PERCOBAAN I

AYUNAN MATEMATIS

A. Tujuan

1. Mampu memahami asas ayunan matematis dengan getaran selaras

2. Mampu memahami percepatan gravitasi

3. Mampu menentukan besar percepatan gravitasi ditempat percobaan

B. Alat dan Bahan

1. Ayunan sederhana

2. Stopwatch

3. Counter

4. Mistar

PERCOBAAN AYUNAN MATEMATIS

C. Dasar Teori

Bandul matematis adalah suatu titik benda digantungkan pada suatu titk tetap

dengan tali. Jika ayunan menyimpang sebesar sudut q terhadap garis vertical maka gaya

yang mengembalikan :

F = - m . g . sin q

Untuk q dalam radial yaitu q kecil maka sin q = q = s/l, dimana s = busur lintasan bola dan

l = panjang tali , sehingga :

F=−mgsl

Kalau tidak ada gaya gesekan dan gaya puntiran maka persamaan gaya adalah :

m d2 sdt2 =mg

ls

atau m d2 s

dt2 + gl

g=0

Ini adalah persamaan differensial getaran selaras dengan periode adalah :

T=2π √ lx

1

Dengan bandul matematis maka percepatan gravitasi g dapat ditentukan yaitu dengan

hubungan :

T=2 π √ lx

g=4 π2 lT2

Harga l dan T dapat diukur pada pelaksanaan percobaan dengan bola logam yang cukup

berat digantungkan dengan kawat yang sangat ringan (Anonim, 2007).

Beban yang diikat pada ujung tali ringan yang massanya dapat diabaikan disebut

bandul. Jika beban ditarik kesatu sisi, kemudian dilepaskanmaka beban akan terayun

melalui titik keseimbangan menuju ke sisi yang lain. Bila amplitudo ayunan kecil, maka

bandul sederhana itu akan melakukan getaran harmonik. Bandul dengan massa m

digantung pada seutas tali yang panjangnya l. Ayunan mempunyai simpangan anguler θ

dari kedudukan seimbang. Gaya pemulih adalah komponen gaya tegak lurus tali.

F = - m g sin θ

F = m a

maka

m a = - m g sin θ

a = - g sin θ

Untuk getaran selaras θ kecil sekali sehingga sin θ = θ. Simpangan busur s = l θ atau θ=s/l ,

maka persamaan menjadi: a= gs/l . Dengan persamaan periode getaran harmonik

T=2 π √−s

a maka didapat menjadi:

T=2 π √ −s−gs / l atau

T=2 π √ lg

Dimana :

l = panjang tali (meter)

g= percepatan gravitasi (ms-2)

T= periode bandul sederhana (s)

2

Dari rumus di atas diketahui bahwa periode bandul sederhana tidak bergantung pada massa

dan simpangan bandul, melaikan hanya bergantung pada panjang dan percepatan gravitasi,

yaitu:

g= 4π 2 lT 2

(Hendra, 2006).

Gerak osilasi yang sering dijumpai adalah gerak ayunan. Jika simpangan osilasi

tidak terlalu besar, maka gerak yang terjadi dalam gerak harmonik sederhana. Ayunan

sederhana adalah suatu sistem yang terdiri dari sebuah massa dan tak dapat mulur. Ini

dijunjukkan pada gambar dibawah ini. Jika ayunan ditarik kesamping dari posisi

setimbang, dan kemudian dilepasskan, maka massa m akan berayun dalam bidang vertikal

kebawah pengaruh gravitasi. Gerak ini adalah gerak osilasi dan periodik. Kita ingin

menentukan periode ayunan. Pada gambar di bawah ini, ditunjukkan sebuah ayunan

dengan panjang 1, dengan sebuah partikel bermassa m, yang membuat sudut θ terhadap

arah vertical. Gaya yang bekerja pada partikel adalah gaya berat dan gaya tarik

dalam tali. Kita pilih suatu sistem koordinat dengan satu sumbu menyinggung lingkaran

gerak (tangensial) dan sumbu lain pada arah radial. Kemudian kita uraikan gaya berat mg

atas komponen-komponen pada arah radial, yaitu mg cos θ, dan arah tangensial, yaitu mg

sin θ.

Komponen radial dari gaya-gaya yang bekerja memberikan percepatan sentripetal yang

diperlukan agar benda bergerak pada busur lingkaran.Komponen tangensial adalah gaya

pembalik pada benda m yang cenderung mengembalikan massa keposisi setimbang. Jadi

gaya pembalik adalah :

F=−mg sin θPerhatikan bahwa gaya pembalik di sini tidak sebanding dengan θ akan tetapi sebanding

dengan sin θ. Akibatnya gerak yang dihasilkan bukanlah gerak harmonic sederhana. Akan

tetapi, jika sudut θ adalah kecil maka sin θ ≈ θ (radial). Simpangan sepanjang busur

lintasan adalah

x=lθ ,

dan untuk sudut yang kecil busur lintasan dapat dianggap sebagai garis lurus. Jadi kita

peroleh

3

F=−mg sin θ≈−mgθ=−mg(xl )

F=−mgl

x

Gambar. 1. Gaya-gaya yang bekerja pada ayunan sederhana adalah gaya tarik T dan gaya berat mg pada massa m

Jadi untuk simpangan yang kecil, gaya pembalik adalah sebanding dengan simpangan, dan

mempunyai arah berlawanan. Ini bukan laian adalah persyaratan gerak harmonic

sederhana. Tetapan mg/l menggantikan tetapan k pada F=-kx.

Perioda ayunan jika amplitude kecil adalah:

T=2 π √mk

=2 π √mmg /l

T=2 π √ lg

(Sutrisno, 1997).

Contoh dari kategori ayunan mekanis, yaitu pendulum. Kita akan memulai kajian

kita dengan meninjau persamaan gerak untuk sistem yang dikaji seperti dalam gambar 2.

4

Gambar 2.Pendulum, gaya pemulih yang timbul berkaitan dengan pengaruh gravitasi pada massa M. Dapat anda menyebutkan kondisi apa saja yang berlaku untuk pendulum sederhana seperti di samping.

Gaya pemulih muncul sebagai konsekuensi gravitasi terhadap bola bermassa M dalam

bentuk gaya gravitasi Mg yang saling meniadakan dengan gaya Mdv/dt yang berkaitan

dengan kelembaman. Adapun frekuensi ayunan tidak bergantung kepada massa M.

Dalam kasus sistem ayunan seperti yang disajikan dalam gambar di atas, maka gerakan

massa M terbatasi atau ditentukan oleh panjang pendulum L, dan persamaan gerak yang

berlaku adalah :

ML d2 θdt2 =−mg sin θ

dimana dalam hal ini kecepatan bola sepanjang lintasannya yang berupa busur lingkaran

adalah v ( t )=Lθ ( t ) . Faktor sinθ merupakan komponen yang searah dengan gravitasi dari

gaya yang bekerja pada bola dalam arah θ. Selanjutnya dengan membuang M dari kedua

sisi persamaan di atas, diperoleh bentuk

d2 θdt 2 + g

Lsin θ=0

, yang merupakan persamaan

diferensial tak linear untuk θ.

Jika dianggap simpangan awal ayunan cukup kecil , maka berlaku sin θ=θ

sehingga persamaan dapat diubah menjadi bentuk linear sebagai berikut,

d2 θdt 2 + g

Lθ=0

persamaan merupakan gambaran untuk ayunan sinusuidal dengan frekuensi diberikan

oleh:

ω=√ gl maka

T=2 π √ lg

(yahya, 2005).

Pada bandul matematis, berat tali diabaikan dan panjang tali jauh lebih besar dari

pada ukuran geometris dari bandul. Pada posisi setimbang, bandul berada pada titik A.

Sedangkan pada titik B adalah kedudukan pada sudut di simpangan maksimum (θ). Kalau

titik B adalah kedudukan dari simpangan maksimum, maka gerakan bandul dari B ke A

lalu ke B’ dan kemudian kembali ke A dan lalu ke B lagi dinamakan satu ayunan. Waktu

yang diperlukan untuk melakukan satu ayunan ini disebut periode (T). Seperti pada gambar

3. di bawah ini

5

Gambar 3. bandul matematis, berat tali diabaikan dan panjang tali dan panjang tali yang memiliki ukuran lebih besar.

Dengan mengambil sudut θ cukup kecil sehingga BB’= busur BAB’, maka dapat

dibuktikan bahwa

T=2 π √ lg

Dengan mengetahui panjang tali dan periode, maka percepatan gravitasi bumi dapat

dihitung (Anonim, 2004).

Cara sederhana mengukur g adalah dengan menggunakan bandul matematis

sederhana. Bandul ini terdiri dari beban yang diikatkan pada ujung benang (tali ringan) dan

ujung lainnya dogantungkan pada penyangga tetap. Beban dapat berayun dengan bebas.

Ketika disimpangkan, bandul bergerak bolak-balik. Waktu satu kali gerak bolak-balik

disebut satu periode. Kita nyatakan periode dengan symbol T. Periode bandul memenuhi

rumus :

T 2= 4π 2 L

g T= periode bandul (s)

L= panjang penggantung (m)

g= percepatan gravitasi (m/s2)

6

f = komponen w menurut garis

singgung pada lintasan bandul

P= gaya tegang tali

N= komponen normal dari W=mg

l= panjang tali

θ = sudut simpangan

Gambar 4. bandul yang diikat pada tali

(Anonim, 2003).

Fitting menurut kuadrat terkecil

1. Fitting menurut garis linear (y = ax + b).

Diketahui set data (xi, yi). Akan ditentukan persamaan garis lurus yang terbaik

yang melalui set data tersebut.

E=∑i=1

N

( y i− y )(1)

Erms=√ 1N ∑

i=1

N

( y i− y )2 = √ 1

N ∑i=1

N

[ y i−(axi+b )]2

= { 1

N ∑i=1

N

[ y i−(ax i+b )]2}1/2

(2)

NErms2 =∑

i=1

N

[ y i−(ax i+b )]2=ε(3)

Erms akan minimum jika NErms2

minimum. Misal NErms2

= ε . Nilai ε akan minimum jika

∂ ε∂a

=0 ; ∂ε∂ b

=0. Jika ini dikerjakan maka akan diperoleh nilai a dan b.

a. Menghitung ∂ ε∂a

=0

2∑i=1

N

[ y i−(ax i+b )](−x i)=0

∑i=1

N

[−xi y i+(axi2+bx i)]=0

−∑i=1

N

x i y i+∑i=1

N

axi2+∑

i=1

N

bxi=0

∑i=1

N

axi2+∑

i=1

N

bxi=∑i=1

N

x i y i(4)

b. Menghitung ∂ ε∂b

=0

7

2∑i=1

N

[ y i−(ax i+b )](1 )=0

∑i=1

N

[ y i−(axi+b ) ]=0

∑i=1

N

yi−∑i=1

N

ax i−∑i=1

N

b=0

∑i=1

N

yi−∑i=1

N

ax i− Nb=0

∑i=1

N

axi+ Nb=∑i=1

N

y i(5)

Persamaan (6.4) da (6.5) digabung

a∑i=1

N

xi2+ b∑

i=1

N

xi=∑i=1

N

xi yi

a∑i=1

N

x i+ Nb=∑i=1

N

y i

Jadi terdapat dua persamaan dengan 2 variabel yang belum diketahui yaitu a dan b. Kedua

pers. Tersebut dapat dibentuk dalam matrik:

(∑i=1

N

xi2

∑i=1

N

x i

∑i=1

N

x i N )(ab )=(∑i=1

N

x i y i

∑i=1

N

y i )(6)

Maka

a=

|∑i=1

N

x i yi ∑i=1

N

xi

∑i=1

N

y i N

|

|∑i=1

N

xi2 ∑

i=1

N

xi

∑i=1

N

x i N|

=

N ∑i=1

N

x i y i−∑i=1

N

x i∑i=1

N

y i

N∑i=1

N

xi2−(∑i=1

N

x i)2

(7)

8

b=

|∑i=1

N

xi2

∑i=1

N

x i y i

∑i=1

N

xi ∑i=1

N

y i

|

|∑i=1

N

xi2

∑i=1

N

xi

∑i=1

N

xi N|

=

∑i=1

N

xi2∑

i=1

N

y i−∑i=1

N

xi y i∑i=1

N

x i

N∑i=1

N

xi2−(∑i=1

N

x i)2

(8)

Maka diperoleh persamaan kurva fitting y = ax + b.

2. Garis lurus y = a + bx

y ( xi)=a+bx i

Δy i= y i− y ( x i)

a dan b dicari agar Ptotal bernilai maksimum.

Misal didefinisikan χ2

(chi kuadrat dibaca “kai kuadrat”) sebagai

χ2=∑ ( y i− y ( x i)s yi

)2

χ2=∑ ( y i−( a+bx i)s y i

)2

a. Jika |s y1

|=|s y2|=|s y3

|=|s yi|=|s y|

0

2

4

6

8

10

12

14

0 2 4 6 8 10 12

Hal ini terjadi jika pada masing-masing titik tidak dilakukan pengulangan sehingga

ralatnya merupakan ralat yang berasal dari alat ukur yang besarnya selalu tetap.

χ2= 1s

y2∑ ( y i−(a+bx i ))2

=

1s

y2∑ ( y i− yi )2

(9)

9

Syarat χ2

minimum adalah

∂ χ2

∂ a=∂ χ2

∂ b=0

∂ χ2

∂ a= 1

sy2∑ 2 ( y i−(a+bxi ))(−1)=0

Σa+Σ bx i=Σy i

Na+Σbx i=Σyi (10)

∂ χ2

∂ b= 1

sy2∑ 2 ( yi−(a+bxi ))(−xi)=0

aΣx i+Σbxi2=Σxi y i (11)

Dari pers. (10) dan (11) maka diperoleh:

a=

|Σxi yi Σx

i2

Σyi Σx i

|

|Σxi Σx

i2

N Σxi

|=

(Σxi ) (Σxi y i )−(Σxi2) (Σyi )

(Σxi )2−NΣxi2

(12)

Misal bagian penyebut pada pers. (12):

D = (Σxi )

2−NΣxi2

Maka :

a =

1Δ [ (Σx i ) (Σxi y i )−(Σx

i2) (Σyi )] (13)

Dengan cara yang sama yaitu dengan menerapkan

∂ χ2

∂ b=0

maka diperoleh:

b=

|Σxi Σxi y i

N Σy i

|

|Σx i Σx

i2

N Σxi

|=

(∑ x i) (∑ y i )−N∑ x i y i

(∑ xi )2−N∑ x

i2

b= 1Δ [ (Σxi ) (Σy i )−NΣxi yi ]

(14)

10

yiyi

xi

xi

Tampak bahwa nilai a dan b tidak ada ketergantungan terhadap sy.

b. Jika x i dan y i keduanya memiliki ralat yang besarnya |sxi

|=|s y i| maka s total

untuk xi dan yi adalah :

si=√sx i

2 +s y i

2

(15)

Lanjutan ...

a=a ( yi )=a( y1 , y2 , .. . , y N )

sa2=Σ ( ∂a

∂ yi )2

s yi

2 =( ∂ a∂ y1 )

2

s y1

2 +( ∂ a∂ y2 )

2

s y2

2 + .. .+( ∂a∂ yN )

2

sy N

2

= ∑j=1

N

( ∂ a∂ y j )

2s y j

2

(16)

dimana

∂ a∂ y j

= 1Δ [(∑i

x i x j)−(∑ix

i2)]ingat, karena

s y j=sy maka pada pers. (7) ungkapan tersebut dimasukkan sehingga:

sa2=

1Δ2 ∑

j=1

N

(∑ix i x j−∑

ix

i2)2

sy2

=s

y2

Δ2 ∑j=1

N

[ (∑ixi x j)

2+(∑i

x i2)

2−2(∑i

xi) (x j )(∑ix

i2)]=

sy2

Δ2 [(∑ix i)

2

(∑jx

j2)+N (∑ix

i2)2−2(∑i

x i)(∑ix

i2)(∑jx j)]

11

=s

y2

Δ2 [(∑ixi)

2

(∑ix

i2)+N (∑ix

i2)2−2(∑i

x i)2

(∑ix

i2)]s

a2=s

y2

Δ2Σxi

2 [ NΣx i2−( Σxi )

2]⏟Δ

sa2=

sy2

ΔΣxi

2

atau sa=s y √ Σxi

2

NΣx i2−( Σxi )

2 (17)

Dengan cara yang sama maka diperoleh:

sb2=

Nsy2

Δ atau sb=s y √ N

NΣx i2−( Σxi )

2

c.Jika

|s y1|≠|s y2

|≠|s y3|≠|s yi

| |s y i|=konstan

Hal ini dapat terjadi jika pada masing-masing titik dilakukan pengukuran berulang

sehingga memiliki simpangan baku.

0

2

4

6

8

10

12

14

0 2 4 6 8 10 12

χ2=∑ ( y i−( a+bx i)s y i

)2

=∑ 1s

yi2

[ y i−(a+bx i )]2

∂ χ2

∂ a=2∑ [ y i−( a+bxi)

sy

i2 ](−1)=0

(18)

12

aΣ 1s

yi2+bΣ

x i

sy i

2=Σ

yi

syi2

(19)

∂ χ2

∂b=2∑ [ yi−( a+bxi)

sy

i2 ](−xi)=0

(20)

aΣx i

syi2+bΣ

xi2

sy

i2=Σ

x i y i

sy

i2

(21)

Dari pers. (19) dan (21) maka diperoleh:

a=

|

Σy i

syi

2Σ

x i

syi2

Σxi yi

syi2

Σx

i2

syi2

|

|

Σ 1s

yi2

Σx i

syi2

Σx i

syi

2Σ

xi2

syi2

|

=

Σx

i2

syi2

Σy i

syi2−Σ

x i

syi2

Σx i yi

sy

i2

Σ 1s

yi2

Σx

i2

sy i

2−(Σ

x i

sy i

2 )2

(22)

Dengan memisalkan

D =

Σ 1s

yi2

Σx

i2

syi2−(Σ

x i

syi2 )

2

(23)

Δ=Σwi Σwi xi2−(Σwi xi )

2

Maka intersep

a =

1Δ [Σ

xi2

sy i

2Σ

y i

syi2−Σ

x i

sy i

2Σ

x i y i

syi2 ]

(24)

a= 1Δ [ Σwi xi2

Σw i yi−Σw i x i Σw i xi y i ]

sa2=∑

j ( ∂ a∂ y j )

2s

y j2

= ∑

j ( ∂ a∂ y j

s y j)2

(25)

13

atau untuk untuk memudahkan pemahaman:

sa=√( ∂a∂ y1

s y1)

2+( ∂ a

∂ y2s y

2)2+( ∂ a

∂ y3s y

3)2+.. .+( ∂ a

∂ yNs y

N )2

Pada pers. (16) turunan a terhadap yj dimana yj adalah salah satu nilai dari yi adalah:

∂ a∂ y j

= 1Δ [(∑i

xi2

syi2 )( 1

sy j2 )−(∑i

x i

sy i

2 )( x j

sy j2 )]

(26)

Dengan mensubstitusikan pers. (26) ke (25) dan kemudian memasukkan s y

2j ke

dalam kurung maka diperoleh:

sa2= 1

Δ2 ∑j [(∑i

xi2

sy i

2 )( 1s y

j)−(∑i

xi

syi2 )( x j

s yj)]

2

=

1Δ2 ∑

j [(∑i

xi2

syi

2 )2

( 1s y j

)2+(∑i

xi

syi2 )

2

( x j

s y j)2

−2(∑i

xi2

syi

2)( 1s y j

)(∑i

x i

sy i

2)( x j

s y j)]

Jika tanda ∑

j dimasukkan ke dalam kurung kotak maka

sa2= 1

Δ2 [(∑i

xi2

sy i

2)2

∑j

1s

y j2+(∑i

xi

syi2 )

2

∑j ( x j

s y j)2

−2(∑i

xi2

syi2 )(∑i

x i

sy i

2)(∑j

x j

sy j2 )]δij

(27)

sehingga dengan menjalankan i = j = 1... N maka diperoleh:

sa2= 1

Δ2 [(∑i

xi2

sy i

2 )2

(∑i

1s

yi2 )+(∑i

x i

syi2 )

2

(∑i

x i

s yi)2

−2(∑i

xi2

syi2 )(∑i

x i

sy i

2)2 ]

(28)

Dengan menguraikan D2 menjadi DD dan mengganti salah satu D dengan pers. (23)

maka DD ditulis menjadi:

Δ (Σ 1s

yi2

Σx

i2

syi

2−(Σ

x i

syi2 )

2

) (29)

14

maka persamaan (28) menjadi

sa2= 1

Δ [ [(∑i

xi2

syi2 )

2

(∑i

1s

yi2 )+(∑i

x i

sy i

2)2

(∑i

x i

s yi)2

−2(∑i

xi2

sy i

2)(∑i

xi

syi2 )

2](Σ 1

syi2

Σx

i2

sy i

2−(Σ

x i

sy i

2 )2

) ](30)

yang nilainya dapat didekati dengan:

sa2≃ 1

Δ∑i

xi2

syi2

atau

sa≃√ 1Δ∑

i

xi2

syi2

atau sa≃√ 1

Δ∑i

wi xi2

(31)

Slope grafik

b=

|

Σ 1s

y i2

Σy i

syi2

Σx i

sy i

2Σ

xi y i

syi2

|

|

Σ 1s

yi2

Σx i

syi2

Σx i

syi2

Σx

i2

syi2

|

=

Σ 1s

yi2

Σx i y i

sy i

2−Σ

y i

sy i

2Σ

x i

syi2

Σ 1s

yi2

Σx

i2

sy

i2−(Σ

x i

syi2)

2

b=Σw i Σwi x i yi−Σwi y i Σw i xi

Δ

Dengan cara yang sama untuk sb maka diperoleh:

sb2≃ 1

Δ∑i

1s

yi2

atau

sb≃√ 1Δ∑

i

1s

yi2

atau sb≃√ 1

Δ∑i

wi (32)

dengan Δ=Σw i Σwi x

i2−(Σwi xi )

2

Untuk gejala yang mengikuti distribusi Poisson maka

s yi=√ y i (32)

15

maka:

y=N sehingga s y=√N(Bevington, 2003).

D. Cara Kerja

Prosedur Percobaan Ayunan Matematis

1. Menetapkan kedudukan kawat penjepit sehingga jarak sampai pusat bola 90 cm dan

atur simpangan bola kemudian lepaskan ayunan.

2. Mencatat waktu yang diperlukan untuk 10 ayunan dengan menekan stopwatch pada

saat melewati titik keseimbangan.

3. Mengulangi langkah nomer 2 dengan panjang tali 90 cm sebanyak 5 kali

4. Mengulangi langkah nomer 2 dengan panjang tali 90 cm, 80 cm, 70 cm, 60 cm, 50

cm

5. Mengulangi langkah nomer 2 dengan panjang tali 90 cm, 80 cm, 70 cm, 60 cm, 50

cm masing-masing sebanyak 5 kali

6. Menghitung berapa g pada tempat percobaan

E. Analisis Data

1) Pengukuran tunggal

Diketahui :

Ketidak pastian mistar (sl) dan

stopwatch (sT):

16

sl 0.0005 m

sT 0.005 s

N l (m) t (s) T (s) T2 (s2) T3 (s3)

10 0.90 19.041.904

03.6252 47,6433

g 9,8010 m/s2

sg 0,0092 m/s2

g ± sg (9.8010 ± 0.0092) m/s2

2) Pengukuran Berulang

sLrat 0,0374166

sTrat 0,0074027

No N l (cm) (li-lrat)2 t (s) T (s) (Ti-Trat)2

1 10 90,1 0,0144 18,99 1,899 0,000016

2 10 90,3 0,0064 19,15 1,915 0,000144

3 10 90,2 0,0004 18,87 1,887 0,000256

4 10 90,3 0,0064 19,25 1,925 0,000484

5 10 90,2 0,0004 18,89 1,889 0,000196

    90,22 0,028   1,903 0,001096

g 983,5240 cm/s2

g 9,8352 m/s2

sg 0,4166 cm/s2

sg 0,0042 m/s2

g ± sg (9.8352 ± 0.0042) m/s2

17

3) Rata-rata Berbobot

No g sg grata-rata Sgrata-rata

1 10,11 0,09

9,835221 0,003993

2 9,835 0,004

3 9,38 0,39

4 9,71 0,43

5 9,664 0,102

4) Regresi Linier Tanpa Bobot

No N l T2 T2 (s2) = y y (yi - yr)2 xy x2

1 10 0,90 1,91 3,6481 3,62600 0,00048841 3,28329 0,81

2 10 0,80 1,79 3,2041 3,22211 0,00032436 2,56328 0,64

3 10 0,70 1,68 2,8224 2,81822 1,74724E-05 1,97568 0,49

4 10 0,60 1,54 2,3716 2,41433 0,001825853 1,42296 0,36

5 10 0,50 1,43 2,0449 2,01044 0,001187492 1,02245 0,25

3,50 14,0911 14,0911 0,003843587 10,26766 2,55

Δ=nΣx2−( Σx)2

= 0,5b=

Σxi2

Σyi−Σxi y i Σxi

Δ= -0,00901

s y=√Σ( y i− y i)2

n−2= 0,021919

sa=s y √NΔ

= 0,069314

a=NΣxi y i−Σxi Σyi

Δ= 4,0389

a=4 π2

g

18

g=4 π2

a= 9,7745469

sg=√(∂ g∂ a

sa)2=4 π2

a2sa

= 0,167748

0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.950

0.51

1.52

2.53

3.54

f(x) = 4.0389 x − 0.00901000000000352R² = 0.997649347467144

Grafik 1. Hubungan antara peroide T2 dengan panjang tali L

Series2Linear (Series2)

l

T2

F. PEMBAHASAN

Suatu metode pengukuran yang dilakukan untuk mengetahui gravitasi yang terjadi di

tempat kita berada dapat dilakukan dengan menggunakan bandul yang biasa kita kenal

dalam pembelajaran fisika adalah bandul matematis. Dari percobaan yang kami lakukan

dilaboratorium Fisika Dasar Universitas Ahmad Dahlan yogyakarta dapat kita ketahui

besar gravitasi di tempat tersebut yaitu dengan menggunakan metode regresi. Dari hasil

percobaan didapatkan suatu nilai gravitasi yang berbeda-beda yang disebabkan oleh

metode pengambilan data yang dilakukan dengan mengganti panjang tali dan tampa

mengganti panjang tali tersebut. Selisih nilai gravitasi tidak jauh berbeda sehingga grafik

yang diperoleh memiliki nilai korelasi yang sangat bagus sehingga didapatkan percobaan

bandul matematis yang kita lakukan sudah cukup baik untuk membuktikan nilai gravitasi

di laboratorium. Karena ralat yang diproleh dapat dikatakan cukup baik karena nilai ralat

yang diproleh tidak terlalu besar.

19

Dari hasil pengamatan maka dapat diperoleh grafik untuk data yang menggunakan

regresi linier berbobot maupun regresi linier tanpa bobot seperti ditampilkan pada gambar

di bawah ini!

0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.000

0.51

1.52

2.53

3.54

f(x) = 4.0389 x − 0.00900999999999996R² = 0.997649347467145

Grafik 1. Hubungan antara peroide T2 dengan panjang tali L

Series2Linear (Series2)

l

T2

Penentuan gravitasi melalui pengamatan yang dilakukan pada bandul matematis sangat

berpengaruh terhadap ketelitian pengamat sehingga nilai ralatnya tidak terlalu jauh

menyimpang dengan teori yang selama ini kita kenal. Sudut simpangan sangat berpengaruh

terhadap ayunan yang kita lakukan sebab jika sudut simpangannya besar maka jumlah

waktu ayunan yang diperoleh kecil sehingga gravitasi lebih kecil.

Grafik hubungan antara T^2 terhadap l

y = 4.0849x - 0.0253R2 = 0.9986

0.000

0.500

1.000

1.500

2.000

2.500

3.000

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

panjang tali, l (m)

perio

de k

uadr

at, T

^2 (s

^2)

Series1

Linear (Series1)

gravitasi yang diperoleh memiliki kecenderungan yang relatif sama atau mirip,

sehingga grafitasi di laboratorium tersebut cenderung sama. Data yang diperoleh dapat

dianalisis mengguakan metode regresi linier berbobot dan rekresi linier tampa bobot. Data

yang diambil dilakukan pada panjang yang tetap dan panjang yang diubah-ubah sehingga

dapat diperoleh keakuratan perhitungan yang diperoleh.

20

G. KESIMPULAN

Dari data pengamatan maka dapat disimpulkan sebagai berikut:

1. Nilai gravitasi untuk pengamatan kenderung sama

2. Data yang diperoleh adalah :

Percepatan gravitasi (g)

g=g±Sg = (9.8010 ± 0.0092) m/s2

Percepatan gravitasi (g)

g=g±Sg=(9 . 8352 ± 0 .0042 )m/ s2

Percepatan gravitasi (g)

g=g±Sg=(9,835221± 0 ,003993 ) m/s2

Percepatan gravitasi (g)

g = g ± Sg = (9,7745469 ±0,167748 ) m/s2

DAFTAR PUSTAKA

Anonim. 2003. Bahan kuliah. Yogyakarta : www. Bandul_Matematis.com

Anonim.2004. Ayunan Sederhana. Jakarta: Depdiknas

Anonim.2007.Ensiklopedia Ilmu Pengetahuan Alam (Fisika).Semarang:Aneka

Ilmu.

Beiser, Arthur.1990.Konsep Fisika Modern.Erlangga:Jakarta.

Bevington dan Robinson.2003.Data Reduction and Error Analysis for the physical

Sciences. McGrawHill.

21

Tipler, Paul A. 2001b. FISIKA Untuk Sains dan Teknik. Jilid 2, Edisi Ketiga.

Erlangga. Jakarta

Sutrisno.1997.Mekanika seri Fisika Dasar. Bandung : ITB

22