arie setiawan yusra (1010952020) tugas resume 3

7/31/2019 Arie Setiawan Yusra (1010952020) Tugas Resume 3

1/11

TUGAS RESUME 3

Matematika Teknik II

Oleh :

ARIE SETIAWAN YUSRA

NO. BP : 1010951002

Dosen : Heru Dibyo Laksono, MT

JURUSAN TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS ANDALAS

PADANG


2/11

2011

TRANSFORMASI LAPLACE

A.Transformasi Laplace , Transformasi Invers, dan LinearitasMisalkan f(t) merupakan suatu fungsi yang terdefinisi untuk semua t0 , maka

transformasi Laplace dari f(t) didefinisikan sebagai :

0

)()( dttfefsF stL

Sedangkan untuyk mendapatkan kembali fungsi asal f(t) didapatkan dengan

transformasi invers dari F(s) yang didefinisikan sebagai :

Ftf 1L

Contoh 1 :

Jika f(t) =1, tentukan transformasi laplace nya !

jawab :

sse

sdtef stst

1)

1(0

1)1()(

00

LL

Contoh 2 :

Diketahui F(s), carilah transformasi invers f(t) =

Transformasi Invers dari4

42

s

s

Jawab :

4222

4sF

s

b

s

a

ss

s

2

3

22

42

2

sss

ssa

2

1

22

42

2

sss

ssb


3/11

Sehingga, 2

21

2

23

22

4

ssss

ssF

tt

eesssF22

2

1

2

3

22

1

22

3

--

LL

tt eetf 222

1

2

3

Teorema 1. Linearitas dari trasnformasi Laplace

Transformasi Laplace merupakan operasi linier, yaitu untuk setiap fungsi f(t) dan g(t)

yang transformasi Laplacenya ada dan sebarang konstanta a dan b, maka

)()()()( tgbtfatbgtaf LLL

Contoh :

Diketahui :2

)(cosh)(

atatee

attf

Tentukan transformasi laplacenya !

Jawab :

asaseeat

atat 11

2

1)(

2

1)(

2

1)(cosh LLL

22)(cosh

as

satL

Teorema 2. Teorema Eksistensi untuk transformasi Laplace

Miasalkan f(t) suatu fungsi yang kontinu bagian demi bagian pada setiap selang

berhingga dalam daerah hasil (range) t0 dan memenuhi

tMetf Untuk semua t0 dan untuk semua konstanta dan M. Maka transformasi Laplace

dari f(t) ada untuk semua s>.


4/11

B.Transformasi Laplace dari Turunan dan IntegralTransformasi laplace dari turunan f(t)

Jika diketahui turunan fungsi f(t) yaitu )(')(

tfdt

tdf maka transformasi laplace dari

turunan pertama fungsi f(t) dapat ditentukan dengan

0L'L ffsf

Dan jika diketahui turunan ke dua dari f(t) yaitu f(t) , maka transformasi laplacenya

ialah

0'0L''L 2 fsffsf

Dapat disimpulkan, transformasi laplace dari turunan orde ke n dari fungsi f(t) ialah

0.....0`0 121 nnnnn ffsfssf fLL

Contoh :

Diketahui : 032,,, yyy

10 y

70, y

Ditanya : tentukan transformasi laplace dari persamaan tersebut !

Jawab :

030200 ,2 yysyysyys

032272 ysysys

5322 sssy

32

52

ss

sy

135

ss

sy

13

sB

sAsy


5/11

s=3

13

53

ss

ssA

213

53

A

s=-1

13

51

ss

ssB

131

51

B

1

1

3

2

sssy

tt eety 32

Transformasi laplace dari integral suatu fungsi

Integrasi dari f(t)

Jika f(t) kontinu bagian demi bagian dan memenuhi pertidaksamaan bentuk |f(t)|

Met

untuk setiap dan M,maka

sstfs

df

t

,0L1

L0

Sedangkan transformasi inversnya ialah :

dfsFs

t

0

1 1L

Contoh :

Andaikan)(

1)(

22

ssfL , carilah f(t) !

Jawab :

Dari table laplace diketahui bahwa ts

L sin

1122

1

Dari rumus di atas diperoleh :

t

tdss

L0

2221 cos11sin111


6/11

C. Pergeseran Pada Sumbu S, Pergeseran Pada Sumbu T, DanFungsi Tangga Satuan.

Pergeseran pada sumbus

Jika f(t) mempunyai transformasi F(s) dengan s>, maka )(tfeat

mempunyai

transformasi F(s-a) dengan as , jadi jika L{f(t)} = F(s), maka :

)()( asFtfeL at

Dan transformasi inversnya :

)()(1 tfeasFL at

Pergeseran pada Sumbu t, Pergantian t dengan t a dalam f(t)

Jika f(t) mempunyai transformasi F(s), maka fungsi

atjika)(

atjika0)(

_

atftf

Dengan a > 0 sebarang mempunyai transformasi )(sFeas

.

Fungsi tangga satuan

Menurut definisi u(ta) adalah 0 untuk t < a , mempunyai loncatan yang berukuran 1

pada t = a dan berukuran 1 untuk t > a :

atjika1

atjika0

)( atu

Jika )()}({ sFtfL maka )(tf dapat dituliskan dalam bentuk )()( atuatf yaitu

:

)()()({ sFeatuatfLas

Dan taransformasi inversnya :

)()()}({1

atuatfsFeLas


7/11

Dari definisi didapatkan

dfedfeesFeasstasas )()()(

0

)(

0

Kemudian dengan mensubtitusikan ta , maka didapatkan

0

)()( dtatfesFe stas

Sedangkan untuk transformasi fungsi tangga satuan itu sendiri ialah :

s

eatuL

as

)}({

Contoh :

Carilah transformasi invers dari :3

3s

s

e

Jawab :

Karena2

12

3

1 ts

L

maka

)3()3(21)( 3

3

1

tuteL s

s

D.Penerapan lebih Lanjut dan Fungsi Delta DiracPenerapan Lebih lanjut

Tanggapan rangkaian RC terhadap suatu gelombang tunggal persegiJika diketahui rangkaian :

V(t)

C

R

maka persamaan rangkaian tersebut ialah


8/11

t

tvdiC

tRiC

tatRi

0

)()(1

)()(

)(

Dimana v(t) dapat digambarkan oleh 2 fungsi tangga satuan)]()([)( 0 btuatuVtv

Sehingga persamaan rangkaian menjadi

][)(

)( 0 bsas ees

V

sC

sIsRI

Dengan menyelesaikan persamaan ini secara aljabar untuk menetukan I(s), didapatkan

RC

s

RV

sF

eesFsIbsas

1

anadim,0

Kemudian tentukan transformasi inversnya :

RCt

eR

VF

0

1L

Sehingga :

)()(\

)(

0

111

)(

btueatueR

V

sFesFeIti

RCat

RC

at

bsasLLL

-t/RCK1ei(t) jika a < t < b -t/RCeK2-K1i(t) jika t < b

Dimana

ReVK RCa /)/(01 ReVKRC

b

0

2

Impuls Pendek dan Fungsi Delta Dirac

Bentuk umum fungsi delta dirac ialah :

aseat )(L


9/11

Dimana :

lainyanguntuk0

atjika)( at

Dan

1)(0

dtat

E.Diferensiasi dan Integrasi TransformasiDiferensisasi dari Transformasi

Jika f(t) memenuhi syarat teorema eksistensi , maka turunan dari transformasi yang

sesuai adalah :

0

)()()( dttfefLsF st

Jika diturunkan, yaitu

0

)]([)(' dtttfesF st

Apabila )()( sFfL , maka :

)(')}({ sFttfL

Integrasi dari Transformasi

Jika f(t) memenuhi syarat teorema eksistensi dan limit f(t)/t ada bila t menuju nol dari

sebelah kanan, maka

ssdsFt

tf

s

L

Dalam hal ini Integrasi dari transformasi suatu fungsi f(t) sesuai dengan pembagian f(t) oleh t


10/11

Contoh :

Carilah transformasi laplace dari :t

et22

Jawab :

sFtetttf t '2 LL

ttetf 2

34

2

2

1

2

2!1

ss

stesF

tL

Sehingga

2

1'

asds

dsF

Sehingga transformasi laplacenya 32

2

s

F. Konvolusi dan Persamaan IntegralTeorema 1 ( Teorema Konvolusi)

Jika f(t) dan g(t0 memenuhi hipotesis teorema eksistensi maka hasil kali dari

transformasi F(s) = L(f) dan G(s) = L(g) adalah transformasi H(s) = L(h) darikonvolusi oleh f(t) dan g(t) ditulis L(f * g) dan difenisiskan oleh :

dtgftgftht

0

*)(

Konvolusi gf * mempunyai beberapa sifat, yaitu :

Hukum Komutatif : fggf ** Hukum distribtuitf : 2121 *** gfgfggf Hukum asosiatif : vgfvgf **** Konvolusi dengan 0, nilainya = 0 : 0*00* ff

Contoh :

Diketahui : asssH 2/1)( Ditanya : Tentukan h(t) =..?????

Jawab :

eat

ast

s

1,12

1-1-LL


11/11

deedeettgtfth

t

aat

t

taat

00

*)(*)()(

11)(2

atea

that

Persamaan integral

Persamaan integral adalah suatu persamaan di mana fungsi (yang tidak diketahui),

katakanlah y(t), terjadi di dalam integran dari suatu integral (dan dapat juga terjadi di

luar integral).

Contoh :

Selesaikan persamaan integral berikut ini : dtyttyt

0 sin)()( Jawab :

ubah persamaan dalam bentuk konvolusityty sin*

Penerapan teorema konvolusi : persamaan di laplacekan1

1)(

1)(

22

ssY

ssY

22

1

1

1)()(

sssYsY

22

1

1

11)(

sssY

22

2 1

1)(

ss

ssY

424

2111

)(sss

ssY

Cari invers laplace nya :3

6

1)( ttty

arie setiawan yusra (1010952020) tugas resume 3

Documents