anggaran laba/rugiriskayanto.staff.gunadarma.ac.id/downloads/files/66495/4... · web viewsebagai...

44 FUNGSIFUNGSISEBARAN PELUANGSEBARAN PELUANG

4.1. PEUBAH ACAK (RANDOM VARIABEL)

Hampir semua eksperimen yang dilakukan akan membangkitkan hasil yang dapat diinterpretasikan dalam bentuk angka riil, seperti misalnya umur teknis (technical life-time), jumlah produk cacat, dan ukuran keku-atan (strength measurements). Dengan kata lain, titik-titik contoh dalam ruang contoh (S) pada umumnya dapat disajikan dalam bentuk numerik.

4.1.1. Pengertian

Variabel random sebenarnya adalah fungsi yang mendefinisikan titik-titik contoh dalam ruang contoh sehingga masing-masing titik contoh itu me-miliki nilai berupa bilangan nyata (beberapa buku juga menyebutnya se-bagai STOCHASTIC VARIABLE).

Definisi Peubah Acak:Peubah Acak random adalah fungsi yang memetakan ruang contoh ke dalam satu himpunan bilangan riil.

Peubah Acak biasa dinotasikan dengan huruf kapital seperti X, Y, dan Z. Sedangkan nilai-nilai yang melekat pada tiap-tiap titik contoh biasa dino-tasikan dengan huruf kecilnya, seperti x, y, dan z. Hubungan lebih lanjut yang menjelaskan fungsi tersebut dengan demikian dapat dinyatakan sebagai “Probabilitas bahwa variabel X akan mendapatkan nilai x”, dan dinotasikan dengan P(X=x) = p(x).

Contoh 1:Sebuah percobaan dilakukan dengan melemparkan sekeping mata uang yang setimbang sebanyak 3 kali. Dari simulasi ini berarti akan didapatkan ruang contoh dengan titik contoh sebanyak 23 atau 8, yaitu:

S = {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA}di mana G = Gambar dan A = Angka

Statistika Teknik – Modul 4: Fungsi Sebaran Peluang 1

Misalnya diketahui bahwa X adalah peubah acak dengan atribut nilai: ”setiap satu sisi GAMBAR bernilai satu (G = 1)”, maka nilai-nilai x yang mungkin didapatkan adalah:S = {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA} 3 2 2 2 1 1 1 0Dengan demikian distribusi nilai-nilainya adalah sebagai berikut:

0 = tidak mengandung G, 1 = mengandung 1 sisi G, 2 = mengandung 2 sisi G, 3 = mengandung 3 sisi G

Perhatikanlah bahwa X = {0, 1, 2, 3}Nilai x1= 0, x2= 1 x3= 2, x4= 3

4.1.2. Peubah Acak Diskrit

Variabel X pada contoh 1 di atas hanya memiliki kemungkinan 4 macam nilai yang diperoleh dengan cara yang sangat sederhana, yaitu dihitung atau dicacah. Peubah dengan atribut nilai seperti ini disebut dengan peu-bah acak diskrit.

Definisi Peubah Acak Diskrit:Suatu peubah acak X dikatakan sebagai diskrit jika ia hanya mengambil nilai-nilai x berupa bilangan cacah atau diperoleh dengan cara dicacah. Properti peluang yang dapat diambil oleh masing-masing nilai peubah adalah:(1) P(X=x) ≥ 0(2) Σ P(X=x) = 1, di mana jumlah ini meliputi semua kemungkinan x.

Berdasarkan jumlah nilai-nilai variabel yang mungkin di dapat, maka pe-ubah acak diskrit juga dapat dibedakan antara peubah acak diskrit ter-hingga (finite) dan peubah acak diskrit tak hingga (infinite). Peubah acak diskrit tak hingga dapat terjadi misalnya dalam eksperimen untuk meng-hitung jumlah bercak (cacat) per bal dalam produksi kain.


4.1.3. Peubah Acak Kontinu

Peubah acak tipe ke-2 adalah yang nilai-nilainya diperoleh dari eksperi-men dengan cara mengukur. Nilai peubah acak kontinu berupa selang bi-langan, tidak dapat dihitung dan tidak terhingga serta memungkinkan pernyataan dalam bilangan pecahan). Karena diperoleh dengan jalan mengukur, maka peubah acak ini biasa dijumpai pada hal-hal yang diukur, seperti: jarak, waktu, berat, volume, dll. Oleh karena itu, nilai bagi peubah acak kontinu akan mengikuti sistem bilangan riil atau sistem malar.

Terhadap peubah acak jenis ini, kita tidak dapat menyatakan suatu besar-an peluang positif pada tiap nilai variabel yang mungkin, tidak peduli seberapa kecil peluang individual tersebut. Jika hal ini dipaksakan, maka jumlah dari peluang-peluang individual tersebut pastilah lebih besar dari pada 1 (P(S) > 1). Suatu hal yang tidak masuk akal! Dengan demikian, yang dapat kita lakukan untuk menghitung peluang peubah acak kontinu adalah besaran peluang bagi interval antara dua bilangan riil.

Contoh 2:Suatu percobaan dilakukan untuk menguji umur efektif satu jenis baterei. Sejumlah 50 buah baterei tersebut diambil sebagai sampel dan kemudian diukur umur nyalanya. Hasilnya dapat dilihat pada tabel berikut:

Tabel 4.1. Hasil pengukuran umur 50 baterei (dalam 100 jam)

No Umur No Umur No Umur No Umur No Umur1. 0,406 11. 0,685 21. 4,778 31. 1,725 41. 8,2232. 2,343 12. 1,401 22. 1,507 32. 0,294 42. 2,1303. 0,538 13. 0,234 23. 4,025 33. 3,323 43. 2,9204. 5,088 14. 1,458 24. 1,064 34. 0,774 44. 0,7615. 5,587 15. 0,517 25. 3,246 35. 2,330 45. 1,0646. 2,563 16. 0,511 26. 2,782 36. 6,426 46. 0,8367. 0,023 17. 0,225 27. 1,514 37. 3,214 47. 3,8108. 3,334 18. 2,325 28. 0,333 38. 7,541 48. 0,9689. 3,491 19. 2,921 29. 1,624 39. 0,334 49. 4,490

10. 1,267 20. 1,702 30. 2,634 40. 1,849 50. 0,186

Hal yang harus didapatkan untuk keperluan menghitung probabilitas sua-tu interval nilai adalah model probabilitasnya itu sendiri. Model ini dapat didekati secara visual dengan membuat kurva frekuensi relatif dari sebaran nilai pada tabel 4.1. Kurva tersebut dapat dilihat bentuknya pada Gambar 4.1 di halaman berikutnya. Dengan mencermati kurva tersebut, kita dapat melihat bahwa sebagian besar observasi jatuh pada selang 0 –


1, dan frekuensi tersebut terus menurun pada selang-selang nilai yang se-makin besar.

Histogram frekuensi relatif pada Gambar 4.1. tersebut dapat dihaluskan atau didekati dengan kurva eksponensial negatif yang memiliki fungsi:

f (x) = ½. ; x > 0

Gambar 4.1. Histogram frekuensi relatif bagi data Tabel 4.1.

Dengan demikian, kita dapat menggunakan fungsi tersebut sebagai model matematika yang menggambarkan perilaku peubah acak kita. Perilaku yang digambarkan tersebut tidak lain adalah sebaran peluang yang grafis-nya diberikan oleh kurva fungsi tersebut pada Gambar 4.1. Dengan kata lain, kita akan dapat menghitung peluang baterei dari produk tersebut akan memiliki usia nyala tertentu.

Peluang baterei tersebut akan berumur lebih dari 400 jam dapat diesti-masi dengan luasan di bawah kurva dari x = 4 ke kanan. Secara kuan-titatif, besaran peluang ini dapat dihitung dengan fungsi:

= 0,135

Peluang baterei tersebut akan berumur lebih dari 800 jam dapat diesti-masi dengan luasan di bawah kurva dari x = 8 ke kanan. (Perhatikan bahwa secara manual, besaran peluang ini tak bisa diperoleh. Hanya bisa didapatkan dengan menyelesaikan fungsi model matematikanya):

= 0,018

Pemilihan model yang sesuai untuk suatu permasalahan tertentu (apakah linear, eksponensial, dll) akan menjadi topik bahasan tersendiri baik dari sisi teoritikal maupun praktikal. Kesesuaian suatu model yang diestimasi


dengan sebaran datanya juga dapat diuji secara statistik. Suatu fungsi f(x) yang merupakan model bagi perilaku frekuensi relatif peubah acak X ter-sebut dinamakan fungsi kerapatan probabilitas (probability density function).

Definisi Peubah Acak Kontinu:Suatu peubah acak X dikatakan sebagai kontinu jika ia dapat mengambil semua kemungkinan nilai x tak hingga dalam suatu interval bilangan riil dengan suatu fungsi yang dapat menjelaskan sifat sebaran peluangnya yang dinamakan sebagai fungsi kerapatan probabilitas, sedemikian ru-pa sehingga:(1) f(x) ≥ 0, untuk semua x(2) = 1(3) P(a ≤ X ≤ b) =

Perhatikan bahwa dari definisi tersebut dapat dituliskan untuk sembarang peubah acak X:

P(X=a) = = 0Peluang suatu nilai spesifik dari peubah acak kontinu adalah 0.

Contoh 3:Dengan mengacu pada peubah acak X tentang permasalahan umur baterei di atas yang memiliki fungsi kerapatan probabilitas: , x > 0f(x) =

0, sembarang x lainnyaCarilah probabilitasnya bahwa umur satu baterei tertentu tersebut akan kurang dari 200 jam atau lebih besar dari pada 400 jam.

Jawab:Misalkan A menyatakan kejadian X bernilai kurang dari 2 dan B menya-takan kejadian X lebih besar dari 4. Karena A dan B adalah kejadian yang saling asing, maka:

P(A U B) = P(A) + P(B)= + = (1 – ) + ( )= 1 – 0,368 + 0,135= 0,767


f(x)

Terkadang kita mempelajari perilaku peubah acak dengan melihat proba-bilitas kumulatifnya. Ini berarti bahwa untuk sembarang peubah acak X kita akan mencari peluang P(X ≤ b) untuk satu nilai riil b tertentu. Besar-an ini adalah probabilitas kumulatif untuk X yang dievaluasi pada b. Kita dapat mendefinisikan suatu fungsi F(b) sebagai berikut:

Fungsi Distribusi:Suatu fungsi distribusi F(b) untuk satu peubah acak X didefinisikan seba-gai:

F(b) = P(X ≤ b)- Jika X diskrit, maka

F(b) =

- Jika X kontinu, makaF(b) =

untuk beberapa fungsi f(x) disebut sebagai fungsi kerapatan probabilitas.

Contoh 4:Sebuah pemasok kerosen memiliki tangki 200 galon yang diisi tiap awal minggu. Permintaan mingguannya menunjukkan pola frekuensi relatif yang meningkat stabil hingga mencapai 100 galon, sehingga level perse-diaannya berfluktuasi antara 100 dan 200 galon. Anggaplah X mencer-minkan permintaan mingguan dalam ratusan galon, maka dimisalkan fre-kuensi relatif untuk permintaan tersebut dapat dimodelkan oleh:

= 0, x < 0,= x, 0 ≤ x ≤ 1= ½, 1 < x ≤ 2= 0, x > 2

Berdasarkan model tersebut, carilah F(b) dari peubah acak tersebut!

Jawab:Per definisi, F(b) =

= 0, b < 0

= , 0 ≤ b ≤ 1

= + = + = , 1 < b ≤ 2= 0, b > 2


4.2. DISTRIBUSI GABUNGAN

Pembahasan sejauh ini hanya mempertimbangkan percobaan-percobaan yang menghasilkan satu jenis respon (peubah acak). Banyak kondisi per-cobaan di dunia nyata yang mempertimbangkan lebih dari satu jenis res-pon secara simultan. Sebagai contoh dalam inspeksi produk manufaktur, kita mungkin tertarik pada sejumlah pengukuran seperti: berat, dimensi, dan kinerja produk. → kondisi percobaan ini dinyatakan dalam model distribusi probabilitas gabungan.

Suatu percobaan dilakukan atas satu kotak bohlam yang berisi empat boh-lam bagus dan satu bohlam cacat. Kondisi percobaan: Dilakukan pengambilan 2 kali tanpa pengembalian. X1 mewakili kejadian pengambilan yang pertama, X2 mewakili kejadi-

an pengambilan yang kedua. Nilai variabel hanya akan terdiri dari dua kemungkinan: 1 untuk keja-

dian terambilnya bohlam cacat, dan 0 untuk bohlam bagus. Jumlah total kemungkinan hasil: 5P2 = 5 x 4 = 20 P(X1=0, X2=0) = = 0,6 (coba tunjukkan!) Peluang kejadian lainnya selanjutnya dapat ditunjukkan dalam tabel

kontingensi sebagai berikut:Tabel 4.2. Distribusi gabungan X1 dan X2

X1

X20 1 Total Baris

(Probabilitas Marginal X2)0 0,6 0,2 0,81 0,2 0,0 0,2

Total Kolom(Probabilitas Marginal X1)

0,8 0,2 1,0

Setiap input sel pada tabel di atas menunjukkan distribusi probabilitas gabungan antara X1 dan X2. Selain probabilitas gabungan tersebut, kita juga bisa memperoleh besaran probabilitas untuk masing-masing X1 dan X2. Perhatikan:

P(X1=0) = P(X1=0, X2=0) + P(X1=0, X2=1)= 0,6 + 0,2 = 0,8

Probabilitas dari masing-masing X1 atau X2 ini disebut dengan probabili-tas marginal, karena nilai-nilainya didapatkan dari margin tabel. Proba-bilitas marginal X1 didapatkan pada Total Kolom, sedangkan probabilitas marginal X2 didapatkan pada Total Baris. Dengan demikian,


P(X1=1) = 0,2P(X2=0) = 0,8P(X2=1) = 0,2

Dari tabel kontingensi seperti di atas, kita juga dapat menghitung proba-bilitas bersyarat dari gabungan dua kejadian tersebut. Misalkan kita ingin mengetahui probabilitas bahwa pengambilan kedua akan mendapatkan bohlam bagus, jika diketahui pengambilan pertama mendapatkan bohlam bagus atau P(X2=0 | X1=0). Definisi dari probabilitas bersyarat menyata-kan bahwa:

P(X2=0 | X1=0) =

= =

Contoh 5:Sebuah supermarket memiliki 3 buah pintu counter. Dua orang pelanggan mendatangi counter yang kosong pada saat yang berbeda. Diasumsikan bahwa pilihan pelanggan adalah acak dan independen satu sama lain. X1

dimisalkan jumlah counter A dipilih dan X2 adalah jumlah counter B di-pilih. Hitunglah:

a. Distribusi probabilitas gabungan X1 dan X2

b. Probabilitas bahwa satu pelanggan mengunjungi counter B, jika diketahui pelanggan lainnya telah mengunjungi counter A.

Jawab: Untuk kelengkapan, maka X3 adalah jumlah pelanggan yang mengun-

jungi counter C. Kejadian tak satupun di antara 2 pelanggan yang mengunjungi counter

A maupun B berarti bahwa X1=0, X2=0, dan X3=2. Ini berarti:P(X1=0, X2=0) = P(X1=0, X2=0, X3=2)

= P(pelanggan I memilih counter C dan pelanggan II memilih counter C)

= P(pelanggan I memilih counter C) . P(pelanggan II memilih counter C)

= = Hasil perhitungan distribusi probabilitas gabungan selengkapnya dapat di-lihat pada Tabel 4.3. di halaman berikutnya. Sesuai dengan argumentasi yang ada pada permasalahan bohlam, maka P(X2=1 | X1=1) adalah:

P(X2=1 | X1=1) = = =


Tabel 4.3. Distribusi probabilitas gabungan untuk Contoh 5.X1

X20 1 2 Total Baris (Proba-

bilitas Marginal X2)0 1/9 2/9 1/9 4/91 2/9 2/9 0 4/92 1/9 0 0 1/9

Total Kolom (Proba-bilitas Marginal X1)

4/9 4/9 1/9 1,0

Pada variabel kontinu, masalah distribusi probabilitas gabungan dua peu-bah acak, katakanlah X1 dan X2 dapat diambil contohnya pada suatu studi pengambilan sampel udara dengan mengukur kandungan dua jenis hidro-karbon yang berbeda. Pola frekuensi relatif dari dua peubah acak ini dapat dilihat sebagai mo-

del fungsi bivariat, f(x1, x2). Frekuensi relatif atau sebaran probabilitas dibentuk di atas permukaan

suatu media tiga dimensi.

Gambar 4.2. Fungsi kerapatan bivariat

Probabilitas bahwa X1 terjadi pada suatu interval dan X2 terjadi pada interval lainnya ditunjukkan oleh volume (isi) di bawah permukaan.

P(a1 ≤ X1 ≤ a2, b1 ≤ X2 ≤ b2) =

Perhatikan bahwa penyelesaian integral di atas akan menghasilkan volu-me di bawah permukaan formasi pada Gambar 4.2.


Contoh 6:Bahan bakar minyak disimpan sebagai persediaan dalam tangki-tangki se-tiap minggu untuk kemudian dijual kepada pelanggan. Misalkan X1 men-cerminkan proporsi tangki yang dipasok dalam satu minggu dan X2 pro-porsi tangki yang terjual dalam minggu yang sama. Sehubungan dengan terbatasnya pasokan, X1 tidak dapat dipastikan ke depan, melainkan bervariasi antar minggu. Suatu studi selama beberapa minggu menun-jukkan pola frekuensi relatif gabungan dari X1 dan X2 sedemikian rupa sehingga mendekati model fungsi kerapatan probabilitas sebagai berikut:

f(x1, x2) = 3x1, 0 ≤ x2 ≤ x1 ≤ 1,= 0, sembarang x lainnya

Gambar 4.3. Fungsi kerapatan gabungan untuk Contoh 6.

Perhatikan bahwa X2 harus selalu lebih kecil atau sama dengan X1. Cari-lah probabilitas bahwa nilai X2 akan terletak antara 0,2 dan 0,4 untuk satu minggu tertentu.

Jawab:Pertanyaan atas masalah di atas merujuk kepada pola marginal dari X2. Dengan demikian, perlu terlebih dulu dicari pemecahan persamaan:

f2(x2) =

= =

= (1 – ), 0 ≤ x2 ≤ 1.

Dengan demikian maka: P(0,2 ≤ X2 ≤ 0,4) = .(1 – ).dx2


=

=

= 0,2721

Probabilitas bersyarat (conditional probability) untuk fungsi kerapatan pada kasus variabel kontinu adalah analogi dari variabel diskrit, kecuali bahwa integral digunakan untuk penjumlahan. Secara umum fungsi kera-patan probabilitas bersyarat tersebut dapat dinyatakan sebagai: untuk X1 jika X2 diketahui:

f(x1|x2) = , untuk f2(x2) > 0

untuk X2 jika X1 diketahui:

f(x2|x1) = , untuk f1(x1) > 0

Perhitungan probabilitas kejadian-kejadian yang independen secara seder-hana juga merupakan analogi dari konsep himpunan tentang dua kejadian independen A dan B, yaitu jika P(A∩B) = P(A).P(B).

Kejadian-Kejadian Independen:Peubah acak diskrit X1 dan X2 dikatakan sebagai independen, jika:

P(X1=x1, X2=x2) = P(X1=x1).P(X2=x2)untuk sembarang bilangan riil x1 dan x2.

Peubah acak kontinu X1 dan X2 dikatakan sebagai independen, jika:f(x1, x2) = f1(x1).f2(x2)

untuk sembarang bilangan riil x1 dan x2.

Contoh 7:Tunjukkanlah bahwa peubah-peubah acak yang memiliki distribusi ga-bungan pada Tabel 4.2. adalah independen!

Jawab:Hanya diperlukan untuk menguji satu sel input dalam tabel tersebut untuk membuktikan independensinya. Didapatkan bahwa P(X1=0, X2=0) = 0,6, sedangkan P(X1=0) = 0,8 dan P(X2=0) = 0,8. Dengan demikian karena:

P(X1=0, X2=0) ≠ P(X1=0).P(X2=0)


maka peubah-peubah acak tersebut tidak independen.

4.3. EKSPEKTASI MATEMATIKA

4.3.1. Rata-rata (Mean)

Untuk berurusan dengan keseluruhan distribusi probabilitas terkadang ti-dak nyaman dan terlalu membuang waktu. Untuk menyederhanakannya, kita sering kali hanya memerlukan beberapa informasi penting dari distri-busi tersebut dalam sejumlah konstanta. Salah satu konstanta terpenting adalah rata-rata (mean), atau nilai harapan (expected value).

Definisi Nilai Harapan Matematis Variabel Diskrit:Nilai harapan matematis dari peubah acak diskrit X yang memiliki distri-busi probabilitas p(x) adalah:

E(X) = (penjumlahan atas semua kemungkinan nilai x di mana p(x) > 0)

Sebagaimana dalam konsep statistik, maka dapat digunakan notasi:E(X) = μ

Contoh 8:Probabilitas suatu mesin mengalami kerusakan (break down) adalah 0,1. Diasumsikan bahwa perbaikan atas sebuah kerusakan akan memakan waktu sehari penuh, sehingga tak akan ada terjadi lebih dari satu kerusak-an dalam sehari. Jika X adalah variabel yang menyatakan jumlah kerusak-an per hari, carilah distribusi probabilitasnya dan nilai rata-ratanya!

Jawab:Distribusi probabilitas untuk X:

P(X=0) = p(0) = 0,9; P(X=1) = p(1) = 0,1Jika waktu penggunaan mesin dilihat dalam beberapa hari, maka dapat dikatakan bahwa:

P(X=0) atau mesin tidak mengalami kerusakan dalam 90% hari. P(X=1) atau mesin mengalami kerusakan dalam 10% hari.

Dengan demikian, nilai rata-rata dari X adalah:0.p(0) + 1.p(1) = 0.(0,9) + 1.(0,1) = 0,1


Probabilitas mesin mengalami kerusakan per hari adalah 0,1.

Seringkali kita juga tertarik pada nilai harapan matematis dari suatu fung-si peubah acak. Sebagai contoh, misalkan biaya yang diperlukan dalam tiap perbaikan mesin pada contoh 8 adalah Rp. 500.000,-. Ini berarti bahwa 500.000X mencerminkan biaya perbaikan per hari. Dengan demi-kian, biaya harapan perbaikan harian adalah:Expected daily repair cost = (500.000).(0).p(0) + (500.000).(1).p(1)

= (500.000).(0).(0,9) + (500.000).(1).(0,1)= 50.000

Jadi, sejumlah Rp. 50.000,-/hari harus dianggarkan untuk memenuhi bia-ya harapan perbaikan, meskipun dalam kebanyakan hari mesin tersebut tidak mengalami kerusakan.

Nilai Harapan Matematis suatu Fungsi:Jika X adalah peubah acak diskrit dengan distribusi probabilitas p(x), dan jika g(x) adalah sembarang fungsi nilai riil dari X, maka:

E[g(X)] =

4.3.2. Ragam (Variance)

Mean atau nilai harapan matematis dari suatu pengukuran peubah acak dalam banyak hal dapat dipandang sebagai “pusat” dari distribusi proba-bilitas. Konstanta lain yang sangat bermanfaat dalam menggambarkan po-la sebaran suatu peubah acak adalah ragam atau varians yang mengukur seberapa jauh suatu masa probabilitas itu menyebar dari rata-ratanya.

Ragam (Varians) Peubah Acak:Ragam (varians) dari suatu peubah acak X dengan nilai harapan μ adalah:

V(X) = E(X – μ)2

Dalam konteks statistik, lebih sering digunakan notasi:E(X – μ)2 = σ2

Nilai terkecil yang mungkin dijalani oleh σ2 adalah nol. Ini terjadi jika probabilitas nilai-nilai X sama semuanya (hanya satu macam).

4.3.3. Standard Deviasi


Ragam suatu sebaran probabilitas merupakan bentuk kuadrat dari unit-unit pengukuran kita. Pengukuran variasi yang mempertahankan unit asli-nya disebut dengan standar deviasi (simpangan baku).

Standard Deviasi (Simpangan Baku) Peubah Acak:Standard deviasi (simpangan baku) dari suatu peubah acak X adalah akar kuadrat dari variansnya:

σ = =

Contoh 9:Manajer suatu gudang persediaan pabrik mengetahui dari pencatatan yang dilakukannya bahwa permintaan harian akan satu jenis alat tertentu meng-ikuti distribusi probabilitas sebagai berikut:

Permintaan 0 1 2Probabilitas 0,1 0,5 0,4

Tabel ini menggambarkan bahwa 50% dari catatan harian menunjukkan penggunaan alat satu kali. Jika X menyatakan variabel permintaan (peng-gunaan harian), carilah E(X) dan V(X).

Jawab:Mean atau nilai harapan matematisnya adalah:

E(X) = = 0.(0,1) + 1.(0,5) + 2(0,4) = 1,3

Varians dari sebaran tersebut adalah:V(X) = E(X – μ)2

= = (0 – 1,3)2.(0,1) + (1 – 1,3)2.(0,5) + (2 – 1,3)2.(0,4)= (1,69).(0,1) + (0,09).(0,5) + (0,49).(0,4)= 0,410

Teorema 4.1.:Untuk sembarang peubah acak X dan konstanta a dan b, maka:(i). E(aX + b) = a.E(X) + b(ii). V(aX + b) = a2.V(X)

Contoh 10:Dari contoh soal nomer 9, dimisalkan bahwa pabrik harus mengeluarkan biaya Rp. 10.000,- tiap kali alat digunakan. Hitunglah mean dan varians biaya harian untuk penggunaan alat tersebut!


Jawab:Biaya penggunaan alat satu kali dengan demikian adalah 10.000X. Jadi, biaya rata-rata harian penggunaan alat adalah:

E(10.000X) = 10.000E(X)= 10.000(1,3) = 13.000

Pabrik harus menyediakan anggaran Rp. 13.000,-/hari untuk biaya peng-gunaan alat.

Varians biaya penggunaan alat tersebut adalah:V(10.000X) = (10.000)2.V(X)

= 100.000.000(0,41) = 41.000.000,-

Teorema 4.2.:Jika X adalah suatu peubah acak dengan mean μ, maka:

V(X) = E(X2) – μ2

Contoh 11:Dari distribusi probabilitas contoh soal nomer 9, diperoleh bahwa E(X) = 1,3. Selanjutnya dapat dihitung:

E(X2) = = (0)2.(0,1) + (1)2.(0,5) + (2)2.(0,4)= 0 + 0,5 + 1,6 = 2,1

Selanjutnya berdasarkan Teorema 4.2. diperoleh:V(X) = E(X2) – μ2

= 2,1 – (1,3)2 = 0,41

4.3.4. Mean Variabel Kontinu

Nilai harapan matematis suatu peubah acak kontinu X dengan fungsi ke-rapatan probabilitas f(x) dapat dihitung dengan cara analogis pada kasus variabel diskrit. Demikian juga definisi untuk varians dan standard devia-si beserta properti-propertinya yang diberikan dalam Teorema 4.1. dan 4.2. berlaku untuk kasus peubah acak kontinu.

Definisi Nilai Harapan Matematis Variabel Kontinu:Nilai harapan matematis dari peubah acak kontinu X yang memiliki fung-si kerapatan probabilitas f(x) adalah:


f(x) =

E(X) = Jika g(x) adalah sembarang fungsi nilai riil dari X, maka

E[g(X)] =

Contoh 12:Pada suatu mesin industri tertentu, misalkan variabel X menotasikan per-sentase lama berhenti mesin dalam 40 jam kerja per minggu penggunaan mesin. Dimisalkan juga X memiliki fungsi kerapatan probabilitas sebagai berikut:

3x2, 0 ≤ x ≤ 1,

0, sembarang x lainnyaCarilah mean dan varians dari X!

Jawab:Per definisi harapan matematis variabel kontinu diperoleh:

E (X) = = =

= 3. = = 0,75

Dengan demikian secara rata-rata, mesin digunakan selama 75% dalam periode jam kerja mingguannya.

Untuk menghitung V(X), kita harus mencari E(X2) terlebih dahulu:E(X2) =

= =

= 3. = = 0,60

Selanjutnya dengan Teorema 4.2. didapatkan:V(X) = E(X2) – μ2

= 0,60 – (0,75)2

= 0,60 – 0,5625 = 0,0375

Sebagaimana pembahasan pada sub bagian 4.2., kita sering menjumpai permasalahan yang melibatkan lebih dari satu peubah acak dalam dunia empiris. Pada masalah tertentu misalnya kita berhadapan dengan n buah variabel masing-masing dengan notasi X1, X2, ..., Xn yang berinteraksi

dalam bentuk kombinasi linear: , untuk konstanta a. Misalnya saja

pengukuran rata-rata dari n buah lama usia komponen akan berben-tuk


f(x1, x2) =

f1(x1) =

f2(x2) =

kombinasi linear. Teorema berikut akan menunjukkan metode untuk mencari mean dan varians suatu fungsi linear di bawah kondisi tertentu.

Teorema 4.3.:Anggaplah X1, X2, ..., Xn menotasikan serangkaian peubah acak dan mi-salkan:

Y =

Untuk konstanta-konstanta a1, a2, ..., an yang diketahui. Maka:

E(Y) =

dan jika X1, X2, ..., Xn independen,

V(Y) =

Contoh 13:Lihat kembali soal pada Contoh 6. Dengan menyatakan X1 sebagai jum-lah BBM yang disediakan per minggu dan X2 jumlah yang terjual, maka X1 – X2 akan mencerminkan jumlah BBM yang tersisa pada akhir ming-gu. Carilah E(X1 – X2)!

Jawab:Fungsi kerapatan gabungan dari X1 dan X2 diberikan oleh:

3x1, 0 ≤ x2 ≤ x1 ≤ 1

0, sembarang x lainnya.

Kerapatan marginal dari X1 didapatkan dengan:3 , 0 ≤ x1 ≤ 1

0, sembarang x lainnya

Jadi,E(X1) =

= 3. =

Selanjutnya didapatkan juga bahwa kerapatan marginal X2:

(1 – ), 0 ≤ x2 ≤ 1


f(x1, x2) =

f1(x1) =


Jadi,E(X2) =

= =

= =

Mengikuti Teorema 4.3., selanjutnya diperoleh: E(X1 – X2) = E(X1) – E(X2)

= =

Satu jenis fungsi lainnya seringkali dijumpai dalam aplikasi yang disebut produk. Teorema berikut ini memberikan output dalam menemukan eks-pektasi produk-produk dari peubah-peubah acak independen.

Teorema 4.4.:Misalkan X1 dan X2 adalah peubah acak independen. Jika g(X1) adalah suatu fungsi X1 mandiri dan h(X2) adalah statu fungsi X2 mandiri, maka:

E[g(X1).h(X2)] = E[g(X2)].E[h(X2)]

Contoh 14:Suatu proses untuk memproduksi bahan kimia industri menghasilkan dua jenis utama bahan samping pengganggu. Dalam volume tertentu dari con-toh proses ini, misalkan X1 menotasikan proporsi bahan samping jenis I dalam contoh, dan X2 menotasikan proporsi bahan samping jenis II di antara semua jenis bahan samping yang ditemukan. Diketahui dari pengamatan banyak sampel bahwa distribusi gabungan dari X1 dan X2

dapat dibuat modelnya mengikuti fungsi sebagai berikut:2(1 – x1), 0 ≤ x1 ≤ 1; 0 ≤ x2 ≤ 1

0, sembarang x lainnya.Dari model tersebut, carilah E(X1, X2)!

Jawab:Untuk fungsi kerapatan gabungan ini,

2(1 – x1), 0 ≤ x1 ≤ 1


f2(x2) =

0, sembarang x lainnyadan

1, 0 ≤ x2 ≤ 1


Selanjutnya diketahui bahwa X1 dan X2 adalah independen, karena:f(x1, x2) = f1(x1).f2(x2)

Demikian juga,E(X1) =

= 2 = 2

= 2 =

dan, E(X2) = =

Dari Teorema 4.4 dengan g(X1) = X1 dan h(X2) = X2, maka selanjutnya:E(X1X2) = E(X1).E(X2)

= =

Hal ini berarti bahwa 1/6 dari nilai sampel mengandung bahan samping jenis I secara rata-rata.


anggaran laba/rugiriskayanto.staff.gunadarma.ac.id/downloads/files/66495/4... · web viewsebagai...

Documents