Aturan Diferensiasi

Jika U adalah fungsi x yang dapat didiferensiasi :

a.ddx

( logaU )= 1U

loga edudx,(a>0 , a≠1)

b.ddx

¿

c.ddx

(au )=au ln adudx,(a>0)

d.ddx

(eu )=eu dudx

Diferensiasi Logaritmik

Jika fungsi yang dapat di diferensiasi y=f(x) adalah hasil kali beberapa faktor, maka proses diferensiasi dapat dimudahkan dengan mengambil logaritma natural fungsi itu sebelum mendiferensiasi, atu dengan cara sama yaitu menggunakan rumus :

ddx

( y )= y ddx

( ln y)

Contoh soal:

1. y=loga (4 x2−6 ) dydx

= 1

4 x2−6loga e

ddx

(4 x2−6 )= 8 x

4 x2−6loga e

2. y=ln(x+5)2=2 ln(x+5) dydx

=2.1

( x+5 ).ddx

( x+5 )= 2(x+5)

3. y=ln2 (x+5 ) y '=2 ln ( x+5 ) . ddx

( ln (x+5 ) )

¿2 ln ( x+5 ) . 1x+5

.ddx

(xd+5 )=2 ln (x+5)x+5

4. y=ln (x3+2 ) (x2+3 )=ln (x3+2 )+ln (x2+3 )

y '= 1

x2+2.ddx

(x3+2 )+ 1

x2+3.ddx

¿+3) = 3 x2

x3+2+ 2xx2+3

5. f ( x )=lnx4

(3 x−4 )2=ln x4−ln (3 x−4 )2=4 lnx−2 ln (3 x−4 )

f ' ( x )=41xddx

( x )−21

3 x−4ddx

(3 x−4 )=4x− 6

3 x−4

6. y=ln sin 3x

y '= 1sin 3x

.ddx

¿

7. y=e−12x y '=e

−12x ddx (−1

2x )=−1

2e

−12x

8. Carilah y ' ' dari y=e−x ln x

y '=e− x ddx

¿

y ' '=xddx

(e−x )−e−x ddx

(x )

x2 − y'=−x e−x−e−x

x2 −e− x

x+e− x ln x

¿−e−x ( 2x+ 1

x2− ln x )

Diferensiasi Fungsi Hiperbolik

Definisi fungsi-fungsi hiperbolik. Untuk u tiap bilangan riil, kecuali bila dikatakan ;

sinhu=eu−e−u

2 coth u= 1

tanhu= e

u+e−u

eu−e−u,(u≠0)

cosh u= eu+e−u

2 sechu=

1cosh u

= 2

eu+e−u

cosh u= sinhucosh u

= eu−e−u

eu+e−u cschu=

1sinhu

= 2

eu−e−u,(u≠0)

Rumus-rumus diferensiasi. Jika u adalah fungsi x yang dapat didiferensiasi,

ddx

¿ ddx

¿

ddx

¿ ddx

¿

ddx

¿ ddx

¿

Definisi fungsi invers hiperbolik

sinh−1u=ln ¿, semua ucoth−1u=12

ln u+1u−1

, (u2>1¿

cosh−1u=ln ¿, (u≥1¿ sech−1u=ln 1+√1−u2

u, (0<u≤1¿

tanh−1u=12

ln 1+u1−u , (u2<1¿ csch−1u=ln ( 1

u+ √1+u2

|u|), (u❑≠0¿

Rumus-rumus diferensiasi. Jika u adalah fungsi x yang dapat didiferensiasi,

ddx

(sinh−1u )= 1

√1+u2

dudx

ddx

(coth−1u )= 1

1−u2

dudx , (u2>1)

ddx

(cosh−1u )= 1

√u2−1

dudx , (u>1)

ddx

( sech−1u )= −1

u√1−u2

dudx , (0<u<1)

ddx

( tanh−1u )= 1

1−u2

dudx , (u2<1)

ddx

(csch−1u )= −1

|u|√1+u2

dudx , (u≠1)

Contoh soal :

1. y=sinh 4 x dydx

=cosh 4 xddx

(4 x )=4cosh 4 x

2. y=cosh12xdydx

=sinh12xddx ( 1

2x)=1

2sinh

12x

3. y=tanh (1+x2 ) dydx

=sech2 (1+x2 ). ddx

(1+x2 )=2 x sech2 (1+x2 )

4. y=x sech❑x2 dydx

=x ddx

(sech x2 )+sech x2 .ddx

(x)

¿ x (−sech x2 tanh x2 )2 x+sech x2

¿−2x2 sech x2 tanh x2+sech x2

5. y=ln tanh 2 xdydx

= 1tanh 2x

( 2 sech2 2 x )= 2sinh 2x cosh2 x

=4 csch4 x

6. y=sinh−1 3xdydx

= 1

√(3 x )2+1.ddx

(3 x )= 3

√9 x2+1

7. y=2 tanh 3xdydx

= 1

√(3 x )2+1.ddx

(3 x )= 3

√9 x2+1

8.y=2 tanh−1( tan

12x ) dydx

=21

1−tan2 12x.ddx ( tan

12x )

¿21

1−tan2 12xsec2 1

2x .

12

¿sec2 1

2x

1−tan2 12x=sec x

9. y=sech−1¿

¿ sin x

cos x √1−cos2 x=sec x

Catatan : Bahan UAS1. Turunan dengan menggunakan aturan rantai

2. Turunan secara implisit3. Metode turunan kedua untuk nilai max dan min4. Diferensial trigonometri dan inversnya5. Diferensiasi eksponen dan logaritmik