TUGAS KAPITA SELEKTA MATEMATIKA SMA

“ DIMENSI TIGA “

10 soal dengan pembahasannya

Oleh : Ayu DWi Asnantia

09320042

A B

CD

EF

GH

O P

8√3

1. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8√3 cm. Titik O merupakan titik

potong diagonal bidang atas. Jarak titik O ke BCGF adalah …

Jawab:

Jarak titik O ke BCGF adalah

OP=12. AB

OP=12

.8√3 cm

¿4 √3 cm

Jadi, jarak titik O ke BCGF adalah 4 √3 cm

A B

O

D

T

C

P

cm

cm

2. Diketahui T.ABCD limas beraturan. Panjang rusuk alas 12 cm dan panjang rusuk

tengah 12√2 cm. Jarak A ke TC adalah …

Jawab :

Jarak A ke TC = AP

∆ APT adalah ∆siku−siku di P

AT=12√2 cm ; TC=12√2 cm

TP=12TC

¿ 12.12√2

¿6√2 cm

AP=√¿¿

¿√ (12√2 )2− (6√2 )2

¿√288−72

¿√216

¿6√6 cm

∴ Jarak AkeTC adalah6√6cm

A B

CD

E F

GH

P

Q

3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm. P adalah titik tengah rusuk

EH. Tentukan jarak titik P ke diagonal ruang AG !

Jawab :

AG=s √3

¿10√3 cm

AQ=12. AG

¿ 12.10√3

¿5√3 cm

∆ AEPmerupakansegitiga siku−sikudi E , sehingga

AP=√ (AE )2+( AP )2

¿√102+52

¿√100+25

¿√125

AP2=125

Jarak titik P ke AG adalah PQ

PQ=√ (AP )2−(AQ )2

¿√125−(5√3 )2

¿√125−75

¿√50=5√2 cm

∴ jarak titik Pke AGadalah 5√2cm

A B

CD

E F

GH

4. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Besar sudut antara garis DE dan

HF adalah …

JAwab :

Garis DE dan HF bersilangan∠ (DE ,HF )=∠ (DE ,BD )=∠BDE

BD∥HF

karena BD=BE=DE=4√2 ,maka△BDE samasisi .

jadi ,∠BDE=60 °

4 cm

A B

O

D

T

C

θ

cm

5. Sebuah Limas T.ABCD dengan alas ABCD bentuk persegi panjang. AB = 8 cm,

BC=6cm, dan TA=TB=TC=TD= 13 cm. Besar sudut antara TA dan bidang alas

ABCD adalah θ. Berapakah nilai dari sin θ ?

JAwab :

¿

¿82+62

¿64+36

¿10

AC=10

AO=12. AC

¿ 12

.10=5

¿=√ (TA )2−( AO )2

¿√132−52

¿√169−25

¿√144

¿12

Sudut antaraTAdanbidang alas ABCDadalah∠TAO=θ , sinθ= ¿TA

=1213

A B

CD

E F

GH

6. Dari kubus ABCD.EFGH diketahui:

i. CE tegak lurus AH

ii. Bidang AFH tegak lurus bidang CFH

iii. FC dan BG bersilangan

iv. Bidang AFH dan EBG berpotongan

Dari pernyataan di atas, yang benar adalah …

a. i , ii , dan iii

b. i , iii, dan iv

c. ii dan iii

d. ii dan iv

e. i dan iv

JAwab :

Perhatikan Kubus ABCD.EFGH berikut !

i. CE tegak lurus AH ( benar ).

ii. Bidang AFH ⊥ CFH ( salah). Seharusnya berpotongan dan titik potongnya

garis HF.

iii. FC dan BG bersilangan (salah). Seharusnya FC berpotongan dengan BG karena

dalam satu bidang.

iv. Bidang AFH dan EBG berpotongan ( BEnar).

A B

CD

EF

GH

C’

O

7. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Panjang proyeksi BC pada

bidang BDG adalah …

Jawab :

Perhatikan gambar di atas. Proyeksi BC pada bidang BDG = BC’

OB=OC=12

.6√2=3√2

OG=√ (OC )2+(CG )2

¿√(3√2)2+62=3√6

cos α=OC'

OC=OCOG

¿ OC'3√2

=3√23√6

→OC'=√6

BC '=√(OB )2+(OC )2

¿√(3√2)2+(√6)

2=2√6

A B

CD

E F

GH

M

8. Diketahui ABCD.EFGH adalah sebuah kubus yang rusuk – rusuknya 5 cm.

tentukan panjang titik B ke Bidang ACGE!

Jawab :

BM=12.BD

BD=√ (AD )2+( AB )2

¿√52+52

¿√25+25=√50=5√2

Jarak titik B ke bidang ACGE adalah sama dengan jarak BM, yaitu :

¿ 12

.5√2=52√2

M

A B

C

D

EF

GH

L

K

P

Q

12 cm

9. Pada kubus ABCD.EFGH, dengan panjang rusuk – rusuknya 12 cm, titik K, L, dan

M berturut – turut merupakan titik tengah BC, CD dan CG. Hitunglah jarak

antara bidang AFH dengan bidang KLM !

Jawab :

Jarak diagonal ruang CE=12√3cm .

EP=13

.12√3cm=4 √3cm

CQ=12EP=2√3cm

Maka jarak

PQ=12√3−4 √3−2√3=6√3 cm

Jadi, jarak antara bidang AFH dengan bidang KLM adalah 6√3 cm.

L

A B

CD

E F

GH

M

10. Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk a cm. sudut α adalah sudut antara

bidang ACH dengan ACD. Tentukan tanα !

Jawab :

HD=ac m

DB=a √2cm

DM=a2√2cm

tanα=HDDM

= aa2

√2

¿ 2aa√2

= 2√2. √2√2

=√2

jadi , tanα adalah √2