BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Pasar Modal dan Saham

Berdasarkan Undang-Undang Pasar Modal No. 8 tahun 1995, definisi pasar

modal adalah kegiatan yang bersangkutan dengan penawaran umum dan

perdagangan efek, perusahaan publik yang berkaitan dengan efek yang

diterbitkannya serta lembaga dan profesi yang berkaitan dengan efek.

Pasar modal merupakan pasar untuk berbagai instrumen keuangan jangka

panjang yang bisa diperjualbelikan, baik dalam bentuk utang maupun modal sendiri.

Di pasar modal, diperjualbelikan instrumen keuangan seperti saham, obligasi ,

waran, right, obligasi konvertibel, dan berbagai produk turunan(derivatif) seperti

opsi (put atau call) ( Darmaji, Tjiptono, dan Fakhruddin, Hendy M., 2001, p5).

Saham dapat didefinisikan sebagai tanda penyertaan atau kepemilikan

seseorang atau badan dalam suatu perusahaan atau perseroaan terbatas (Darmaji,

Tjiptono, dan Fakhruddin, Hendy M., 2001, p5). Daya tarik dari investasi saham

adalah potensi untuk mendapatkan keuntungan dari :

1. Dividen

Menurut Jones (2002, p.40) Dividens are the only cash payment regularly made

by corporations to their stockholders. Dividen merupakan keuntungan yang

diberikan perusahaan penerbit saham(emiten) atas keuntungan perusahaan dalam

bentuk uang tunai kepada para pemegang sahamnya. Biasanya dividen

dibagikan setelah adanya persetujuan pemegang saham dan dilakukan setahun

8

sekali pada umumnya. Agar investor berhak mendapatkan dividen, investor

tersebut harus memegang saham tersebut dalam kurun waktu tertentu hingga

kepemilikan saham tersebut diakui sebagai pemegang saham dan berhak

mendapatkan dividen. Dividen yang diberikan perusahaan dapat berupa dividen

tunai, di mana pemegang saham mendapatkan uang tunai sesuai jumlah saham

yang dimiliki dan dividen saham di mana pemegang saham mendapatkan jumlah

saham tambahan.

2. Capital Gain

Menurut Jones (2002, p.131) The appreciation (or depreciation) in the price of

asset commonly called the capital gain(loss). Capital gain merupakan selisih

antara harga beli dan harga jual yang terjadi. Capital gain terbentuk dengan

adanya aktivitas perdagangan di pasar sekunder. Umumnya investor jangka

pendek dan menengah mengharapkan keuntungan dari capital gain.

2.2 Definisi Portofolio

Dalam dunia keuangan, istilah portofolio diartikan sebagai kumpulan

investasi yang dimiliki oleh investasi yang dimiliki oleh institusi ataupun

perorangan. [id.wikipedia.org/wiki/Portofolio]. Portofolio dapat terdiri dari lebih dari

satu aset investasi, misalnya portofolio reksadana yang bisa terdiri atas saham,

obligasi, dan instrumen investasi lainnya. Dalam penulisan skripsi ini, yang akan kita

bahas hanya terbatas pada portofolio saham yakni portofolio yang hanya

mengandung saham sebagai aset investasinya.

9

2.3 Return

2.3.1 Definisi Return

Setiap pengembalian dari investasi yang diharapkan diberi istilah return.

Menurut Penman (2001, p.66) Returns are uncertain risky and normal returns are

compensations for bearing the risk and for the time value of money. Return adalah

risiko yang bersifat tidak pasti dan return normal adalah kompensasi dari menerima

risiko tersebut dan sebagai nilai waktu dari uang.

Return merupakan hasil yang didapat dari investasi yang dilakukan oleh

investor. Return dapat berupa keuntungan maupun kerugian. Rate of return adalah

skala yang menunjukkan hasil return dari investasi. Rate of return mempunyai

rumus sebagai berikut :

priceopeningdividendspriceopeningpricegcloreturnofRate += sin

Expected rate of return adalah jumlah hasil kali probabilitas kejadian dengan

rate of return, atau dapat ditulis dengan rumus sebagai berikut :

nn

n

iii RPRPRPRPRE +++==

=K2211

1)(

di mana :

E(R) = expected rate of return

Ri = rate of return saham ke-i

Pi = probabilitas terjadinya rate of return saham ke-i

Untuk menentukan expected rate of return, dapat diambil data historis. Jadi

dengan menggunakan data-data dari masa yang lalu, dapat dihitung nilai harapan

untuk return di masa yang akan datang.

10

2.3.2 Return Portofolio

Return dari suatu portofolio merupakan return dari sekumpulan aset(saham)

yang membentuk portofolio tersebut. Bila investor mempunyai dana sebesar X yang

akan dialokasikan ke sejumlah aset, maka dapat dinyatakan :

),,,( 21 nXXXX K=

dengan constraint

1011

==

i

n

ii XdanX

di mana Xi adalah jumlah proporsi dana yang dialokasikan ke saham ke-i. Dengan

demikian, return portofolio dapat dirumuskan sebagai berikut :

nni

n

iip RXRXRXRXR +++==

=K2211

1

di mana : Rp =return portofolio

Ri = expected return dari saham ke-i

Xi = jumlah proporsi dana yang dialokasikan ke saham ke-i

n = jumlah saham yang membentuk portofolio

2.4 Risiko

2.4.1 Definisi Risiko

Dalam melakukan investasi, seorang investor harus memiliki alat untuk

meneliti, menganalisis dan menyeleksi saham yang akan dibeli. Sehubungan dengan

hal tersebut, investor harus mempertimbangkan risiko yang dihadapi dan keuntungan

yang diharapkan. risiko dapat timbul karena adanya ketidakpastian pada masa yang

11

akan datang.

Jones (2002, p. 131) mendefinisikan Risk is the chance that actual outcome

from an investment will differ from the expected outcome. Risiko adalah

kemungkinan berbedanya antara hasil yang terjadi dengan hasil yang diharapkan

dalam hal ini return. Risiko dapat dikelompokkan menjadi 3 jenis sebagai berikut.

1. Systematic Risk / Market-related Risk

Risiko ini disebabkan oleh faktor-faktor yang secara serentak mempengaruhi

harga saham di bursa. risiko ini disebut juga risiko pasar. Contohnya adalah

kebijakan pemerintah di bidang politik dan ekonomi, kenaikan tingkat suku

bunga, adanya inflasi dan devaluasi yang akan memiliki pengaruh terhadap

seluaruh perekonomian negara. Jenis risiko ini tidak dapat dipengaruhi melalui

diversifikasi pada portofolio.

2. Unsystematic Risk / Firm-specific Risk

Risiko ini disebabkan oleh faktor internal perusahaan atau dalam industri itu

sendiri. Unsur yang mempengaruhi risiko ini adalah kelompok industri, sistem

manajemen organisasi, personalia perusahaan, bidang usaha, struktur

permodalan, susunan aktiva tetap dan sebagainya. Contohnya adalah kebakaran

pabrik tekstil A tidak mengganggu kinerja pabrik sepatu pabrik B, kelalaian

manajemen bank A tidak akan mempengaruhi kinerja bank B, dan lain

sebagainya. Jenis risiko ini dapat dipengaruhi melalui diversifikasi pada

portofolio.

3. Portofolio Risk

risiko ini dipengaruhi oleh bagian atau persentase pemilikan saham dari suatu

perusahaan dalam suatu portofolio. Besarnya risiko setiap saham dan corak

12

hubungan antar masing-masing saham cenderung positif atau negatif. Dengan

diversifikasi saham yang tepat, risiko portofolio dapat diminimalkan.

Salah satu prinsip investasi yang utama adalah risk-return tradeoff - We

won't take on additional risk unless we expect to be compensated with additional

return (Keown, 2001, p11). Artinya adalah bahwa kita bersedia untuk menanggung

sejumlah risiko asalkan kepada kita diberikan tambahan return karena kita telah

bersedia menanggung risiko tambahan tersebut. Dalam konteks investasi, risiko

hanya dapat diminimalkan, tetapi tidak dapat dihilangkan seluruhnya. Salah satu

caranya adalah dengan melakukan diversifikasi saham-saham yang membentuk

portofolio.

Berdasarkan tingkat toleransi terhadap risiko investasi, ada 3 macam tipe

investor yaitu:

1. Investor konversatif

Tipe investor konversatif adalah tipe investor yang cenderung menghindari risiko

(risk averse). Investor konservatif biasanya berinvestasi untuk meningkatkan

kualitas hidup keluarga dan dengan rentang waktu investasi yang cukup panjang,

misalnya, untuk pendidikan perguruan tinggi anak atau biaya hidup di hari tua.

Investor tipe ini memiliki kecenderungan menanam investasi dengan keuntungan

(return) yang layak saja dan tidak memiliki risiko besar, karena filosofi investasi

mereka adalah menghindari risiko. Bila investor tipikal ini berinvestasi pada

saham maka saham-saham yang dibeli adalah saham-saham dengan pertumbuhan

yang pasti, sebab dengan pastinya pertumbuhan pendapatan perusahaan tersebut

maka akan secara konstan perusahaan tersebut membagikan dividen.

13

2. Investor moderat

Tipe investor moderat adalah tipe investor yang memiliki tingkat toleransi yang

lebih baik dari investor konversatif. Investor tipe ini umumnya berinvestasi

dalam jangka waktu menengah. Investor tipe ini lebih mengambil risiko dengan

harapan mendapat return yang lebih besar. Umumnya saham-saham yang dibeli

adalah saham-saham yang likuid dan bisa memberikan capital gain dalam jangka

waktu menengah.

3. Investor agresif

Tipe investor agresif adalah tipe investor yang sangat menyukai risiko(risk

lover). Mereka sangat teliti dalam menganalisa portofolio yang dimiliki.

Semakin banyak angka-angka dan fakta yang bisa dianalisa adalah semakin baik.

Investor tipe ini umumnya berinvestasi dengan rentang waktu relatif pendek

karena mengharapkan adanya keuntungan yang besar dalam waktu singkat.

Walaupun tidak berharap untuk merugi, namun setiap investor agresif menyadari

bahwa kerugian adalah bagian dari permainan. Saham-saham yang dibeli

umumnya adalah saham yang masuk kategori spekulatif (speculative stock).

2.4.2 Standar Deviasi

Sehubungan dengan investasi, para investor menggunakan berbagai definisi

untuk menjelaskan makna risiko. Salah satu cara yang digunakan untuk mengukur

risiko secara kuantitatif adalah dengan menggunakan ukuran statistika yang disebut

standar deviasi atau volatilitas. Standard deviation is a measure of the spread or

dispersion about the mean of a probability distribution (Keown, 2001, p177).

Artinya dalam hal ini risiko dilihat sebagai fluktuasi (naik turunnya) pengembalian

14

dari pengembalian yang diharapkan atau simpangan baku pengembalian dari rata-

rata pengembalian.

Standar deviasi dapat ditulis dengan rumus :

2_

1)(1 RR

N

N

ii

==

di mana :

= standar deviasi

N = jumlah saham

Ri = expected return saham ke-i

_R = rata-rata expected return keseluruhan saham

Standar deviasi portofolio dapat ditulis sebagai berikut :

),(1 1

ji

n

i

n

jjiP RRCovXX

= ==

di mana :

Xi = proporsi saham i dalam portofolio

Xj = proporsi saham j dalam portofolio

n = jumlah saham yang membentuk portofolio

Cov(Ri, Rj) = kovarians return antara saham i dengan saham j

Dua buah saham yang returnnya bergerak berlawanan, dalam kombinasi

akan menghasilkan standar deviasi yang lebih rendah daripada standar deviasi

saham secara individual.

2.5 Kovarians dan Koefisien Korelasi

Teori portofolio Markowitz menunjukkan bagaimana diversifikasi pada

15

portofolio saham dapat meminimalkan risiko. Risiko portofolio bukanlah sekedar

merupakan rata-rata tertimbang dalam portofolio, tetapi harus juga dipertimbangkan

adanya hubungan di antara saham-saham tadi. Konsep statistik yang dipakai dalam

metode ini adalah kovarians dan koefisien korelasi.

2.5.1 Kovarians

Menurut [en.wikipedia.org/wiki/Covariance], covariance is the measure of

how much two random variables vary together. Kovarians adalah ukuran

kecenderungan dua buah peubah acak berubah-ubah secara bersamaan. Jika dua

buah peubah acak cenderung untuk berubah secara bersamaan di mana bila salah

satu peubah cenderung di atas nilai harapannya, dan peubah yang lainnya cenderung

di atas nilai harapannya juga, maka kovarians antara dua peubah acak tersebut akan

bernilai positif, dan sebaliknya.

Kovarians antara dua buah peubah acak X dan Y dengan nilai harapan

=)(XE dan =)(YE dapat didefinisikan sebagai berikut.

)))(((),( = YXEYXCov

dimana E adalah operator nilai harapan. Rumus tersebut di atas dapat juga ditulis

sebagai berikut.

= ).(),( YXEYXCov

16

2.5.2 Koefisien Korelasi

Koefisien korelasi adalah nilai yang menunjukkan kekuatan dan arah

hubungan linier antara dua peubah acak (random variable)

[id.wikipedia.org/wiki/Korelasi]. Koefisien korelasi diperoleh dengan membagi

kovarians kedua peubah acak dengan perkalian simpangan bakunya.

Secara matematis, korelasi antara dua peubah acak X dan Y dengan nilai

yang diharapkan X dan Y , serta simpangan baku X dan Y didefinisikan sebagai berikut.

YX

YX

YXYX

YXEYXCov

)))(((),(,

==

Karena )(XEX = , )()( 222 XEXEX = dan demikian pula untuk Y, maka dapat pula ditulis sebagai berikut.

)()()()(

)()()(2222

,

YEYEXEXE

YEXEXYEYX

=

Koefisien korelasi akan bernilai 1 jika terdapat hubungan linier yang positif,

dan sebaliknya akan bernilai -1 jika terdapat hubungan linier yang negatif. Nilai

antara -1 dan +1 menunjukkan tingkat dependensi linier antara dua peubah.

Semakin dekat dengan -1 atau +1, semakin kuat korelasi antara kedua peubah

tersebut.

2.6 Diversifikasi Portofolio

Diversifikasi portofolio diartikan sebagai pembentukan portofolio

sedemikian rupa sehingga dapat mengurangi risiko portofolio tanpa mengorbankan

pengembalian yang dihasilkan. Ini merupakan tujuan yang diingin dicapai oleh

17

investor. Yang dimaksud dengan diversifikasi dalam hal ini adalah seluruh dana

yang ada seharusnya tidak diinvestasikan ke saham satu saham perusahaan saja.,

melainkan portofolio harus terdiri dari lebih dari satu jenis saham. Masalah yang

akan muncul di sini adalah bagaimana cara pemilihan saham perusahaan dan berapa

besar alokasi dana bagi masing-masing saham perusahaan dalam portofolio.

Sebelum adanya perkembangan teori portofolio, walaupun investor sering

membicarakan diversifikasi portofolio secara umum, namun mereka tidak pernah

menggunakan alat ukur sebagai analisis untuk menjawab masalah di atas. Dengan

berkembangnya teori portofolio yang ditemukan oleh Harry M. Markowitz, maka

dapat diperoleh manfaat maksimal dari diversifikasi yang dilakukan.

2.7 Teori Portofolio Markowitz

Teori Portofolio Markowitz adalah suatu pendekatan investasi yang

dikembangkan oleh ekonom University of Chicago Harry M. Markowitz, yang

memenangkan Nobel Prize in economics pada tahun 1990. Teori portofolio ini

disebut juga teori portofolio modern. Pendekatan Markowitz dalam memilih

portofolio adalah bahwa investor harus memilih portofolio berdasarkan return yang

diharapkan dan risiko yang diukur dari standar deviasi. Markowitz kemudian

menurunkan konsep yang disebut dengan efficient portfolio, yang didefiniskan

sebagai portofolio yang mempunyai risiko terkecil untuk expected return yang sama,

atau expected return terbesar untuk tingkat risiko yang sama. Markowitz juga

membuktikan bahwa risiko portofolio dapat dikurangi dan expected rate of return

dapat ditingkatkan jika aset-aset investasi mempunyai pengerakan harga yang tidak

sama bila dikombinasi (mendekati korelasi -1 semakin bagus untuk diversifikasi).

18

Hal pertama yang harus dilakukan dalam teori portofolio adalah

mendefinisikan risk-return opportunities yang tersedia untuk sekumpulan saham.

Kemungkinan kombinasi tersebut sangat banyak mengingat jumlah alokasi untuk

tiap saham bisa sangat bervariasi. Semua kombinasi tidak perlu dicoba karena yang

perlu diperhatikan hanyalah portofolio yang berada dalam efficient set.

Gambar 2.1 Kurva Efficient Frontier

Aset-aset yang ada pada gambar 2.1 menggambarkan sekumpulan kombinasi

yang mungkin (opportunity set). Opportunity set ini merupakan keseluruhan

portofolio yang bisa ditemukan dalam sebuah kelompok yang terdiri dari n saham.

Bagi investor yang cenderung menghindari risiko umumnya akan tertarik ke

portofolio yang mempunyai risiko terkecil untuk level return yang sama. Titik A

19

merupakan global minimum-variance karena tidak ada minimum-variance lain yang

mempunyai risiko lebih kecil. Segmen bawah AC akan didominasi oleh segmen atas

AB. Sebagai contoh portofolio P yang mempunyai tingkat return yang lebih tinggi

dari portofolio Q dengan tingkat risiko yang sama, sehingga investor akan selalu

memilih portofolio P. Segmen AB ini yang dikenal dengan efficient frontier.

Frontier ini adalah kurva yang menggambarkan kemungkinan standar deviasi

(risiko) yang terendah yang dicapai untuk portofolio expected return yang

diberikan. Dari data expected return, standar deviasi dan kovarians, kita dapat

menghitung minimum variance portofolio untuk setiap target expected return.

Dari kurva efficient frontier, portofolio yang terletak di sepanjang kurva AB

adalah kumpulan portofolio yang efisien di mana portofolio tersebut mempunyai

risiko terkecil untuk expected return yang sama, atau expected return terbesar untuk

tingkat risiko yang sama. Sedangkan untuk portofolio yang terletak di bawah kurva

AB adalah kumpulan portofolio yang dikategorikan tidak efisien.

Solusi dari model Markowitz bergantung dari bobot portofolio atau proporsi

dana yang dialokasikan ke masing-masing saham yang membentuk portofolio.

Karena standar deviasi, expected return dan kovarians adalah input dalam analisis

model Markowitz, maka bobot saham dalam portofolio adalah satu-satunya variabel

yang bisa dimanipulasi untuk mencari titik maksimal portofolio.

2.8 Algoritma Critical Line

Markowitz mengembangkan algoritma yang dinamakan algoritma Critical

Line untuk menghasilkan kurva efficient frontier .

20

2.8.1 Fungsi Utilitas Portofolio

Dalam teori portofolio Markowitz, suatu portofolio memiliki fungsi utilitas

up sebagai berikut.

up = ep vp / r t

di mana :

X = (X1, X2, X3, ... , Xn)

ep = XT * e = return portofolio

vp = XT * C * X = varians portofolio

Up = fungsi utilitas portofolio

rt = risk tolerance (toleransi risiko)

X = matriks proporsi masing-masing saham dalam portofolio

e = matriks nilai return masing-masing saham

v = matriks varians masing-masing saham

C = matriks kovarians antar saham-saham

Nilai utilitas portofolio up disebut juga risk-adjusted return dari suatu

portofolio karena merupakan hasil dari return portofolio dikurangi dengan pinalti

risiko ( vp / rt ). Risk tolerance adalah sebuah angka non negatif yang mengukur

seberapa besar toleransi seorang investor terhadap risiko untuk mencapai return

tertentu.

2.8.2 Fungsi Objektif

Fungsi objektif yang digunakan untuk menyeleksi portofolio yang efisien

adalah sebagai berikut :

21

Max ( up = ep vp / rt )

dengan batasan fungsi kendala :

x = 1

n

X i = 1

L b i X i Ub i

di mana :

Xi = proporsi saham ke-i dalam portofolio

Lbi = nilai batas bawah untuk saham ke-i

Ubi = nilai batas atas untuk saham ke-i

Batasan fungsi kendala di atas menyatakan bahwa jumlah proporsi dari setiap saham

yang terdapat dalam satu portofolio harus bernilai 1. Xi memiliki nilai batas bawah

dan nilai batas atas dalam hal ini adalah nilai minimum dan maksimum proporsi

saham ke-i tersebut dalam portofolio. Nilai default batas bawah dan batas atas adalah

0 dan 1. Nilai batas bawah berarti proporsi dari suatu saham dalam portofolio adalah

minimum 0 %. Sedangkan nilai batas atas berarti proporsi dari suatu saham dalam

portofolio adalah maksimum 100%.

Fungsi kendala x = 1

n

X i = 1 dapat ditulis dalam bentuk persamaan AX = b.

Matriks A adalah matriks berukuran m x n dan matriks b adalah matriks vektor

berukuran m x 1. Persamaan AX = b sama dengan bentuk persamaan berikut.

11111 bXaXa nn =++K

mnmnm bXaXa =++K11

Dalam kasus ini , dikarenakan hanya ada constraint x = 1

n

X i = 1 maka nilai m = 1

22

sehingga berlaku a11 = a12 = a1n = 1.

Dalam kalkulus differensial, untuk mendapatkan nilai maksimum dari suatu

fungsi kita dapat menggunakan turunan parsial terhadap masing-masing variabel.

Untuk fungsi utilitas Up, turunan parsialnya terhadap Xi adalah berikut :

)(*)/1(

)()()(

iXvprt

iXep

iXupimu

=

=

dengan

)()(

ieiX

ep =

)(*2)(

XCovdariikebarisiX

vp =

Dengan demikian mu(i) dapat ditulis ulang menjadi

)](*),(*2)2(*)2,(*2)1(*)1,(*2[*)/1()()( nXniCXiCXiCrtieimu +++= K Dengan mengambil asumsi Lb(i) = - ~ dan Ub(i) = + ~ , maka dapat didefiniskan

mu(i) = mup di mana mup merupakan sebuah nilai konstan.

mupnXniCXiCXiCrtie =+++ )](*),(*2)2(*)2,(*2)1(*)1,(*2[*)/1()( K

Mengingat x = 1

n

X i = 1 , maka persamaan di atas dimodifikasi menjadi berikut :

)(*)(*),(*2)2(*)2,(*2)1(*)1,(*2 ierttmupnXniCXiCXiC =++++ K dengan tmup = rt * mup .

Semua kondisi di atas dapat dirangkum dalam satu persamaan matriks D*y = k + rt * f.

+

=

0)(

)1(

*

1000

)(

)1(

*

01111),(*2)1,(*211),1(*2)1,1(*2

ne

e

rt

tmupnX

X

nnCovnCov

nCovCovMM

LMLM

L

23

2.8.3 Lagrange Multiplier

Model persamaan fungsi objektif di atas merupakan model permasalahan

pemrograman non linear. Untuk menyelesaikan masalah pemrograman non linear,

dapat digunakan pengali Lagrange dengan membentuk persamaan Lagrange.

Sebagai contoh, terdapat permasalahan berikut.

Maksimumkan f = f(X)

dengan kendala g(X) = b

Fungsi Lagrangenya dapat ditulis sebagai berikut.

))(()(),( bXgXfXL += Persamaan tersebut harus memenuhi syarat :

0),( , =

i

i

XXL

di mana i=1, 2, ..., n dan 0),( , =

iXL .

Untuk model masalah seleksi portofolio, fungsi objektif up = ep vp / rt

dapat diubah menjadi vup = rt * ep vp dalam konteks varians. Dengan demikian,

maka model permasalahan seleksi portofolio menjadi sebagai berikut :

Maksimumkan fungsi f(X) = up = rt * ep vp

dengan kendala AX = b dan L b i X i Ub i

Fungsi Lagrangenya dapat ditulis sebagai berikut.

]*:),1()1([** XAbgeprtL += dengan

giCiertiX

L = *:),(*2)(*

)(

di mana g = pengali Lagrange.

24

Persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk persamaan matriks berikut.

gXCertL = )(*2* yDfrtL ** =

2.8.4 Kondisi Kuhn-Tucker

Kondisi Kuhn-Tucker digunakan untuk mengidentifikasi stationary points

atas permasalahan nonlinier dengan batasan masalah berupa pertidaksamaan.

Misalkan masalah :

Maksimumkan z = f(X) dengan X = { X1, X2, ... , Xn }t

dengan kendala gj(X) = 0) menjadi slack

quantity yang ditambahkan ke batasan masalah ke-i dari gi(X)

25

Dalam kasus maksimasi, sisi sebelah kanan dari batasan g(X) 0) , solution space menjadi lebih sedikit dibatasi dan f tidak dapat menurun. Hal ini berarti 0 . Sama halnya dengan kasus minimasi,sejalan dengan sisi sebelah kanan dari batasan menurun , f tidak dapat menurun, yang

menyatakan 0 . Bila batasan masalahnya berupa persamaan, yaitu g(X) = 0, maka menjadi tidak terbatas dalam tanda .

Sekarang akan diturunkan secara sebagian dari L mengacu kepada X, S, dan

maka didapat :

0)()( =

=

XXg

XXf

XL

miSSL

iii

,,2,1,02 K===

0))(( 2 =+= SXgL

Set kedua dari persamaan-persamaan menunjukkan hasil sebagai berikut :

1. Jika 0i , maka Si2 = 0

2. Jika S i2 0 , maka 0=i

Dari set kedua dan ketiga dari persamaan didapat :

miXgii ,,2,1,0)( K== Kondisi baru ini mengulang pernyataan sebelumnya, karena jika

0)(,0 => Xgii maka Si2 = 0 dan jika 0,0)( 2 >> ii SXg maka 0=i . Kondisi Kuhn-Tucker untuk masalah maksimasi dapat dirangkum sebagai berikut :

0 0)()( = XgXf

26

miXgii ,,2,1,0)( K== 0)( Xg

2.8.5 Corner Portfolio

Corner Portfolio memang peranan penting dalam algoritma Critical Line.

Corner portfolio adalah portofolio untuk nilai rt tertentu di mana ada variabel

proporsi X(i) yang akan berubah bobot dan statusnya.

Untuk mencari portofolio optimal untuk nilai rt tertentu, persamaan D*y = k

+ rt * f dapat dimodifikasi menjadi DD * y = kk+ rt * ff dengan cara mengeluarkan

variabel yang tidak masuk dalam nilai batasan batas bawah dan batas atas. Matriks y

merupakan portofolio optimal untuk nilai rt tertentu dapat dicari dengan rumus

berikut.

ffDDinvrtkkDDinvy *)(**)( += Untuk menghasilkan kurva efficient frontier, hanya diperlu dicari semua corner

portfolio yang ada.

2.9 Rekayasa Piranti Lunak

Menurut Pressman (2001, p6), piranti lunak adalah :

1. Instruksi instruksi (program komputer) yang jika dijalankan akan menyediakan

fungsi yang diperlukan.

2. Struktur data yang memungkinkan program untuk memanipulasi informasi.

3. Dokumen yang menyatakan operasi dan kegunaan program.

Menurut Fritz Bauer (Pressman, 2001, p19), rekayasa piranti lunak adalah

27

penetapan dan pemakaian prinsip-prinsip rekayasa dengan tujuan untuk

mendapatkan piranti lunak yang ekonomis, terpercaya, dan bekerja secara efisien

pada mesin yang sebenarnya (komputer).

Menurut Pressman (2001, p19), rekayasa piranti lunak terbagi menjadi 3

lapisan yang mampu mengontrol kualitas dari piranti lunak, yaitu :

a. Proses (Process)

Proses merupakan lapisan paling dasar dalam rekayasa piranti lunak. Proses dari

rekayasa piranti lunak adalah perekat yang menyatukan lapisan-lapisan teknologi

dan memungkinkan pengembangan yang rasional danperiodik dari piranti lunak

komputer.

b. Metode (Methods)

Metode dari rekayasa piranti lunak menyediakan secara teknikal bagaimana

membangun sebuah piranti lunak. Metode meliputi sekumpulan tugas yang luas,

termasuk di dalamnya, analisis kebutuhan, perancangan, konstruksi program,

pengujian dan pemeliharaan. Metode dari rekayasa piranti lunak bergantung

pada sekumpulan prinsip dasar yang memerintah masing-masing area teknologi

dan memasukkan pemodelan aktivitas, serta teknik deskriptif lainnya.

c. Alat Bantu (Tools)

Alat bantu dari rekayasa piranti lunak menyediakan dukungan otomatis atau

semi otomatis untuk proses dan metode. Ketika alat bantu diintegrasi, infromasi

akan diciptakan oleh sebuah alat bantu yang dapat digunakan oleh lainnya,

sebuah sistem untuk mendukung pengembangan piranti lunak, yang disebut

computer-aided software engineering (CASE). CASE menggabungkan piranti

lunak, perangkat keras, dan database piranti lunak untuk menciptakan

28

lingkungan rekayasa piranti lunak yang sejalan dengan CAD / CAE (computer-

aided design / engineering ) untuk perangkat keras.

Menurut Pressman (2001, p28), dalam perancangan piranti lunak, dikenal

linear sequential model atau yang lebih dikenal dengan sebutan classic life cycle

atau waterfall model. Model ini menyarankan pendekatan yang sistematik dan

berurutan dalam pengembangan piranti lunak yang melalui analisis, desain dan

pengkodean, pengujian, dan pemeliharaan. Model ini meliputi serangkaian aktivitas,

yaitu :

a. Rekayasa dan pemodelan sistem

Karena piranti lunak merupakan sebuah bagian dari sistem yang besar, maka

yang besar, maka yang perlu dilakukan pertama kali adalah menetapkan

kebutuhan untuk seluruh elemen sistem dan mengalokasikan sebagian dari

kebutuhan tersebut ke piranti lunak.

b. Analisis kebutuhan piranti lunak

Untuk dapat mengerti inti dari program yang dibangun, diperlukan pengertian

akan informasi yang diperlukan oleh piranti lunak.

c. Perancangan

Perancangan piranti lunak sebenarnya merupakan sebuah proses yang terdiri dari

banyak kegiatan, yang menitikberatkan pada 4 atribut dari program yaitu :

struktur data, arsitektur piranti lunak, representasi, dan detil prosedur.

d. Pengkodean

Dalam pengkodean, perancangan yang telah dilakukan diterjemahkan ke bentuk

yang dimengerti oleh komputer.

29

e. Pengujian

Pengujian dilakukan terhadap piranti lunak yang telah dirancang apakah sesuai

dan telah memenuhi kriteria yang ingin dicapai.

f. Pemeliharaan

Pemeliharaan dilakukan untuk mengantisipasi terhadap terjadinya kesalahan

karena perubahan sistem atau peningkatan kebutuhan pengguna akan fungsi

baru.

Gambar 2.2 Waterfall Model (Pressman, 1992, p25)

2.10 Qt Framework

Qt adalah toolkit yang digunakan untuk membangun aplikasi berbasis GUI

di Unix. Qt dikembangkan oleh Trolltech dan menjadi fondasi untuk pengembangan

30

K Desktop Environment (KDE), selain juga telah dipergunakan dalam berbagai

aplikasi komersial. Qt digolongkan sebagai software open-source karena dilisensi

dual yaitu General Public License (GPL) dan Q Public License (QPL).

Qt dirancang untuk pengembangan aplikasi dengan C++. Oleh karenanya, Qt

berisi sekumpulan kelas-kelas yang tinggal dimanfaatkan saja, mulai dari urusan

antarmuka (user interface), operasi input ouput, networking, timer, template library,

dan lain-lain. Qt mendukung penuh Unicode (mulai versi 2.0) sehingga urusan

internationalization (i18n) dan encoding teks bukan menjadi masalah. Qt juga

menawarkan dukungan platform yang luas yakni MS Windows, GNU Linux dan

Mac OS. Dengan demikian, program Qt dapat dikompilasi ulang di masing-masing

sistem operasi dan dijalankan. Walaupun merupakan free software, Qt terbukti stabil

dan lengkap. Dibandingkan toolkit lain, Qt juga mudah untuk dipelajari dan

dilengkapi dengan dokumentasi dan tutorial yang rinci.