semakin kecil grafik menjadi lebih tinggi dan sempit. Jelas bahwa total payment

dan sama dengan 1 secara independen dari , tapi untuk semua seperti . Batas `fungsi' adalah nol untuk semua tidak nol, namun integralnya masih 1! Ini adalah cara informal mendefinisikan fungsi delta, : ini `limitnya' dari setiap keluarga satu-parameter dari fungsi dengan sifat sebagai berikut:

Untuk setiap adalah bagian halus;

: Untuk setiap .Seperti barisan fungsi yang disebut barisan delta. Fungsi di atas adalah salah satunya; yang lain, yang menggunakan sebagai variable independen dari , adalah

Dengan diganti dengan , ini adalah solusi fundamental persamaan difusi yang dibahas di atas. Hal ini mudah menegaskan bahwa fungsi terakhir memiliki integral 1, dan bahwa, seperti , untuk menuju ke nol seperti , sedangkan untuk nilainya meningkat tanpa batas. Melihat `pointwise' ini dari fungsi delta agak sulit untuk bekerja, karena fungsi menjadi semakin berperilaku buruk dekat asalnya ketika . Memang, batas `fungsinya' bukan fungsi normal sama sekali (ini adalah mengapa istilah `fungsi umum' digunakan). Sebaliknya, kita mengeksploitasi fakta bahwa integrasi yang halus perilaku buruk; integral dari setiap anggota barisan delta adalah well-behaved, menjadi sama dengan 1. Ide ini memotivasi definisi dari fungsi delta melalui tindakan integralnya: untuk setiap fungsi halus , disebut fungsi tes,

=

(Sebenarnya, ini mendefinisikan fungsi delta sebagai peta linear kontinu dari fungsi halus untuk bilangan real yang memiliki nilai, biasanya ditulis sebagai (.)Hal ini jelas bahwa untuk setiap ,

,

dan bahwa untuk setiap ,

,sehingga mengalikan dengan dan mengintegrasikan `memilih keluar' nilai dari ke . Kami juga memiliki

di mana adalah fungsi Heaviside, didefinisikan dengan

Sebaliknya,

Pasangan terakhir dari hubungan menunjukkan bahwa turunan dari suatu fungsi yang memiliki diskontinuitas jump memiliki fungsi komponen delta pada titik yang sama, dikalikan dengan besarnya jump. Fakta ini sering berguna dalam analisis persamaan diferensial dengan fungsi diskontinu atau koefisien. Kami memberikan contoh sederhana. Misalkan merupakan jumlah uang yang dimiliki oleh orang yang awalnya tidak punya uang, tetapi pada saat menerima jumlah . Kemudian, jelas,

dan juga memenuhi persamaan diferensial

Diskontinu di memberikan fungsi delta di pada . Sebaliknya, ketika kita melihat persamaan diferensial dengan fungsi delta di sisi kanan, harus ada fungsi delta yang sesuai di turunan orde tertinggi pada sisi kiri untuk menjaga keseimbangan. Hal ini pada gilirannya berarti bahwa turunan orde tertinggi berikutnya memiliki diskontinuitas jump besarnya sama dengan koefisien fungsi delta. Kondisi jump ini dapat digunakan untuk mengikuti bersama segmen kelancaran solusi di diskontinuitas. Fungsi delta dalam contoh seperti ini dapat dikalikan dengan fungsi kelancaran dari atau , tetapi perawatan harus diambil untuk menghindari produk seperti atau , untuk definisi yang masuk akal dapat dengan mudah diberikan.

4.3 Syarat Awal dan BatasKita sekarang mempertimbangkan apa syarat awal dan batas yang sesuai untuk solusi dari persamaan difusi, pertama di wilayah terbatas, maka salah satunya yang tak terbatas.

4.3.1 Masalah Nilai Awal pada Interval Terbatas

Misalkan kita ingin memecahkan dalam interval terbatas dan , aliran panas yang mewakili aliran panas dalam suatu batang dari panjang terbatas .Jelas kami harus menentukan suhu awal untuk . Dengan analogi aliran panas dalam pikiran, tampaknya masuk akal pada alasan fisik bahwa kita memiliki informasi yang cukup untuk menentukan tunggal jika kami menentukan salah satu suhu di ujung batang atau perubahan panas pada kedua ujungnya, tetapi tidak keduanya . Hal ini ternyata menjadi kasus; bahkan kedua pernyataan berikut dari masalah dapat ditunjukkan untuk menjadi sikap baik:

(i) dengan ,

;

(ii) ) dengan ,

.

Dalam kasus pertama itu adalah suhu dan dalam kasus kedua perubahan panas yang ditentukan pada dan .

4.3.2 Masalah Nilai Awal pada Interval Tak Terbatas Misalkan sekarang kita menganggap aliran panas di sebuah batang yang sangat panjang, dengan mengambil limit dalam contoh di atas. Ketika panjang batang tak terhingga, itu masih penting untuk mengatakan bagaimana berjalan pada jarak yang besar, tapi kami tidak harus tepat dalam spesifikasi kami di pada `batasan-batasan' karena kami dalam kasus terbatas. Ada beberapa kesulitan teknis di sini, terkait dengan gagasan tak terhingga, tapi berbicara secara kasar selama adalah tidak dibiarkan tumbuh terlalu cepat, solusinya ada, unggal, dan bergantung ecara kontinu pada data awal . Untuk lebih spesifik, solusi untuk masalah nilai awal

(4.3)

dengan

(4.4)

dimana

(i) adalah cukup well-behaaved,

(4.5)

(ii) untuk setiap ,

(4.6)

dan terakhir di mana

untuk setiap (4.7)

Diajukan baik. Definisi yang tepat dari kalimat cukup well-behaved di sini adalah di luar cakupan buku ini, tapi pasti setiap fungsi yang memiliki sesuatu yang tidak lebih buruk daripada jumlah terbatas dari diskontinuitas jump diterima. Kami juga mencatat bahwa meskipun perlu untuk menentukan perilaku di tak terhingga, dalam praktek keterbatasan di atas tidak terlalu parah. Semua masalah nilai awal dalam buku ini memenuhi syarat pertumbuhan yang cukup nyaman. Kita terkadang perlu mempertimbangkan masalah nilai awal yang didefinisikan pada interval semi-tak terbatas, misalnya dalam analisis opsi palang kereta api. Dalam hal ini kita membutuhkan suatu kombinasi dari dua himpunan dari syarat di atas. Jika, sebagai contoh, kami perlu menyelesaikan (4.3) untuk , , kemudian diberi data awal cukup halus untuk , nilai batas yang cukup halus pada , dan syarat pertumbuhan (4.6), (4.7) sebagai , masalahnya adalah well-posed.4.4 Maju vs Mundur (Forward versus Backward)

Seperti di atas kami telah membahas persamaan maju pada

dengan syarat yang diberikan pada . Pembaca mungkin bertanya, apa yang salah dengan persamaan

(dengan syarat awal dan batas yang sama)? Persamaan ini mungkin, misalnya, timbul jika dalam masalah ke maju kami telah diganti dengan untuk beberapa konstan , dimana menjadi . Ternyata bahwa masalah mundur ini ill-posed: untuk kebanyakan data awal dan batas solusi tidak ada sama sekali, dan bahkan jika tidak ada, kemungkinan untuk seperti memompa (misalnya, mungkin menuju ) dalam waktu yang terbatas. Sebuah contoh yang baik adalah solusi fundamental dari persamaan difusi (4.2). Pada waktu solusi ini sama dengan

Untuk yang halus dan well-behaved seperti yang kita harapkan. Jika kita menggunakan berfungsi ini sebagai data awal kami untuk persamaan (4.8), maka solusinya adalah

dan ini menjadi singular (memompa) di , ketika ini sama dengan fungsi delta . Selain itu, tidak dapat dilanjutkan di luar waktu ini (setidaknya, bukan sebagai 'fungsi normal`).Secara fisik perbedaan ini masuk akal. Jika model persamaan difusi evolusinya maju dari suhunya nilai awal, persamaan mundur menimbulkan pertanyaan menentukan suhu dari mana distribusi awal bisa berevolusi, ini jelas dari argumen waktu pembalikan atas. Karena difusi maju menghaluskan distribusi suhu bergerigi, difusi mundur membuat data awal halus menjadi lebih bergerigi. Cara lain untuk melihat ini untuk dicatat bahwa di bawah difusi maju panas mengalir dari panas ke dingin, sedangkan di bawah difusi mundur mengalir dari dingin ke panas, dan tempat yang panas menjadi lebih panas, menyebabkan blow-up. Namun demikian, beberapa sikap masalah untuk persamaan (4.8), khususnya masalah nilai akhir untuk persamaan difusi mundur well-posed. Dengan demikian, kami dapat memecahkan (4.8) untuk dengan diberikan. Hal ini mudah ditunjukkan dengan mengkonversi (4.8) ke masalah maju dengan mengganti dengan .

BAB 5 Rumus Black-Scholes5.1 PengantarPada bab ini kita menjelaskan beberapa teknik untuk memperoleh solusi analitis untuk persamaan difusi (penyebaran) dalam domain tetap, dimana batas-batas ruang (spatial) telah diketahui sebelumnya. Masalah batas bebas, yang mana batas-batas ruang (spatial) berbeda dengan waktu dalam suatu cara yang tidak diketahui, didiskusikan di bab 7. Kami lihat dalam satu metode khusus: kita bahas solusi persamaan secara rinci. Metode ini dapat menghasilkan informasi penting tentang masalah khusus dengan nilai awal dan batas khusus, dan ini sangat berguna untuk menentukan perilaku ditempat dalam ruang dan waktu. Ini juga berguna dalam hal masalah batas bebas, dan di Bab 7 kita lihat penerapan untuk perilaku local bebas batas untuk American call option near expiry (dekat ekpiry). Selain ini, meskipun kami bisa juga menggunakan teknik serupa untuk memperoleh fundamental dari persamaan penyebaran (diffusion), dan dari ini kami bisa menyimpulkan solusi umum untuk masalah nilai-awal pada interval takhingga. Ini nantinya akan mendorong ke rumus Black-Scholes untuk nilai European call dan opsi penjualan. Akhirnya, kami memperpanjang metodenya untuk beberapa opsi dengan lebih banyak hadiah umum (payoff), dan kami bahas metode penilaian resiko-netral (the risk-neutral valuation method).5.2 Solusi KesamaanIni mungkin terkadang terjadi bahwa solusi dari persamaan diferensial parsial, bersama dengan syarat awal dan batasnya, hanya bergantung pada satu kombinasi khusus dari dua variable bebas. Dalam kasus tersebut, masalahnya bisa direduksi ke persamaan diferensial biasa yang mana kombinasinya adalah variable bebas. Solusi untuk persamaan diferensial biasa ini disebut solusi kesamaan (similarity solution) untuk persamaan diferensial parsial asli. Alasan matematika untuk mengadakan reduksi ini adalah samar dan diluar cakupan buku ini, meskipun sudut pandang teknis pada akhir bagian ini, yang mana sepakat dengan mekanisme mencari solusi kesamaan.Contoh 1. Misalkan bahwa memenuhi masalah berikut pada interval semi-takhingg :

Dengan syarat awal

Dan suatu syarat batas pada ,

Kami juga menyaratkan bahwa

(5.4)

Model persamaan ini perkembangan suhu dalam panjang batang, dengan suhu awal pada nol, setelah suhu di salah satu ujung tiba-tiba dinaikkan menjadi 1 dan tertahan disana.Mengikuti saran argument di sudut pandang teknis (the TechnicalPoint) dibawah ini, kami mencari solusi yang mana bergantung hanya pada dan dengan kombinasi , sehingga . Diferensiasi ditunjukkan bahwa

Dan

Dimana . Substitusi kedalam persamaan (5.1) menunjukkan bahwa semua syarat yang melibatkan pada dirinya dapat dibatalkan, dan memenuhi persamaan diferensial biasa pada orde kedua

(5.5)Dari syarat awal dan batas (5.2)-(5.4),

(5.6)

(Kedua ini menggabungkan kedua (5.2) dan (5.4), karena dari diatas, .)Memisahkan variabelnya, kami peroleh

Untuk konstanta C. Memadukan,

Dimana D adalah konstanta lain. Menerapkan syarat batas (5.6), menuliskan , dan menggunakan hasil standar

Diperoleh

Sehingga,

Ini mudah untuk menunjukkan bahwa fungsi ini memenuhi pernyataan masalah (5.1)-(5.4), sehinggan solusinya memang bergantung hanya pada .

Contoh 2. Untuk contoh kedua kami, kami peroleh solusi fundamental , yang mana diperkenalkan di bab 4. Kami lagi mencari solusi persamaan penyebaran (diffusion) yang bergantung pada dengan kombinasi , tapi sekarang kami coba bentuknya

Mengalikan dengan adalah untuk memastikan bahwa adalah konstanta untuk semua , yamg mana bisa ditunjukkan dengan perhitungan langsung. Perhitungan serupa untuk contuh diatas menunjukkan bahwa memenuhi persamaan diferensial biasa

Solusi umumnya dari ini, diperoleh dengan mengintegrasikan dua kali, yang kedua dengan mengintegralkan factor , adalah

Untuk C dan D konstanta. Pilih dan normalisasi solusinya dengan mengatur , sehingga diperoleh solusi dasar

Terpehuni.Teknik solusi kesamaan jarang berhasil dalam memecahkan masalah nilai batas lengkap, karena ini menyaratkan seperti simetri special dalam persamaan dan syarat awal dan batasnya. Disisi lain, ini melengkapi kedalam dirinya di analisis local dalam ruang atau dalam waktu, untuk contoh isyarat awalnya dari bebas batas dalam masalah opsi American dan nilai opsi uang lama sebelum latihan, yang sulit untuk menyelesaikan secara numeric. Sudut Pandang Teknis (Technical Point):Kelompok Solusi non keragaman dan kesamaan (Group Invariances and similarity solutions)Kunci untuk solusi kesamaan diatas adalah kedua persamaan dan syarat awal dan batasnya beragam berdasarkan untuk setiap bilangan riil. Skala tersebut disebut transformasi kelompok satu-parameter (one parameter group). Keragaman ini mudah diverifikasi menggunakan variable baru , dimana mudah dilihat untuk memenuhi . Selanjutnya, di contoh 1, kondisi awal dan batasnya menjadi untuk setiap . Sekarang adalah kombinasi dari dan yang bebas dari , dan jadi solusinya harus menjadi fungsi dari . Persamaan ini sangat penting, syarat batas dan syarat awal semua harus berubah berdasarkan transformasi skala untuk metode kerja. Di contoh 2, fungsi dari , dalam kasus ini , mengalikan ada karena persamaan difusi, menjadi linier, ini juga berbeda dibawah kelompok satu-parameter . Sebuah tes praktis yang baik untuk solusi kesamaan adalah untuk mencoba dengan harapan bahwa dan akan tetap dalam persamaan yang hanya dalam kombinasi . Dalam contoh 1 diatas, hasil pengerjaannya adalah dari syarat batas pada dan dari persamaan difusi, ketika dicontoh 2, karena kami ingin integral dari selama bebas dari , dan .5.3. Masalah Nilai Awal untuk Persamaan DifusiSolusi fundamental dari persamaan difusi bisa digunakan untuk mendapatkan solusi yang jelas untuk masalah nilai awal (4.3)-(4.7), dimana kita harus memecahkan persamaan difusi untuk dan , dengan sebarang data awal dan syarat pertumbuhan yang sesuai pada . Kunci untuk solusinya adalah fakta bahwa kami bisa menulis data awal seperti

Dimana adalah fungsi Dirac delta. Kami ingat bahwa solusi fundamental dari persamaan difusi,

Mempunyai nilai awal

Sekarang catat bahwa karena ,

Adalah solusi persamaan difusi menggunakan salah satu atau sebagai variable bebas spatial, dan nilai awalnya adalah

Jadi, untuk setiap , fungsinya

dianggap sebagai fungsi dari dan dengan tetap, memenuhi persamaan difusi , dan mempunyai data awal . Karena persamaan difusinya adalah linier, bisa ditempatkan solusi pada bentuk ini. Lakukan untuk semua dengan mengintegrasikan dari ke , didapatkan solusi lebih lanjut dari persamaan difusi,

Yang mempunyai data awal

Oleh karena itu, ini adalah solusi eksplisit dari masalah nilai awal (4.3)-(4.7). Hal ini dapat ditunjukkan (Latihan 1 dari Bab 4) bahwa solusi ini adalah tunggal. Penurunan diatas bukanlah satu-satunya cara untuk menemukan itu: Transformasi Fourier adalah sebuah alternatif, tapi kami tidak menjelaskan di sini (lihat salah satu buku dimaksud dalam Bab 4 untuk perlakuan).Solusi (5.7) dapat diartikan secara fisik sebagai berikut. Ingat bahwa solusi dasar persamaan fundamental menggambarkan menyebar dari unit `paket' panas, pada , adalah semua terpusat pada titik asal. Secara matematis,`paket ' ini diwakili oleh fungsi delta. Sekarang bayangkan distribusi suhu awal sebagai pembagian dari banyaknya paket kecil, paketnya pada memiliki besar . Masing-masing perubahan ini untuk memberikan Distribusi suhu sama dengan solusi fundamental, dikali dengan dan dengan diganti dengan . Karena persamaan difusinya adalah linier, kami memperoleh distribusi suhu keseluruhan dengan mensuperposisikan (menambahkan) perkembangan paket individu ini, dalam batas tersebut, jumlah ini digantikan dengan integral (5.7).5.4 Turunan Rumus Black-Scholes

Persamaan Black-Scholes dan syarat batas untuk European Call dengan nilai , sepertti dijelaskan di bagian 3.5 dan 3.6,

Dengan

Dan

Persamaan (5.8) terlihat sedikit seperti persamaan difusi, tetapi memiliki bentuk yang lebih, dan setiap kali terdiferensiasi terhadap hal ini dikali dengan , memberikan koefisien nonkonstan. Juga persamaannya jelas dalam bentuk mundur, dengan data akhir diberikan pada .Hal pertama yang harus dilakukan adalah menyingkirkan keanehan dan istilah mengalikan dan . Pada saat yang sama ambil kesempatan untuk membuat persamaannya berdimensi (dimensionless), sebagaimana didefinisikan dalam Titik Teknis di bawah ini, dan ubah menjadi persamaan maju. Kami menetapkan

Hasilnya dalam persamaan

Dengan . syarat awalnya menjadi

Perhatikan khususnya bahwa persamaan ini hanya berisi satu parameter yang berdimensi, meskipun ada empat dimensi parameter, , dan r, di pernyataan asli dari permasalahannya. Terdapat fakta lainnya, , waktu berdimensinya dapat akhir masa, dan keduanya adalah satu-satunya parameter yang benar-benar independen dalam permasalahannya; dampak dari semua faktor lainnya hanya dibuat dengan cara membalik transformasi di atas, yaitu dengan perhitungan aritmatika sederhana.Persamaan (5.10) sekarang terlihat jauh lebih seperti persamaan difusi, dan kami bisa mengubahnya menjadi satu dengan perubahan sederhana dari variabel. Jika kami mencoba menempatkan

untuk beberapa konstanta dan , maka turunan diberikan

Diperoleh suatu persamaan dengan tanpa istilah dengan memilih

Sementara pilih

eliminasi . Persamaan untuk dan diperoleh

Lalu dipunyai

Dimana

Dengan

Hal ini mungkin tampak seperti cara panjang untuk perjalanan dari rumusan aslinya,tapi kami telah mencapai payoff tersebut. Solusi untuk masalah persamaan difusi adalah hanya yang diberikan dalam persamaan (5.7):

Dimana diberikan oleh (5.11).Masih mengevaluasi integral (5.12). Hal ini mudah untuk membuat perubahan variable , sehingga

Evaluasi dengan melengkapi kuadratnya di eksponen untuk mendapatkan integral standar :

Dimana

Dan

Adalah fungsi distribusi kumulatif untuk distribusi normal.

Perhitungan identik dengan , kecuali diganti dengan .

Terakhir, telusuri kembali langkah-langkah kami, tulis

Dan ambil Untuk memperoleh kembali

dimana

Perhitungan yang sesuai untuk opsi put Eropa mengikuti cara serupa. Perubahan payoffnya adalah

Dan bisa diproses seperti diatas. Bagaimanapun, evaluasi call-nya, jalan yang lebih sederhana adalah menggunakan rumus persamaan put-call

untuk nilai dari menempatkan nilai call-nya. Hasilnya

Dimana digunakan identitas Delta dari opsi put dan call dihitung dengan turunan :

Untuk call,

karena perhitungan agak menyakitkan menunjukkan bahwa (bagi kedua sisi dengan Maka, delta untuk put-nya adalah

Gunakan persamaan put-call. Kuantitasnya vital jika posisi opsi adalah harus dilindungi nilai dengan benar.

5.5 Opsi BinerMeskipun hanya dibahas vanilla call dan vanilla put vanilla pada bagian sebelumnya, itu hanya pada tahap yang terakhir yang perlu tahu opsi mana yang di hadapi. Fungsi di persamaan (5.7) dapat dengan jelas menjadi payoff untuk setiap kombinasi Opsi: linearitas dari persamaan Black-Scholes menjamin bahwa kita bisa nilai portofolio opsi oleh superposisi. Dengan cara ini, kami dapat menilai kombinasi seperti melintasi, mencekik dan sebagainya. Selain itu, payoffnya tidak perlu kombinasi terbatas dari call dan put: kami dapat mempertimbangkan fungsi dari yang kami inginkan. Opsi dengan payoff yang lebih umum daripada vanilla call vanilla dan put dikenal sebagai opsi biner atau opsi digital.Misalkan payoff pada waktu adalah , dan nilai opsinya adalah , jadi . Pertama kerjakan fungsi memasangkan ke setelah transformasi yang digunakan diatas. Jadi dan , dimana mempunyai arti sebelumnya. Dari payoff nya, . Maka dari persamaan (5.7) diperoleh rumus untuk , mengurai perubahan variabel dengan rumus eksplisit.

Untuk . Formula ini jelas termasuk vanilla call dan put sebagai kasus-kasus tertentu. Delta diberikan oleh turunan dari (5.16) terhadap . Dalam menurunkan (5.16), kami telah mengasumsikan bahwa dan adalah konstan dan bahwa yang mendasari tidak membayar dividen. Dimasukkannya istilah dividen tidaklah sulit, dan jika atau adalah fungsi yang diketahui dari maka metode yang dijelaskan dalam Bab 6 dapat diterapkan untuk mendapatkan formula yang tepat.Salah satu opsi biner khusus telah disebutkan: uang tunai atau tidak sama sekali call, payoffnya adalah

Opsi ini dapat diartikan sebagai taruhan sederhana pada harga aset; jika saat akhir masa hasilnya adalah dan sebaliknya itu adalah nol. (Lebih sering, meskipun, itu ditemukan sebagai bagian dari `atas pembentukan 'dengan kondisi yang memungkinkan untuk pembayaran tetap dilakukan jika aset di atas suatu harga tertentu pada tanggal tertentu.) Nilainya adalah

Dimana seperti diatas. Opsi biner lainnya, terkadang diketahui sebagai supershare, mempunyai payoff jika pada akhir masa dan nol lainnya:

(di limit payoffnnya menjadi fungsi delta).

Meskipun opsi ini mudah untuk nilai menggunakan (5.16) mereka dapat menimbulkan masalah dalam lindung nilai mendekati waktu akhir masa, yang disebabkan oleh diskontinuitas dalam fungsi payoff. Perhatikan, misalnya, kesulitan yang berhubungan dengan lindung nilai uang tunai atau tidak ada call dengan payoff . Dengan menurunkan terhadap kami melihat bahwa sebagai delta dari opsi mendekati fungsi . Jauh dari fungsi ini adalah nol, dan karena itu dekat dengan akhir masa, kami berharap bahwa kami tidak harus untuk lindung nilai opsi. Namun, jika dekat dekatakhir masa ada kemungkinan tinggi bahwa harga aset akan melewati nilai , mungkin berkali-kali, sebelum akhir masa. Setiap kali nilai ini melintasi delta hampir nol sampai sangat besar dan kembali ke hampir nol . Model Black- Scholes berasumsi bahwa opsinyaadalah kontinu di lindung nilai dengan sejumlah aset sama dengan delta; hal ini jelas tidak praktis jika, pada satu saat, portofolio tidak mengandung aset, kemudian rehedged mengandung sejumlah besar aset hanya untuk posisi tersebut akan dilikuidasi tak lama kemudian. Namun, jika rehedging ini tidak dilakukan, maka payoffnya pada akhir masa salah satunya nol atau B, dan tidak dapat diketahui secara pasti. "Oleh karena itu terbuka untuk mempertanyakan apakah opsi dengan payoff diskontinu dapat dinilai sesuai dengan formula Black- Scholes sederhana (5,16).5.6 Netralitas Resiko (Risk Neutrality)Sebuah pandangan yang agak berbeda dari opsi penilaian dari yang disajikan di atas adalah pendekatan risiko-netral. Ini berasal dari pengamatan bahwa tingkat pertumbuhan tidak muncul dalam persamaan Black- Scholes (3.9). Oleh karena itu, meskipun nilai opsi tergantung pada deviasi standar dari harga aset, itu tidak tergantung pada laju pertumbuhan. Memang, berbeda investor mungkin memiliki perkiraan yang sangat beragam dari tingkat pertumbuhan saham namun masih menyepakati nilai opsi. Selain itu, preferensi risiko investor tidak relevan: karena risiko yang melekat pada opsi semua dapat lindung nilai, tidak ada return harus dibuat dan diatas return bebas risiko. Apakah untuk vanilla option atau produk lainnya, umumnya terjadi bahwa jika portofolio dapat dibangun dengan produk derivatif dan aset dasar sedemikian rupa bahwa komponen acak bisa dihilangkan-seperti yang terjadi di derivasi kami persamaan Black-Scholes dalam Bab 3-maka produk derivatif dapat dinilai seolah-olah semua random walk yang terlibat adalah risiko-netral. Ini berarti bahwa istilah hanyut dalam persamaan diferensial stokastik untuk return aset (untuk model ekuitas kami, ) digantikan oleh dimanapun muncul. Opsi ini kemudian dinilai dengan menghitung nilai sekarang dari return yang diharapkan pada akhir masa dengan modifikasi ini berjalan acak. Proses ini bekerja sebagai berikut .Kami mulai dengan mengingat bahwa nilai sekarang dari setiap jumlah pada waktu adalah jumlah diskon dengan mengalikan dengan . Kemudian, kami mendirikan dunia risiko netral: kami berpura-pura bahwa berjalan acak untuk return punya menyimpang bukan . Dari sini, kami dapat menghitung fungsi kepadatan peluang nilai-nilai masa mendatang : kami menggunakan persamaan (2.10) dengan diganti dengan . Hal yang paling penting untuk menyadari bahwa fungsi kepadatan peluang baru yang tidak dari . Selanjutnya, kami menghitung nilai yang diharapkan dari payoff menggunakan fungsi kepadatan peluang ini. Artinya, kami kalikan dengan fungsi kepadatan peluang risiko-netral dan mengintegrasikan seluruh nilai di masa depan dari aset, dari nol hingga tak terbatas. Akhirnya, kami diskon untuk mendapatkan nilai sekarang dari opsi. Rumus yang dihasilkan, seperti sebelumnya,

Pernyataan ini dapat ditunjukkan dengan diferensiasi langsung memenuhi persamaan (3.9). Ketika payoffnya sederhana, dapat diintegrasikan secara jelas untuk memberikan rumus Black-Scholes untuk (misalnya) opsi call Eropa.Ide mengganti dengan sangat elegan. Memang, bagaimanapun, memiliki beberapa kelemahan utama. Pertama, mengharuskan kita untuk mengetahui fungsi kepadatan peluang dari nilai aset di masa depan (dengan asumsi risiko-netral). Hal ini cukup mudah untuk konstan-koefisien random walk kami, tetapi jika kami ingin menggunakan model yang lebih rumit, kami harus terlebih dahulu mencari distribusi sebelum mengintegrasikan untuk menghitung return yang diharapkan. Seringkali, perhitungan fungsi kepadatan peluang melibatkan memecahkan persamaan diferensial parsial setara dengan yang dipenuhi oleh opsi, dan integrasi berikutnya harus pada umumnya dilakukan secara numerik juga. Hal ini biasanya lebih cepat untuk memecahkan persamaan harga opsi langsung. Selain itu, ketika kami datang ke Opsi eksotis atau opsi Amerika, jauh lebih sulit untuk melihat bagaimana menerapkan pendekatan risiko-netral, sementara (seperti yang kami tunjukkan) pendekatan langsung melalui persamaan diferensial parsial untuk opsi dapat diperluas dalam cara yang jelas.Kelemahan selanjutnya adalah bahwa netralitas risiko dapat menyebabkan kebingungan. Misalnya, kadang-kadang dikatakan bahwa "Hal ini dapat ditunjukkan bahwa ," atau bahwa "Delta dari opsi adalah peluang bahwa hal itu akan berakhir dalam uang." Kedua pernyataan ini salah. Jika pernyataan pertama yang benar maka semua aset akan mendapatkan return yang diharapkan sama dengan deposito bank dan tidak ada yang akan berinvestasi di pasar saham (lihat Titik Teknis risiko dalam Bab 2). Jika adalah sama dengan maka pernyataan kedua akan benar. Probabilitas bahwa pada dapat ditemukan dengan menghitung nilai yang diharapkan dari . Ini harus melibatkan parameter . Akhirnya, risiko-netralitas jauh dari mudah dipahami secara intuitif, yang mungkin merupakan sumber kebingungan di atas. Langkah-langkah kunci dalam turunan dari persamaan Black-Scholes, yaitu tidak ada arbitrase dan portofolio bebas risiko mendapatkan tingkat bebas risiko, secara intuitif jelas.Bab 6. Variasi pada model Black-Scholes6.1 Pendahuluan

Kami sekarang telah menyelesaikan analisis Black-Scholes dari opsi call dan put vanilla Europian. Meskipun formula yang telah kita turunkan berguna ada banyak situasi yang lebih rumit dimana mereka tidk memadai. Bab ini di khususkan untuk sejumlah ekstensi langsung dari analisis Black-Scholes. Kami melihat bagaimana untuk memasukkan dividen, bagaimana menghadapi kontrak maju dan kedepan, dan bagaimana untuk menempatkan parameter waktu bervariasi kedalam persamaan Black-Scholes, tetapi kami masih menggunakan call dan put straighforward sebagai blok bangunan. Kemudian bab berurusan dengan opsi Amerika dan opsi Eksotis yang mempunyai struktur kontrak yang lebih kompleks.

Ada satu kemungkinan arah generalisasi yang tidak kami bahas di buku ini: kami berasumsi bahwa semua model kami di dorong oleh proses stokastikdari jenis yang telah dibahas sebelumnya. Kami tidak menggunakan model itu, misalnya, mendalilkan beberapa hal nonlinear di underlying market, seperti yang mungkin di kaitkan dengan umpan balik dari pasar derivatif dalam harga aset. Meskipun ada beberapa bukti bahwa pasar itu tidak dekat dengan model sepeti yang kami inginkan, dunia Black-Scholes adalah pendekatan yang cukup baik untuk sebagian besar tujuanbaik teoritis maupun praktis.

6.2 Opsi pada pembayaran Aktiva Dividen6.2.1 Struktur Dividen

Banyak aset, seperti saham,membayar dividen. Ini adalah pembayaran kepada pemegang saham dari keuntungan yang dibuat oleh perusahaan yang bersangkutan, dan kemungkinan aliran dividen masa depan sebuah perusahaan tercermin dari harga saham saat ini. Harga opsi pada underlying asset yang membayar dividen dipengaruhi oleh pembayaran, jadi kami harus memodifikasi analisis Black-Scholes.

Ketika kami membayar dividen aset, kami perlu menganggap dua: Kpan, dan seberapa sering, pembayaran dividen dilakukan ?

Berapa besar pembayarannya?

Ada beberapa kemungkinan struktur yang berbeda dalam pembayaran dividen. Perusahaan individu biasanya membuat dua atau empat pembayaran per tahun, yang mungkin perlu diperlakukan secara disktit, tetapi besarnya jumlah pembayaran deviden pada indeks seperti adalah sering bahwa ini mungkin terbaik sehubungan mereka seperti pembayaran kontinu dan bukan seperti rangkaian pembayaran diskrit. Contoh lain dimana dividen dapat dimodelkan sebagai kontinu adalah ketika aset tersebut mata uang asing, dalam hal ini dividen merupakan pembayaran pada suku bunga asing (kami asumsikan untuk saat ini adalah konstan).Jumlah pembayaran seperti dividen mungkin di modelkan seperti salah satu deterministik atau stokastik. Di buku ini kami memisalkan hanya dividen deterministik, yang jumlah dan waktunya diketahui pada awal opsi hidup. Ini adalah asumsi yang layak, karena banyak perusahaan berusaha keras untuk mempertahankan polis dividen yang sama dari tahun ke tahun.

6.2.2 Hasil Dividen Konstan (A Constant Dividend Yield)Misal kami menganggap struktur pembayaran yang sangat sederhana. Misalkan dalam Waktu aset yang mendasari membayarkan dividen

dimana adalah konstan. Pembayaran ini bebas dari waktu kecuali bergantung pada . Dividend yield didefinisikan sebagai proporsi harga aset dibayarkan per satuan waktu dengan cara membeli saham emiten yang memberidividend yieldtinggi dan rutin setiap tahun. Dengan demikian dividen merupakan dividend yield yang konstan dan dividend yield kontinu. Struktur dividen ini adalah model yang baik untuk opsi indeks dan untuk opsi mata uang jangka pendek( ini belum pasti apakah (2.1) adalah model yang baik untuk mata uang jangka panjang ). Dalam kasus terakhir , yang suku bunga asing.Pertama, kami memisalkan pengaruh dari pembayaran dividen pada harga aset. Pertimbangan Arbitrasi menunjukkan bahwa dalam setiap langkah waktu , harga aset harus jatuh dengan jumlah pembayaran dividen, lakukan , ini menambah fluktuasi biasa. Ini mengakibatkan bahwa random walk untuk harga aset (2.1) yang dimodifikasi sebagai berikiut :

(6.1)

Dari persamaan Black-Scholes tidak dipengaruhi oleh koefisien dalam persamaan diferensial stokastik untuk jadi salah satu kemungkinan berharap bahwa dividen tidak berpengaruh pada harga opsi. Ini tidak terjadi karena efek dari pembayaran dividen pada harga aset tetapi tidak terhadap pada nilai portofolio . Karena kami menerima untuk setiap aset yang dimiliki dan karena kami mempunyai dari underlying, perubahan portofolio kami dengan jumlah yang

(6.2)

Yaitu dividen aset yang kami terima. Dengan demikian, kami harus menambahkan (6.2) untuk mencari adalah sebagai beriut :

Ini merupakan hasil dari analisis sebelumnya, tetapi ada penambahan-penambahan sebagai berikut :

(6.3)

Untuk opsi call dengan syarat akhir , dan syarat batasnya pada tetap sebagaimaka sebagai berikut :

dengan (6.4)

Ini karena dalam batas , opsinya menjadi ekuivalen ke aset nya tetapi tanpa pendapatan dividennya.

Kami bisa menghitung nilai opsi ini dengan cara yang sama seperti yang kami lakukan tanpa dividen: yaitu, mengurangi persamaan (6.3) ke persamaan difusi dan menyeleaikan ini dengan cara biasa. Meskipun, ini lebih cepat untuk memberitahu bahwa kami bisa membuat koefisiennya dari dan di (6.3) adalah sebagai berikut :

Kami melihat bahwa memenuhi persamaan dasar Black-Scholes (3.9) dengan digantikan oleh dan dengan nilai akhir yang sama. Oleh karena itu, nilai adalah European call normal dengan tingkat bunga , dan sekarang mudah untuk menunjukkan bahwa dengan dividen, nilai dari European call option adalah

Dimana

(Dengan alternatif, kami dapat menggunakan variable ; nilai callnya adalah nilai Black-Scholes biasa dengan digantikan dengan ).Pada Gambar 6.1 kami melihat nilai opsi European call sebagai fungsi dari dengan enam bulan untuk akhir masa, dan ; kurva teratas adalah nilai opsi tanpa adanya dividen, dan kurva yang lebih rendah yang ditebalkan memiliki dividen yield konstan dan kontinu . 6.2.3 Pembayaran Dividen Diskrit

Misalkan kami membayar asset hanya satu dividen selama masa opsi, pada saat . Seperti diatas, kami akan mempertimbangkan kasus di mana dividend yield untuk yang mana dividen yield diketahui suatu konstan (antara; biasanya ini beberapa persen paling banyak). Dengan demikian, pada saat , pemegang aset menerima pembayaran, di mana adalah harga aset sebelum pembayaran dividen.Pertama, untuk mempertimbangkan dampak dari pembayaran dividen pada harga aset. Nilai ini sebelum tanggal dividen, pada saat tidak sama nilainya setelah, membeli aset sebelum. Jika ini dikerjakan strategi dari membeli asetnya segera sebelum , mengumpulkan dividennya, dan menjual langsung, akan menghasilkan keuntungan bebas dari risiko. Hal ini jelas bahwa, dengan tidak adanya faktor-faktor lain seperti pajak, harga aset harus jatuh persis dari jumlah pembayaran dividen. Dengan demikian,

(6.5) Kami sekarang mempunyai untuk memasukkan jump ini kedalam model kami untuk opsi.

6.2.4 Kondisi Jump saat Dividen Diskrit

Kami baru saja melihat bahwa pembayaran dividen diskrit pasti menghasilkan lonjakan nilai underlying asset di seluruh tanggal dividend. Tugas kami berikutnya adalah untuk menentukan apa efek jump pada harga opsi. Hal ini membawa kami pada subjek dari kondisi jump.

Kondisi Jump muncul ketika ada perubahan diskontinu di salah satu variabel independen yang mempengaruhi nilai keamanan derivatif. Di sini, penyebab jump adalah perubahan diskontinu dalam harga aset karena pembayaran dividen diskrit, tapi kemudian kami akan menghadapi penyebab lain terkait dengan opsi eksotik. Kondisi Jumpnya terkait nilai-nilai opsi di seluruh jump, dalam hal ini berkaitan dengan nilai-nilai opsi sebelum dan sesudah tanggal dividen.

Kondisi Jump mungkin diturunkann dalam dua cara yang ekuivalen. Salah satu metode adalah melalui argumen keuangan, dan berdasarkan pada pertimbangan arbitrase. Cara lainnya adalah dengan menggunakan metode matematika murni, berdasarkan manipulasi fungsi delta dan persamaan diferensial parsial orde pertama hiperbola.

Jauh dari tanggal dividen nilai opsinya bervariasi karena gerakanan acak dari harga aset; variasi ini secara bertahap dalam waktu, karena pergerakan harga asetnya adalah kontinu dalam waktu (meskipun random). Di tanggal dividen, namun nilai asetnya berubah secara diskontinu. Perubahan dalam harga aset ini diberikan oleh (6.5).Sekarang perhatikan efek dari perubahan ini diskontinu dalam nilai aset , pada opsi, dengan nilai , bergantung pada aset tersebut. Untuk menghilangkan jenis yang sama dari kemungkinan arbitrase seperti yang di perkirakan di atas, nilai opsinya harus kontinu sebagai fungsi waktu di seluruh tanggal dividen; nilai opsinya adalah sama segera sebelum tanggal dividen seperti segera setelah itu (ingat bahwa pemegang opsi tidek menerima dividen). Dengan demikian kondisi jump adalah

(6.6)

Kondisi jump ini muncul dari menghilangkan kemungkinan arbitrase untuk setiap realisasi tertentu dari nilai aset dan opsi. Artinya, nilai opsi harus kontinu dalam waktu untuk setiap realisasi aset random walk. Kami baru saja menegaskan bahwa harga opsi adalah kontinu dalam waktu, namun kami telah menyebut ini suatu kondisi jump yang menyatakan diskontinu. Bagaimana kita dapat menyelaraskan pernyataan ini?

Dalam buku ini kami menganalisis model opsi menggunakan persamaan diferensial parsial dengan dan sebagai variabel independent. Kami melakukan ini bukan memikirkan sebagai fungsi dari , sebagaimana tersirat dalam (6.6), karena kami harus mampu untuk memperkirakan semua kemungkinan realisasi dari aset random walk. Dengan mengingat hal ini, sekarang memperkirakan apa yang terjadi pada nilai opsi di seluruh tanggal deviden dalam model Black-Schole. Karena kami menganggap dan sebagai variabel independen dalam formulasi seperti itu, ini akan terlihat sekilas bahwa pertanyaan ini dapat di ungkapkan seperti

Bagaimanakah perubahan diseluruh tanggal dividen untuk tetap?Sebenarnya,dalam realisasis apa pun tidak akan tetap di seluruh tanggal dividen. Pertanyaan yang baru saja kami ajukan tidak cukup tepat untuk masalah tersebut, dan lebih baik untuk bertanya. Bagaimanakah perubahan sebagai fungsi dari diseluruh tanggal dividen?

Jawabannya adalah bahwa perubahan diskontinu berdasarkan (6.6) dan terkait dengan (6.5). Artinya, kami memiliki

(6.7)

Ini mengatakan bahwa nilai opsi pada nilai aset sebelum pembayaran dividen adalah sama dengan nilai opsi setelah pembayaran dividen, tetapi pada nilai aset . Jadi, untuk tetap nilai opsinya berubah secara kontinu di seluruh tanggal dividend. Namun, (6.7) adalah setara dengan nilai opsi adalah kontinu dalam waktu untuk setiap realisasi dari aset random walk.

Memang benaar bahwa pemegang opsi tidak menerima manfaat apa pundari pembayaran dividen, sehingga harga opsi harus mencerminkan manfaat yang hilang ini. Fakta bahwa harga opsi adalah kontinu untuk setiap realisasi aset random walk, meskipun nilai aset tidak, tidak berarti bahwa nilai opsi tidak dipengaruhi oleh pembayaran dividen. Pengaruh kondisi jump (6.6) dirasakan selama masa opsi, disebarkan oleh persamaan diferensial parsial yang mengatur nilainya.

Akhirnya, perhatikan bahwa delta opsi berubah diseluruh tanggal deviden. Suatu penyesuaian yang terkait harus dibuat untuk setiap portofolio yang di lindung nilai.

6.2.5 Call Option dengan Satu Pembayaran Dividen

Misalkan kami sekarang menilai European call dengan satu kali pembayaran dividen, seperti dia atas. Ingat bagaimana kami mengatasi jika tidak adanya dividen: karena persamaan Black-Scholes adalah parabola mundur, kami bekerja mundur dari akhir masa, ketika kami tahu nilainya dengan pasti. Bila dividen dibayarkan sehingga diuraikan sebagai berikut : Memecahkan persamaan Black- Scholes kembali dari akhir sampai setelah tanggal dividend (sampai ) Menerapkan kondisi jump ( 6.7 ) di , untuk menemukan nilai-nilai pada ; Memecahkan persamaan Black- Scholes mundur dari menggunakan nilai-nilai sebagai data akhir.Akibatnya, kami memecahkan persamaan Black- Scholes dua kali, sekali untuk , dan untuk ( masa sekarang ). Nilai-nilai pada dihubungkan dengan persamaan ( 6.7 ). Sebuah struktur yang sangat mirip muncul ketika kami menilai opsi eksotik tertentu.

Misalkan untuk nilai call option (dalam pembahasan di atas ,

EMBED Equation.3 dapat mewakili setiap hasil turunan pembayaran dividen). Misalkan juga untuk nilai vanilla European call option dengan harga pelaksanaan (parameter lain , , dan telah dimengerti). Untuk waktu setelah tanggal dividennya, opsinya identik ke vanilla call: tidak ada lagi dividen yang akan dibayarkan. Jadi,

untuk

Kami menggunakan (6.7) :

(6.8)

Pada titik ini, kami bisa menggunakan rumus (5.14) untuk solusi dari persamaan Black-Scholes. Namun, terdapat jalan pintas. Opsi call di (6.8) di evaluasi tidak di , tetapi pada : skala uniform dari oleh . Skala uniform jenis ini persamaan Black-Scholes invariant, dan adalah solusi, yang mana sama dengan nilai opsi pada , dan karenanya untuk semua waktu sebelum .Ini hanya untuk mengidentifikasi pada akhir masa, hasil turunan ini memiliki nilai :

Oleh karena itu, ini sama seperti call dengan harga pelaksanaan untuk waktu sebelum , callnya mempunyai nilai:

Catatan: bahwa efek dividen ini adalah untuk menurunkan nilai call. Hal ini wajar karena pemegang opsi tidak menerima dividen, dan efek yang terakhir adalah untuk mengurangi . Dan karenanya berpotensi opsinya naik.Titik Teknis : Dividen Kontinu dan Diskrit Disatukan.

Di point teknis ini kami menguraikan cara untuk menyatukan ppembayaran dividen kontinu dan diskrit. Untuk lebih jelasnya, lihat penetapan harga opsi. Misalnya Struktur dividen adalah fungsi dan yang sangat umum, . Kasus konstan-yield di atas memiliki , sedangkan dalam kasus diskrit, untuk beberapa konstanta , yang kami rhubungankan dengan , di bawah ini. Seperti di atas, persamaan diferensial stokastik (2.1) menggambarkan random walk yang diikuti oleh asset harus dimodifikasi untuk pembayaran dividen, sehingga menjadi :

(6.9)

Ketika pembayaran dividen diskrit maka :

Mengintegralkan seluruh tanggal dividen maka :

Karena dan berbeda hanya takterhingga, hanya bentuk bukan nol pada sisi kanan adalah salah satunya berisi fungsi , maka di peroleh :

(6.10)

Dengan demikian, untuk pembayaran diskrit , aset didiskontokan oleh . Akibatnya, . (Jadi jika sebuah perusahaan membayarkan setengah dari harga aset saat , ini secara diskritdi bayar konstan dividen yield yang diberikan (ini adalah ),.) Untuk setiap realisasi nilai opsinya adalah kontinu, dan karenanya kondisi jump yang tepat adalah :

dengan dan terkait dengan persamaan (6.10).

6.3 Forward and Futures Contracts

Forward dan Future Kontrak adalah beberapa cara mudah untuk menilai dari pada opsi. Hal ini karena semua resiko dapat dihilangkan dengan sekali dan untuk semua lindung nilai pada awal kontrak. Sebagai konsekuensi, mereka dapat dinilai secara independen dari setiap asumsi tentang perilaku harga aset, asalkan hanya future saja dari tingkat suku bunga dapat di prediksi. Namun, kami lebih memilih untuk membahasnya dalam kerangka kerja Black-Scholes.

Kami hanya perlu menganalisa forward kontrak, karena sebagaimana tercantum dalam bab 1, forward dan future price adalah sama (di bawah beberapa asumsi yang tidak terlalu membatasi). Ingat bahwa forward price tidak ditetapkan di salah satu dari sejumlah nilai tetap untuk semua kontrak pada aset yang sama dengan akhir masa yang sama. Sebaliknya ini deitentukan di awal, secara individual untuk setiap kontrak. Misalkan waktu dimana kontrak yang disepakati adalah dan bahwa harga aset pada waktu itu adalah . Menunjukkan forward price dengan , sehingga kami harus menemukan hubungan antara dan yang akan memastikan nilai wajar antara kedua belah pihak untuk kontrak . Kami berasumsi bahwa suku bunga adalah konstan selama masa kontrak .Ada beberapa cara untuk menurunkan forward price. Kami mulai dengan dirdasarkan arbitrase. Perhatikan dulu pihak yang kontrak yang pendek, sehingga harus memberikan asset pada saat .Meskipun ia tidak tahu pada waktu berapa harga aset akan berada di waktu T, ini tidak masalah. Dia bisa memenuhi bagiannya dari kontrak dengan meminjam jumlah saat kontrak dimulai, membeli aset, dan menggunakan uang yang diterima di pelaksanaan F, untuk melunasi pinjaman. Dengan asumsi bahwa tingkat bunga bebas risiko adalah konstan, pinjaman akan dikenakan biaya forward price dapat ditulis sebagai berikut ;

(6.11)Jika tidak demikian, ada keuntungan bebas risiko atau kerugian atas transaksi tersebut, bertentangan dengan adanya arbitrase. Argumen yang sama berlaku untuk pihak dengan kontrak yang panjang, dan menghasilkan harga yang sama.

Cara lain untuk melihat hasil ini adalah melihat bahwa posisi panjang di forward kontrak adalah ekuivalen dengan posisi panjang dalam European call option dan posisi jangka pendek dalam put option, baik dengan akhir masa yang sama dan harga pelaksanaan sebagai forward kontrak. (ini hanya pernyataan ulang dari hasil persamaanput call (3.2).) Karena forward kontraknya memiliki nilai nol ketika sudah diatur (ada uang berpindah tangan), harga pelaksanaan opsi, , yang juga sama dengan forward price , harus sedemikian rupa sehingga , hal ini memberi (6.11).Interpretasi akhir kami adalah mungkin yang paling jelas dari ketiganya, tetapi ini merupakan petunjuk ke cara yang mana kami mendekati hasil turunan yang lebih rumit. Hal ini tidak selalu mungkin untuk menemukan solusi yang sederhana tentang `keuangan', seperti yang di atas, didasarkan pada pembangunan portofolio yang ekuivalen ( aset dan pinjaman), sehingga untuk membuat jawaban dari hasil kami tahu bagaimana untuk menilai. Kami melangkah mundur untuk melihat bahwa forward kontrak adalah kontrak turunan, meskipun dari bentuk sederhana. Oleh karena itu, harus mem