Bab 1Fungsi, Grafik, dan Limit

MA1103 Matematika Bisnis I

Semester I Tahun 2018/2019

SBM K-

Dosen: Dr. Rinovia Simanjuntak

rino@math.itb.ac.id

CAS Lt. 3

1.1 Fungsi

2

Fungsi adalah aturan yang mengaitkan setiap obyekdi himpunan A ke tepat satu obyek di himpunan B.

Himpunan A disebut domain fungsi, dan himpunanobyek hasil pengaitan di B disebut daerah hasil(range).

Fungsi

3

Pengaitan mana yang merupakan suatufungsi?

fff

A B

AB

f

A B f

4

Relasi dalam fungsi dinotasikan dengan

𝑦 = 𝑓(𝑥),

di mana x dan y disebut variabel: y adalah variabel takbebas dan x adalah variabel bebas.

Contoh.

Perhatikan bahwa x dan y dapat diganti dengan huruflain. Sebagai contoh, fungsi di atas dapat ditulis sebagai

5

4)( 2 +== xxfy

42 += ts

Fungsi dalam Tabel Data

Tahun akademik n Tuition and Fees

1973 1 $1,898

1978 2 $2,700

1983 3 $4,639

1988 4 $7,048

1993 5 $10,448

1998 6 $13,785

2003 7 $18,273

6

Tabel 1.1 Rata-rata Tuition and Fees untuk Universitas Swasta di Amerika Serikat

Data dapat dinyatakan sebagai fungsif(n)= [rata-rata tuition and fees pada awal periode 5 tahunan ke-n]

Dengan demikian,

Domain dari f adalah himpunan bilangan bulat

7

273,18)7(,,700,2)2(,898,1)1( === fff

}7,....,2,1{=A

8

Kadangkala suatu fungsi didefinisikan melalui lebihdari satu formula, di mana setiap formula mendeskripsikan fungsi pada suatu subhimpunandari domain.

Contoh.

Tentukan f(-1/2), f(1), dan f(2).

+

−=

1 xif 13

1 xif 1

1

)(2x

xxf

Domain Alami

Domain alami dari fungsi f adalah himpunan semuabilangan real di mana f(x) terdefinisi dengan baik.

Contoh.

Tentukan domain alami dan daerah hasil fungsi berikut.

1.

2. 9

Terdapat 2 hal yang sering dipertimbangkan:1) pembagian dengan 0 2) akar genap dari bilangan negatif

21

1)(

xxf

−=

4 2)( += uug

Fungsi yang digunakan di Ekonomi

Fungsi permintaan (demand function) 𝑝 = 𝐷(𝑥) adalahfungsi yang menghubungkan harga satuan 𝑝 dari suatukomoditas terhadap banyaknya permintaan konsumer (𝑥).

Fungsi penghasilan (total revenue function) adalah

𝑅 𝑥 = 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑢𝑛𝑖𝑡 𝑡𝑒𝑟𝑗𝑢𝑎𝑙 ℎ𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛= 𝑥𝑝 = 𝑥𝐷(𝑥)

Jika 𝐶(𝑥) adalah biaya produksi 𝑥 unit, maka fungsikeuntungan (profit function) adalah

𝑃(𝑥) = 𝑅(𝑥) − 𝐶(𝑥) = 𝑥𝐷(𝑥) − 𝐶(𝑥)

10

Hasil penelitian menunjukkan bahwa consumer akanmembeli 𝑥 ribu unit mesin kopi tertentu pada saat hargasatuan adalah 𝑝 = −0.27𝑥 + 51 dolar. Ongkos produksidari x ribu unit adalah 𝐶 𝑥 = 2.23𝑥2 + 3.5𝑥 + 85 ribudollar.

a. Tentukan fungsi penghasilan dan keuntungan, 𝑅(𝑥) and 𝑃(𝑥), untuk proses produksi ini?

b. Nilai 𝑥 manakah yang memberikan keuntungan bagiproses produksi ini?

11

Contoh

Fungsi Komposisi

12

Diberikan dua fungsi 𝑓(𝑢) dan 𝑔(𝑥), fungsi komposisi 𝑓(𝑔(𝑥))adalah fungsi dari 𝑥 yang diperoleh dengan mensubstitusi 𝑢 =𝑔(𝑥) dalam formula 𝑓(𝑢).

Contoh.

Tentukan fungsi komposisi 𝑓(𝑔(𝑥)), dengan 𝑓 𝑢 = 𝑢3 + 1dan 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1.

Bagaimana dengan 𝑔(𝑓(𝑥))?

Secara umum, 𝑓(𝑔(𝑥)) dan 𝑔(𝑓(𝑥)) tidak sama.

1.2 Grafik Fungsi

13

GrafikGrafik fungsi 𝑓 memuat semua titik (𝑥, 𝑦) dengan 𝑥merupakan anggota domain 𝑓 dan 𝑦 = 𝑓(𝑥).

Sistem koordinat, sumbu horisontal, sumbu vertikal.

2)( 2 ++−= xxxf

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4

f(x) -10 -4 0 2 2 0 -4 -10

14

Titik potong

Titik potong terhadap sumbu 𝑥: 𝑦 = 0

Titik potong terhadap sumbu 𝑦: 𝑦0 = 𝑓 0 .

Contoh.

Tentukan titik potong terhadap sumbu 𝑥 dan 𝑦 untuk fungsi

15

2)( 2 ++−= xxxf

Uji Garis Vertikal

16

Suatu kurva adalah grafik dari fungsi jika dan hanya jika tidak ada garis vertikal yang memotong kurva lebih dari satu kali.

Parabola

Merupakan grafik dari persamaan kuadrat 𝑦 = 𝐴𝑥2 +𝐵𝑥 + 𝐶, dengan 𝐴 ≠ 0.

Parabola berbentuk “U” dan membuka ke atas jika 𝐴 > 0dan ke bawah jika 𝐴 < 0.

“Titik maksimum” atau “minimum” dari parabola disebut

verteks, dan terjadi pada 𝑥 = −𝐵

2𝐴.

17

18

Contoh.

Pada suatu pabrik, suatu komoditas dapat dijual seharga𝑝 = 60 − 𝑥 dollar jika komoditas terebut diproduksisebanyak 𝑥 ratus unit.

Kapankah perhasilan akan mencapai nilai maksimum? Dan berapakah penghasilan maksimum tersebut?

Fungsi Pangkat, Polinom, dan Rasional

Fungsi pangkat: 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛, di mana 𝑛 bilangan real.

Fungsi polinom: 𝑝 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−2 +⋯+ 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 , di mana

𝑛 adalah bilangan tak negative dan 𝑎0 , 𝑎1 , … , 𝑎𝑛 konstanta.

Jika 𝑎𝑛 ≠ 0, 𝑛 disebut derajat dari polinom.

Fungsi rasional: Hasil bagi𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥)dari dua polinom 𝑝(𝑥) dan 𝑞(𝑥).

19

Perpotongan Dua Grafik

Kadangkala perlu ditentukan kapan dua fungsi memiliki nilaiyang sama.

20

Sebagai contoh, seorang ekonommungkin inginmenghitung hargapasar pada saatbanyaknya permintaan(demand) konsumensama denganbanyaknya penawaran(supply).

1.3 Fungsi Linear

21

Fungsi Linear

22

Fungsi linear adalah fungsi yang berubah denganlaju konstan terhadap variabel bebasnya.

Grafik dari fungsi linear adalah suatu garis lurus.

Fungsi linear dapat dituliskan dalam persamaan

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, dengan 𝑚 dan 𝑏 konstanta.

Kemiringan Garis

Kemiringan dari garis (bukan garis vertical) yang melalui titik(𝑥1, 𝑦1) dan (𝑥2, 𝑦2) adalah

𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑦

𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑥=

∆𝑦

∆𝑥=

𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1

23

Persamaan GarisBentuk kemiringan – titik potong: Persamaan 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏adalah persamaan garis dengan kemiringan 𝑚 dan perpotongan dengan sumbu-𝑦 adalah (0, 𝑏).

Bentuk titik – kemiringan: Persamaan 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0)adalah persamaan garis yang melalui titik 𝑥0, 𝑦0 dengankemiringan 𝑚.

24

Bentuk kemiringan – titik potong

3

1

)05.1(

)5.00(−=

−−

+=m

2

1

3

1−−= xy

Bentuk titik – kemiringan yang melalui titik (−1.5,0)

)5.1(3

10 +−=− xy

25

Tabel berikut memberikan prosentase dari pengangguran selamadekade 1991-2000. Gambarkan grafik dengan tahun (setelah tahun 1991) pada sumbu-𝑥dan prosentase pengangguran pada sumbu-𝑦.Apakah titik-titik tersebut memiliki pola?Berdasarkan data ini, dapatkah prosentase pengangguran di tahun2005 diperkirakan?

Number of Years Percentage of

Year from 1991 Unemployed

1991 0 6.8

1992 1 7.5

1993 2 6.9

1994 3 6.1

1995 4 5.6

1996 5 5.4

1997 6 4.9

1998 7 4.5

1999 8 4.2

2000 9 4.0

Garis Paralel dan Tegak Lurus

Misalkan 𝑚1 dan 𝑚2 adalah kemiringan dari dua garis takvertical 𝐿1 dan 𝐿2.

𝐿1 dan 𝐿2 sejajar jika dan hanya jika 𝑚1 = 𝑚2.

𝐿1 dan 𝐿2 tegak lurus jika dan hanya jika 𝑚1𝑚2 = −1.

26

27

Contoh.

Misalkan 𝐿 adalah garis 4𝑥 + 3𝑦 = 3.

a. Tentukan persamaan garis 𝐿1 yang sejajar dengan garis 𝐿 dan melalui titik 𝑃(−1,4).

b. Tentukan persamaan garis 𝐿2 yang tegak lurus dengan garis 𝐿dan melalui titik 𝑄(2,−3).

1.4 Model Fungsional

28

Model Fungsional

Untuk menganalisa masalah dunia nyata, prosedur yang seringdilakukan adalah membuat asumsi yang menyederhanakanmasalah sehingga diperoleh deskripsi matematika.

Proses ini disebut pemodelan matematika dan masalah yang telahdimodifikasi berdasarkan asumsi yang menyederhanakan disebutmodel matematika.

29

Real-world

problem

Testing

Interpretation

Mathematical

model

adjustments

PredictionAnalysis

Formulation

Eliminasi Variabel

Kadang fungsi dapat disederhanakan dengan mengeliminasisuatu variabel.

Jika fungsi pada awalnya merupakan fungsi dengan 2 variabel, setelah dieliminasi akan menjadi fungsi dengan 1 variabel.

Contoh.

Suatu rest area akan dibangun di suatu jalan tol. Area tersebut berbentuk persegi panjang dengan luas 5,000 meter persegi dan akan dipagari pada 3 sisi yang tidak terletak pada jalan tol.

Ekspresikan panjang pagar yang diperlukan sebagai fungsidari panjang sisi yang tidak dipagari.

30

31

32

Pemodelan dalam Bisnis dan Ekonomi

Suatu pabrik memproduksi CD kosong dengan biaya produksi $2per CD. CD tersebut telah terjual dengan harga $5 per buah, pada saat konsumen membeli 4000 CD setiap bulan. Pabrik tersebutmerencanakan untuk menaikkan harga CD dan memperkirakanbahwa setiap kenaikan harga $1 akan mengurangi penjualansebanyak 400 CD per bulan.

a. Ekspresikan keuntungan bulanan dari pabrik sebagai fungsidari harga jual CD.

b. Sketsa grafik fungsi keuntungan. Berapakah harga yang berkorespondensi dengan keuntungan maksimum? Berapakahkeuntungan maksimum?

33

Kesetimbangan (Equilibrium) Pasar

)()( eee xSxDp ==

Hukum Permintaan (Demand) dan Penawaran (Supply)Dalam pasar bebas, penawaran biasanya akan menyamaipermintaan, dan pada saat hal tersebut terjadi, pasar dikatakanberada dalam keadaan setimbang (equilibrium).

Fungsi permintaan: 𝑝 = 𝐷(𝑥)

Fungsi penawaran: 𝑝 = 𝑆(𝑥)

Harga kesetimbangan:

Kekurangan (Shortage): 𝐷(𝑥) > 𝑆(𝑥)

Kelebihan(Surplus): 𝑆(𝑥) > 𝐷(𝑥)

35

Contoh.

Suatu riset pasar menemukan bahwa pabrik akanmenawarkan 𝑥 unit dari suatu komoditas ke pasar ketikaharga komoditas tersebut adalah 𝑝 = 𝑆(𝑥) dolar per unit. Sebanyak unit yang sama akan diminta konsumen ketikaharganya adalah 𝑝 = 𝐷(𝑥) dolar per unit, dengan fungsipermintaan dan penawaran sebagai berikut.

𝑆 𝑥 = 𝑥2 + 14𝐷 𝑥 = 174 − 6𝑥

a. Pada level produksi 𝑥 dan harga satuan 𝑝 berapakah titikkesetimbangan terjadi?

b. Sketsa grafik penawaran dan permintaan, 𝑝 = 𝑆(𝑥) dan 𝑝 = 𝐷(𝑥), dan berikan interpretasi Anda.

36

Analisa Impas (Break-Even)

37

Pada tingkat produksi yang rendah, produsen biasanya merugi,

namun pada tingkat produksi yang lebih tinggi, produsen bias

meraup keuntungan.

Titik impas (break-even point):

Titik pada saat penghasilan (total revenue) sama dengan biaya

produksi (total cost).

38

Contoh 1.

Suatu produsen menjual produk dengan harga $110 per unit. Biaya produksi terdiri dari overhead seharga $7500 ditambah biaya produksi $60 per unit.

a. Berapa unit yang harus dijual agar tercapai titik impas?

b. Berapakah keuntungan atau kerugian yang diperoleh jikadijual 100 unit.

c. Berapa unit yang harus dijual agar tercapai keuntungan$1250?

39

Contoh 2.

Suatu perusahaan penyewaan mobil memberikan harga$25 ditambah 60 sen setiap mil yang ditempuh. Sedangkan perusahaan kedua memberikan harga $30 ditambah 50 sen per mil. Perusahaan manakah yang memberikan penawaran terbaik?

1.5 Limit

40

Limit

Apa yang terjadi pada f(x) pada saat x mendekati suatu bilangan cyang bisa jadi tidak terletak pada domain f?

Ilustrasi.

Pada suatu pabrik, jika x persen dari kapasitas digunakan, maka

biaya produksi adalah 𝐶 𝑥 =8𝑥2−636𝑥−320

𝑥2−68𝑥−960ratus ribu dolar.

Agar dapat dilakukan perawatan, perusahaan pemilik pabriktersebut memiliki kebijakan agar tidak lebih dari 80% kapasitaspabrik digunakan pada waktu tertentu.

Berapakah biaya produksi yang akan terjadi jika pabrik tersebutdigunakan kapasitasnya secara penuh dalam batas yang diperbolehkan?

41

42

Apakah jawaban pertanyaan ini adalah denganmemberikan nilai 𝐶(80)?

Namun demikian, dapat dievaluasi nilai 𝐶(𝑥) untuk 𝑥yang mendekati 80 dari sebelah kiri (𝑥 < 80) dan kanan(𝑥 > 80):

x approaches 80 from the left → ←x approaches 80 from the right

x 79.8 79.99 79.999 80 80.0001 80.001 80.04

C(x) 6.99782 6.99989 6.99999 7.000001 7.00001 7.00043

Terlihat bahwa 𝐶(𝑥) akan semakin dekat ke 7 pada saat 𝑥semakin dekat ke 80. Ini dapat dituliskan sebagai

lim𝑥→80

𝐶 𝑥 = 7 .

Limit

Jika f(x) mendekati bilangan L pada saat x semakin mendekatic dari kedua arah, maka L adalah limit dari f(x) pada saat xmendekati c. Ini dinotasikan dengan

lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 = 𝐿

43

Contoh

Gunakan tabel untuk menduga nilai lim𝑥→1

𝑥−1

𝑥−1.

Misalkan f x =𝑥−1

𝑥−1dan akan dihitung nilai 𝑓(𝑥) untuk beberapa

nilai 𝑥 yang mendekati 1 dari kiri maupun kanan.

Dari tabel, terlihat bahwa 𝑓(𝑥) mendekati 0.5 pada saat 𝑥 mendekati 1.

Atau, lim𝑥→1

𝑥−1

𝑥−1= 0.5

44

x→ 1 ← x

x 0.99 0.999 0.9999 1 1.00001 1.0001 1.001

f(x) 0.50126 0.50013 0.50001 0.499999 0.49999 0.49988

45

Tiga fungsi dengan lim𝑥→3

𝑓 𝑥 = 4.

Perlu diingat bahwa limit memberikan sifat fungsi di sekitartitik tertentu, namun belum tentu pada titik itu sendiri.

46

Apa yang terjadi pada fungsi berikut pada saat 𝑥mendekati 2?

Gambar (a): Fungsi tidak memiliki limit pada saat 𝑥mendekati 2.

Gambar (b): Fungsi tidak memiliki limit yang hingga

pada saat 𝑥 mendekati 2. Ini dinamakan limit tak

hingga.

Sifat Limit

)(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxfcxcxcx →→→

+=+

)(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxfcxcxcx →→→

−=−

constant any for )(lim)(lim kxfkxkfcxcx →→

=

47

)](lim)][(lim[)]()([lim xgxfxgxfcxcxcx →→→

=

0)(lim if )(lim

)(lim]

)(

)([lim =

→

→

→

→xg

xg

xf

xg

xf

cx

cx

cx

cx

exists )](lim[ if )](lim[)]([lim p

cx

p

cx

p

cxxfxfxf

→→→=

Jika lim𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 dan lim𝑥→𝑐

𝑔 𝑥 ada, maka

48

Untuk sebarang konstanta k, lim𝑥→𝑐

𝑘 = 𝑘.

lim𝑥→𝑐

𝑥 = 𝑐.

Tentukan

(a)

(b)

Contoh

2

83lim

3

0 −

−

→ x

x

x

49

)843(lim 3

1+−

−→xx

x

Limit Fungsi Polinom dan Rasional

50

Jika 𝑝(𝑥) dan 𝑞(𝑥) adalah fungsi polinom, maka

dan

)()(lim cpxpcx

=→

0)( if )(

)(

)(

)(lim =→

cqcq

cp

xq

xp

cx

Contoh.

Tentukan2

1lim

2 −

+

→ x

x

x

Bentuk Tak Tentu

51

Jika lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) = 0 dan lim𝑥→𝑐

𝑔(𝑥) = 0, maka lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)dikatakan

memiliki bentuk tak tentu.

Contoh.

Tentukan

a.

b.

23

1lim

2

2

1 +−

−

→ xx

x

x

1

1lim

1 −

−

→ x

x

x

Limit yang Melibatkan Ketakhinggaan

52

Limit di Tak Hingga

Jika 𝑓(𝑥) makin mendekati 𝐿 pada saat 𝑥 membesartanpa batas, kita tulis lim𝑥→∞ 𝑓 𝑥 = 𝐿 .

Jika 𝑓(𝑥) makin mendekati 𝐿 pada saat 𝑥 mengecil tanpa batas, kita tulis lim

𝑥→−∞𝑓 𝑥 = 𝐿 .

53

Untuk konstanta 𝐴 dan 𝑘, dengan 𝑘 > 0,

0lim and 0lim ==−→+→ kxkx x

A

x

A

Contoh.

1. Tentukan

2. Tentukan

2

2

21lim

xx

x

x +++→

15

283lim

4

24

+

+−

+→ x

xxx

x

54

Limit Tak Hingga

Jika 𝑓(𝑥) membesar atau mengecil tanpa bataspada saat 𝑥 mendekati 𝑐, maka kita tulis

Contoh.

Tentukan

)(limor )(lim xf xfcxcx

−=+=→→

22 )2(lim

−→ x

x

x

1.6 Limit Sepihak dan Kekontinuan

55

Limit Sepihak

Jika 𝑓(𝑥) mendekati 𝐿 pada saat 𝑥 mendekati 𝑐 darikiri (𝑥 < 𝑐), kita tulis

lim𝑥→𝑐−

𝑓(𝑥) = 𝐿

dan 𝐿 disebut limit kiri.

Jika 𝑓(𝑥) mendekati 𝑀 pada saat 𝑥 mendekati 𝑐 darikanan (𝑥 > 𝑐), kita tulis

lim𝑥→𝑐−

𝑓(𝑥) = 𝑀

dan 𝑀 disebut limit kanan.

56

Contoh.

Untuk fungsi

evaluasi limit sepihak dan

57

+

−=

2 if 12

2 if 1)(

2

xx

xxxf

)(lim2

xfx −→

)(lim2

xfx +→

58

Eksistensi Limit

Limit ada jika dan hanya jika kedua limit sepihak

dan ada dan bernilai sama, sehingga

)(lim xfcx→

)(lim xfcx −→

)(lim xfcx +→

)(lim)(lim)(lim xfxfxfcxcxcx +− →→→

==

Contoh.

Tentukan2

1lim

2 −

+

→ x

x

x

59

Pada 𝑥 = 1: ( )1

lim 0x

f x−→

=

( )1

lim 1x

f x+→

=

( )1 1f =

limit kiri

limit kanan

nilai fungsi

tidak ada! )(lim1

xfx→

60

Pada 𝑥 = 2: limit kiri

limit kanan

nilai fungsi

( )2

lim 1x

f x−→

=

( )2

lim 1x

f x+→

=

( )2 2f =

ada!

Tapi tidak sama dengan 𝑓(2)!

)(lim2

xfx→

61

Pada 𝑥 = 3: limit kiri

limit kanan

limit fungsi

( )3

lim 2x

f x−→

=

( )3

lim 2x

f x+→

=

( )3 2f =

ada!)(lim3

xfx→

62

Ketidakadaan Limit Sepihak

Pandang fungsi

)/1sin()( xxf =

Pada saat 𝑥 mendekati 0 dari kiri atau kanan, 𝑓(𝑥)berosilasi di antara −1 dan 1. Akibatnya kedua limit

sepihak di sekitar 0 tidak ada.

63

Kekontinuan

Suatu fungsi dikatakan kontinu jika grafiknya dapatdigambarkan dalam satu “tarikan” (tidak ada lubangatau loncatan).

64

“Lubang“ pada 𝑥 = 𝑐

65

“Lompatan” pada 𝑥 = 𝑐

66

Fungsi 𝑓 kontinu di 𝑐 jika ketiga kondisi berikut terpenuhi:

a. 𝑓(𝑐) terdefinisi

b. lim𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) ada

c. lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐)

Jika 𝑓 tidak kontinu di 𝑐, maka 𝑓 diskontinu di titik tersebut.

67

f kontinu pada 𝑥 = 3.

Pada 𝑥 = 1:

Pada 𝑥 = 2:

Pada 𝑥 = 3:

)(lim)(lim11

xfxfxx

−+ →→

)2()(lim)(lim22

fxfxfxx

=−+ →→

)3()(lim)(lim33

fxfxfxx

==−+ →→

diskontinu

diskontinu

kontinu

68

Kekontinuan Fungsi Polinom dan Rasional

Jika 𝑝(𝑥) dan 𝑞(𝑥) polinom, maka

)()(lim cpxpcx

=→

0)( if )(

)(

)(

)(lim =→

cqcq

cp

xq

xp

cx

Fungsi polinom dan rasional kontinu pada daerahdefinisinya.

69

Contoh.

1. Tunjukkan bahwa kontinu pada𝑥 = 3.

2. Tentukan di mana fungsi berikut tidak kontinu.

2

1)(

−

+=

x

xxf

70

Contoh.

Diskusikan kekontinuan dari fungsi-fungsi berikut.

−

+=

+

−==

1 if 2

1 if 1)( .

1

1)( .

1)( .

2

xx

xxxhc

x

xxgb

xxfa

71

Contoh.

1. Untuk nilai 𝐴 berapa saja, fungsi berikut akankontinu untuk semua bilangan real 𝑥?

2. Tentukan nilai 𝑎 dan 𝑏 sehingga fungsi berikutkontinu di mana-mana.

+−

+=

1 xif 43

1 if 5)(

2 xx

xAxxf

−−+

=

1 if

11 if

1 if

)( 2

xbx

xbax

-xax

xf

72

Kekontinuan pada Selang

Fungsi 𝑓 dikatakan kontinu pada selang buka 𝑎 < 𝑥 < 𝑏jika 𝑓 kontinu pada setiap titik 𝑥 = 𝑐 dalam selangtersebut.

Fungsi 𝑓 dikatakan kontinu pada selang tutup 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, jika 𝑓 kontinu pada selang buka 𝑎 < 𝑥 < 𝑏,lim𝑥→𝑎+ 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎) dan lim

𝑥→𝑏−𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑏).

Contoh.

𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥2 kontinu pada −1,1 .

73

Contoh.

Diskusikan kekontinuan fungsi pada selangbuka 2 < 𝑥 < 3dan pada selang tutup −2 ≤ 𝑥 ≤ 3.

3

2)(

−

+=

x

xxf