TRANSPORT PHENOMENA MOLEKULAR TRANSPORT

AND THE GENERAL PROPERTY BALANCE4.1 ANGKUTAN TUNAK DALAM SATU ARAH YANG MELIBATKAN INPUT - OUTPUT DENGAN TIDAK ADA GENERASI

Seperti ditunjukkan dalam bab 3, jika tidak ada akumulasi dan tidak ada generasi , maka keseimbangan pada volume seperti yang ditunjukkan pada gambar. 3,1 :

(xA)1 = (xA)2(4.1)persamaan ini adalah pers. (3.2) dengan persyaratan sama dengan nol. jika daerah adalah konstan, maka A membatalkan dari kedua sisi pers. (4.1):

(x )1 = (x )2 = (x )all x = konstan (3.3)

persamaan (3.3) menyatakan bahwa untuk daerah konstan dan tidak ada generasi atau akumulasi, fluks seragam adalah konstan di seluruh volume. persamaan (4.1) juga dapat digeneralisasi sebagai berikut:

(xA)1 = (xA)2 = (xA)1 = (xA)all x = konstan(4.2)

untuk daerah variabel dan tidak ada generasi atau akumulasi, eq (4.2) menyatakan bahwa produk atau fluks dikali luas adalah seragam konstan di seluruh volume. persamaan ini adalah titik awal untuk solusi untuk satu arah masalah transportasi molekul.

hasil bersih yang diberikan oleh eq. (4.2), bila diterapkan pada perpindahan panas adalah:

(A)x = (q/A)x(Ax) = qx = konstan (4.3)

Untuk transfer massa, eq. (4.2) menjadi :(A)x = (JA/A)x(Ax) = JA,x = konstan (4.4)

persamaan analog untuk transfer momentum lebih kompleks karena ada dua arah koordinat yang harus dipertimbangkan (lihat gambar. 2,2), dan transfer momentum :

(A)y = (yxAy) = (Fs/Ay) Ay = Fx = konstan (4.5)

Flux total adalah penambahan molecular dan convective :

x = x,m + x,c(3.15)

Pembahasan dalam bab ini akan dibatasi untuk masalah dimana fluks konvektif bersih x,c adalah nol. Kita sudah tahu bahwa dalam masalah konduksi panas melalui zat padat tidak ada fluks konvektif bersih, karena dalam bagian 3.2.2 konveksi didefinisikan sebagai aliran sebagian besar cairan karena pengaruh luar dari perbedaan tekanan atau gaya gravitasi. dalam bab 5, maka ditunjukkan bahwa istilah x,c juga nol untuk fariety masalah lain, seperti satu arah aliran pipa laminar.

Untuk kasus x,c sama dengan nol.eq (2,7) digunakan untuk menggantikan x,m di eq (3.15):x = x,m = - (d/dx) (4.6)

Pers (4.6) adalah dikombinasi dengan pers (4.2) menjadi :

(mA)x = konstan = - Ax(d/dx)(4.7)

Sejak (mA)x adalah konstan untuk semua nilai x, variabel dalam eq (4.7) adalah dipisahkan. setelah pemisahan, hasil integralnya adalah :

(mA)x = - (4.8)

di mana produk (mA)x diambil di luar integral karena konstan untuk semua nilai x.eq (4.8) adalah umum untuk satu arah, transportasi molekul, tanpa generasi atau akumulasi / untuk transfer panas (mA)x adalah qx dari eq. (4.3). Dengan menggunakan nilai-nilai dan dari tabel 3.1 atau 4.1. eq. (4.8) menjadi(q / A)x (Ax) = - (4.9)

meninjau, definisi dari difusivitas termal adalah :

= (2.10)

sisi kanan eq. (4.9) dapat disederhanakan untuk konstan dan Cp eq (4.9) menjadi

qx = - (4.10)

dimana batas integrasi sekarang dari x1 dan x2 dan T1 untuk T2.dengan substitusi telah sesuai dari tabel 3.1 atau 4.1, sebuah relasi ada untuk perpindahan massa :

NA,x = - (4.11)

Dimana NA sama dengan JA untuk kasus ada aliran (volume) konvektif, seperti yang dibahas dalam bagian 2.3, lagi mentransfer momentum lebih complicated karena arah aliran berbeda dari arah transportasi, maka akan dibahas separtely di section 4.2.2. yang equation.eq umum (4.8),. dan ini forms.eq spesifik (4.10) dan. (4.11), berlaku untuk satu arah transfer, dengan tanpa generasi,tanpa akumulasi, dan tidak ada fluks konvektif.4.1.1Transportasi Daerah KonstanUntuk masalah dalam bab 2, sifat material (k, , , D) diasumsikan konstan sehingga sisi kanan dari eq (4.8), eq (4.10) atau (4.11) dapat dengan mudah diintegrasikan. jika Ax adalah konstan, maka sisi kiri juga mudah diintegrasikan. pada kondisi ini, eq (4.10) untuk perpindahan panas terintegrasi untuk :

qx (x2 x1) = -kAx (T2 T1)(4.12)

Menggunakan definisi berikut:

x = x2 x1(4.13)

T = T2 T1 (4.14)

eq (4.12) menjadi

(q / A)x = - k (T / x)(4.15)

eq (4.15) mengkonfirmasikan hasil yang sudah secara intuitif digunakan pada gambar 2.2 yaitu gradien suhu dT / dx, yang di sini adalah T / x, adalah constant.note bahwa kedua (q / A) x dan k adalah konstan di eq. (4.15) gradien konstan dalam eq (4.10) untuk satu arah, masalah perpindahan panas steadyistate dengan luas konstan dan generasi tidak, rediation tidak, dan tidak ada fluks konvektif bersih.4.1.2Tansportasi Daerah VariabelInput-output transportasi dalam satu arah dengan daerah variabel yang paling sering terjadi pada geometri silinder atau bola. terutama dalam koordinat silinder seperti aliran fluida dalam pipa melingkar atau perpindahan panas melalui dinding pipa, hanya empat persegi panjang (Cartesian) koordinat telah considered.dalam bab 5, persamaan lengkap untuk koordinat bola dan tabung akan disajikan, tapi untuk saat diskusi akan dibatasi untuk mentransfer kasus untuk arah radial seperti, daerah through dimana transportasi terjadi bervariasi dengan radius.

hukum empiris perpindahan panas ( Fourier), perpindahan massa ( fick), dan transfer momentum (Newton) untuk satu arah perpindahan sepanjang radius adalah :

(q / A)r = - k (dT / dr)(4.16)

(JA / A)r = - D (dCA / dr) (4.17)

rz = - (dUx / dr)(4.18)

Ini eq. dapat ditulis dalam bentuk analog berikut :

r = - (d / dr)(4.19)

Dimana r adalah jarak dari asal ke arah radial.

Kita sudah sering mendengar dengan koordinat silinder, dimana rectanguler koordinat x dan y dinyatakan dalam jari-jari r dan sudut :

Cos = (4.20)

Dalam koordinat silinder, masalah yang paling umum akan memiliki semua istilah dalam 3 arah, r, , z untuk satu arah transfer dalam geometri di mana koordinat silinder yang telah sesuai (e.g. transfer heat dalam arah r melalui dinding tabung), antara , z adalah nol.

Produk (A) adalah konstan untuk semua nilai r kecuali pada asal (r = 0), yang merupakan variabel point.The tunggal untuk Pers. (4.21) dipisahkan dan terintegrasi dengan hasilnya

(A)r = - (4.22)

dari tabel 4.1, substitusi telah sesuai untuk dan yang terbuat. dihasilkan persamaan untuk panas dan transfer massa adalah

Heat qr = - (4.23)

Massa NA,r = - (4.24)

ada dua kesamaan untuk panas dan trasport massayaitu pada jari-jari nya saja, pada kondisi tetap dan tanpa generasi atau konveksi. perhatikan bahwa trasport masih satu arah (arah radial).mencari. 4.1 menunjukkan geometri untuk panas atau perpindahan massa melalui dinding pipa dalam jangka daerah direction.the radial di eq. (4.22) adalah Ar, daerah di mana properti sedang ditransfer.

Ar = 2rL (4.25)

4.2STEADY STATE TRANSPORT WITH GENERATION

Telah dibahas pada section 3.1.2, bahwa pada keadaan steady state kemungkinan ada generation atau deplesi dari property yang bersangkutan. Untuk transfer momentum, suhu generation appears as a result of external forces (pressure drop, drag on surfaces, etc.). table 4.2 menyediakan symbol dan unit untuk suhu generation. Dalam berbagai macam solusi pemecahan masalah tentang transport, dapat dipakai beberapa persamaan berikut.

Untuk transport 1 arah pada keadaan steady state adalah :

( xA) = G V (4.30)

Untuk transport molekulnya saja dapat dicari dengan persamaan

x = - (/x)

(2.7)

Bila kedua persamaan di atas dikombinasikan, bisa didapat persamaan untuk transfer pada arah radial yakni :

-[(A)(/r)] = G V(4.32)

Persamaan 4.32 diatas hanya untuk penyelesaian pada steady state transport molekuler dengan variable luas dan generation.

4.2.1Heat or Mass Transport with Constant Generation

Pada persamaan 4.32, konduktivitas termal, luas transfer, dan suhu generation harus diketahui sebelum diintegralkan. Pada pembahasan kali ini, konduktivitas termal dan suhu generation diasumsikan konstan. Gambar 4.4 menunjukkan a wire of length L dengan konduktivitas termal km.

Lalu suhu pada dinding menjadi Tw dan suhu pada pusat (r=0) adalah T. Luas area transfer adalah luas permukaan silinder, yaitu :Ar = 2rL(4.25)

Dan volumenya :

V = r2L(4.33)

Dengan dasar persamaan 4.32, dengan dan adalah transfer panas diambil dari tabel 3.1 atau 4.1 dan generation dari table 4.2, persamaannya menjadi :

-{(Ar)[ (cpT)/ r]} = TG V(4.35)

Dan bila cp diasumsikan konstan, maka :

-[(kAr)(T/ r)] = TG V(4.36)

Lalu apabila persamaan 4.25 dan hasil pendiferensialan persamaan 4.33 disubstitusikan ke dalam persamaan 4.36, lalu diintegralkan, maka akan mendapat persamaan :

-(kr)(dT/dr) = (TG/2)(r2) + C1(4.38)

Dalam permasalahan ini, konstanta C1 adalah nol, sehingga persamaan menjadi, dT/dr = -[TG/(2k)]r(4.39)

dan persamaan tersebut diintegralkan menjadi,

T = -[TG/(4km)]r2 + C2(4.40)

Dimana pada langkah ini konduktivitas termal diasumsikan konstan pada nilai rata-rata km. konstanta C2 dapat dievaluasi at the surface dimana T menjadi Tw pada r=ro (the wire radius).

C2 = Tw + TGro2/ (4km)(4.41)

4.2.2Momentum Transfer with Generation at Steady State

Pada chapter 2, momentum diperkenalkan sebagai pruduk tiap waktu kecepatan massa. Disini, ada 2 mekanisme untuk generation of momentum: pressure gradient dan force fields. Berikut adalah pressure gradient p/L dimana :

p = p2 p1(4.43)

Jika aliran fluida pada arah +x, maka p harus negative karena p1 lebih besar daripada p2 agar menyebabkan Ux positif. Di bawah kondisi steady-state aliran 1 arah, tidak ada kecepatan. Jadi total gaya = nol. Hubungan gaya dengan tekanan dapat dilihat pada persamaan berikut :

p=F/S ( F = S . p(4.44)

yxAy = S (-p)(4.45)Dimana S adalah luas area yang dilewati seperti pada gambar 4.1(c). tanda minus pada p menunjukkan p1>p2. Perbandingan antara persamaan 4.45 dengan versi steady state (akumulasi nol) of a three dimentional counterpart to persamaan 3.2 menyarankan bahwa :

GENERATION = GV = MGV = S (-p)(4.46)

Dimana suhu MG dapat ditemukan pada tabel 4.2. Volumenya adalah :

V = S . x(4.47)

Maka,

MG = S (-p)/V = S (-p) / (S . x) = -p / x(4.48)

Untuk generation of momentum pada mekanisme force field, rumus yang dipakai adalah :

MG = -p / z + gz(4.53)

dengan arah z (arah gravitasi bumi berdasarkan vector dengan system koordinat) dan nilai gz adalah -9.80089 m/s serta adalah rapat massa.

4.2.3Laminar Flow in a Tube

Laju distribusi dapat dirumuskan sebagai berikut:

-d = MG dr (4.63)Dengan MG oleh persamaan (4.53) jika alirannya vertikal. Persamaan (4.63) diaplikasikan ke dalam masalah aliran pipa karena karena untuk keseragaman pipa tidak ada laju yang sama pada arah r atau arah

Ur = U = 0 (4.64)

Jika ada tekanan dan gaya gravitasi dapat menyebabkan aliran, nilai MG didapat dari tabel 4.3 dengan arah z adalah

Bentuk pipa horizontal rumusnya adalah

Uz = (r02- r2)(4.72)

Grafik untuk persamaan (4.72) ditampilkan dalam gambar 4.8. pada garis tengah (r=0) lajunya maksimum dan slope-nya (dUz / dr) adalah 0; missal pada r = 0

Uz, max = (4.73)

Jika persamaan (4.72) dideferensialkan mengacu pada r, kemudian garis tengah gradien laju (Uz / r) adalah 0 jadi ditampilkan sebagai Uz max. Dengan manipulasi persamaan (4.72) dan (4.73) menjadi

= 1- (4.74)Hukum Hagen Poiseuille

Laju aliran volume Q adalah produk dari kelajuan dikali luas permukaan. Sejak Uz dan luasnya adalah fungsi radius r, Uz harus diintegralkan.

S = = = r02 (4.75)

Integral yang sama pada laju aliran volumenya

Q = = (4.76)

=

= [(-p) / (8L)]( r02 )Persamaan di atas adalah persamaan Hagen Poiseuille.4.2.4Laminar Flow Between Parallel Plates

Berdasarkan gambar 4.10, dimana terdapat 2 piring parallel dengan jarak 2yo diantara keduanya. Piring-piringannya membentuk sudut dengan arah vertikal . aliran fluida diantara kedua piring pada arah x dalam gambar 4.10 adalah disebabkan karena gravitasi dan tekanan gradient.

Fig 4.10

Maka dari gambar di atas, didapatkan persamaan :

Uy = Uz = 0 (4.85)

Disini, hanya Ux yang tidak nol. Komponen dari gaya mengacu pada gravitasi yang telah ditunjukkan pada gambar 4.10. Catatan bahwa dengan system koordinat terpilih, gaya gravitasi mempunyai komponen diantara arah x dan y.

Masalah pada plate parallel adalah selalu diselesaikan dengan asumsi :

1. Steady-state

2. Plate infinitely large pada arah z.

3. Viskositas molecular konstan (tanpa perubahan dengan shear rate atau shear stress)

4. Densitas konstan

5. Aliran laminar

Maka untuk mencari nilai Ux bisa dengan persamaan :

Ux = [MG / (2)] (yo2 y2) = [MG .yo2 / (2)][1 (y / yo)2 ] (4.95)

Untuk kecepatan maksimum pada y=0 :

Ux, max = [(-p) / L + g. cos ] [yo2 / (2)] (4.101)Lalu kecepatan rata-ratanya adalah :

Ux, ave = = [(-p) / L + g. cos ] [yo2 / (3)] (4.104)

Rasionya adalah :

Ux, ave = Ux, max (4.105)

4.2.5Variable Generation

Pada transfer massa dengan generation, variable generation adalah adalah rule daripada the exception dalam kenbanyakan problems. Berdasar pada spesies A, untuk depletion atau generation spesies itu sendiri pada reaksi kimia, ekspresi umum untuk CA,G adalah :

CA,G = -kn. CAn (4.108)

Dari persamaan (4.32) dalam koordinat silindris diaplikasikan dalam problem dengan variable massa generation. Setelah mensubstitusikan nilai dan dari tabel 3.1, persamaan (4.32) untuk transport massa adalah :

-D d[ r (CA / r)] = CA,G r dr (4.110)

Lalu apabila persamaan (4.108) disubstitusikan ke dalam persamaan (4.110) dan n = 1, persamaan menjadi :

d2 CA / dr2 + (1/r) (d CA / dr) (kn / D) CAn = 0 (4.112)