BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Struktur Aljabar

2.1.1 Definisi Struktur Aljabar

Menurut Dr. Kusno Kromodihardjo (1988), yang dimaksud dengan suatu

struktur aljabar yaitu suatu himpunan tak hampa yang dilengkapi dengan suatu

komposisi biner atau lebih. Misalkan S adalah suatu himpunan yang dilengkapi

dengan dua komposisi biner + dan *, maka S menjadi satu struktur aljabar dan diberi

notasi (S, +, *).

2.1.2 Tabel Cayley

Dibutuhkan suatu alat yang konkret untuk mendefinisikan komposisi biner

dalam suatu himpunan khususnya himpunan terhingga yaitu Tabel Cayley. Dengan

tabel Cayley, komposisi biner dapat didefinisikan secara analitik (deskriptif) atau

secara geometrik. Tabel Cayley adalah daftar yang dirancang oleh Arthur Cayley

pada abad ke-19.

Tabel 2.1 Tabel Cayley untuk Operasi Penjumlahan Modulo 4

4+ 0 1 2

0 0 1 2

1 1 2 0

2 2 0 1

8  

 

Dari tabel Cayley di atas, elemen yang dioperasikan adalah elemen di kolom

abu-abu kiri 0 1 2 dengan operasi 4+ elemen di baris abu-abu atas 0 1 2. Kolom

putih dan baris putih merupakan hasil biner antara masing-masing elemen pada

himpunan. Terlihat bahwa ,000 4 =+ ,110 4 =+ ,220 4 =+ ,101 4 =+ ,211 4 =+

021 4 =+ dan seterusnya.

Dalam sistem aljabar perlu diperhatikan bahwa operasi 4+ di atas belum

tentu berarti operasi penjumlahan yang lazim digunakan dalam aritmatika, namun

dapat berarti pengurangan, perkalian, atau lainnya sesuai dengan definisi yang

diberikan pengguna.

Tabel Cayley banyak digunakan dalam sistem aljabar karena penyusunannya

dapat menggambarkan sifat-sifat grup. Sebagai contoh, operasi penjumlahan modulo

4 dari himpunan A = {0,1,2} merupakan grup abelian (komutatif) dengan melihat

hasil bahwa hasil produk operasi pada Tabel 2.1 saling simetris terhadap sumbu

diagonal utama tabel.

2.1.3 Sifat-Sifat Operasi Aljabar

Menurut Connell (2004), operasi biner pada sistem aljabar memiliki sifat-

sifat yang digunakan untuk mengklasifikasikan sistem tersebut.

A. Operasi Biner (tertutup)

Misalkan ,..}8,6,4,2{=A yaitu bilangan asli genap dan dipandang operasi +,

yaitu operasi penjumlahan, maka operasi + merupakan operasi biner pada A

karena jumlah dua bilangan asli genap selalu merupakan bilangan asli genap

dalam A.

9  

 

),( Aba ∈∀ a+b A∈ + tertutup

B. Operasi Asosiatif

Operasi biner * pada suatu himpunan A bersifat asosiatif jika dan hanya jika

untuk setiap Acba ∈,, berlaku (a*b)*c = a*(b*c).

),,( Acba ∈∀ (a*b)*c = a*(b*c) * asosiatif

C. Komutatif

Operasi biner * pada suatu himpunan A bersifat komutatif jika dan hanya jika

untuk setiap a,b∈A berlaku sifat a*b = b*a.

),( Aba ∈∀ a*b = b*a * komutatif

D. Memiliki Elemen Identitas (Unsur Kesatuan)

Unsur kesatuan atau elemen identitas adalah suatu elemen yang jika

dioperasikan terhadap sembarang elemen tunggal dari sebuah himpunan akan

menghasilkan elemen itu sendiri.

Pada operasi biner *, suatu elemen e1∈A disebut identitas (unkes) kiri jika

untuk semua elemen a∈A berlaku e1*a = a. Sedangkan suatu elemen e2∈A

disebut identitas (unkes) kanan jika untuk semua elemen a∈A berlaku a*e2 = a.

Jika suatu elemen e∈A merupakan identitas kiri dan sekaligus identitas kanan,

maka e disebut elemen identitas. Dalam simbol matematika:

e1∈A adalah identitas kiri )( Aa∈∀ e1*a = a

e2∈A adalah identitas kanan )( Aa∈∀ a*e2 = a

)( Aa∈∀ e*a = a*e = a * memiliki elemen identitas

10  

 

E. Memiliki Invers

Invers suatu elemen adalah elemen yang jika dioperasikan terhadap elemen

pertama akan menghasilkan elemen identitas.

Pada operasi biner *, suatu elemen e1∈A disebut invers kiri a jika untuk semua

elemen a∈A berlaku e1*a = e. Sedangkan suatu elemen e2∈A disebut invers

kanan a jika untuk semua elemen a∈A berlaku a* e2 = e

Jika ada suatu anggota himpunan A yang merupakan invers kiri sekaligus invers

kanan elemen a, maka anggota tersebut disebut invers a (simbol a-1). Dalam

simbol matematika:

a-1∈A adalah invers kiri )( Aa∈∀ a-1*a = e

a-1∈A adalah invers kanan )( Aa∈∀ a*a-1 = e

)( Aa∈∀ a-1*a = a* a-1 = e * memiliki invers dari a

2.1.4 Klasifikasi Struktur Aljabar Umum

Struktur suatu sistem aljabar dapat diklasifikasikan ke dalam beberapa

kategori berdasarkan sifat-sifat pada setiap operasi sebagai berikut.

A. Grupoid

Misalkan (A,*) adalah suatu struktur aljabar dan akan disebut grupoid jika

operasi * merupakan operasi biner (tertutup).

B. Semigrup

Misalkan (A,*) adalah suatu struktur aljabar. (A,*) disebut semigrup jika

memenuhi kondisi-kondisi:

11  

 

1. (A,*) merupakan operasi biner (tertutup)

2. (A,*) merupakan operasi asosiatif

C. Monoid

Misalkan (A,*) adalah suatu struktur aljabar. (A,*) disebut monoid jika

memenuhi kondisi-kondisi:

1. (A,*) merupakan semigrup

2. (A,*) memiliki elemen identitas

D. Grup

Misal (A,*) adalah suatu struktur aljabar. (A,*) disebut grup bila memenuhi

kondisi-kondisi:

1. (A,*) merupakan monoid

2. Setiap elemen dalam A memiliki invers

2.1.5 Bentuk-Bentuk Grup Khusus

Kategori-kategori seperti yang telah dijelaskan sebelumnya merupakan

klasifikasi struktur aljabar secara umum. Kategori-kategori ini dapat dikelompokkan

lagi ke dalam kategori-kategori khusus berdasarkan sifat yang lebih spesifik.

Untuk grup sendiri terdapat beberapa jenis grup khusus yang dapat dilihat

dengan menganalisis sifat-sifat tambahan pada sistem aljabarnya. Bentuk-bentuk

khusus ini adalah sebagai berikut.

12  

 

A. Grup Komutatif (Abelian)

Misalkan (A,*) adalah suatu grup G, maka G disebut grup komutatif atau

Abelian, jika Gba ∈∀ , berlaku baab = atau dapat dikatakan memenuhi kondisi-

kondisi:

1. (A,*) merupakan grup

2. (A,*) bersifat komutatif

Contoh:

Himpunan A = {0, 1, 2,3} dengan operasi penjumlahan modulo 4.

Tabel 2.2 Operasi Penjumlahan Modulo 4

4+ 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

Dengan pembuktian sifat akan didapatkan bahwa (A, 4+ ) memenuhi sifat-sifat

grup abelian karena matriks pada tabel Cayley merupakan matrik yang simetris

terhadap diagonal utama.

B. Grup Siklik

Suatu grup G disebut siklik jika untuk sejumlah a∈G sedemikian hingga setiap

elemen x∈G dapat dinyatakan sebagai hasil operasi a dengan dirinya sendiri

sebanyak n kali (n berhingga). Elemen a yang bersifat seperti itu disebut sebagai

13  

 

generator. Jika G grup siklik dibangun oleh a, maka ditulis G=(a), elemen-

elemen tersebut dapat ditulis sebagai ,...,,,, 21012 aaeaaa =−−

Contoh:

Himpunan A = {0, 1, 2} dengan operasi penjumlahan modulo 3.

Tabel 2.3 Operasi Penjumlahan Modulo 3

3+ 0 1 2

0 0 1 2

1 1 2 0

2 2 0 1

Dengan pembuktian sifat akan didapatkan bahwa (A, 3+ ) memenuhi sifat-sifat

grup siklik, yakni:

1. (A, 3+ ) bersifat biner (tertutup)

2. (A, 3+ ) bersifat asosiatif

3. (A, 3+ ) memiliki elemen identitas e = 0

4. Setiap elemen dalam A memiliki invers (0-1 = 0, 1-1 = 2, 2-1 = 1)

Elemen 1 dan 2 pada himpunan A adalah generator untuk grup siklik.

0 = 1 3+ 1 3+ 1 n = 3 0 = 2 3+ 2 3+ 2 n = 3

1 = 1 3+ 1 3+ 1 3+ 1 n = 4 1 = 2 3+ 2 n = 2

2 = 1 3+ 1 n = 2 2 = 2 3+ 2 3+ 2 3+ 2 n = 4

14  

 

C. Grup Periodik dan Aperiodik

Definisi C.1

(i) Tingkat a = minimum },|{ eaNaa x =∈ jika himpunan 0≠

(ii) Tingkat 0=a (tak hingga) jika himpunan = 0

Tingkat suatu unsur dari suatu grup adalah bilangan asli terkecil yang bila

dipangkatkan kepada unsur tersebut menghasilkan unsur kesatuan bila bilangan

itu ada seperti dijelaskan pada pterhinggernyataan (i). Pernyataan (ii)

menunjukkan bila tidak ada satu bilangan asli pun yang dipangkatkan pada suatu

unsur a menghasilkan unsur kesatuan maka dikatakan tingkat a tak hingga.

Tingkat (atau ordo) dari a diberi notasi ).(at Bila ada suatu bilangan asli

,ean n =∋ dapat dikatakan tingkat dari a atau tingkat a terhingga. Bila tidak

demikian maka dikatakan tingkat a tak hingga. (Kusno, 1988)

Definisi C.2 (Aperiodik, Periodik, Campuran)

Suatu grup G dinamakan periodik atau berkala jika tingkat setiap unsurnya

terhingga dan dinamakan aperiodik jika setiap unsurnya selain unsur kesatuan

mempunyai tingkat tak hingga. Akan dinamakan campuran jika sedikitnya

mempunyai satu unsur dengan tingkat tak hingga dan satu unsur e≠ dengan

tingkat terhingga.

Akibat definisi di atas, terbentuk 2 pernyataan

(i) Setiap grup terhingga adalah periodik

(ii) Jika suatu grup aperiodik atau campuran maka grup tersebut tak hingga

Berhadapan dengan itu, grup tak hingga tidak mesti aperiodik. Bisa saja

aperiodik, bisa campuran, dan bisa pula periodik. Jadi tak hingga hanya

15  

 

merupakan syarat perlu agar suatu grup aperiodik atau campuran. Istilah

aperiodik tidak berarti tidak periodik, bukan ingkaran dari periodik. Tidak

periodik berarti bisa aperiodik tetapi bisa pula campuran. Sebaliknya, tidak

aperiodik tidak mesti periodik, bisa periodik dan bisa pula campuran. Oleh

karenanya istilah aperiodik tidak dapat diganti dengan tak berkala. (Kusno, 1988)

Contoh:

Pandangan grup ),( SR + yaitu grup dari semua bilangan nyata terhadap

penambahan sehari-hari. Unsur kesatuannya 0 dan notasi operasinya +.

Disini notasi na artinya: aaaa +++ .... sebanyak n-suku. Jelas bahwa

Rx∈∀ dengan ,0)(,0 =≠ xtX sedangkan 1)0( =t karena 0 unsur kesatuannya.

D. Subgrup Normal

Definisi D.1 (Koset)

Di dalam suatu grup G terdapat subgrup H untuk Gba ∈, , dikatakan bahwa a

kongruen dengan b modulo H dan ditulis ba ≡ mod H, bila dan hanya bila

∈−1ab H. Relasi ba ≡ mod H adalah suatu relasi ekuivalen pada G. Kelas

ekuivalen yang memuat a dapat ditulis sebagai bentuk },{ HhahHa ∈= disebut

koset kanan terhadap subgrup H. Sedangkan },{ HhahHa ∈= disebut koset kiri

terhadap subgrup H. Unsur a disebut generator dari koset tersebut. Dengan

demikian, di dalam grup G untuk setiap subgrup H dari G terdapat himpunan

koset kanan }|{ GaHaK ∈= dan himpunan koset kiri }.|{ GaaHL ∈=

Catatan : (i) Banyak koset kanan dan koset kiri di grup G terhadap suatu

subgrup H selalu sama dinamakan indeks subgrup H di G yang

dinotasikan dengan [G:H]

16  

 

(ii) Himpunan koset kanan (kiri) membentuk partisi di G, yaitu

untuk setiap Gba ∈, berlaku HbHa = atau Ø=∩HbHa untuk

.GHaGa

=∈U

Definisi D.2 (Subgrup)

Himpunan bagian dari suatu grup yang merupakan grup terhadap operasi yang

sama, yaitu operasi yang ada dalam grup tersebut dinamakan subgrup. Berikut

adalah beberapa teorema mengenai subgrup.

Teorema D.1 : Misalkan G adalah sebuah grup dan S suatu himpunan bagian

dari G. S dinamakan suatu subgrup dari G jika S merupakan

suatu grup terhadap operasi yang ada dalam G.

Teorema D.2 : G sebuah grup dan S suatu himpunan bagian dari G yang tak

kosong, maka S merupakan suatu grup dari G jika dan hanya

jika (i) x dan Sy∈

(ii) SxSx ∈→∈ −1

Teorema D.3 : G suatu grup dan GS ⊆ dengan .0≠S S suatu subgrup dari G

jika dan hanya jika Syx ∈∀ , berlaku .1 Sxy ∈−

Dari ketiga teorema di atas, jika S adalah subgrup dari G maka dapat dinotasikan

.GH ≤ Jika H adalah proper subgrup dari G, yaitu ,GH ≠ maka dituliskan

.GH <

Definisi D.3 (Subgrup Normal)

Misalkan H adalah suatu subgrup dari grup G, subgrup H dikatakan subgrup

normal dari G bila HggH = untuk semua Gg∈ maka dapat dibuktikan bahwa

17  

 

setiap koset kiri dari H dalam G sama dengan koset kanan dari H dalam G.

Berikut adalah teorema yang berlaku pada subgrup normal.

(i) Subgrup H adalah normal di grup G

(ii) Untuk semua ,Gg ∈ HHgg ⊂−1

(iii) Untuk semua ,Gg ∈ HHgg =−1

Contoh:

Misalkan { }6,5,4,3,2,1=G adalah suatu grup dan { }6,1=H adalah merupakan

subgrup dari G dengan operasi .7× Berikut tabel Cayley dari kedua himpunan.

Tabel 2.4 Operasi Perkalian Modulo 7

Tabel 2.5 Operasi Penjumlahan Modulo 7

7× 1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 5 6

2 2 4 6 1 3 5

3 3 6 2 5 1 4

4 4 1 5 2 6 3

5 5 3 1 6 4 2

6 6 5 4 3 2 1

7× 1 2

1 1 2

2 2 1

18  

 

Invers dari G

Terbukti bahwa H subgrup dari G atau dapat dinotasikan dengan .GH <  

Pembuktian selanjutnya:

Terbukti bahwa H subgrup normal dari G sesuai dengan teorema di atas.

Dinotasikan dengan .GH <

E. Grup Faktor (Grup Kuosien)

Definisi E.1 (Lagrange)

Bila G adalah suatu grup terhingga dan H subgrup dari G, maka [ ]HGHG :/ =

yaitu order dari subgrup H membagi order dari G.

Bukti:

Misalkan n adalah order dari G dan k adalah order dari H. Maka setiap koset

kanan dari H dalam G mempunyai order sebanyak k juga. Misal r adalah banyak

koset kanan yang berlainan dari H dalam G. Koset kanan dari H dalam G

membentuk partisi dari G, sehingga G dapat ditulis sebagai gabungan dari koset-

koset yang lepas (disjoint) yaitu ....321 HaHaHaHaG r∪∪∪∪=

HH

HH

HH

HH

HH

HH

771

77

771

77

771

77

771

77

771

77

771

77

6666

3555

2444

5333

4222

1111

××=××

××=××

××=××

××=××

××=××

××=××

−

−

−

−

−

−

HHHHHH

======

6635245342

11

1

1

1

1

1

1

=

=

=

=

=

=

−

−

−

−

−

−

19  

 

Oleh karena koset kanan merupakan partisi dari G maka

||...|||| 21 HaHaHaG r+++=

Diperoleh krn = sehingga k membagi n.

Definisi E.2 (Grup Faktor)

Misalkan N adalah subgrup normal dari grup G, maka himpunan semua koset

kanan dari N dalam G (dinotasikan dengan )/ NG terhadap operasi perkalian

himpunan merupakan suatu grup dan NG / disebut grup faktor.

},|{/ GaaNNG ∈= didefinisikan operasi pada ,/ NG abbNaN =. dengan

unsur aN disebut koset-koset dari N. (Fraleigh, 1997)

Teorema : Himpunan NG / adalah grup dan disebut grup faktor di bawah

operasi perkalian.

Operasi perkaliannya didefinisikan NabbNa .. =

Bukti :

- Menurut definisi operasi, pada NG / tertutup di bawah operasi perkalian

asosiatif )..())(())((.)()..( cNbNaNNbcaNNcabcNNabcNbNaN ====

- Unsur identitas adalah koset N sebab aNNaeaNeNNaN === )(. dan

.)(. aNNeaNeNaNN ====

- Invers dari aN adalah Na 1− sebab NeNNaaNaaN === −− )(. 11

Terbukti bahwa NG / adalah grup.

krkkk

HHH

=+++=

+++=

......

20  

 

Contoh:

Misalkan }6,5,4,3,2,1{=G adalah suatu grup dan { }6,1=H adalah merupakan

subgrup dari G, dengan operasi .7× (Contoh soal ini sama seperti contoh soal

pada subgrup normal. Digunakan tabel Cayley yang sama)

Koset kiri = koset kanan

Sehingga tampak seperti tabel berikut.

Tabel 2.6 Operasi Perkalian

Maka terbentuk grup

factor atau kuosien dengan yang bersifat tertutup, asosiatif, memiliki unkes

1 7× H, dan memiliki invers

 

 

* 1 7× H 2 7× H 3 7× H

1 7× H 1 7× H 2 7× H 3 7× H

2 7× H 2 7× H 3 7× H 1 7× H

3 7× H 3 7× H 1 7× H 2 7× H

}4,3{}6,1{33}5,2{}6,1{22

}6,1{}6,1{11

777

777

777

=×=××=×=××=×=××

HHH

)3()2()1( 777 HHHG ×∪×∪×=

}6,1{}6,1{44)2(*)2( 777777 ××=××=×× HHHHH7777 3}6,1{3}3,4{}6,1{4}1,6,6,1{4 ×=×==×=×=

HHHHHHHHHH

777777

77777

2}6,1{22)3(*)3(}1,6{}6,1{66)3(*)2(

×=×=××=××==×=××=××

HH

HH

HH

71

7

71

7

71

7

2)3(

3)2(

1)1(

×=×

×=×

×=×

−

−

−

21  

 

F. Homomorfisma Grup

Homomorfisma grup merupakan suatu pemetaan pada grup yang memenuhi

sifat-sifat tertentu. Berikut akan dibahas homomorfisma grup beserta sifat-

sifatnya.

Definisi F.1 (Homomorfisma)

Diketahui (G,*) dan ),'( •G merupakan grup. Pemetaan ': GG →ϕ disebut

homomorfisma jika dan hanya jika untuk setiap Gba ∈, berlaku

).()()*( baba ϕϕϕ •=

Definisi F.2

- Suatu homomorfisma yang injektif disebut monomorfisma

- Suatu homomorfisma yang surjektif disebut epimorfisma

- Suatu homomorfisma yang bijektif disebut isomorfisma

Definisi F.3

Suatu homorfisma dari suatu grup ke dalam dirinya sendiri dinamakan suatu

endomorfisma dan suatu endomorfisma yang dibjektif dinamakan automorfisma.

Contoh:

Ambil grup ),(1 sxRG += yaitu grup multiplikatif dari himpunan semua bilangan

nyata positif dan grup ),(2 sxRG += yaitu grup aditif dari himpunan semua

bilangan nyata.

Bangun pemetaan 21: GG →ρ sebagai berikut: xx log)( =ρ

maka +=∈∀ RGyx 1, akan berlaku

).()(loglog)log()( yxyxxyxy ρρρ +=+== Ini berarti bahwa ρ suatu

homomorfisma; selanjutnya ρ injektif dan surjektif,

22  

 

sebab ;loglog)()( yxyxyx =⇒=⇒= ρρ selain itu 12' GxGx ∈∃∈∀ sedemikian

hingga ')( xx =ρ yaitu bila diambil .10 xx = Jadi ρ suatu isomorfisma.

Lemma F.1

Diketahui G, G’ grup dan ': GG →ϕ merupakan homomorfisma grup, maka

keempat sifat berikut berlaku:

(i) Jika e merupakan elemen identitas di G, maka )(eϕ merupkan elemen

identitas 'e di G’.

(ii) Jika Ga∈ maka 11 )()( −− = aa ϕϕ

(iii) Jika H merupakan subgrup pada G, maka )(Hϕ merupakan subgrup pada

G’.

(iv) Jika K’ merupakan subgrup pada G’, maka )'(1 K−ϕ merupakan subgrup

pada G.

Definisi F.4 (Kernel)

Diketahui G, G’ grup dan ': GG →ϕ homomorfisma grup. Himpunan

}')(|{ eaGa =∈ ϕ dinamakan kernel ϕ dari dan dinotasikan ker ).(ϕ

Lemma F.2

Diketahui G, G’ grup dan ': GG →ϕ merupakan homomorfisma grup. Pemetaan

ϕ merupakan pemetaan injektif jika dan hanya jika ker }.{)( e=ϕ

Bukti (⇒ ) Menurut Lemma G.1 (i) berakitab ')( ee =ϕ dan karena

ϕ merupakan pemetaan injektif maka hanya elemen e di G yang

dipetakan ke elemen e’ di G’. Jadi ker }.{)( e=ϕ

23  

 

(⇐ ) Diandaikan pemetaan ϕ bukan pemetaan injektif, yaitu terdapat

Gba ∈, dengan ba ≠ dan ).()( ba ϕϕ = Karena )()( ba ϕϕ = maka

.)()( 11 −− = eba ϕϕ Menurut Lemma G.1 (ii) diperoleh

'.)()()()()( 111 eabbaba === −−− ϕϕϕϕϕ Karena diketahui

ker }{)( e=ϕ akibatnya eab =−1 dan dengan kata lain .ba =

Muncul kontradiksi dengan pengandaian bahwa .ba ≠ Jadi,

pengandaian diingkar dan terbukti ϕ merupakan pemetaan injektif.

Definisi F.5 (Monomorfisma)

Diketahui G, G’ grup dan ': GG →ϕ merupakan homomorfisma grup. Pemetaan

ϕ disebut monomorfisma grup jika dan hanya jika ϕ suatu pemetaan satu-satu

dari G ke G’. Dengan kata lain, jika (y) )( ϕϕ =x maka yx = untuk ., Gyx ∈

Definisi F.6 (Epimorfisma)

Diketahui G, G’ grup dan ': GG →ϕ merupakan homomorfisma grup. Pemetaan

ϕ disebut epimorfisma grup apabila setiap 'Gg ∈ ada Gg∈ sehingga '.)( gg =ϕ

Dengan kata lain, setiap elemen G’ mempunyai kawan elemen G. Dapat pula

dikatakan bahwa homomorfisma ϕ dari G onto G atau disingkat homomorfisma

ϕ onto.

Definisi F.7 (Isomorfisma)

Diketahui G, G’ grup dan ': GG →ϕ merupakan homomorfisma grup. Pemetaan

ϕ disebut isomorfisma grup jika dan hanya jika ϕ merupakan pemetaan injektif

(satu-satu). Grup G dan G’ dikatakan isomorphic jika ada isomorfisma ϕ dari G

24  

 

ke G’ dan dinotasikan dengan '.GG ≅ Langkah-langkah untuk menunjukkan

grup G dan G’ isomorphic adalah:

1. Definisikan fungsi ϕ dari G ke G’.

2. Tunjukkan bahwa ϕ fungsi satu-satu dan pada.

3. Tunjukkan bahwa ϕ homomorfisma.

Sedangkan untuk menunjukkan dua grup G dan G’ tidak isomorphic, pada

prinsipnya adalah menunjukkan bahwa tidak ada homomorfisma yang bersifat

satu-satu dan pada dari G ke G’. Namun tidak mungkin dicoba setiap

kemungkinan yang ada, kecuali jika pemetaan satu-satu memang tidak dapat

dibuat. Cara praktis untuk menunjukkan dua grup G dan G’ tidak isomorphic

adalah dengan mendapatkan sifat aljabar yang tidak dipenuhi kedua grup.

2.2 Interaksi Manusia dan Komputer

Definisi dari interaksi manusia dan komputer adalah disiplin ilmu yang

menekankan pada aspek desain, evaluasi, dan implementasi dari sistem komputer

interaktif untuk kegunaan manusia dengan mempertimbangkan fenomena-fenomena

disekitar manusia itu sendiri. Dalam interaksi manusia dan komputer itu sendiri interface

berperan penting sebagai penghubung antara kedua sistem. Oleh karena itu dibutuhkan

user interface untuk memudahkan pengguna mengetahui apa yang terjadi pada sistem

yang digunakannya.

Beberapa aspek utama dalam perancangan sebuah interface adalah :

1. Metodologi dan proses perancangan interface

2. Metode implementasi interface

25  

 

3. Metode evaluasi dan perbandingan interface.

4. Pengembangan new interface.

5. Mengembangkan sebuah deskripsi dan prediksi atau teori dari sebuah new

interface.

Berikut adalah 8 aturan emas dalam merancang desain interface yang dikemukakan oleh

Shneiderman, seorang profesor dalam bidang Interaksi Manusia dan Komputer:

1. Konsistensi

2. Memungkinkan pengguna (yang sudah ahli) untuk menggunakan shortcut.

3. Memberikan umpan balik yang informatif. Misalnya muncul suatu notification

ketika terjadi kesalahan saat melakukan masukan.

4. Merancang dialog untuk menghasilkan suatu penutupan yaitu berupa umpan

balik yang informatif akan meberikan indikasi bahwa cara yang dilakukan sudah

benar dan dapat mempersiapkan kelompok tindakan berikutnya.

5. Memberikan penanganan kesalahan yang sederhana jika terjadi kesalahan, sistem

dapat mendeteksi kesalahan dengan cepat dan memberikan mekanisme yang

sedehana dan mudah dipahami untuk penanganan kesalahan.

6. Mudah kembali ke tindakan sebelumnya.

7. Mendukung tempat pengendali internal (internal locus of control) sehingga

pengguna menjadi inisiator daripada responden.

8. Mengurangi beban ingatan jangka pendek.

2.3 Bahasa Pemrograman Java

2.3.1 Latar Belakang Java

Java adalah sebuah teknologi yang diperkenalkan oleh Sun Microsystems

pada pertengahan tahun 1990an. Awalnya Java diciptakan pada tahun 1995 oleh

26  

 

Patrick Naughton, Mike Sheridan, James Gosling, dan Bill Joy beserta programmer

dari Sun Microsystems. Nama Java terinspirasi ketika mereka sedang menikmati

secangkir kopi tubruk yang berasal dari Pulau Jawa. Akhirnya disepakati untuk

memberikan nama bahasa pemrograman tersebut dengan nama Java. Menurut

definisi dari Sun Microsystems, Java adalah nama untuk sekumpulan teknologi

untuk membuat dan menjalankan perangkat lunak pada komputer standalone atau

pun pada lingkungan jaringan.

2.3.2 Teknologi Java

Kebanyakan orang menyebut Java sebagai sebuah teknologi dibandingkan

bahasa pemrograman karena Java lebih lengkap dibandingkan sebuah bahasa

pemrograman konvensional. Berikut ulasan lengkap mengenai teknologi Java.

• Sebuah Bahasa Pemrograman

Sebagai sebuah bahasa pemrograman, Java dapat membuat seluruh bentuk

aplikasi, desktop, website, dan lainnya sebagaimana dibuat dengan menggunakan

bahasa pemrograman konvensional lain.

Java adalah bahasa pemrograman yang berorientasi objek (OOP) dan dapat

dijalankan pada berbagai platform sistem operasi. Perkembangan Java tidak

hanya terfokus pada satu sistem operasi, tetapi dikembangkan untuk berbagai

sistem operasi dan bersifat open source.

• Sebuah Development Environment

Sebagai sebuah peralatan pembangunan, teknologi Java menyediakan banyak

tools seperti compiler, interpreter, penyusun dokumentasi, paket kelas, dan

sebagainya.

27  

 

• Sebuah Aplikasi

Aplikasi dengan teknologi Java secara umum adalah aplikasi serba guna yang

dapat dijalankan pada seluruh mesin yang memiliki Java Runtime Environment

(JRE)

• Sebuah Deployment Environment

Terdapat dua komponen utama dari Deployment Environment. Yang pertama

adalah JRE, yang terdapat pada paket Java Development Kit (JDK), mengandung

kelas-kelas untuk semua paket teknologi Java yang meliputi kelas dasar dari

Java, komponen GUI, dan sebagainya. Komponen yang lain terdapat pada

Website Browser. Hampir seluruh Website Browser komersial menyediakan

interpreter dan runtime environment dari teknologi Java.

2.3.3 Karakteristik Java

Berdasarkan white paper resmi dari Sun Microsystems, Java memiliki

karakteristik sebagai berikut.

1. Sederhana karena menggunakan sintaks mirip C++

2. Berorientasi objek yang membuat program dapat dibuat secara modular dan

dapat dipergunakan kembali.

3. Java dibuat sehingga aplikasi terdistribusi secara mudah dengan adanya libraries

networking yang terintegrasi.

4. Java dijalankan menggunakan interpreter yaitu Java Virtual Machine (JVM)

sehingga source code Java yang telah dikompilasi menjadi Java bytecodes yang

dapat dijalankan pada platform yang berbeda-beda.

28  

 

5. Compiler Java mempunyai kemampuan mendeteksi error secara lebih teliti

dibandingkan pemrograman lain. Selain itu, Java mempunyai Runtime Exception

Handling untuk membantu mengatasi error pada pemrograman.

6. Java memiliki beberapa mekanisme keamanan untuk menjaga aplikasi tidak

digunakan untuk merusak sistem komputer yang menjalankan aplikasi tersebut.

7. Program Java merupakan platform independent. Program cukup mempunyai satu

buah versi yang dapat dijalankan pada platform berbeda dengan Java Virtual

Machine (JVM).

8. Source code maupun program Java dapat dengan mudah dibawa ke platform

yang berbeda-beda tanpa harus dikompilasi ulang.

9. Performance Java meskipun kurang tinggi namun dapat ditingkatkan

menggunakan kompilasi Java lain seperti buatan Inprise, Microsoft, atau

Symantec yang menggunakan Just In Time Compilers (JIT).

10. Java mempunyai kemampuan untuk membuat suatu program yang dapat

melakukan beberapa pekerjaan secara sekaligus dan simultan.

11. Java didesain sehingga dapat dijalankan pada lingkungan yang dinamis.

Perubahan pada suatu kelas dengan menambahkan properties ataupun metode dapat

dilakukan tanpa menganggu program yang menggunakan kelas tersebut.

29  

 

2.3.4 Fase Pemrograman Java

Gambar 2.1 Aliran Proses Kompilasi dan Eksekusi

Langkah pertama dalam pembuatan sebuah program berbasis Java adalah

menuliskan kode program pada text editor. Contoh text editor yang dapat digunakan

antara lain: notepad, vi, emacs dan lain sebagainya. Kode program yang dibuat

kemudian tersimpan dalam sebuah berkas berekstensi .java.

Setelah membuat dan menyimpan kode program, kompilasi file yang berisi kode

program tersebut dengan menggunakan Java Compiler. Hasilnya adalah berupa

berkas bytecode dengan ekstensi .class.

Berkas yang mengandung bytecode tersebut kemudian akan dikonversikan oleh Java

Interpreter menjadi bahasa mesin sesuai dengan jenis dan platform yang digunakan.

Table 2.7 Fase Pemrograman Java Proses Tool Hasil Menulis kode program

Text Editor Berkas berekstensi .Java

Kompilasi Program Java compiler Berkas berekstensi .class (Java bytecodes)

Menjalankan program

Java Interpreter Program output

30  

 

2.4 Rekayasa Piranti Lunak

Rekayasa Piranti Lunak (RPL) adalah suatu disiplin ilmu yang membahas semua

aspek produksi perangkat lunak, mulai dari tahap awal yaitu analisa kebutuhan

pengguna, menentukan spesifikasi dari kebutuhan pengguna, disain, pengkodean,

pengujian sampai pemeliharaan sistem setelah digunakan. RPL tidak hanya berhubungan

dengan cara pembuatan program komputer. Pernyataan ”semua aspek produksi” pada

pengertian di atas, mempunyai arti semua hal yang berhubungan dengan proses produksi

seperti manajemen proyek, penentuan personil, anggaran biaya, metode, jadwal, kualitas

sampai dengan pelatihan pengguna merupakan bagian dari RPL.

2.4.1 Ruang Lingkup

Sesuai dengan definisi yang telah disampaikan sebelumnya, maka ruang

lingkup RPL dapat digambarkan sebagai berikut.

Gambar 2.2 Ruang Lingkup RPL (Abran et.al., 2004)

- Software Requirements berhubungan dengan spesifikasi kebutuhan dan

persyaratan perangkat lunak

- Software Design mencakup proses penampilan arsitektur, komponen, antar muka,

dan karakteristik lain dari perangkat lunak

31  

 

- Software Construction berhubungan dengan detil pengembangan perangkat lunak,

termasuk algoritma, pengkodean, pengujian dan pencarian kesalahan

- Software Testing meliputi pengujian pada keseluruhan perilaku perangkat lunak

- Software Maintenance mencakup upaya-upaya perawatan ketika perangkat lunak

telah dioperasikan

- Software Configuration Management berhubungan dengan usaha perubahan

konfigurasi perangkat lunak untuk memenuhi kebutuhan tertentu

- Software Engineering Management berkaitan dengan pengelolaan dan

pengukuran RPL, termasuk perencanaan proyek perangkat lunak

- Software Engineering Tools and Methods mencakup kajian teoritis tentang alat

bantu dan metode RPL

- Software Engineering Process berhubungan dengan definisi, implementasi

pengukuran, pengelolaan, perubahan dan perbaikan proses RPL

- Software Quality menitik beratkan pada kualitas dan daur hidup perangkat lunak

2.4.2 Metode Rekayasa Perangkat Lunak

Pada rekayasa perangkat lunak, banyak model yang telah dikembangkan

untuk membantu proses pengembangan perangkat lunak. Model-model ini pada

umumnya mengacu pada model proses pengembangan sistem yang disebut System

Development Life Cycle (SDLC) seperti terlihat pada gambar berikut ini.

32  

 

Gambar 2.3 System Development Life Cycle (SDLC)

SDLC merupakan serangkaian kegiatan yang dilakukan selama masa pengembangan

software. Pemakaian metode SDLC yang cocok ditentukan oleh beberapa aspek

seperti jenis bahasa pemrograman yang digunakan atau kompleksitas aplikasi.

Berikut adalah beberapa hal yang perlu diperhatikan selama proses pengembangan

sistem.

• Kebutuhan terhadap definisi masalah yang jelas. Input utama dari setiap model

pengembangan perangkat lunak adalah pendefinisian masalah yang jelas.

Semakin jelas akan semakin baik karena akan memudahkan dalam penyelesaian

masalah.

• Tahapan-tahapan pengembangan yang teratur. Meskipun model-model

pengembangan perangkat lunak memiliki pola yang berbeda-beda, biasanya

model-model tersebut mengikuti pola umum analysist – design – coding –

testing - maintenance

• Stakeholder berperan sangat penting dalam keseluruhan tahapan pengembangan.

Stakeholder dalam rekayasa perangkat lunak dapat berupa pengguna, pemilik,

33  

 

pengembang, pemrogram dan orang-orang yang terlibat dalam rekayasa

perangkat lunak tersebut.

• Dokumentasi merupakan bagian penting dari pengembangan perangkat lunak.

Masing-masing tahapan dalam model biasanya menghasilkan sejumlah tulisan,

diagram, gambar atau bentuk-bentuk lain yang harus didokumentasi dan

merupakan bagian tak terpisahkan dari perangkat lunak yang dihasilkan.

2.4.3 Tahapan Rekayasa Perangkat Lunak

Meskipun dalam pendekatan berbeda-beda, namun model-model pendekatan

memiliki kesamaan, yaitu menggunakan pola tahapan analysist – design –

coding(construction) – testing – maintenance.

1. Analisis sistem adalah sebuah teknik pemecahan masalah yang menguraikan

sebuah sistem menjadi komponen-komponennya dengan tujuan mempelajari

seberapa bagus dan baik komponen-komponen tersebut bekerja dan berinteraksi

untuk meraih tujuan.

Analisis mungkin adalah bagian terpenting dari proses rekayasa perangkat lunak

karena semua proses lanjutan akan sangat bergantung pada baik atat tidaknya

hasil analisis.

2. Disain perangkat lunak adalah tugas, tahapan atau aktivitas yang difokuskan

pada spesifikasi detil dari solusi berbasis komputer.

Disain perangkat lunak sering juga disebut sebagai physical design. Jika tahapan

analisis sistem menekankan pada masalah bisnis (business rule), maka

sebaliknya disain perangkat lunak fokus pada sisi teknis dan implementasi

sebuah perangkat lunak.

34  

 

Output utama dari tahapan disain perangkat lunak adalah spesifikasi disain.

Spesifikasi ini meliputi spesifikasi disain umum yang akan disampaikan kepada

stakeholder sistem dan spesifikasi disain rinci yang akan digunakan pada tahap

implementasi. Spesifikasi disain umum hanya berisi gambaran umum agar

stakeholder sistem mengerti akan seperti apa perangkat lunak yang akan

dibangun. Spesifikasi disain rinci atau kadang disebut disain arsitektur rinci

perangkat lunak diperlukan untuk merancang sistem sehingga memiliki

konstruksi yang baik, proses pengolahan data yang tepat dan akurat, bernilai,

memiliki aspek user friendly dan memiliki dasar-dasar untuk pengembangan

selanjutnya.

Desain arsitektur ini terdiri dari desain database, desain proses, desain user

interface yang mencakup desain input, output form dan report, desain

hardware, software dan jaringan. Desain proses merupakan kelanjutan dari

pemodelan proses yang dilakukan pada tahapan analisis.

3. Konstruksi adalah tahapan menerjemahkan hasil disain logis dan fisik ke dalam

kode-kode program komputer.

4. Pengujian sistem melibatkan semua kelompok pengguna yang telah

direncanakan pada tahap sebelumnya. Pengujian tingkat penerimaan terhadap

perangkat lunak akan berakhir ketika dirasa semua kelompok pengguna

menyatakan bisa menerima perangkat lunak tersebut berdasarkan kriteria-kriteria

yang telah ditetapkan.

5. Perawatan dan Konfigurasi. Ketika sebuah perangkat lunak telah dianggap layak

untuk dijalankan, maka tahapan baru menjadi muncul yaitu perawatan perangkat

lunak.