bab 1 bilangan kompleks

Bab 1. Bilangan kompleks yudiari

1

BAB 1.

BILANGAN KOMPLEKS

1.1. Definisi Bilangan Kompleks

Sebelum mendefinisikan bilangan kompleks, pembaca diingatkan kembali

pada permasalah dalam sistem bilangan yang telah dikenal sebelumnya.

Yang pertama adalah bilangan bulat. Diberikan masalah: Berapa nilai bilangan a

sehingga 2a = 6? Jawabnya adalah 3. Kemudian jika diberikan pertanyaan, berapa

nilai bilangan a sehingga 2a = 7, maka tidak ada bilangan bulat yang memenuhi

persamaan tersebut. Selanjutnya perhatikan bahwa 2(3) = 6 dan 2(4) = 8, dan 7

terletak diantara dua bilangan bulat 6 dan 8. Dengan demikian kita perlu

mengenalkan bentuk “pecahan”.

Bentuk “pecahan” atau bilangan rasional didefinisikan sebagai pasangan

terurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 27 ) adalah bilangan

rasional. Bilangan rasional ),( nm dan ),( qp dikatakan sama jika bilangan yang

seletak dalam pasangan itu bernilai sama, yaitu m = p dan n = q atau dengan kata

lain mq = np. Jumlah dan hasil kali dua bilangan rasional tersebut adalah

),( nm + ),( qp = ),( nqnpmq + dan ),( nm ),( qp = ),( nqmp .

Menggunakan notasi bilangan rasional, maka bilangan bulat n dapat dinyatakan

dengan (n,1). Jadi semua bilangan rasional dengan koordinat keduanya satu

merupakan bilangan bulat. Pada permasalahan di atas, 2a = 7 dapat dituliskan

sebagai (2,1)(m,n) = (7,1), dan penyelesaiaannya adalah a = ),( nm = (7,2).

Paradigma seperti di atas selanjutnya akan digunakan untuk

mengkonstruksi bilangan kompleks. Euclid menunjukkan bahwa tidak ada

bilangan rasional yang memenuhi persamaan 22 =x . Dengan demikian perlu

didefinisikan bilangan baru, yaitu bilangan real, yang termasuk didalamnya

bilangan rasional.

Pada tingkatan selanjutnya, dihadapkan pada permasalahan, berapa nilai x

yang memenuhi 12 −=x . Ternyata tidak ada bilangan real yang memenuhi

persamaan tersebut, sehingga didefinisikan bilangan baru, yaitu bilangan


2

kompleks. Bilangan kompleks merupakan pasangan terurut bilangan real ),( yx ,

seperti halnya bilangan rasional yang merupakan pasangan bilangan bulat. Dua

bilangan kompleks ),( yx dan ),( vu dikatakan sama jika x = u dan y = v.

Penjumlahan dan perkalian bilangan kompleks, didefinisikan sebagai berikut :

),( yx + ),( vu = ),( vyux ++ dan ),( yx ),( vu = ),( yuxvyvxu +− .

Perhatikan operasi aritmatika pada bilangan kompleks dengan koordinat kedua

bernilai nol berikut :

)0,()0,()0,( uxux +=+ dan )0,()0,)(0,( xuux = .

Keadaan ini analog dengan keadaan pada bilangan rasional dengan koordinat

kedua bernilai 1.

Notasi Bilangan Kompleks

Secara umum, setiap bilangan kompleks dinotasikan dengan z = ),( yx dan

dapat dinyatakan dengan

yxyx

yxyxz

α+=+=

+==)1,0)(0,()0,(

),0()0,(),(

dengan )1,0(=α .

Untuk dua bilangan kompleks z = ),( yx dan w = ),( vu , diperoleh

.)())((

2 yvyuxvxuvuyxzw

αα

αα

+++=

++=

Perhatikan bahwa 1)0,1()1,0)(1,0(2 −=−=== ααα , sehingga

)()( yuxvyvxuzw ++−= α .

Dengan demikian kita telah mendapatkan penyelesaian dari persamaan

12 −=x , yaitu α .

Catatan : Hampir semua orang di seluruh dunia, kecuali orang teknik elektro,

menggunakan notasi i untuk menuliskan bilangan kompleks α . Jadi bilangan

kompleks dapat dituliskan dengan iyxz += dengan 12 −=i .

Pembagian bilangan kompleks,


3

ivuiyx

ivuiyx

wz

++

=++

=ivuivu

−−

22

)()(vu

xvyuiyvxu+

−++=

2222

)()(vuxvyui

vuyvxu

+−

+++

= .

Latihan :

1. Nyatakan bilangan kompleks berikut dalam bentuk x + iy :

a. (2 – 5i)(3 + i) b. ii

−+

532 c. 3)1( i+

2. Tunjukkan bahwa jika wz = 0, maka w = 0 atau z = 0.

1.2. Penyajian Bilangan Kompleks

Geometri. Secara geometri, bilangan kompleks dapat disajikan dalam sebuah

bidang. Bidang ini disebut bidang kompleks, yang mengacu pada koordinat

kartesius, yang terdiri dari sumbu real (sumbu x) dan sumbu imajiner ( sumbu y),

seperti terlihat pada gambar 1.1.

Sumbu imajiner

y

z = (x,y)

x

sumbu real

Gambar 1.1.

Secara geometri, terdapat korespondensi satu-satu antara hasil penjumlahan dua

bilangan kompleks z + w dengan diagonal segiempat yang dibentuk oleh z dan w

seperti terlihat pada gambar 1.2


4

Gambar 1.2

Modulus atau nilai mutlak suatu bilangan kompleks z = x + iy, didefinisikan

sebagai bilangan real non negatif yang merupakan panjang vektor posisi dari z

atau jarak z dari sumbu koordinat, dan dinyatakan dengan 22 yxz += . Jika z =

x + iy dan w = u + iv, maka 22 )()( vyuxwz −+−=− .

Selanjutnya dapat ditunjukkan sifat berikut :

• zwwz =

• zw

zw

= .

Konjugat (sekawan) dari bilangan kompleks z = x + iy didefinisikan sebagai

bilangan kompleks yang diperoleh dari pencerminan z terhadap sumbu real, dan

dinotasikan dengan iyxz −= .

Selanjutnya silakan tunjukkan sifat-sifat berikut :

• wzwz +=+ .

• wzzw = .

• 2zzz = .

• Re z = 2

zz + dan 2

Im zzz −= .

Contoh : Tentukan bagian real, bagian imajiner, konjugat, dan modulus dari

i

iz22

31++−

= .

Dengan menggunakan sifat di atas diperoleh hubungan


5

))(())((2 wzwzwzwzwz ++=++=+

222

22

)(2

)Re(2

)(

wzwwzz

wzwz

wwzwzwzz

+=++≤

++=

+++=

wzwz +≤+⇔ ;

yang dikenal sebagai pertidaksamaan segitiga.

Koordinat Kutub. Bilangan kompleks dapat juga dinyatakan dalam peubah

polar, yaitu r dan θ dan ditulis dengan z = )sin(cos θθ ir + . Notasi r adalah

modulus dari z, sedangkan θ merupakan sudut yang dibentuk oleh z dengan

sumbu real positif yang disebut argumen dari z, dan biasa ditulis θ = arg z = acr

tg xy . Dengan demikian setiap bilangan kompleks mempunyai tak hingga

argumen, yang masing-masing selisihnya π2 . Nilai argumen yang terletak pada

interval ],( ππ− dinamakan argumen utama dari z.

Contoh : Tentukan bentuk kutub dari z = 1 – i.

Dalam hal ini r = 2 , sehingga

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=− 2

212

2121 ii

atau

)4

7sin4

7(cos21 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=−

ππ ii

)

4399sin

4399(cos2

)4

sin4

(cos2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

ππ

ππ

i

i

Bilangan 4

399,4

,4

7 πππ− merupakan argumen dari z = 1 – i dan argumen

utamanya adalah 4π

− .


6

Hasilkali antara dua bilangan kompleks z dan w akan menghasilkan bilangan

kompleks dengan modulus merupakan hasilkali kedua modulus bilangan

kompleks tersebut dan argumennya merupakan jumlah argumen kedua bilangan

kompleks. (Tunjukkan !). Hal ini diperlihatkan dalam gambar 1.3.

Gambar 1.3.

Contoh : Tentukan bentuk kutub dan argumen dari i

iz22

31++−

= .

Selanjutnya dengan memperhatikan rumus euler,

θθθ sincos iei += ,

Maka bentuk kutub di atas dapat ditulis sebagai

z = r θie .

Pembaca dipersilahkan untuk menunjukan sifat-sifat berikut :

• θie )( ξθξ += ii ee .

• Arg wz = arg z – arg w.

1.3. Pangkat dan akar bilangan kompleks

Telah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalam bentuk kutub adalah z

= r(cos θ + i sin θ).

Jika z1 = r1(cos θ1 + i sin θ1) & z2 = r2(cos θ2 + i sin θ2), maka kita peroleh

hasil perkalian keduanya sebagai berikut :

z1 z2 = [r1(cos θ1 + i sin θ1)][r2(cos θ2 + i sin θ2)]

z1 z2 = r1 r2 [(cos θ1 cos θ2 - sinθ1sin θ2) +


7

i (sin θ1 cos θ2 + cos θ1sin θ2)]

z1 z2 = r1 r2 [cos (θ1 + θ2 ) + i sin (θ1 + θ2)]

Dari hasil perkalian tersebut diperoleh:

arg(z1 z2) = θ1 + θ2 = arg z1+ arg z2

Pertanyaan :

Bagaimanakah jika kita perkalikan z1 z2 . . . zn dan

z z z z …c z = zn ?

Jika diketahui:

z1 = r1(cos θ1 + i sin θ1)

z2 = r2(cos θ2 + i sin θ2)

zn = rn(cos θn + i sin θn), untuk n asli,

maka secara induksi matematika, diperoleh rumus perkalian

z1 z2 ... zn = r1 r2 ...rn[cos (θ1 + θ2+�c+θn) + i sin (θ1 + θ2+�c+θn)] .

Perhatikan perkalian dua bilangan kompleks z dan w dalam bentuk kutub.

Selanjutnya jika z = w, secara induksi untuk sejumlah n bilangan kompleks

diperoleh

( )θθ ninrz nn sincos += .

Dan untuk r = 1, diperoleh rumus D’Moivre, yaitu

( ) θθθθ nini n sincossincos +=+ .

Sedangkan pembagian z1 dan z2 adalah sebagai berikut:

Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengan sekawan penyebut, yaitu

r2(cos θ2 - i sin θ2), maka diperoleh :

[cos (θ1 - θ2 ) + i sin (θ1 - θ2)]

2

1

2

1

rr

zz

=

)sin(cos)sin(cos

222

111

2

1

θθθθ

irir

zz

++

=


8

Dari rumus di atas diperoleh:

arg = θ1-θ2 = arg z1 – arg z2.

Akibat lain jika z = r(cos θ + i sin θ),

maka:

Setelah pembilang dan penyebut dikalikan sekawan penyebut, maka didapat :

Diperoleh Dalil De-Moivre

berlaku untuk semua n bilangan bulat.

Contoh:

Hitunglah :

Jawab :

Misalkan maka

karena z di kuadran IV, maka dipilih

jadi

2

1

zz

( )

( )θθ

θθ

ninrz

irz

nn sincos11

)sin()cos(11

+=

−+−=

( ))sin()cos(11 θθ ninrz nn −+−=

)sin()cos( θθ ninrz nn +=

( ) 63

−− i

31tan

213

,3

−=

=+==

−=

θ

zr

iz

o30−=θ

( )( ) ( )

6

6

66

2)01(2

180sin180cos23

30sin30cos23

−

−

−−

−=

+−=

−+−=−

−+−=−oo

oo

ii

ii


9

Bilangan kompleks z adalah akar pangkat n dari bilangan kompleks w, jika

zn = w, dan ditulis

Jika z = ρ(cosφ +i sinφ) akar pangkat n dari bilangan kompleks w = r

(cosθ+i sinθ), maka dari zn = w diperoleh: ρn(cosnφ +i sinnφ) = r(cosθ+i sinθ),

sehingga ρn = r dan nφ= θ+2kπ , k bulat.

Akibatnya

dan

Jadi, akar pangkat n dari bilangan kompleks

w = r(cosθ+i sinθ) adalah:

z = [cos( ) + i sin ( )],

k bulat dan n bilangan asli.

Dari persamaan zn = w, ada n buah akar berbeda yang memenuhi persa-

maan itu. Ke-n buah akar tersebut terletak pada sebuah lingkaran dengan pusat

titik asal dan jari-jari n r yang membentuk suatu poligon beraturan dengan n buah

sisi.

Untuk mempermudah dipilih k = 0,1,2,3,…,(n-1);

0 ≤ < 2π, sehingga diperoleh z1,z2,z3,…,zn sebagai akar ke-n dari z.

Contoh :

Hitunglah (-81)1/4

Jawab :

Misalkan z = (-81)1/4, berarti harus dicari penyelesaian persamaan z4 = -81.

Tulis

z = ρ(cosφ +i sinφ)

dan

–81 = 81(cos1800+i sin1800),

sehingga

ρ4(cos4φ +i sin4φ) = 81(cos1800+i sin1800),

nwz1

=

nr1

=ρ nkπθφ 2+

=

nr1

nkπθ 2+

nkπθ 2+

nkπθ 2+


10

diperoleh ρ4 = 81, atau ρ = 3 dan

.

Jadi zk = 3[cos ( ) + i sin( )].

Keempat akar yang dicari dapat diperoleh dengan mensubstitusi k = 0,1,2,3 ke

persamaan terakhir.

Contoh : Tentukan akar pangkat 3 dari z = 1.

Latihan :

1. Nyatakan dalam bentuk kutub .

a. i b. 1 + i c. – 2 d. i33 +

e. – 3i f. ii

−+

11 g.

312

i+− h. (1 + i) (1 + i 3 ).

2. Tentukan bagian real, bagian imajiner, modulus, dan argumen dari

iiz22

31++−

= .

3. Buktikan bahwa jika z dan w bilangan kompleks ,maka 2222 22 wzwzwz +=++− .

4. Diberikan z = 1 + i, maka

a. Nyatakan z dalam koordinat kutub,

b. Tentukan akar pangkat tiga dari z, dan

c. Gambarkan akar-akar tersebut di bidang kompleks.

5. Tentukan semua z sedemikian sehingga

a. iz 164 = . b. 13 −=z c. 86 =z

42 ππφ k+

=

42 ππ k+

42 ππ k+

bab 1 bilangan kompleks

Documents