Metode tertutup ( Bracket atau akalode )

Berbeda dengan metode terbuka, pada metode tertutup ini, kita akan menebak dua

buah nilai (atau angka ) dimana terdapat minimal satu akar pada selang atau range tersebut. Metode ini cenderung menghasilkan iterasi yang kovergen. Metode tertutup ini meliputi :

1. Metode bagi dua ( bisection ) Metode Bagi-Dua adalah algoritma pencarian akar pada sebuah interval. Interval tersebut membagi dua bagian, lalu memilih dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung akar dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan atau mendekati akar persamaan. Metode ini berlaku ketika ingin memecahkan persamaan f(x) = 0 dengan f merupakan fungsi kontinyu.

Prosedur Metode Bagi-Dua : Misal dijamin bahwa f(x) adalah fungsi kontinyu pada interval [a, b] dan f(a)f(b) < 0. Ini artinya bahwa f(x) paling tidak harus memiliki akar pada interval [a, b]. Kemudian definisikan

titik tengah pada interval [a, b] yaitu c := . Dari sini kita memperoleh dua subinterval yaitu [a, c] dan [c, b]. Setelah itu, cek apakah f(a)f(c) < 0 atau f(b)f(c) < 0 ? Jika f(a)f(c) < 0 maka b = c (artinya titik b digantikan oleh titik c yang berfungsi sebagai titik b pada iterasi berikutnya), jika tidak maka a = c. Dari iterasi pertama kita memperoleh interval [a, b] yang baru dan titik tengah c yang baru. Kemudian lakukan pengecekan lagi seperti sebelumnya sampai memperoleh error yang cukup kecil.

Contoh : Carilah akar dari x3 + 4x2 – 10 = 0 pada interval [1, 2]. Penyelesaian : Dalam penyelesaian ini saya akan menggunakan sampai iterasi ke-10 dan menggunakan 5 angka dibelakang koma. f(x) = x3 + 4x2 – 10 f(1) = (1)3 + 4(1)2 – 10 = -5 f(2) = (2)3 + 4(2)2 – 10 = 14 f(1.5) = (1.5)3 + 4(1.5)2 – 10 = 2.375 f(1.25) = (1.25)3 + 4(1.25)2 – 10 = -1.79687 f(1.375) = (1.375)3 + 4(1.375)2 – 10 = 0.16210 f(1.3125) = (1.3125)3 + 4(1.3125)2 – 10 = -0.84838 f(1.34375) = (1.34375)3 + 4(1.34375)2 – 10 = -0.35098 f(1.35938) = (1.35938)3 + 4(1.35938)2 – 10 = -0.09632 f(1.36719) = (1.36719)3 + 4(1.36719)2 – 10 = 0.03239 f(1.36329) = (1.36329)3 + 4(1.36329)2 – 10 = -0.03200 f(1.36524) = (1.36524)3 + 4(1.36524)2 – 10 = 0.000016 f(1.36426) = (1.36426)3 + 4(1.36426)2 – 10 = -0.01601 f(1.36329) = (1.36329)3 + 4(1.36329)2 – 10 = -0.00784

n a B c = (a + b)/2 f(a) f(b) f(c) f(a)f(c) f(b)f(c)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 1.25 1.25 1.3125 1.34375 1.35938 1.35938 1.36329 1.36329

2 1.5 1.5 1.375 1.375 1.375 1.375 1.36719 1.36719 1.36524

1.5 1.25 1.375 1.3125 1.34375 1.35938 1.36719 1.36329 1.36524 1.36426

- - - - - - - - - -

+ + + + + + + + + +

+ - + - - - + - + -

- + - + + + - + - +

+ - + - - - + - + -

Jadi akar yang diperoleh dari f(x) = x3 + 4x2 – 10 menggunakan 10 iterasi adalah 1.36426

2. Metode posisi salah atau paslu ( regula falsi ) Metode Regula Falsi disebut juga metode Interpolasi Linear yaitu metode yang digunakan untuk mencari akar- akar persamaan nonlinear melalui proses iterasi dengan persamaan:

Cara penyelesaian METODE REGULA FALSI

Carilah penyelesaian dari persamaan nonlinear di bawah ini dengan metode Regula Falsi:

f(x) = x3 + x2 - 3x - 3 = 0

Penyelesaian:

Langkah 1: Menentukan dua titik nilai f(x) awal, f(x1) dan f(x2) dan harus memenuhi hubungan f(x1)*f(x2)<0. misalkan nilai x1 = 1 dan x2 = 2.

f(x1)= 13 + 12 - 3(1) – 3 = -4

f(x2)= 23 + 22 - 3(2) – 3 = 3

Di dapat F(x1)*f(x2)<0 maka titik penyelesaian berada di antara nilai x1 = 1 dan x2 = 2.

Langkah 2: mencari nilai x3 dengan persamaan:

Dan f(x3)= 1.571423 + 1.57142 2 - 3(1.57142) – 3 = -1.3644314869

Langkah 3: Melakukan Iterasi dengan persamaan 2.1 pada hasil langkah 2 nilai f(x3) hasilnya negative, dan untuk memnentukan nilai x4 harus f(xa*f(xb)<10 maka yang memenuhi syarat nilai yang digunakan yaitu x2 dan x3 karena nilai f(x2)*f(x3)<0 maka :

Dan f(x4)= 1.705413 + 1.705412 - 3(1.70541) – 3 = -0.247745

Iterasi selanjutnya mencari nilai x5 dan f(x5) dan begitu seterusnya sampai didapatkan nilai error lebih kecil dari 10-7. Maka dari hasil perhitungan didapatkan nilai x = 1.7320508074. Dengan nilai errornya f(x)= 2.0008883439E-09.

3. Metode grafik

Dalam mencari akar-akar persamaan karakteristik orde dua kita bisa menggunakan metode pemfaktoran atau juga bisa menggunakan rumus ABC. Dimana bentuk umum dari persamaan karakteristik orde dua adalah : a x^2 + b x + c = 0 Untuk mencari akar dengan rumus ABC sebagai berikut : x1 = ( -b + V ( b^2 - 4 a c ) / 2 a ) dan x2 = ( -b - V ( b^2 - 4 a c ) / 2 a ) Rumusan tersebut hanya bisa digunakan untuk persamaan karakteristik orde dua sedangkan untuk persamaan karakteristik orde lebih dari dua atau persamaan non linier seperti : 2 x^3 + 4x - 15 = 0 x^2 ln(x-1) + x = 0

2 - 5x + sin x = 0 tentu tidak bisa digunakan untuk mencari penyelesaian akarnya. Persamaan karakteristik berupa polinomial, tingkat tinggi, persamaan sinusioda, persamaan eksponensial atau persamaan logaritmik yang berbentuk f(x) = 0, jika tidak dapat diselesaikan dengan analitis maka digunakan metode peyelesaian pendekatan. Salah satunya kita bisa menggunakan metode grafis.

Metode grafik adalah metode penyelesaian persamaan nonl inier (transendental) yang paling sederhana dan paling mudah, dengan cara membuat dua buah grafik dari persamaan tersebut.

Persamaan dari fungsi f(x) = 0 dipecah menjadi dua bagian (dua persamaan), kemudian diplot / digambarkan untuk dicari titik potongnya. Titik potong tersebut merupakan akar persamaannya. Metode grafik ini memiliki beberapa kekurangan yaitu :

• Jika fungsi f(x) mempunyai beberapa akar (titik) penyelesaian, akar-akar penyelesaian tidak bisa dicari secara bersamaan.

• Penyelesaian (titik potong yang dihasilkan) sangat tergantung dari hasil penggambaran grafik tersebut (dipengaruhi oleh penyekalaan bidang koordinat)

• Error penyelesaiannya masih relatif besar. Untuk mengurangi error yang besar dapat dikurangi dengan cara membuat banyak titik koordinat dalam membuat grafiknya. dimana semakin sedikt data titik koordinatnya maka semakin kasar hasil akar persamaan yang diperoleh artinya error nya semakin besar sedangkan jika data titik koordinatnya semakin banyak maka akar persamaan yang dihasilkan semakin halus artinya error nya semakin kecil (jika dibandingkan dengan data titik koordinat sedikit).

Contoh 1: Fungsi f (x) = x ^ 3 + 4 x - 6 = 0 Penyelesaian : Fungsi dipecah menjadi dua bagian (lebih sederhana), dari fungsi : x ^ 3 + 4 x - 6 = 0 didapatkan persamaan bentuk baru 4 x = - x ^ 3 + 6 . Yang dapat dipecah nebjadi 4 x = 0 dan - x ^ 3 + 6 = 0 .

Sehingga didapat dua buah fungsi yaitu f1( x ) = 4 x dan f2 ( x ) = - x ^ 3 + 6 dari kedua persamaan ini dibuat grafiknya, untuk mempermudah menggambar ambillah beberapa titik, sehingga tampak tabel seperti di bawah. Tabel titik koordinat untuk fungsi f1(x) = 4 x dan f (x) = - x ^ 3 + 6 x f1 (x) f2 (x) - 3 - 27 18 - 2 - 8 14

- 1 - 1 10 0 0 6 1 1 2 2 8 - 2 3 27 - 6 Hasil perpotongan grafik yang dihasilkan dari data tabel diatas dimana grafik 1 merupakan kumpulan titik - titik ( x, f1 (x) ) dan grafik 2 merupakan kumpulan titik - titik ( x, f2 (x) ).

Akar pendekatannya merupakan perpotongan kedua grafik fungsi untuk fungsi tersebut di titik x = 1,1. Contoh 2: Fungsi f (x) = x ^ 3 + 4 x - 6 = 0 Penyelesaian : Fungsi dipecah menjadi dua bagian (lebih sederhana), dari fungsi : x ^ 3 + 4 x - 6 = 0 didapatkan persamaan bentuk baru 4 x = - x ^ 3 + 6 . Yang dapat dipecah nebjadi 4 x = 0 dan - x ^ 3 + 6 = 0 . Sehingga didapat dua buah fungsi yaitu f1( x ) = 4 x dan f2 ( x ) = - x ^ 3 + 6 dari kedua persamaan ini dibuat grafiknya, untuk mempermudah menggambar ambillah beberapa titik, sehingga tampak tabel seperti di bawah. Tabel titik koordinat untuk fungsi f1(x) = 4 x dan f (x) = - x ^ 3 + 6 x f1 (x) f2 (x) - 3 - 27 18 - 2 - 8 14 - 1 - 1 10

0 0 6 1 1 2 2 8 – 2 3 27 - 6 Hasil perpotongan grafik yang dihasilkan dari data tabel diatas dimana grafik 1 merupakan kumpulan titik - titik ( x, f1 (x) ) dan grafik 2 merupakan kumpulan titik - titik ( x, f2 (x) ).

Akar pendekatannya merupakan perpotongan kedua grafik fungsi untuk fungsi tersebut di titik x = 1,1.

Contoh 3: Fungsi f (x) = x ^ 3 + 4 x - 6 = 0 Penyelesaian :

Fungsi dipecah menjadi dua bagian (lebih sederhana), dari fungsi : x ^ 3 + 4 x - 6 = 0 didapatkan persamaan bentuk baru 4 x = - x ^ 3 + 6 . Yang dapat dipecah nebjadi 4 x = 0 dan - x ^ 3 + 6 = 0 . Sehingga didapat dua buah fungsi yaitu f1( x ) = 4 x dan f2 ( x ) = - x ^ 3 + 6 dari kedua persamaan ini dibuat grafiknya, untuk mempermudah menggambar ambillah beberapa titik, sehingga tampak tabel seperti di bawah. Hasil perpotongan grafik yang dihasilkan dari data tabel diatas dimana grafik 1 merupakan kumpulan titik - titik ( x, f1 (x) ) dan grafik 2 merupakan kumpulan titik - titik ( x, f2 (x) ). Akar pendekatannya merupakan perpotongan kedua grafik fungsi untuk fungsi tersebut di titik x = 1,1.

Seperti yang telah disinggung diatas, bahwa pada metode numerik akan terdapat suatu galat atau error. Secara garis penentuan galat atau error dapat dibagi menjadi2 :

Galat Multak

Galat mutlak dapat dijabarkan sebagai berikut :

| ε | = | a – â |

Dimana :

ε = galat multak

a = solusi sejati

â = solusi hampiran

Galat Relatif

Galat relatif dapat dijabarkan dengan :

εR = ε/a

= ( a – â )/a

Nilai a atau solusi sejati umumnya tidak diketahui sehingga dengan demikian galat relatif tersebut dinormalisasikan terhadap solusi hampiran ,sehingga persamaan diatas dapat diubah menjadi :

εR = ε/ â

= ( a – â )/ â

Galat ini disebut juga dengan Galat relatif hampiran.