bab 3 dasar – dasar grup · pdf filedalam operasi penjumlahan (+), teorema tersebut...

BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

33

BAB 3

DASAR – DASAR GRUP

Tujuan Instruksional Umum :

Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan

mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup

Tujuan Instruksional Khusus :

Setelah diberikan penjelasan mengenai sifat-sifat dasar suatu Grup, mahasiswa

minimal 80% dapat :

a. Mengidentifikasi suatu himpunan tak kosong terhadap operasi tertentu

merupakan suatu Grup

b. Membuktikan sifat-sifat sederhana suatu Grup

c. Mengidentifikasi suatu himpunan bagian dari suatu Grup merupakan suatu

Subgrup atau bukan

d. Menentukan orde suatu Grup

Deskripsi Singkat :

Grup merupakan struktur aljabar dengan satu operasi biner. Dalam bab ini akan

dibahas mengenai sifat-sifat atau syarat-syarat suatu Grup, himpunan bagian dari

Grup yang merupakan Subgrup, serta menentukan orde suatu Grup.


34

3.1. Sifat-sifat Grup

Pada bab 2, telah kita pelajari konsep semigrup yaitu suatu struktur

aljabar dengan satu operasi biner (grupoid terhadap penjumlahan atau

perkalian) yang memiliki prasyarat tertutup dan assosiatif. Sedangkan

monoid adalah suatu struktur aljabar dengan satu operasi biner (semigrup

terhadap penjumlahan atau perkalian) yang setiap anggotanya memiliki

unsur satuan atau identitas.

Dalam sub pokok bahasan ini, akan dipelajari definisi atau syarat-

syarat dasar dari suatu Grup dan mengaplikasikannya kedalam contoh-

contoh soal sederhana, baik itu terhadap penjumlahan maupun terhadap

perkalian. Adapun definisi mengenai Grup adalah :

Definisi 3.1 :

Suatu monoid (G,*) dikatakan suatu Grup jika setiap anggotanya memliki

unsur balikan atau invers, yaitu :

∀ a ∈ G ∃ a-1 ∈ G sehingga a * a-1 = a-1 * a = e

Dengan kata lain, dari definisi tersebut dapat kita ketahui syarat-

syarat dari suatu Grup yaitu memenuhi sifat monoid dan setiap

anggotanya memiliki unsur balikan atau invers. Adapun untuk lebih

jelasnya mengenai syarat-syarat suatu Grup akan dijabarkan dalam

definisi berikut ini :

Definisi 3.2 :

Grupoid (G,*) dikatakan suatu Grup jika memenuhi syarat-syarat :

1. Tertutup

Misalkan a dan b adalah anggota G,

maka a dan b tertutup bila a * b ∈G


35

2. Assosiatif

Misalkan a,b,c ∈ G

maka (a * b) * c = a * (b * c)

3. Adanya unsur satuan atau identitas

Misalkan a ∈ G

maka a * e = e * a = a

4. Adanya unsur balikan atau invers

Misalkan a ∈ G

maka a * a-1 = a-1 * a = e

Contoh 3.1 :

Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu himpunan.

Tunjukan bahwa G adalah suatu Grup terhadap perkalian (G, .).

Penyelesaian :

Tabel 3.1.

Daftar Cayley G = {-1, 1} terhadap (G, .)

. -1 1

-1 1 -1

1 -1 1

Dari tabel 3.1. akan ditunjukan bahwa G = {-1, 1} merupakan suatu Grup

terhadap perkalian (G, .), yaitu :


36

a. Tertutup

Ambil sebarang nilai dari G

misalkan -1 dan 1 ∈ G

-1 . 1 = -1

karena hasilnya -1 ∈ G, maka tertutup terhadap G

b. Assosiatif


misalkan a = -1, b = -1 dan c = 1 ∈ G

(a . b) . c = (-1 . -1) . 1 = 1 . 1 = 1

a . (b . c) = 1 . (-1. -1) = 1 . 1 = 1

Sehingga (a . b) . c = a . (b . c) = 1

maka G assosiatif

c. Adanya unsur satuan atau identitas (e = 1, terhadap perkalian)


• misalkan -1 ∈ G

-1 . e = e . (-1) = -1

• misalkan 1 ∈ G

1 . e = e . 1 = 1

maka G ada unsur satuan atau identitas

d. Adanya unsur balikan atau invers

• Ambil sebarang nilai dari G, misalkan -1 ∈ G, pilih -1 ∈ G,

sehingga -1. (-1) = 1 = e, maka (-1)-1 = -1

• Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 1 ∈ G, pilih 1 ∈ G,

sehingga 1. 1 = 1 = e, maka (1)-1 = 1

maka G ada unsur balikan atau invers

Jadi, G = {-1, 1} merupakan Grup terhadap perkalian (G, .).


37

Contoh 3.2 :

Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu himpunan. Apakah G merupakan suatu

Grup terhadap penjumlahan (G, +).

Penyelesaian :

Tabel 3.2.

Daftar Cayley G = {-1, 1} terhadap (G, +)

+ -1 1

-1 -2 0

1 0 2

Berdasarkan daftar Cayley dari tabel 3.2.

Operasi penjumlahan himpunan G = {-1, 1} menghasilkan {-2, 0, 2}.

Dikarenakan {-2, 0, 2} adalah bukan merupakan anggota dari himpunan

G = {-1, 1}, maka operasi penjumlahan G = {-1, 1} tidak tertutup

terhadap himpunannya.

Sehingga G= {-1, 1} adalah bukan suatu Grup terhadap

penjumlahan (G, +).

Contoh 3.3 :

Misalkan G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah merupakan himpunan dari Z6

Tunjukan bahwa G adalah suatu Grup terhadap penjumlahan (G, +).


38

Penyelesaian :

Tabel 3.3.

Daftar Cayley G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap (G, +)

+ 0 1 2 3 4 5

0 0 1 2 3 4 5

1 1 2 3 4 5 0

2 2 3 4 5 0 1

3 3 4 5 0 1 2

4 4 5 0 1 2 3

5 5 0 1 2 3 4

Dari tabel 3.3. akan ditunjukan bahwa G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} merupakan

suatu Grup terhadap penjumlahan (G, +), yaitu :

a. Tertutup


misalkan 0, 1, 2, 3, 4, 5 ∈ G

1 + 2 = 3

1 + 3 = 4

1 + 4 = 5

1 + 5 = 0


39

karena hasilnya 0, 3, 4, 5 ∈ G, maka tertutup terhadap G

b. Assosiatif


misalkan a = 2, b = 4 dan c = 5 ∈ G

(a + b) + c = (2 + 4) + 5 = 0 + 5 = 5

a + (b + c) = 2 + (4 + 5) = 2 + 3 = 5

Sehingga :

(a + b) + c = a + (b + c) = 5

maka G assosiatif

c. Adanya unsur satuan atau identitas (e = 0, terhadap penjumlahan)



0 + e = e + 0 = 0


1 + e = e + 1 = 1


2 + e = e + 2 = 2


3 + e = e + 3 = 3


4 + e = e + 4 = 4


5 + e = e + 5 = 5




sehingga 0 + 0 = 0 = e, maka (0)-1 = 0


sehingga 1 + 5 = 0 = e, maka (1)-1 = 5


40


sehingga 2 + 4 = 0 = e, maka (2)-1 = 4


sehingga 3 + 3 = 0 = e, maka (3)-1 = 3


sehingga 4 + 2 = 0 = e, maka (4)-1 = 2


sehingga 5 + 1 = 0 = e, maka (5)-1 = 1


Jadi, G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} merupakan Grup terhadap penjumlahan (G, +).

Gambar 3.1.

Bagan dari suatu Grup

Assosiatif

∃ Identitas

Tertutup

SEMIGRUP

GRUPOID

MONOID

Assosiatif

GRUP

Assosiatif ∃ Identitas ∃ Invers

∃ Identitas

∃ Invers

Assosiatif

∃ Identitas

Tertutup


41

Bila suatu Grup memenuhi sifat komutatif, dimana a * b = b * a, maka

Grup tersebut dinamakan Grup Komutatif atau Grup Abelian. Adapun

definisinya adalah sebagai berikut :

Definisi 3.3 :

Suatu grupoid (G,*) dikatakan Grup Komutatif (Grup Abelian), jika

memenuhi syarat-syarat :

1. Tertutup

Misalkan a dan b adalah anggota G,

maka a dan b tertutup bila a * b ∈G

2. Assosiatif

Misalkan a,b,c ∈ G

maka (a * b) * c = a * (b * c)

3. Adanya unsur satuan atau identitas

Misalkan a ∈ G

maka a * e = e * a = a

4. Adanya unsur balikan atau invers

Misalkan a ∈ G

maka a * a-1 = a-1 * a = e

5. Komutatif

Misalkan a,b ∈ G

maka a * b = b * a

Contoh 3.4 :

Dari contoh 3.1, tunjukan bahwa G = {-1, 1} adalah suatu Grup Komutatif

/ Grup Abelian terhadap perkalian (G, .).

Penyelesaian :

Dari contoh 3.1, telah ditunjukan bahwa G = {-1, 1} adalah suatu Grup

terhadap perkalian (G, .).


42

Sekarang akan ditunjukan sifat komutatif dari Grup tersebut.

Ambil sebarang nilai dari G :

misalkan -1 dan 1 ∈ G (pada tabel 4.1.)

-1 . 1 = -1

1 . (-1) = -1

sehingga -1 . 1 = 1 . (-1) = -1

Karena Grup tersebut memenuhi sifat komutatif, maka Grup tersebut

adalah Grup Komutatif atau Grup Abelian terhadap perkalian (G, .).

Contoh 3.5 :

Dari contoh 3.3, tunjukan bahwa G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah suatu Grup

Komutatif / Grup Abelian terhadap penjumlahan (G, +).

Penyelesaian :

Dari contoh 3.3, telah ditunjukan bahwa G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah

suatu Grup terhadap penjumlahan (G, +).

Sekarang akan ditunjukan sifat komutatif dari Grup tersebut.

Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 1 dan 5 ∈ G (pada tabel 4.3.)

1 + 5 = 0

5 + 1 = 0

sehingga 1 + 5 = 5 + 1 = 0

Karena Grup tersebut memenuhi sifat komutatif, maka Grup tersebut

adalah Grup Komutatif atau Grup Abelian terhadap penjumlahan (G, +).

Ada beberapa sifat dari suatu Grup, yang akan dijelaskan dalam

teorema berikut ini :


43

Teorema 3.1 :

Misalkan (G, .) adalah suatu Grup, maka :

a. Jika a ∈ G, maka (a-1)-1 = a

b. Jika a, b ∈ G, maka (ab)-1 = b-1 a-1

Bukti :

a. Dari sifat unsur satuan atau identitas, diketahui a-1 . a = e = a . a-1,

maka dapat dikatakan bahwa a unsur balikan dari a-1.

Dengan sifat ketunggalan balikan, didapat (a-1)-1 = a.

b. (ab) (b-1a-1) = ((ab) b-1) a-1 = (a (bb-1)) a-1 = (ae) a-1 = aa-1 = e

Dengan cara yang sama didapat :

(b-1a-1) (ab) = b-1 (a-1(ab)) = b-1 ((a-1a) b) = b-1 (eb) = b-1b = e

Sehingga dengan sifat ketunggalan balikan, didapat (ab)-1 = b-1a-1

Dalam operasi penjumlahan (+), teorema tersebut dapat ditulis sebagai

berikut :

Teorema 3.2 :

Misalkan (G, +) adalah suatu Grup, maka :

a. Jika a ∈ G, maka -(-a) = a

b. Jika a, b ∈ G, maka -(a + b) = (-b) + (-a)

Teorema 3.3 : (Hukum Penghapusan)

Misalkan (G, .) adalah suatu Grup dan a, b, x ∈ G, maka :

a. Jika xa = xb, maka a = b (penghapusan kiri)

b. Jika ax = bx, maka a = b (penghapusan kanan)

Bukti :

a. Misalkan xa = xb

maka :

x-1 (xa) = x-1 (xb)

(x-1x) a = (x-1x) b


44

ea = eb

sehingga :

a = b (penghapusan kiri)

b. Misalkan ax = bx

maka :

(ax) x-1 = (bx) x-1

a (x-1x) = b (x-1x)

ae = be

sehingga :

a = b (penghapusan kanan)

Dalam operasi penjumlahan (+), teorema 4.3, dapat ditulis sebagai

berikut :

Teorema 3.4 : (Hukum Penghapusan)

Misalkan (G, +) adalah suatu Grup dan a, b, x ∈ G, maka :

1. Jika x + a = x + b, maka a = b (penghapusan kiri)

2. Jika a + x = b + x, maka a = b (penghapusan kanan)

3.2. Subgrup

Pada sub pokok bahasan ini akan diperkenalkan Subgrup yang

merupakan bagian dari Grup. Secara harfiah Subgrup dapat diartikan

sebagai grup bagian yang mempunyai sifat-sifat dari Grup. Adapun

definisinya adalah sebagai berikut :


45

Definisi 3.5 :

Misalkan (G,*) adalah suatu Grup dan H ⊆ G. (H,*) dikatakan Subgrup

dari (G,*), jika (H,*) adalah suatu Grup terhadap operasi yang ada

dalam (G,*).

Dari definisi tersebut dapat diartikan bahwa untuk membuktikan

bahwa (H,*) adalah Subgrup dari Grup (G,*), harus melalui langkah-

langkah sebagai berikut :

1. Harus ditunjukan bahwa H ⊆ G

2. Harus ditunjukan bahwa (H,*) merupakan suatu Grup

Contoh 3.6 :

Dari contoh 3.1, tunjukan bahwa H = {1} adalah merupakan Subgrup dari

G = {-1, 1} terhadap perkalian (G, .).

Penyelesaian :

H = {1} merupakan himpunan bagian dari G = {-1, 1}, sehingga H ⊆ G.

Dari tabel 3.1. akan ditunjukan H = {1} memenuhi syarat-syarat suatu

Grup :

a. Tertutup

misalkan 1 ∈ H dan 1 . 1 = 1

karena hasilnya 1 ∈ H, maka tertutup terhadap H

b. Assosiatif

misalkan a = 1, b = 1 dan c = 1 ∈ H

(a . b) . c = (1 . 1) . 1 = 1 . 1 = 1

a . (b . c) = 1 . (1. 1) = 1 . 1 = 1

Sehingga (a . b) . c = a . (b . c) = 1, maka H assosiatif

c. Adanya unsur satuan atau identitas (e = 1, terhadap perkalian)




46

1 . e = e . 1 = 1




sehingga 1. 1 = 1 = e, maka (1)-1 = 1


Jadi, H = {1} memenuhi syarat-syarat suatu Grup, sehingga (H, .)

merupakan Subgrup dari (G, .).

Contoh 3.7 :

Dari contoh 3.3, tunjukan bahwa H = {0, 2, 4} adalah merupakan

Subgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap penjumlahan (G, +).

Penyelesaian :

H = {0, 2, 4} merupakan himpunan bagian dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5},

sehingga H ⊆ G.

Dari tabel 3.3. akan ditunjukan H = {0, 2, 4} memenuhi syarat-syarat

suatu Grup :

a. Tertutup

Ambil sebarang nilai dari H

misalkan 0, 2, 4 ∈ H

0 + 0 = 0

0 + 2 = 2

0 + 4 = 4

2 + 2 = 4

2 + 4 = 0

4 + 4 = 2

karena hasilnya 0, 2, 4 ∈ H,

maka tertutup terhadap H


47

b. Assosiatif


misalkan a = 2, b = 2 dan c = 4 ∈ H

(a + b) + c = (2 + 2) + 4 = 4 + 4 = 2

a + (b + c) = 2 + (2 + 4) = 2 + 0 = 2

Sehingga :

(a + b) + c = a + (b + c) = 2

maka H assosiatif

c. Adanya unsur satuan atau identitas (e = 0, terhadap penjumlahan)



0 + e = e + 0 = 0


2 + e = e + 2 = 2


4 + e = e + 4 = 4




sehingga 0 + 0 = 0 = e, maka (0)-1 = 0


sehingga 2 + 4 = 0 = e, maka (2)-1 = 4


sehingga 4 + 2 = 0 = e, maka (4)-1 = 2


e. Adanya unsur satuan atau identitas


misalkan 4 ∈ H

4 + e = 4 + 0 = 4


48

e + 4 = 0 + 4 = 4

Sehingga :

4 + e = e + 4 = 4

maka H ada unsur satuan atau identitas

f. Adanya unsur balikan atau invers

Ambil sebarang nilai dari H, misalkan 4 ∈ H

4 + (-4) = 4 – 4 = 0 = e

(-4) + 4 = -4 + 4 = 0 = e

Sehingga :

4 + (-4) = (-4) + 4 = 0 = e

maka H ada unsur balikan atau invers

Jadi, H = {0, 2, 4} memenuhi syarat-syarat suatu Grup, sehingga (H, +)

merupakan Subgrup dari (G, +).

Contoh 3.8 :

Dari contoh 3.3, tunjukan bahwa H = {1, 2, 3} adalah bukan merupakan

Subgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap penjumlahan (G, +).

Penyelesaian :

H = {1, 2, 3} merupakan himpunan bagian dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5},

sehingga H ⊆ G.

Akan ditunjukan H = {1, 2, 3} memenuhi syarat-syarat suatu Grup :


misalkan 2, 3 ∈ H

Dari tabel 4.3. didapat : 2 + 3 = 5

5 ∈G tetapi 5 ∉H, sehingga 5 tidak tertutup terhadap operasi biner (H, +)

Maka H = {1, 2, 3} bukan merupakan Subgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}


49

Contoh 3.9 :

G = {-1, 1} adalah Subgrup dari (Z, .), tetapi bukan merupakan Subgrup

dari (Z, +) karena operasi di Z dan di G = {-1, 1} tidak sama.

3.3. Orde Suatu Grup

Misalkan G adalah suatu Grup dan a ∈ G, a merupakan unsur atau

anggota atau elemen dari Grup. Unsur dari grup ini dapat membentuk

atau membangun suatu Subgrup, jumlah dari unsur suatu Grup atau

Subgrup tersebut disebut orde.

Definisi 3.6 :

Misalkan (G,*) adalah suatu Grup. Banyaknya unsur-unsur dari Grup (G,*)

disebut orde dari Grup (G,*), dilambangkan dengan |G|. (G,*) disebut

Grup hingga bila |G| terhingga (finite) dan disebut Grup tak hingga bila

|G| tak hingga.

Definisi 3.7 :

Orde dari suatu unsur a dalam suatu Grup (G,*) adalah bilangan bulat

positif terkecil n, sedemikian hingga an = e (e = 1, untuk perkalian) dan

na = e (e = 0, untuk penjumlahan).

Bila tidak ada bilangan seperti n tersebut, maka orde dari unsur tersebut

tak hingga.

Contoh 3.10 :

Orde dari Grup (Z, +) dan (Z, .) adalah tak hingga.


50

Contoh 3.11 :

Orde dari Grup G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah 6 dan orde dari Subgrup

H = {0, 2, 4} adalah 3.

Contoh 3.12 :

Tentukan Subgrup dari Grup (Z4,+) dan tentukan orde dari masing-masing

Subgrup.

Penyelesaian :

Grup Z4 = {0, 1, 2, 3}, orde dari Grup |Z4| = 4.

Subgrup dari unsur-unsur Z4 adalah :

Misal n = 0, 1, 2, 3 dan Ha = {na, n ∈ Z4)

a = 0

H0 = {0}

sehingga |H0| = 1

a = 1,

H1 = {1, 2, 3, 0}

sehingga |H1| = 4

a = 2,

H2 = {2, 0}

sehingga |H2| = 2

a = 3,

H3 = {3, 2, 1, 0}

sehingga |H3| = 4


51

3.4. Rangkuman

1. Grupoid (G,*) dikatakan suatu Grup jika memenuhi syarat-syarat :

a. Tertutup

b. Assosiatif

c. Adanya unsur satuan atau identitas


2. Suatu Grup dikatakan Grup Komutatif atau Grup Abelian jika

memenuhi syarat-syarat dari Grup dan mempunyai sifat Komutatif.

3. (H,*) dikatakan Subgrup dari Grup (G,*), bila memenuhi langkah-

langkah sebagai berikut :

a. Harus ditunjukan bahwa H ⊆ G

b. Harus ditunjukan bahwa (H,*) merupakan suatu Grup

Dengan kata lain, (G,*) adalah suatu Grup dan H ⊆ G. (H,*) dikatakan

Subgrup dari (G,*), jika (H,*) adalah suatu Grup terhadap operasi

yang ada dalam (G,*).

4. Misalkan (G,*) adalah suatu Grup. Banyaknya unsur-unsur dari Grup

(G,*) disebut orde dari Grup (G,*), dilambangkan dengan |G|. (G,*)

disebut Grup hingga bila |G| terhingga (finite) dan disebut Grup tak

hingga bila |G| tak hingga.

5. Orde dari suatu unsur a dalam suatu Grup (G,*) adalah bilangan bulat

positif terkecil n, sedemikian hingga an = e (e = 1, untuk perkalian)

dan na = e (e = 0, untuk penjumlahan). Bila tidak ada bilangan seperti

n tersebut, maka orde dari unsur tersebut tak hingga.


52

3.5. Soal-soal Latihan

1. Misalkan G = {x ∈ Z+} yang didefinisikan operasi biner pada G dengan

a * b = a + b + ab, untuk semua a, b ∈ G.

Tunjukan apakah (G,*) merupakan suatu Grup dan periksa apakah

(G,*) juga merupakan Grup Abelian.

2. Misalkan Q+ adalah bilangan rasional positif, didefinisikan operasi biner

a * b = 3

ab untuk a, b ∈ Q+. Buktikan apakah operasi biner tersebut

merupakan Grup dan periksa apakah juga merupakan Grup Abelian.

3. Misal G adalah Grup matriks 2 x 2, didefinisikan:

−±

±

±

−±=

10

0,

0

0,

10

01,

01

10 i

i

iG

Buktikan G adalah Grup Abelian terhadap operasi biner perkalian (G, .).

4. Misalkan (G, +) adalah suatu Grup

Buktikan :

a. -(-a) = a, ∀ a ∈ G

b. -(a + b) = (-b) + (-a), ∀ a, b ∈ G

5. Misalkan (G, +) adalah suatu Grup dan a, b, x ∈ G

Buktikan :

a. Jika x + a = x + b, maka a = b (penghapusan kiri)

b. Jika a + x = b + x, maka a = b (penghapusan kanan)


53

6. Misalkan G adalah suatu Grup dan H ⊆ G dengan H ≠ 0 dan H

terhingga. Buktikan bahwa H suatu Subgrup dari G jika H tertutup

terhadap operasi yang ada dalam G.

7. Tentukan Subgrup yang dibangun oleh unsur-unsur dari Grup (Z9,+)

dan tentukan orde dari masing-masing Subgrupnya.

♠♣♥♣♠

bab 3 dasar – dasar grup · pdf filedalam operasi penjumlahan (+), teorema tersebut...

Documents