Angka, Kesalahan, dan Metode Numerik

Metode Numerik dalam Ilmu Rekayasa Sipil Bab I hal. 1

1.1 PENDAHULUAN

Dalam keseharian, angka digunakan berdasarkan sistem desimal. Misalnya 369 dapat dinyatakan sebagai 369 = 3*100 + 6*10 + 9*1 = 3*102 + 6*101 +9*100Angka 10 disebut basis sistem. Setiap angka bulat dapat dinyatakan sebagai suatu polinomial basis 10 dengan koefisien integral antara 0 dan 9. Digunakan notasi N = (an an-1 . . . . a0)10 = an10n + an-110n-1 + . . . . +a0100 (1.1) untuk menyatakan setiap angka bulat dalam basis 10. Komputer membaca angka berdasarkan impuls listrik mati-hidup (on dan off). Pada komputer impuls ini menyatakan angka berdasarkan sistem binari; yaitu sistem berbasis 2 dengan koefisien bilangan bulat 0 atau 1. Suatu bilangan bulat bukan negatif dalam sistem binari adalah N = (an an-1 . . . . a0)2 = an2n + an-12n-1 + . . . . +a020 (1.2) hal mana koefisien ak adalah 0 atau 1. N merupakan polinomial berbasis 2. Konversi bilangan bulat berbasis kepada berbasis 10 dapat secara langsung dilakukan dengan menggunakan algoritma 1.1 berikut : Algoritma 1.1 Dengan koefisien an, an-1, an-2 . . . . . ., a2, an, a0 dari polinomial ( ) 01221n1-nnn a xa xa . . . . . xa xa xp +++++= (1.3)

dan suatu bilangan , perhitungan bilangan bn, bn-1, bn-2 . . . . . ., b2, bn, b0 :

+=

+=+=

+==

100

3-n3-n3n

1-n2-n2n

n1-n1n

nn

b a b.

b a bb a bb a b

a b

dengan demikian ( )= p b0

Angka, Kesalahan, dan Metode Numerik Mengingat definisi (1.2) , bilangan bulat binari (an an-1 . . . . a0)2 menyatakan nilai polinomial (1.3) di x = 2. Dengan algoritma 1.1 untuk = 2, dapat dicari ekivalen desimal dari bilangan bulat binari. Desimal dari (1101)2 menggunakan algoritma 1.1 adalah :

13 2*6 1 b6 2*3 0 b3 2*1 1 b

1 b

0

1

2

3

=+==+==+=

=

Ekivalen desimal dari (10000)2 adalah :

16 2*8 0 b8 2*4 0 b4 2*2 0 b2 2*1 0 b

1 b

0

1

2

3

4

=+==+==+==+=

=

Merubah bilangan desimal N kepada ekivalen binari dapat dilakukan dengan algoritma 1.1 menggunakan aritmatik binari. Untuk N = (an an-1 . . . . a0)10, mengingat (1.) N = p(10), hal mana p(x) adalah polinomial (1.3). Menghitung bilangan binari bagi N dengan merubah koefisien an an-1 . . . . a0 ke bilangan bulat binari dan kemudian menggunakan algoritma 1.1 menetapkan p(x) di x = 10 = (1010)2 dalam aritmatik binari. Contoh bilangan desimal N = 187 :

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1010111 10101000 10101

10*7 10*8 10*1 187 187022

122

222

01210

++=++==

dan menggunakan algoritma 1.1 serta aritmatik binari, ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222220

2222221

22

10111011 10110100 111 101010010 111 b10010 1010 1000 10101 1000 b

1 b

=+=+==+=+=

=

Dengan demikian 187 = (10111011)2. Angka Floating-Point Seperti yang umum dipahami, penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian bilangan

( ) . . . . 1,2, i a N ieii ==

Metode Numerik dalam Ilmu Rekayasa Sipil Bab I hal. 2

Angka, Kesalahan, dan Metode Numerik hal mana ai koefisien, basis sistem angka, dan ei eksponen, akan mengambil bentuk : ( ) ( ) ( ) 2121 ee21e2e121 aaa*aN*N +== ( )( ) 212

1ee

2

1e

2

e1

2

1

aa

aa

NN =

= ( ) ( ) ( ) 11221 eee21e2e121 aaaaNN == Bilangan yang dinyatakan dalam bentuk ae disebut bilangan floating-point. Sebagai contoh angka 543.8 dapat dinyatakan sebagai 0.5438(103), hal mana 0.5438 koefisien a, 10 basis sistem angka desimal, dan 3 adalah eksponen. Juga angka 543.8 dapat dinyatakan dalam bilangan floating point : 543.8 = 54.38(101) = 5.438(102) =0.5438(103) = 0.05438(104) = 0.005438(105) = 5438(10-1) = 54380(10-2) = . . . . . . . . Jika koefisien a adalah bilangan pecahan F pada angka basis sistem dengan

1F1 p , maka angka Fe disebut angka floating-point yang dinormalisir. Angka

0.5438(103) adalah angka floating-point yang dinormalisir dalam sistem desimal berbasis 10; sedangkan bentuk lainnya 0.05438(104) atau 0.005438(105) bukan yang dinormalisir. Pecahan F juga dinyatakan sebagai mantissa. Ketepatan atau presisi n dari angka floating point F pada komputer ditentukan dari kapasitas komputer. Umumnya angka floating-point sistem berbasis =2 yang digunakan pada komputer dinyatakan dalam dua presisi, yaitu single precision (kecermatan tunggal) dan double precision (kecermatan ganda). Perhitungan dengan kecermatan ganda memerlukan storage lebih dua kali dari proses perhitungan dengan kecermatan tunggal. Terdapat dua cara yang digunakan merubah angka x kedalam n digit angka floating-point fl(x) : pembulatan (rounding) atau pemenggalan (chopping). Cara pembulatan adalah memilih fl(x) pada angka floating-point normalisir yang terdekat dengan x, seperti pembulatan pada suatu digit genap. Bagi pemenggalan, fl(x) dipilih sebagai yang terdekat angka floating-point normalisir antara x dan 0. Contoh :

( )( )=

=

npemenggala 1066.0

pembulatan 1067.032fl

32x

0

0

( ) ( )( )=

=

npemenggala 1073.0pembulatan 1074.0

737fl

737x

3

3

Metode Numerik dalam Ilmu Rekayasa Sipil Bab I hal. 3

Angka, Kesalahan, dan Metode Numerik Selisih {x-fl(x)} disebut kesalahan pembulatan, yang bergantung pada ukuran x sehingga bersifat relatif terhadap x. Operasi aritmatik bilangan floating-point yang dinormalisir menghasilkan angka floating-point yang berbeda bentangnya. Bila x = 0.30 (101), y = 0.88 (10-6), dan z = 0.20(101), maka :

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )121111

-56161

106.0100.061020.0*30.01020.0*1030.0xz

100.2641088.0*30.01088.0*1030.0xy

=======

+

Terlihat dari contoh diatas : Jika yxxyyxxyyx eee ,F*FF ,1FF1.0 +== p 1eee ,F*F*10F ,1.0FF yxxyyxxyyx +==p

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) 10111

1

7616

1

1015.0105.11020.030.0

1020.01030.0

zx

10375.01088.030.0

1088.01030.0

yx

==

==

=

==

+

sehingga disimpulkan :

Jika yxx/yy

xy/x

y

x eee ,FF

F ,1FF

1.0 == p

1eee ,10

F*FF ,1

FF

yxx/yyx

y/xy

x +==f Untuk penambahan maupun pengurangan :

( )( )( ) ( ) ( )2333-33 3

10711.0100711.01010* 0.3611-0.4322yx

100.3611- y ,0.4322(10) x

===+==

( )( )( ) ( ) ( ) ( )33333-11 3

10288562.010004162.0102844.01010 *0.41620.2844yx

100.4162y ,0.2844(10) x

=+=+=+==

( )( )( ) ( ) ( ) ( )33333-22 3

1078391.01004111.0107428.01010 *0.41110.7428yx

100.4111y ,0.7428(10) x

=+=+===

Terlihat dari contoh diatas : ( ) ( ) ( )( )

( )1 F 0.1 sehingga rupa sedemikian m

mana yang ,mee ,FF10F ,1.0FF a.

: 10.FF Bila

10.10.FF10.F10.FFFF

z

xzyxm

zyx

eeyy

eeeyx

ey

exyxz

xy

xxyyx

pp

==

====

Metode Numerik dalam Ilmu Rekayasa Sipil Bab I hal. 4

Angka, Kesalahan, dan Metode Numerik ( ) xzyxzyx ee ,FFF ,1 FF 0.1 b. == pp ( )

1ee ,10

FFF ,1 FF Jika c. xz

yxzyx +=

= f

1.2 KESALAHAN dalam HITUNGAN Hal yang paling penting dalam perhitungan numerik adalah kecermatan/akurasi perhitungan dari metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah. Tidak berguna suatu hasil dari metode penyelesaian yang cepat dan efisien bila memberikan hasil yang tidak akurat. Pembahasan kesalahan dalam perhitungan dan pengaruhnya terhadap kecermatan hasil ditentukan oleh perangkat komputer yang digunakan. Komputer merupakan perangkat keras yang dapat digunakan menghitung rentang dari bilangan yang sangat kecil sampai bilangan sangat besar. Bagi jenis tipikal komputer skala besar misalnya, mempunyai kemampuan menangani bentang bilangan dari 10-38 ke 1038, dengan akurasi 10 lebih angka dibelakang koma. Kenapa perlu dikaji kesalahan dalam perhitungan ? Hal ini dilandasi dari beberapa alasan. Suatu set data yang ada dapat merupakan sumber kesalahan sebelum dilakukan perhitungan, seperti akibat kesalahan observasi, pengukuran, pencatatan, maupun dalam konversi atau dalam pemrosesan awal. Ada kesalahan karena pemodelan matematikanya, seperti penggunaan persamaan diferensial penentu yang tidak tepat untuk suatu sistem, atau metode pendekatan untuk solusi yang hasilnya tidak sesuai dengan cara analisis. Diluar hal yang disebutkan, kesalahan terjadi karena proses; termasuk pembulatan, kesalahan pada penggunaan seri terbatas dan kesalahan oleh kumulatif simpangan kesalahan semua tipe kesalahan waktu proses perhitungan.. Kesalahan Mutlak, Relatif dan Prosentase Kesalahan Kesalahan mutlak dari suatu angka, pengukuran, atau perhitungan adalah perbedaan numerik nilai sesungguhnya terhadap nilai pendekatan yang diberikan, atau yang diperoleh dari hasil perhitungan atau pengukuran. Kesalahan relatif adalah kesalahan mutlak dibagi terhadap nilai eksakt. Prosentase kesalahan adalah 100 kali kesalahan relatif. Sebagai contoh bila Q menyatakan nilai eksakt, kemudian Q sebagai kesalahan mutlak dari nilai pendekatan Q, maka : =

QQ kesalahan relatif dari nilai pendekatan

100* =QQ prosentase kesalahan dari nilai pendekatan

Kecermatan dari suatu pengukuran atau hasil perhitungan bukanlah dinyatakan dengan jumlah desimal, melainkan dengan angka signifikan dari bilangan. Misalnya diameter 32 mm tulangan

baja diukur pada nilai terdekat pada 101 satuan mm. Hasil ini kurang akurat dibandingkan

pengukuran 1.60 km jalan terhadap nilai terdekat cm. Kesalahan mutlak dari pengukuran diameter tulangan baja 0.05, sedangkan untuk pengukuran jalan 0.5. Kesalahan relatif pengu-

Metode Numerik dalam Ilmu Rekayasa Sipil Bab I hal. 5

Angka, Kesalahan, dan Metode Numerik

kuran baja tulangan = 3205.0 =

6401 , dan bagi pengukuran jalan =

1600005.0 =

3200001 , sehingga

simpangan kesalahan pengukuran diameter baja satu bagian dari 640, sedangkan bagi pengukuran jalan satu bagian dari 320000. Hal ini menunjukkan pengukuran jalan lebih akurat, walau kesalahan mutlaknya lebih besar. 1.3 METODE NUMERIK Terlepas dari tingkat kompleksitas dan bidang keilmuannya, penyelesaian masalah rekayasa umumnya harus diformulasikan dalam notasi matematika sebelum secara kualitatif di analisa. Formulasi ini disebut pemodelan matematika; mulai dari pemodelan paling sederhana sampai yang cukup kompleks. Termasuk dalam permodelan matematika dari masalah rekayasa secara garis besar adalah :

a. Persamaan aljabar dan transdental b. Persamaan sistem aljabar linear c. Sistem persamaan aljabar non-linear d. Integral e. Persamaan diferensial f. Persamaan diferensial parsial g. Fungsi elementer h. Persamaan karakteristik i. Interpolasi dan Formula Empirik

Solusi dari pemodelan matematika yang rumit jarang dapat diselesaikan dengan penyelesaian umum (closed-form), sehingga digunakan metode pendekatan numerik. Diagram dari metode penyelesaian pemodelan matematika ini adalah :

Metode Penyelesaian

Analitik/PenyelesaianEksakt

Empiris berdasarkanpercobaanNumerik

Penyelesaian PersamaanDiferensial Penentu

Metode PersamaanIntegrasi Batas

(Metode Elemen Batas)

Metode Elemen Hingga

Metode DiferensiasiNumerikIntegrasi Numerik Metode Residual Metode Perilaku

Prosedur Raleigh-Ritzdan Variasional

Metode Galerkin

Metode Kolasi

Metode Sub-domain

Metode Regresi

Me 6 tode Numerik dalam Ilmu Rekayasa Sipil Bab I hal.

1.1 PENDAHULUAN1.2 KESALAHAN dalam HITUNGAN