ayunan bandul yang tergantung pada pegas
TRANSCRIPT
Ayunan Bandul yang Tergantung pada Pegas,
Komputasi Numerik dan Percobaan
Chandra Prasetyo (192008018)
dan
Dr. Suryasatriya Trihandaru
Pendidikan Fisika, Fakultas Sains dan Matematika
Universitas Kristen Satya Wacana
Abstrak
Gerak dari ayunan bandul yang tergantung pada pegas (pendulum pegas) adalah memenuhi hukum
kekekalan energi dan persamaan lagrangian. Solusi dari persamaan gerak dapat didekati dengan
metode runge kutta orde-4 dan perhitungan secara numerik. Sehingga didapatkan grafik dengan
ralat secara munerik dan eksak. Paper ini juga membahas bagaimana mencari paramater-paramater
fisika yang sesungguhnya dari gerak pendulum berdasarkan hasil pengamatan yang dilakukan
dengan rekaman kamera digital, tentu saja metode penggunaan kamera digital dalam penelitian
fisika sangat mungkin dikembangkan dalam dunia pendidikan fisika.
Kata kunci : Teori Runge Kutta, lagrange, analitik, numerik, kamera digital
I. Pendahuluan
Dalam buku fisika dasar banyak dijelaskan solusi dari persamaan gerak ayunan bandul
sedarhana, seperti dalam buku Fisika jilid 1 karangan Halliday Redsnick (1998), dan beberapa buku
literatur lainnya. Akan tetapi paper ini akan lebih memfokuskan solusi dari persamaan gerak sebuah
ayunan bandul yang tergantung pada pegas. Dengan menggunakan teori lagrange dalam buku
Mechanic oleh Morin (2004) dan juga penyelesaian secara numerik dengan metode runge kutta
seperti tertulis dalam buku Introduction Computional Physics oleh A. Klein dan A. Gudonov (2006).
Percobaan di lakukan untuk mendapatkan parameter-paremeter fisika yang sebenarnya. Percobaan
direkam dengan kamera digital kemudian di ekstrak menjadi 30 fps. Sehingga dapat di analisis dan
dibandingkan bentuk gerak antara percobaan dan perhitungan. Jika teori dan pergitungan numerik
dianggap benar, maka kita bisa mendapatkan parameter-parameter fisika yang sesungguhnyadari
hasil pengukuran yang telah dilakukan sebelumnya. Aplikasi ini dapat dimanfaatkan dalam dunia
pendidikan, salah satunya untuk menjelaskan tentang ketelitian pengukuran paramater-paramater
fisika (dalam hal ini bandul yang tergantung pada pegas). Dan juga memberi pemahaman pada siswa
bagaimana cara menemukan ralat (error) pada suatu percobaan. Semua itu merupakan syarat
melakukan suatu penelitian yang selama ini kurang diperhitungkan, terutama di sekolah tingkat
menengah.
II. Dasar Teori
Solusi dari persamaan gerak pendulum pegas dapat dilihat di buku karangan David Morin
[Introductory Clasiccal Mechanics, with problems and solutions]
Figure 1
(1)
(2)
Metode analisis yang diggunakan adalah Runge Kutta orde 4. Diambil dari buku A. Klein dan A.
Godunov [Introductory Computational Physics] dengan persamaan sebagai berikut :
(3)
III. Implementasi
Tulis persamaan (1) dan (2) menggunakan persamaan deferensial biasa, menjadi :
(4)
(5)
sin2
gxl
v
dt
d
(6)
xm
kgxl
dt
dv cos)( 2
(7)
Kemudian tulis solusi dalam runge kutta menggunakan matlab:
n=1:N-1 k1x=v(n)*h; k1th=om(n)*h; k1v=((l+x(n))*om(n)^2+g*cos(th(n))-k/m*x(n))*h; k1om=-(2*v(n)*om(n)+g*sin(th(n)))/(l+x(n))*h; k2x=(v(n)+k1v/2)*h; k2th=(om(n)+k1om/2)*h; k2v=((l+(x(n)+k1x/2))*(om(n)+k1om/2)^2+g*cos(th(n)+k1th/2)-k/m*(x(n)+k1x/2))*h; k2om=-(2*(v(n)+k1v/2)*(om(n)+k1om/2)+g*sin(th(n)+k1th/2))/(l+(x(n)+k1x/2))*h; k3x=(v(n)+k2v/2)*h; k3th=(om(n)+k2om/2)*h; k3v=((l+(x(n)+k2x/2))*(om(n)+k2om/2)^2+g*cos(th(n)+k2th/2)-k/m*(x(n)+k2x/2))*h; k3om=-(2*(v(n)+k2v/2)*(om(n)+k2om/2)+g*sin(th(n)+k2th/2))/(l+(x(n)+k2x/2))*h; k4x=(v(n)+k3v)*h; k4th=(om(n)+k3om)*h; k4v=((l+(x(n)+k3x))*(om(n)+k3om)^2+g*cos(th(n)+k3th)-k/m*(x(n)+k3x))*h; k4om=-(2*(v(n)+k3v)*(om(n)+k3om)+g*sin(th(n)+k3th))/(l+(x(n)+k3x))*h; x(n+1)=x(n)+(k1x+2*(k2x+k3x)+k4x)/6; th(n+1)=th(n)+(k1th+2*(k2th+k3th)+k4th)/6; v(n+1)=v(n)+(k1v+2*(k2v+k3v)+k4v)/6; om(n+1)=om(n)+(k1om+2*(k2om+k3om)+k4om)/6; (8)
IV. Metode Percobaan
1. Rangkai alat seperti pada gambar
2. Ayunkan pegas dengan sudut tertentu
3. Rekam dengan kamera digital selama 1 menit.
Figure 2
4. ekstrak video menjadi gambar menggunakan DVDsoftvideo video to jpeg converter
5. analisa menggunakan matlab 6.5
V. Analisa Data
Data ukur (analisa awal)
parameter-parameter yang dapat diukur adalah sebagai berikut :
parameter nilai
r 0,505 m
m 0,06 kg
g 9,8 m/s2
Table 1
parameter dianggap dianggap fix tanpa ada ralat fisika untuk memudahkan pencocokan data. Dari
parameter-parameter tersebut akan dicari parameter lain yang sulit diukur tanpa alat bantu
perekam. Parameter tersebut antara lain adalah k, x0, θ0, v0, ω0, dan l (yang cenderung berupah-
ubah –energi pegas-)
pencocokan data Data (numerik)
Hasil dari input (grafik biru) data kemudian di dekati dengan solusi analitik yang ditulis dalam bentuk
runge kutta (grafik hijau).
Setelah itu dilakukan pencocokan data dengan pendekatan nelder-mead simplex, maka didapat
pendekatan grafik dengan parameter yang baru.
hasil pencocokan data
parameter nilai
k 3,2977
X0 0,1284
Θ0 0,3211
V0 -0.211
ω0 -1,6353
l 0,3309
Table 2
VI. Kesimpulan
Dengan menggunakan kamera digital dan perhitungan secara Numerik (komputasi) kita dapat
mencari paramater-parameter fisika tanpa mengukur secara langsung benda fisika tersebut.
Pendekatan grafik dengan metode runge kutta orde 4 dapat memberikan parameter-parameter
fisika yang kita rekam tersebut dengan lebih teliti.