MATERI 1: PENGENALAN AWAL GEOGEBRA

Oleh: Julan HernadiDosen Prodi Pendidikan Matematika FKIP Unmuh Ponorogo

1. Apa itu GeoGebra

Geogebra adalah perangkat lunak (software) matematika yang bersifat dinamis dan dipergunakan untuk pembelajaran matematika di sekolah. GeoGebra merupakan sistem interaktif yang menggabungkan geometri, aljabar dan kalkulus. Lebih dari itu, GeoGebra juga menyediakan fasiltas (tools) untuk peluang dan statistika. Pada versi 5, GeoGebra sudah memiliki fasilitas untuk geometri dimensi tiga (ruang).

Dengan GeoGebra, kita dapat mengonstruksi (menggambar) titik, vektor, ruas garis, garis, polygon atau segi banyak, dan irisan kerucut (lingkaran, ellips, parabola, hiperbola), serta fungsi. Setelah dimasukkan ke dalam Geogebra, objek-objek matematika ini dapat dimodifikasi secara dinamis. Di pihak lain, persamaan dan koordinat dapat dimasukkan langsung pada GeoGebra sehingga GeoGebra juga dapat menangani variabel-variabel angka, vektor dan titik.

Berikut tampilan dasar (desktop) GeoGebra.

Tampilan Grafik (Graphics View): pada jendela ini kita dapat membuat konstruksi geometri, seperti titik, garis, ruas garis, lingkaran, dan sebagainya. GeoGebra menyiapkan 2 jendela grafik.

Tampilan Aljabar (Algebra View): Pada jendela ini muncul angka (konstanta), variabel, dan titik koordinat yang bersesuaian dengan tampilan grafiknya. Jadi GeoGebra menampilan bentuk geometrid an bentuk aljabar secara bersamaan.

Bilah Masukan (Input Bar): pada jendela ini , kita dapat memasukkan bentuk aljabar seperti angka, variabel, fungsi dengan menggunakan papan ketik (keyboard).

1

TITIK

GARIS

HUBGARIS

SEGIBANYAK

LING-KARAN

IRISAN KERUCUT

SUDUT

TRANS GEO

INSERT TEKS &

GAMBAR

SLIDER

Untuk tingkat lanjut masih ada beberapa jendela tampilan GeoGebra, yaitu Tampilan Spreadsheet (Spreadsheet View): pada jendela ini kita dapat bekerja dengan daftar

angka-angka menggunakan formula dan fungsi seperti pada MS Excel. Tampilan CAS (Computer Algebra System): jendela ini digunakan untuk bekerja dengan

matematika simbolik, seperti menyelesaikan persamaan atau sistem persamaan. Tampilan Grafik 3D, khusus GeoGebra versi 5: Jendela ini untuk melihat bangun ruang,

seperti kubus, limas, prisma, dan lain sebagainya serta untuk mempelajari sifat-sifat geometri tiga dimensi, seperti bidang melalui tiga titik, sudut antara garis dan bidang, sudut antara garis bersilangan, dan lain sebagainya.

2. Menu dan Toolbox GeoGebra

Menu (menu bar) merupakan daftar pilihan untuk melakukan navigasi program Geogebra. Karena isi dari menu bar ini relatif umum seperti pada operasi window secara umum maka kita lewati karena dapat dipelajari sambil jalan oleh pembaca sekalian.

2

Tool Move digunakan untuk memindahkan secara bebas sebuah objek. Sedangkan Move around Point digunakan untuk memindahkan titik yang berjarak sama terhadap titik tertentu. Record to Spreadsheet untuk mencatat koordinat titik ke dalam tabel. (spreadsheet).

Tool ini digunakan untuk menggeser tampilan grafik agar lebih baik dilihat. Banyak tool lain yang ada di sini, seperti Zoom in/out, Show/Hide untuk menampilkan atau menyembunyikan objek atau label, dan lain-lain.

Dua alat penting yang perlu diperkenalkan daria awal adalah tool pilih/pindah (Move) dan tool geser tampilan (Move Graphics View).

TOOL PINDAH (MOVE)

TOOL GESER TAMPILAN GRAFIK (MOVE GRAPHIC VIEW)

3. Mengeksplorasi GeoGebra

Eksplorasi 1:Titik, Garis, Segi banyak (polygon), Titik pada objek, Lingkaran

1. Titik

Tampilkan Grid (garis skala pada bidang koordinat) dengan menempatkan cursor pada bidang

koordinat, tekan kanan mouse, klik lambang Grid . Aktifkan tool titik , kemudian klik sebarang pada bidang koordinat; maka akan terbentuk titik yang sudah terlabel A. Titik koordinat titik ini akan muncul pada jendela Tampilan Aljabar. Kita dapat mendefinisikan titik tertentu melalui Bilah Masukan; misalnya A1=(3,2), maka setelah dienter, titik ini terbentuk pada Tampilan Grafik. Sekarang kita memiliki dua titik A dan A1.

2. Garis dan ruas garis

Garis dan ruas garis adalah dua objek yang berbeda. Kalau garis tidak mempunyai batas, sedangkan ruang garis (segmen) mempunyai batas. Melalui dua titik sebarang dapat dibuat sebuah garis lurus. Coba buat garis yang melalui titik A dan A1 yang sudah ada sebelumnya, dengan menggunakan tool

. Caranya, klik kedua titik secara berurutan maka terbentuklah garis yang dimaksudkan. Pada Tampilan Aljabar muncul persamaan garis yang baru saja kita bentuk. GeoGebra memberikan

nama garis a. Sekarang aktifkan tool ruas garis (segment) . Pilihlah dua sebarang titik untuk membuat sebuah ruas garis. Terbentuklah sebuah ruas garis BC. Pada Tampilan Aljabar, muncul bilangan b yang menyatakan panjang ruas garis yang baru kita bentuk tersebut.

3

3. Segi banyak (polygon)

Segitiga, segiempat, segilima, dan seterusnya merupakan segi banyak. Ada segi banyak beraturan di mana panjang semua sisinya sama dan ada segi banyak sebarang. Untuk segi banyak sebarang, kita

aktifkan tool polygon . Hubungkan minimal 3 titik secara berurutan sehingga berakhir di titik awal. Pada Tampilan Grafik kita telah menggambarkan segi empat DEFG. Untuk membuat segi

banyak beraturan, gunakan tool regular polygon . Tetapkan (klik) dua titik sebarang yang menjadi salah satu sisi segi banyak, kemudian masukkan banyak segi yang diinginkan. Dalam tampilan ini kita membuat segi lima berarturan HIJKL.

4. Lingkaran

Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik tertentu. Jarak yang dimaksud adalah jari-jari dan titik tertentu yang dimaksud disebut pusat lingkaran. Pertama kita dapat membangun lingkaran dengan menentukan pusat dan sebuah titik pada lingkaran. Untuk

digunakan tool lingkaran . Pilih sebuah titik M sebagai pusat dan sebuah titik lagi N yang terletak pada lingkaran. Cara kedua, lingkaran diketahui titik pusat dan

panjang jari-jari dengan menggunakan tool lingkaran . Tetapkan sebarang titik O sebagi pusat, isi kotak dialog untuk panjang jari-jari.

5. Titik pada objek

Gunakan tool untuk menetapkan sebuah titik berada pada sebuah objek. Coba lakukan dua cara berikut:

Buat sebarang segitiga dengan tool polygon, kemudian buat titik di dalam segitiga tersebut menggunakan tool Titik biasa.

Buat sebarang segitiga dengan tool polygon, kemudian buat titik di dalam segitiga tersebut menggunakan tool Titik Pada Objek.

Geserlah segitiga dengan tool Pindah, apa yang terjadi dari kedua gambar tersebut.

Tampilan Grafik dan Tampilan Aljabar hasil eksplorasi di atas diberikan pada Gambar berikut.

4

Eksplorasi 2:Hubungan garis dan titik, titik potong dua objek

1. Konstruksi dua garis tegak lurus dan dua garis sejajar.

Jika diberikan sebuah garis maka melalui sebuah titik (pada ataupun di luar garis tersebut), selalu dapat dibuat sebuah garis yang tegak lurus melalui garis tersebut. Bagitu juga dengan garis sejajar.Diberikan sebuah garis l melalui A dan B, dan sebuah titik C di luar garis ini.

a) Lukislah garis h yang melalui C dan tegak lurus l.b) Lukislah garis g yang melalui C dan sejajar l.

Ada baiknya kita mengingat kembali langkah-langkah menggambar garis g dan h yang dimaksud dengan menggunakan penggaris dan kompas (jangka). Coba kita bandingkan menggambar manual dan menggunakan GeoGebra.

a. Menggunakan jangka dan penggaris

Melukis ruas garis AB dan sebuah titik C yang

akan dilalui garis tegak lurus yang akan dilukis

5

Melukis sebuah lingkaran dengan C sebagai pusat

dan memotong ruas garis AB. Titik potong

lingkaran dan ruas garis AB adalah E dan F.

Melukis lingkaran dengan pusat F dan jari-jari

EF .

Melukis lingkaran dengan pusat E dan jari-jari EF

.

Diperoleh titik perpotongan antara lingkaran

dengan pusat E dan lingkaran dengan pusat F

yaitu G dan H . Melukis ruas garis yang

menghubungkan titikG dan H , yang melalui titik

C dan tegak lurus dengan ruas garis AB.

Sehingga terbentuk ruas garis CI yang tegak lurus

AB, kita lambangkan dengan AB⊥CI

b. Menggunakan GeoGebra

Melukis ruas garis menggunakan tool ruas garis

diantara dua titik dan satu titik dengan tool

6

titik

Menggambar garis tegak lurus melalui sebuah

titik terhadap garis yang lain menggunakan tool

garis tegak lurus . Akan langsung terbentuk

sebuah garis yang tegak lurus AB dan melalui

titik C

b) Untuk melukis dua garis sejajar juga membutuhkan proses cukup panjang jika dikerjakan manual. Dengan GeoGebra cukup dilakukan simple seperti berikut.

Melukis ruas garis menggunakan tool ruas

garis diantara dua titik dan satu titik

dengan tool titik

Menggambar garis sejajar dari suatu titik

terhadap garis menggunakan tool garis sejajar

sehingga secara otomatis terdapat garis

yang sejajr dengan AB dan melalui C

7

Catatan kritis dan introspeksi:

1. Idealnya siswa memahami langkah-langkah dan alasan ilmiah yang mendasarinya serta trampil dalam mengerjakan konstruksi dasar dalam geometri. Penggunaan komputer sebagai alat bantu pembelajaran sangat diperlukan selama pemahaman konsep dasar matematika dapat dicapai.

2. Berbagai kemampuan melukis dasar:a. Melukis garis bagi sudut, b. Melukis garis berat dan garis tinggi segitiga, c. Melukis lingkaran luar dan lingkaran dalam sebuah segitiga atau segiempat, d. Melukis garis singgung kurva melalui sebuah titik, e. Dan lain-lain

Keterampilan seperti ini sudah jarang dimiliki oleh siswa sekarang bahkan mungkin guru-guru matematika sudah tidak peduli lagi terhadap keterampilan dasar seperti ini. Celakanya, penggunaan teknologi sebagai alat bantu pembelajaran juga tidak mumpuni atau hanya sebagai robot yang tidak paham latar belakangnya.

2. Titik potong dua objek

Untuk mengetahui secara tepat, titik potong dua objek (misalnya garis dengan garis, garis dengan

lingkaran, lingkaran dengan lingkaran, dll), kita perlu menggunakan tool . Buatlah sebuah lingkaran sebarang dan sebuah garis yang memotong lingkaran tersebut. Aktifkan tool ini, kemudian klik secara berurutan kedua objek tersebut (lingkaran dan segitiga), maka diperoleh titik potong keduanya.

Dalam ilustrasi ini, E dan F adalah kedua titik potong lingkaran dan garis lurus.

Eksplorasi 3:Mengukur sudut dan panjang ruas garis

1. Mengukur besar sudut

Sudut dibentuk oleh dua sinar atau dua garis yang berpotongan. Besar sudut adalah ukuran daerah kangkangan di antara dua lengan sudut. Untuk mengukur sudut dibutuhkan tiga titik, yaitu titik pada lengan pertama, titik pusat, dan titik pada lengan kedua. Untuk mengukur besar sudut digunakan

tool Sudut . Caranya untuk mengukur besar sudut ∡ ABC

, klik secara berurut titik C, titik B, dan titik A. Coba buat sebarang segita ABC, ukur masing-masing sudutnya, kemudian jumlahkan ketiga sudut tersebut. Apakah terkonfirmasi jumlahnya 1800. Hasilnya diberikan pada Gambar berikut. Perhatikan pada bilah Masukan diberikan perintah untuk menghitung jumlah ketiga sudut tersebut.

8

Kita dapat menggambar sudut dengan besar tertentu. Untuk ini perlu diketahui titik pada lengan sudut, titik pojok (vertek) dan besar sudut. Misalkan kita akan menggambar sudut 300 terhadap sumbu-X dengan vertek titik asal (0,0). Tandai A sebagai titik pojok, tetapkan B sebarang titik pada sumbu-X positif. Klik titik B, kemudian A. Isilah kotak dialog dengan ukuran sudut yang diinginkan, misalkan 300. Maka akan terbentuk sudut yang dimaksud. Sudut ini dapat diperjelas dengan menghubungkan ketiga titik dengan dua ruas garis. Coba gunakan tool Pindah untuk mengeser titik B. Apakah besar sudutnya berubah?

9

2. Mengukur pajang ruas garis

Biasanya setiap ruas garis yang kita buat, secara ootomatis panjangnya sudah tersedia pada Tampilan Aljabar. Dalam kasus kita ingin mengukur panjang ruas garis yang sudah tersedia tetapi

ukuran panjangnya belum ada, gunakan tool . Setelah tool ini diaktifkan, pilih dua titik yang akan dihitung jaraknya, atau sebuah ruas garis, atau poligon, atau lingkaran. Untuk bangun seperti poligon hasil yang diperoleh berupa kelililing (perimeter). Gambar di bawah hasil pengukuran jarak A dan E, dan keliling poligon yang tergambar.

10

Eksplorasi 4:Menggambar Grafik Fungsi

GeoGebra memiliki keunggulan dalam menggambar grafik fungsi atau kurva karena ia mampu menangani fungsi dalam eksplisit y=f (x ) dan kurva fungsi eksplisit f ( x , y )=0. Kita coba menggambar beberapa grafik fungsi berikut.

1. y=x2+1,2. y=2sin (2πx ).3. x2+ y2=4.4. x2− y2+2 x+3 y−12=0.

Gunakan bilah Masukan untuk mendefinisikan fungsi tersebut. Misalnya untuk contoh 4, tulislah dalam bilah Masukan ekspresi matematika sebagai berikut.

, kemudian tekan Enter. Untuk aksesoris grafik seperti warna, jenis dan ketebalan garis dapat dilakukan melalui jendela dialog. Tekan mouse kanan pada bidang Gambar, pilih Objek Properties. Hasil keempat grafik yang dimaksud diberikan pada Gambar berikut.

Eksplorasi 5:Penggunaan Slider

11

Bentuk umum formula matematika umumnya memuat konstanta yang disebut parameter. Parameter ini nilainya dapat diubah menurut kebutuhan. Sebagai contoh fungsi kuadrat mempunyai bentuk umum y=a x2+bx+c , dengan a ≠ 0. Begitu juga persamaan garis lurus y=mx+c. Memahami bagaimana dampak perubahan parameter-parameter ini terhapat tampilan grafik dapat dipelajari melalui slider. Slider adalah rentang di mana parameter boleh diubah-ubah. Untuk ini

digunakan tool Slider . Setelah tool ini diaktifkan, klik posisi yang akan ditempatkan slider ini, maka akan muncul kotak dialog berikut.

Misal simbol a kita ganti m. Pilih Number jika m variabel untuk bilangan. Rentang untuk m dapat diatur sesuai kebutuhan, begitu juga tahapan kenaikan (increment) bisa diatur sesuai kebutuhan.

Misalkan kita akan melihat pengaruh gradient m dan intersep n pada persamaan garis lurus y=mx+n.

1. Buat dua slider untuk m dan n.2. Pada bilah Masukan, tuliskan persamaan garis y=mx+n.3. Kita dapat menggerakkan kedua parameter ini dan melihat bagaimana pengaruhnya

terhadap grafik garis lurus tersebut.

Hasil untuk tampilan statisnya sebagai berikut.

12

Untuk latihan coba lakukan untuk y=a x2+bx+c, dengan a ≠ 0. Pelajari pengaruh parameter-paramater ini terhadap bentuk kurva parabolanya. Kaitkan dengan dasar teori yang ada.

Slider dapat ditampilkan secara animasi dengan cara klik kanan titik angka pada Slider, pilih Animasi On. Maka semua nilai pada slider berjalan secara otomatis, sekaligus dampaknya terhadap grafik yang ditampilkan. Coba saja!.

4. Penutup

Materi pelatihan ini baru pengenalan awal GeoGebra. Masih banyak sekali kemampuan GeoGebra yang belum tereksplorasi di sini. Boleh dikatakan eksplorasi di atasi belum ada 1% dari kehebatan GeoGebra yang sesungguhnya, ditambah lagi adanya fasilitas dimensi tiga (ruang) pada GeoGebra versi 5. Fasilitas ini sangat membantu dalam pembelajaran geometri ruang yang sebagian besar siswa kita bahkan guru merasa kesulitan.

Kesungguhan dalam belajar otodidak sangat menentukan keberhasilan menguasai keterampilan komputer.

13