61

Analisis yang dilakukan selama ini terbatas pada arus dan tegangan yang

tetap. Selanjutnya pembahasan akan menerapkan arus dan tegangan

bolak-balik seperti ditunjukkan pada gambar 4.1.

Gambar 4.1. Gelombang bolak balik

Semua bentuk gelombang pada gambar 4.1. disebut sebagai bentuk

gelombang bolak-balik. Gambar 4.1.a. disebut sebagai tegangan bolak-

balik sinusoidal karena mengikuti pola gelombang sinus. Gelombang jenis

ini adalah jenis yang umumnya dijumpai. Bahasan selanjutnya hanya

akan menerapkan bentuk gelombang ini. Bentuk gelombang yang

ditunjukkan pada gambar 4.1.b sering disebut sebagai gelombang persegi

sedangkan yang ditunjukkan pada gambar 4.1.c adalah gelombang

segitiga. Dua bentuk terakhir biasanya dibangkitkan di laboratorium,

keduanya tidak dibahas dalam buku ini.

Perhatikan dan bandingkan ketiga bentuk gelombang pada gambar

4.1 diatas dengan tegangan searah yang ditunjukkan pada gambar 4.2.

62

Gambar 4.2. Tegangan Searah

Terlihat bahwa pada sistem DC besaran tegangan besarnya tetap, tidak

berubah terhadap waktu, sedangkan pada sistem AC besaran tegangan

berubah terhadap waktu.

4.1 Bentuk Gelombang Sinusoiadal

Tegangan sinusoidal dihasilkan oleh berbagai sumber. Sumber

yang paling umum adalah stop kontak di rumah-rumah dimana sumber

aslinya berada pada pusat pembangkit listrik (PLN) dengan berbagai

pusat pembangkit seperti PLTA, PLTU, PLTP, PLTG dan lain-lain.

Gelombang sinusoidal dengan karakteristik yang dapat dikendalikan oleh

pengguna didapat dari suatu alat yang dinamakan generator fungsi

seperti ditunjukkan pada gambar

43.e

Gambar 4.3. Beberapa sumber bolak-balik

Lihatlah gambar 4.4., perhatikan bahwa antara kurva 0 s.d. π,

dengan kurva π s.d. 2π, keduanya adalah saling berkebalikan dengan

besaran puncak yang sama dimana mempunyai nilai puncak sebesar 120

Volt.

63

Gambar 4.4

Secara matematis persamaan suatu tegangan sinusoidal adalah

sinθVpv = (4.1)

perhatikan bahwa pada sudut sebesar 90o, sin θ = sin 90o = 1, sehingga v =

Vp = 120 Volt. Hal yang sama muncul pada sudut sebesar 270o Sedangkan

akan tetapi sin 270o = - sin 90o = -1, sehingga VP = -1.

Pada sudut 0o, 180o dan 360o sinθ=0 sehingga v = 0 volt. Vp

(tegangan puncak) adalah tegangan sesaat terbesar yang mungkin terjadi.

Ini adalah amplitudo gelombang sinus tersebut. Saat VP= 120 V sering

disebut sebagi puncak atas dan VP=-120 sering disebut sebagai puncak

bawah. Beda tegangan antara VP=120 dan VP=-120 dikenal dengan VPP

(tegangan puncak ke puncak).

Sumbu horisontal pada gambar 4.4. bersatuan radian atau degree.

Persamaan berikut digunakan untuk mengkonversi antara keduanya

( )degree180

πradian

o

= (4.2)

( )radian180

degree

=

π

o

(4.3)

Perioda (T) dari suatu gelombang sinusoidal adalah waktu yang

diperlukan untuk menyelesaikan satu gelombang penuh yaitu terjadinya

satu puncak atas dan satu puncak bawah, yang seringkali disebut sebagai

satu siklus.

64

Gambar 4.5.

Perhatikan gambar 4.5.(a), nampak gelombang tersebut memiliki perioda

sebesar satu detik, sedangkan gelombang pada gambar 4.5.(b) memiliki

perioda sebesar 0,5 detik.

Frekuensi (f) dari suatu gelombang sinusoidal adalah jumlah siklus

yang terjadi selama satu detik. Pada gambar 4.5.(a) dan 4.5.(b) masing

masing memiliki frekuensi satu siklus dan dua siklus perdetik. Satuan

siklus per detik seringkali disebut sebagai Hertz(Hz);

detikper siklus1 hertz 1 = (4.4)

Perhatikan bahwa antara perioda dan frekuensi adalah saling

berkebalikan sehingga dapat dinyatakan sebagai

fT

1= (4.5)

dimana

T adalah perioda dengan satuan detik

f adalah frekuensi dengan satuan Hertz

Gelombang sinusoidal dapat dibangkitkan dengan cara

memproyeksikan secara vertikal suatu vektor rotasi seperti diilustrasikan

65

pada gambar 4.6.

Gambar 4.6.

Dalam gerak translasi dikenal, kecepatan = jarak/ waktu,

66

sedangkan pada gerak rotasi berlaku kecepatan putar (ω )

T

2πω = (4.6)

jika 1/T dinyatakan sebagai f maka

f2πω = (4.7)

jika Jarak = kecepatan x waktu maka sudut θ (dalam satuan radian) yang

ditempuh suatu putaran dengan kecepatan ω dalam waktu t dapat

ditentukan dengan persamaan

ωtθ = radian (4.8)

persamaan 4.1. dapat ditulis kembali sebagai

ωtsinVv P= (4.9)

f2sinVv P π= (4.10)

gambar 4.7

Gambar 4.8

67

Gambar 4.9

4.2 Nilai Efektif (RMS)

Gambar 4.10

Berapakah tegangan sinusoidal akan memasok daya yang setara

dengan tegangan DC? perhatikan gambar 4.10. gambar tersebut

menyatakan bahwa jika tegangan DC sebesar 10 V dipasokkan ke suatu

beban, daya yang setara dengan itu dapat dipasok dari tegangan

sinusoidal dengan tegangan puncak sebesar 14.14 V. Dalam bentuk

persamaan, nilai ekivalen atau nilai efektif dari suatu tegangan sinusoidal

sama dengan 0.707 kali nilai tegangan puncaknya.

)(V2

1)0.707(VVV pPefekuivalenDC === (4.13)

)(I2

1)0.707(III PPefekuivalenDC === (4.14)

)(V21.414VV efefP == (4.15)

)(I2I1.414I efefP == (4.16)

68

Dalam sistem AC, suatu besaran menunjukkan nilai RMSnya jika tidak

diberi keterangan tertentu.

4.3 Nilai Rata-Rata

Gambar 4.11.

Tegangan rata-rata adalah nilai rata-rata setengah gelombang

penuh dari gelombang sinus. Ber satuan Volts average (Vave) . Nilai

tegangan rata-rata adalah setara dengan 0.637 kali nilai tegangan

puncaknya.

Vave = 0.637Vp (4.17)

Nilai tegangan rata-rata ditentukan hanya dari setengah gelombang

karena nilai rata-rata satu gelombang penuh adalah sama dengan nol.

4.4 Elemen R,L,C dalam tegangan Bolak-Balik

Akan kita bahas pengaruh sinyal sinusiodal terhadap elemen R,L

dan C. Pada gambar 4.20. suatu sinyal sinusiodal dilewatkan melalui

sebuah resistor.

gambar 4.20.

69

Seperti ditunjukkan pada gambar 4.20, arus yang dihasilkan mempunyai

nilai puncak yang dapat ditentukan melalui persamaan 4.21:

R

EpIp = (4.21)

di sana juga nampak bahwa tidak terjadi pergeseran phasa sehingga

dikatakan vR dan iR adalah sephasa. Perhatikan juga bahwa frekuensi

keduanya (vR dan iR) adalah sama.

Daya yang diserap oleh resistor dapat ditentukan dengan

persamaan

wattIVR

VRIP RR

2R2

RR === (4.22)

watt402

80A)

2

4V)(

20

20(IVP RRR ====

Perhatikan kemiripan antara penggunaan persamaan 4.22 –pada sistem

bolak-balik- dengan hal yang sama pada sistem searah, perbedaan hanya

pada penambahan nilai efektifnya.

gambar 4.21

Untuk resistor ideal nilai hambatannya tidak terpengaruh oleh frekuensi,

seperti ditunjukkan pada gambar 4.21. Tetapi pada prakteknya

bagaimanapun akan muncul efek kapasitif dan induktif pada setiap

resistor, ini akan mempengaruhi karakteristik resistor pada frekuensi

sangat tinggi maupun sangat rendah. Untuk saat ini semua resistor

dianggap ideal.

Reaksi kapasitor dan induktor terhadap sinyal sinusoidal sedikit

berbeda dengan reaksi resistor. Keduanya –induktor dan kapasitor-

70

memang membatasi besaran arus yang akan mengalir, tetapi pada

keadaan ideal keduanya tidak menyerap energi yang dialirkan padanya.

Pada induktor energi akan disimpan dalam bentuk medan magnet

sedangkan pada kapasitor energi akan disimpan dalam bentuk medan

listrik, dimana keduanya dapat dikembalikan ke sistem jika diinginkan

melalui desain tertentu.

Untuk induktor reaktansi terhadap sinyal sinusoidal dapat

ditentukan dengan persamaan 4.23

fL2ωLX L π== (4.23)

reaktansi mempunyai kemiripan dengan resistansi, yaitu mampu

membatasi arus, dengan kata lain reaktansi adalah semacam daya hambat

yang dimiliki suatu induktor pada sinyal bolak-balik.

Persamaan 4.23. memperlihatkan bahwa reaktansi induktif

dipengaruhi secara proporsional oleh frekuensi sinyal yang diterapkan.

Ingat kembali bahwa induktor idealnya mempunyai karakter sebagai

hubung pendek dalam sinyal searah. Sinyal searah mempunyai frekuensi

f=0, sehingga perhitungan Ω=== 0022 LfLX L ππ , hal ini mendukung

pernyataan kalimat sebelumnya.

Pada frekuensi sangat tinggi induktor memiliki karakter hubung

buka, karena induktor mempunyai reaktansi yang sangat tinggi.

Gambar 4.22

Hubungan XL terhadap frekuensi diperlihatkan pada gambar 4.22.

71

Perhatikan bahwa pada saat frekuensi bernilai nol maka XL bernilai nol,

dan bertambah besar secara linier terhadap penambahan frekuensi. Garis

lurus untuk masing-masing L dapat ditulis persamaannya sebagai y = mx

+ b dimana b bernilai nol dan bernilai 2πL sebagai gradien.

L

PP X

VI = (4.24)

gambar 4.23.

Jika tegangan sinusoidal diterapkan terhadap induktor 0.5 H pada

gambar 4.23. reaktansinya bernilai XL=2⁵(60Hz)(0.5H)=188.5Ω. Dengan

hukum Ohm dapat ditentukan nilai puncak arus yang mengalir yaitu

mA.x.Ω.

V

X

VI

L

PP 1106101106

5188

20 3 ==== −

Sebagaimana ditunjukkan pada gambar 4.23., disana terlihat bahwa

penerapan tegangan terhadap induktor menyebabkan tegangan vL

mendahului arusnya iL sebesar 90o. Induktor menyebabkan pergeseran

phasa antara tegangan dan arus sebesar 90o.

Untuk sistem arus bolak-balik persamaan dasar dayanya adalah

sebagai berikut:

θθ coscos2 efef

PP IVIV

P == (4.25)

Gambar 4.24

72

Sebagaimana ditunjukkan pada gambar 4.24, Vef adalah beda tegangan

pada suatu elemen atau rangkaian dimana dayanya ditentukan,

sedangkan Ief adalah arus yang mengalir melaluinya. Sudut θ adalah

sudut phasa antara tegangan dan arus. Pada kasus resistor murni kita

dapati tegangan dan arus adalah sephasa sehingga θ bernilai nol.

Substitusi nilai sudut ke persamaan 4.25. menghasilkan P = VI cosθ

= VI(1) = VI dimana V dan I merujuk ke Vef dan Ief. Sedangkan pada

induktor murni sudut θ bernilai 90o sementara cos 90o adalah nol sehingga

menyebabkan daya yang diserap sama dengan nol watt, ini menunjukkan

kepada kita mengenai pernyataan terdahulu bahwa induktor ideal tidak

menyerap daya akan tetapi hanya menyimpannya sebagai medan magnet.

Suatu rangkaian yang mempunyai resistor dan induktor akan memiliki

sudut phasa antara 0o dan 90o.

Untuk kapasitor murni reaktansi dapat ditentukan dengan

persamaan 4.26

ohmfCC

X C πω 2

11 == (4.26)

ini menyatakan bahwa kenaikan frekuensi menyebabkan turunnya

reaktansi kapasitor (hal ini berlawanan dengan induktor). Jika f=0 maka

XC= Ω∞≈C)0(2

1

π ini merupakan nilai yang sangat tinggi sehingga dapat

disetarakan dengan hubung buka.

73

Gambar 4.25.

Gambar 4.25 adalah kurva hiperbolis hubungan antara XC dan

frekuensi. Dsini ditunjukkan bahwa nilai XC mempunyai nilai yang sangat

besar pada frekuensi mendekati nol dan turun secara cepat dengan

kenaikan frekuensi. Hukum Ohm dapat juga diterapkan untuk elemen

kapasitif dengan menggunakan persamaan:

C

PP X

VI = (4.27)

Gambar 4.26

Tegangan sinusoidal dengan spesifikasi seperti ditunjukkan pada

gambar 4.26. dilewatkan melintasi kapasitor 10µF, reaktansi XC adalah

ohmFHzfC

X C 25.265)10)(60(2

1

2

1 ===µππ

dan nilai puncak arusnya dapat ditentukan dengan menggunakan hukum

Ohm

mAV

X

VI

C

PP 7.37

25.265

10 =Ω

==

Seperti ditunjukkan pada gambar 4.26., perhatikan bahwa dalam

hal ini pergeseran phasa sebesar 90o terjadi antara iC dan vC, hal ini

merupakan kebalikan dari induktor. Substitusi ke persamaan umum daya

menghasilkan

WVIVIVIP oC 0)0(90coscos ==== θ

Faktor cos θ pada persamaan daya disebut dengan faktor daya dari

rangkaian biasanya dinyatakan dengan

74

PFfactorpower == θcos (4.28)

yang memiliki nilai terbesar satu, yaitu saat rangkaian bersifat resistif

murni dimana sudut phasa yang terjadi adalah 0o. sedangkan nilai

terkecilnya adalah nol, yaitu saat rangkaian bersifat reaktif murni

(kapasitif atau induktif). Untuk rangkaian dengan kombinasi resistor dan

elemen reaktif nilai faktor daya adalah antara nol sampai dengan satu.

4.5 Phasor dan Bilangan kompleks

Pada gambar 4.28 ditunjukkan sebuah vektor yang mewakili

resistansi, reaktansi induktif dan reaktansi kapasitif. Sudut yang

ditunjukkan oleh ketiganya masing-masing ditentukan oleh pergeseran

phasa antara tegangan dan arus pada setiap elemen. Untuk resistor,

tegangan dan arus adalah sephasa, karenanya tidak ada pergeseran phasa,

dan sudut antara keduanya adalah 00. Karena sudut diukur dari sumbu x

horizontal sebelah kanan, vektor resistansi digambarkan pada sumbu x.

Panjangnya ditentukan oleh nilai resistansi R. Untuk XL dan XC sudutnya

adalah sudut antara beda tegangan (yang mendahului) dan arusnya.

Untuk XL sudutnya sebesar +900, dan untuk XC sudutnya sebesar -900.

Panjang dari vektor ditentukan oleh nilai reaktansi dari setiap elemen.

Perhatikan bahwa bahwa sudut selalu diukur dari sumbu x.

gambar 4.28

Kombinasi dari elemen-elemen reaktif dan resistif pada gambar 4.28

disebut impedansi dan diberi simbol Z. Impedansi adalah suatu ukuran

yang menyatakan kemampuan suatu rangkaian ac untuk menghambat

75

arus yang mengalir melalui rangkaian. Diagram pada gambar 4.28 disebut

diagram impedansi. Hanya resistansi dan reaktansi yang ditunjukkan pada

suatu diagram impedansi.

Tegangan dan arus dinyatakan dalam diagram phasor yang

ditunjukkan pada gambar 4.29 untuk setiap elemen. Sudut yang terkait

adalah sudut phasa pada domain waktu dari suatu gelombang sinusoidal.

Besaran yang dipakai adalah nilai RMSnya. Setiap besaran -termasuk

sudut yang berhubungan- dinyatakan dengan huruf tercetak tebal dan

disebut sebagai sebuah phasor.

gambar 4.29

Diagram phasor untuk suatu resistor murni menunjukkan bahwa vR

dan iR adalah sephasa karena mereka memiliki sudut yang sama dan arah

yang sama. -Arah berlawanan dengan arah jarum jam menggambarkan

vektor yang mendahului-. Pada gambar 4.29(b). Jika vL dan iL adalah

vektor berputar searah jarum jam seperti yang di definisikan pada gambar

4.8., vL mendahului iL sebesar 90o. Untuk kapasitor yang terlihat pada

gambar 4.29(c) iC mendahului vC sebesar 90o. -Arah berlawanan jarum jam

menunjukkan ketertinggalan dari suatu besaran-.

Sebuah vektor seperti yang ditunjukkan pada gambar 4.30. dapat

ditentukan dengan pertamaa, dinyatakan sebagai besaran dan sudutnya

dari sumbu x horizontal positif atau kedua dinyatakan sebagai komponen

kearah sumbu x dan komponen kearah sumbu y (yaitu dengan

76

memproyeksikan vektor tersebut kearah masing-masing sumbu). Bentuk

pertama disebut dengan bentuk polar, dan bentuk kedua disebut dengan

bentuk rektanguler.

Persamaan yang dibutuhkan untuk mengkonversikan suatu bentuk

ke bentuk yang lain adalah

gambar 4.30.

Polar ---->Rektanguler

θθ

sin

cos

CB

CA

==

Rektanguler ------>Polar

A

B

BAC

1

22

tan −=

+=

θ 4.29

Huruf j dicantumkan ke dalam bentuk rektanguler untuk

membedakan antara komponen real (horizontal) dan komponen imajiner

(vertikal). Istilah real dan imajiner semata-mata berhubungan dengan

definsi matematis dan tidak dijelaskan lebih lanjut disini.

Untuk melakukan operasi matematis, huruf j didefinisikan sebagai

1− , sehingga,

1−=j

1)1( 22 −=−=j

jjjj −=−−=−−== 11)(1(123

1)1)(1(224 +=−−== jjj

77

Walaupun pada operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan

pembagian dapat dilakukan dengan menggunakan bentuk rektanguler,

tetapi hanya operasi penjumlahan dan pengurangan yang akan dijelaskan

dengan menggunakan bentuk ini. Sedangkan pada operasi perkalian dan

pembagian akan dijelaskan dalam bentuk polar.

Perhatikan contoh berikut:

Contoh 4.1.

Konversikan bentuk polar berikut ke dalam bentuk rektanguler.

a. o13.5310∠

8613.5310

sehingga

8)8.0(1013.53sin10

6)6.0(1013.53cos10

j

B

A

o

o

o

+=∠

======

b. o3016 −∠

886.133016

sehingga

8)5.0(1030sin16

86.13)866.0(1030cos16

j

B

A

o

o

o

+=∠

======

Konversikan bentuk rektanguler berikut kedalam bentuk polar

a. 4030 j+

o

o

j

C

13.53504030

sehingga

13.5330

40tan

50)40()30(

1

22

∠=+

==

=+=

−θ

b. 204 j−

78

o

o

j

C

69.784.20204

sehingga

69.784

20tan

4.20)20()4(

1

22

−∠=−

==

=+=

−θ

4.5.1 Penjumlahan

Dalam bentuk rektanguler penjumlahan dilakukan dengan

menjumlahkan masing-masing bagian (real dan imajiner secara terpisah)

)()()()( 21212211 BBjAAjBAjBA +++=+++ 4.30

Gambar 4.31

Contoh 4.2.

Tentukan tegangan Ein pada rangkaian gambar 4.31.

Jawaban:

Dengan menerapkan HKT menghasilkan

21 vvein +=

Dalam bentuk phasor (nilai RMS):

oo

oo

VVV

VVV

6014.140)20(707.0

007.70)10(707.0

2

1

∠=∠=

∠=∠=

Jika dinyatakan dalam bentuk rektanguler

VjV

j

jV

jVoo

25.1207.7

)866.0(14.14)5.0(14.14

60sin14.1460cos14.14

007.7

2

1

+=+=

+=

+=

sehingga

79

o

in VVE

9.4014.14

25.12tan

71.18)25.12()14.14(

1

22

==

=+=

−θ

dalam bentuk polar

oin VE 9.4071.18 ∠=

dalam domain waktu

)9.40sin(46.26

)9.40sin()71.18(2o

oin

t

te

+=

+=

ωω

oVV 30101 ∠=

oVV 306.32 ∠=

oVVEin 306.1321 ∠=+=

oVV 206.01 −∠=

oVV 1608.12 ∠=

gambar 4.32

on VVEi 1602.121 ∠=+=

4.5.2 Pengurangan

Mirip dengan penjumlahan pada operasi pengurangan berlaku

)()()()( 21212211 BBjAAjBAjBA −+−=+−+ 4.31

Contoh 4.3.

Tentukan arus i1 pada gambar 4.33. dalam bentuk rektanguler

Jawaban:

80

gambar 4.33

Dengan menerapkan HKA maka

IT=I1+I2

Maka

o

oo

oo

T

AAjAI

j

jj

jj

AA

III

67.118895.5172.5828.2

)828.28()828.20(

)828.2828.2()80(

)45sin445cos4()80(

454908

1

21

∠=+−=−+−=+−+=

+−+=∠−∠=

−=

dan

)67.118sin(34.81oti += ω

gambar 4.34

4.5.3 Perkalian dan Pembagian

)())(( 21212211 θθθθ +∠=∠∠ CCCC (4.32)

81

)( 212

1

2

1 θθθθ

−∠=∠∠

C

C

C

C (4.33)

Jika besaran yang tersedia berbentuk rektanguler maka harus

dikonversi terlebih dahulu menjadi bentuk polar:

Contoh 4.4.

Tentukan hasil dari operasi-operasi berikut:

a. ooooo 4060)20(60()60(10()206)(6010( ∠=−−∠=−∠∠

b. oooo 30240)60)30()600)(4.0()60600)(304.0( ∠=+−∠=∠−∠

c. ooooo 508)30(20(5/40)305/()2040( ∠=−−∠=−∠∠

Contoh 4.5.

Tentukan hasil dari operasi-operasi berikut:

a. 8.02.0

)206)(105(

j

j o

−∠+

b. )68(2)302.0( jo +∠

Jawaban:

a. 8.02.0

)206)(105(

j

j o

−∠+

o

o

j

j

96.75825.08.02.0

43.6318.11105

−∠=−∠=+

oo

o

o

oo

39.15931.8196.75825.0

43.6308.67

96.75825.0

)206)(43.6318.11( ∠=−∠

∠=−∠

∠∠

b. )68(2)302.0( jo +∠

ooo

o

oooo

j

87.964.0)87.3610)(6004.0(

87.361068

60004.0)302.0)(302.0(2)302.0(

∠=∠∠

∠=+

∠=∠∠=∠

4.6 Phasor untuk Elemen RLC

Akan dibahas penerapan aljabar phasor pada elemen-elemen R,L

dan C. Ingat kembali gambar 4.26.

82

oCC

oLL

oR

XZ

XZ

RZ

90

90

0

−∠=

∠=

∠=

4.34

Gambar 4.35

Perhatikan resistor pada gambar 4.35. Dengan mengacu tegangan

yang tercantum maka arus yang melewatinya dapat ditentukan sebagai

berikut:

θθθ ∠=−∠=∠∠==

R

V

R

V

R

V

Z

VI o

oR

R 00

Perhatikan bahwa V dan I dalam keadaan sephasa karena keduanya

mempunyai sudut yang sama yaitu Θ.

Gambar 4.36

Untuk induktor pada gambar 4.36, arus yang melaluinya adalah

)90(90

o

Lo

LLL X

V

X

V

Z

VI −∠=

∠∠== θθ

Hasilnya menunjukkan i tertinggal dari tegangan sebesar 90o sedangkan

nilainya sebesar V/XL

Gambar 4.37

Sedangkan untuk kapasitor pada gambar 4.37. arusnya ditentukan

dengan persamaan:

)90(90

o

Co

CCC X

V

X

V

Z

VI +∠=

−∠∠== θθ

83

Contoh 4.6.

Tentukan arus yang melewati sebuah resistor sebesar 20Ω jika tegangan

yang diterapkan adalah 40 sin (200t+20o)

Jawaban:

Dalam notasi phasor

oO VVV 2028.2820)40)(707.0( ∠=∠=

dengan hukum Ohm

o

o

o

R

AV

Z

VI 20414.1

020

2028.28 ∠=∠Ω∠==

dalam domain waktu

)20200sin(2

)20200sin()414.1)(2(o

o

t

ti

+=

+=

Contoh 4.7.:

Tentukan beda tegangan pada sebuah induktor 20mH jika arus yang

mengalir adalah sebesar 10x10-3 sin (500t+60o)

Jawaban:

Ω=Ω=== −− 101010000)1020det)(/500( 33 xHxradLX L ω

Dalam notasi phasor

oo mAmAI 6007.7)60707.0( ∠=∠=

dengan menerapkan hukum Ohm

oooL mVmAIZV 1507.70)9010)(6007.7( ∠=∠Ω∠==

dalam domain waktu, tegangannya adalah

)150500sin(1.0

)150500sin(10100

)150500sin()107.70)(2(3

3

o

o

t

tx

otxv

+=+=

+=−

−

84

Gambar 4.38

Contoh 4.8.

Tentukan arus yang melewati sebuah kapasitor sebesar 5 µF jika tegangan

yang diterapkan adalah 40 sin 377t

Jawaban:

Ω=== − 5.530)105det)(/377(

116 FxradC

X L ω

Notasi phasor

oo VVV 014.14)020)(707.0( ∠=∠=

dengan menerapkan hukum Ohm

oo

o

o

C

mAAZ

VI 907.26900267.0

905.530

014.14 ∠=∠=−∠Ω

∠==

arus dalam domain waktu

)90377sin(1075.37

)90377sin()107.26)(2(3

3

o

oC

tx

txi

+=

+=−

−

4.7 Rangkaian Seri pada sistem bolak-balik

Dalam rangkaian seri arus sepanjang rangkaian adalah sama

sedang- kan total impedansi rangkaian adalah penjumlahan secara vektor

dari impedansi masing-masing elemen. Sehingga

nT ZZZZZ ++++= ...321 (4.35)

Mengacu gambar 4.39. reaktansi dari induktor adalah

Ω=== 4)61.10)(/377( mHsradLX L ω

85

gambar 4.39.

akan membantu jika gambar 4.39. dinyatakan sebagai blok impedansi

seperti ditunjukkan pada gambar 4.40

gambar 4.40.

Dengan menggunakan persamaan 4.35. maka

21 ZZZT +=

Substitusi nilai-nilai impedansi menghasilkan

)40()03( Ω+++Ω= jjZT

oj 13.535)43( ∠Ω=Ω+Ω=

Gambar 4.41.

Diagram impedansi pada gambar 4.41. secara jelas memperlihatkan

bahwa total impedansi dapat ditentukan secara grafis.

Dengan menerapkan hukum Ohm

86

o

o

o

T

AV

Z

EI 13.5324

13.535

13.53120 −∠=∠Ω

−∠==

dimana dalam domaian waktu

)13.53sin(94.33

)13.53sin()24(2o

o

t

ti

−=

−=

ωω

Tegangan pada resistor

oooR VAIZVV 13.5372)03)(13.5324(11 −∠=∠Ω−∠===

dalam domain waktu

)13.53sin(81.101

)13.53sin()72(2o

oR

t

tv

−=

−=

ωω

Perhatikan bahwa vR dan I adalah sephasa jika keduanya mempunyai

sudut yang sama.

Tegangan pada induktor

oooL VAIZVV 87.3696)904)(13.5324(22 ∠=∠Ω−∠===

dengan domain waktu

)87.36sin(74.135

)87.36sin()96(2o

oL

t

tv

−=

−=

ωω

Gambar 4.42

Diagram phasor dari tegangan dan arus ditunjukkan pada gambar

4.42. Perhatikan bahwa tegangan E yang dikenakan adalah penjumlahan

vektor VL dan VR sesuai dengan HKT

E=VR+VL

87

Penggunaan hukum pembagian tegangan untuk menentukan VR (hal

yang sama) menunjukkan nilai yang sama

o

ooo

R jZZ

EZV

13.535

0360

43

)0120)(03()(

21

1

∠∠=

+∠∠=

+=

Akan kita lihat secara hati-hati bentuk gelombang tegangan dan

arus yang terdapat pada gambar 4.43. Terlihat bahwa VR dan iR sephasa

sedangkan VL mendahului iL sebesar 90o. Karena rangkaian bersifat

induktif perhatikan juga bahwa arus masukan juga tertinggal dengan

tegangan masukan sebesar 53.13o. Semakin bersifat induktif sudut

tertinggalnya semakin besar. Pada sembarang titik sumbu x, nilai sesaat

e,vR,vL memenuhi hukum Ohm. Saat t=0 atau θ=0o, e=0 dan

e=VR+VL

sehingga

0=VR+VL

dan

VR=VL

Gambar 4.43

Daya rangkaian dapat ditentukan menggunakan persamaan berikut

R

VIVRIEIP R

RR

22cos ==== θ (4.36)

dimana θ adalah sudut phasa antara arus dan tegangan

88

P = Ei cos θ = (120V)(24A) cos 53.13o

P=(120V) (24A) (0.6)

=1728W

sementara

WARIP T 1728)3()24( 22 =Ω==

Faktor daya rangkaian adalah

6.0cos == θPF

ini menunjukkan bahwa rangkaian jauh dari sifat resitif murni tetapi tidak

juga bersifat reaktif murni. Rangkaian seperti ini menyebabkan faktor

daya tertinggal yang mengindikasikan rangkaian bersifat induktif. Untuk

rangkaian dengan besar faktor daya yang sama tetapi mendahului

ditambahkan label “leading”, jika hanya dituliskan Fp=0.6 berarti faktor

daya =0.6 tertinggal.

Untuk rangkaian seri faktor daya dapat juga ditentukan dengan

TP Z

RF = (4.37)

misalnya

6.05

3 ==PF

Kadangkala, pada praktek, suatu rangkaian didesain bahwa pada range

frekuensi tertentu reaktansi induktif lebih besar dari pada impedansi

serinya. Sebagai contoh XL =400 Ω dan R= 3Ω, total impedansi adalah

Ω=Ω+Ω=+= 4002)400(2)3(22 LT XRZ

sehingga rangkaian secara praktek seakan induktif murni

00075.0400

3 ≅===Z

RFP

Berikutnya akan kita bahas rangkaian seri RLC seperti ditunjukkan

pada gambar 4.44. substitusi blok impedansi ke masing-masing elemen

ditunjukkan pada gambar 4.45. sedangkan total impedansinya adalah

89

o

T

k

kjk

kjkjk

kjkjjk

ZZZZ

38.6713

125

1645

)160()40()05(321

−∠Ω=Ω−Ω=

Ω−Ω+Ω=Ω−+Ω+++Ω=

++=

Gambar 4.44

Gambar 4.45

Diagram impedansi rangkaian ini ditunjukkan pada gambar 4.46.

Perhatikan bahwa reaktansi induktif dan reaktansi kapasitifnya saling

oposan, selisihnya adalah netto reaktansi dari rangkaian. Arus rangkaian

adalah

o

o

o

T

mAk

V

Z

EI 38.67615.4

38.6713

060 ∠=−∠Ω∠==

)38.67sin(1053.6

)38.67sin()10615.4(23

3

o

o

tx

txi

+=

+=−

−

ωω

90

Gambar 4.46

Tegangan pada masing-masing elemen dapat ditentukan secara langsung

menggunakan hukum Ohm

)38.67075.23

)05)(38.67615.4(o

ooR

V

kmAIRv

∠=

∠Ω∠==

)38.15746.18

)904)(38.67615.4(o

ooLL

V

kmAIZv

∠=

∠Ω∠==

)62.2284.73

)9016)(38.67615.4(o

ooCC

V

kmAIZv

−∠=

−∠Ω∠==

Diagram phasor dari rangkaian ditunjukkan pada gambar 4.47. Terlihat

bahwa vL dan vC merupakan vektor oposisi sedangkan I tertinggal dari vL

sebesar 90o serta mendahului vC sebesar 90o dan sephasa dengan vR.

Gambar 4.47.

Tegangan-tegangan tersebut dapat juga ditentukan menggunakan hukum

91

pembagian tegangan sehingga tidak memerlukan dihitungnya I terlebih

dahulu.

o

o

o

oo

Lx

k

ZZZ

EZV

38.6713

90240

8.671013

)0)904()(3

321

2

−∠∠=

−∠∠∠Ω=

++=

dalam domain waktu berbentuk

)38.157sin(1.26

)38.157sin()46.18(2o

oL

t

tv

−=

−=

ωω

Daya rangkaian

( )mW

mAV

EIPo

T

5.106

38.67cos)615.4(60

cos

==

= θ

atau

mW

kmA

RIP

5.106

)5(2)615.4(

2

=Ω=

=

sedangkan faktor daya rangkaian adalah

leadingF oP 3846.0)38.67cos(cos === θ

atau

leadingk

k

Z

RF

TR 3846.0

13

5 =ΩΩ==

4.8 Paralel

Analisis terhadap rangkaian paralel ac sangat mirip dengan apa

yang kita lakukan pada saat menganalisis rangkaian paralel dc. Kebalikan

dari suatu impedansi yang disebut sebagai admitansi didefinisikan

sebagai persamaan berikut, dengan satuan siemens:

ZY

1= (4.38)

92

Gambar 4.51

Untuk paralel rangkaian AC seperti ditunjukkan pada gambar 4.51. total

nilai admitansinya ditentukan dengan persamaan

nT YYYYY ++++= ....321 (4.390

atau

4321

1.....

1111

ZZZZZT

++++= (4.40)

dalam kasus hanya terdapat dua impedansi maka persamaan menjadi

21

21

ZZ

ZZZT +

= (4.41)

Tegangan pada semua cabang bernilai sama, dan total arus masukan

dapat ditentukan dengan HKA atau dengan cara menentukan total

impedansi (atau admitansi) input dilanjutkan dengan memanfaatkan

hukum ohm.

Kebalikan dari nilai resistansi dalam sistem ac adalah konduktansi serta

mempunyai sudut 0o sebagaimana persamaan berikut

oo

RR

GY0

10

∠=∠= (4.42)

Kebalikan reaktansi adalah suseptansi dengan satuan siemen. Notasi dan

sudut untuk masing-masing komponen dinyatakan pada persamaan 4.43

dan persamaan 4.44. Istilah suseptansi didapat dari kata suseptibel

oL

oLL

XBY

90

190

∠=−∠= (4.43)

oo

CCCX

BY90

190

∠=−∠= (4.44)

Diagram admitansi dari suatu rangkaian RLC didefinisikan seperti

nampak pada gambar 4.52.

93

Gambar 4.52

Perhatikan paralel RLC pada gambar 4.53. Substitusi blok impedansi

dinyatakan pada gambar 4.54. Total admitansi dan impedansi dapat

ditentukan sebagai

ooo

RR mS

kRZY 0333.0

03

1

0

11 ∠=∠Ω

=∠

==

ooo

RR mS

kRZY 0333.0

03

1

0

11 ∠=∠Ω

=∠

==

dan

o

oo

LRT

mS

mSjmS

mSmS

YYY

9.36416.0

250.0333.0

90250.00333.0

−∠=−=

−∠+∠=

+=

atau ooT

T kmSY

Z 9.364.29.36416.0

11 ∠Ω=−∠

==

atau Ω+Ω∠Ω∠Ω=

+=

kjk

kk

ZZ

ZZZ

oo

LR

LRT 43

904)(03(

Diagram admitansinya ditunjukkan pada gambar 4.55.

Perhatikan bahwa total admitansi dapat ditentukan dengan menggunakan

aljabar vektor yang sederhana. Arus I adalah

o

oo

o

T

mA

mAk

V

Z

EI

9.3650

9.36509.364.2

0120

−∠=

−∠=∠Ω∠==

atau

94

o

ooT

T

mA

mSVYEZ

EI

9.3650

)9.36416.0)(0120()(

−∠=

−∠∠===

Arus yang melintasi masing-masing elemen dapat ditentukan dengan

hukum Ohm:

o

o

o

RRR mA

k

V

Z

EEYI 040

03

0120 ∠=∠Ω∠===

dan

o

o

o

LLL mA

k

V

Z

EEYI 9030

904

0120 −∠=∠Ω∠===

Gambar 4.53

Gambar 4.54

Gambar 4.55

Diagram phasor arus dan tegangannya dapat digambarkan pada gambar

4.56. Perhatikan bahwa IR sephasa dengan E dan IL tertinggal dari dari

tegangan E sebesar 90o.

95

I=IR+IL

Gambar 4.56.

Daya yang disalurkan ke rangkaian dapat ditentukan dengan persamaan

yang sama seperti pada rangkaian seri

RRR

T IVR

VIREIP ====

22cosθ (4.45)

dimana semua tegangan dan arus dalam bentuk nilai RMS

Untuk contoh ini

W

mAEIP oT

8.4

)7997.0)(6(9.36cos)50)(120(cos

==== θ

atau

Wk

V

R

E

R

VP R 8.4

3

)120( 222

=Ω

===

Faktor daya untuk rangkaian paralel dapat ditentukan dengan persamaan

berikut

TTP Y

GF == θcos

pada contoh ini hasilnya adalah

laggingF oTP 8.09.36coscos === θ

atau

laggingx

x

Y

GF

TP 8.0

10416.0

10333.03

3

=== −

−

Istilah lagging menyatakan bahwa tegangan input mendahului arus input.

Berikutnya akan dibahas rangkaian paralel RLC yang ditunjukkan pada

gambar 4.57

96

Gambar 4.57.

Admitansi masing masing elemen pada gambar 4.57. b adalah

oo

RR S

ZY 05.0

02

11 ∠=∠Ω

==

oo

LL S

ZY 901

901

11 −∠=∠Ω

==

oo

CC S

ZY 902.0

905

11 ∠=−∠Ω

==

Sehingga total admitansinya adalah

o

CLRT

S

SjS

SSjS

SjSjjS

YYYY

58943.0

8.05.0

)2.01(5.0

)2.00()10()05.0(

−∠=−=

+−+=++−++=

++=

dan

oo

TT

SYZ 5806.1

58943.0

11 ∠=−∠

==

untuk mempermudah paralel dua elemen R dan L menghasilkan

LR

LRLRT ZZ

ZZZZZ

+=='

dan

97

o

CT

CTCTT ZZ

ZZZZZ 5806.1

'

'' ∠Ω=

+==

Diagram admitansinya ditunjukkan pada gambar 4.58.

Gambar4.58

Perhatikan bahwa rangkaian bersifat lagging, sehingga tegangan input

meninggalkan I.

Arus rangkaian ditentukan dengan hukum Ohm

o

ooT

T

mA

mVYEZ

EI

4286.18

)58943.0)(10020()(

∠=

−∠∠===

dalam domain waktu

)42sin(31067.26

)42sin()31086.18(2o

o

tx

txi

+−=

+−=

ω

ω

Arus yang melintasi masing-masing elemen dapat ditentukan dengan

hukum Ohm

o

o

o

RR mA

mV

Z

EI 100100

02

10020 ∠=∠Ω∠==

o

o

o

LL mA

mV

Z

EI 1020

901

10020 ∠=∠Ω∠==

o

o

o

CC mA

mV

Z

EI 1904

905

10020 ∠=−∠Ω∠==

Total arus dapat juga ditentukan dengan HKA

98

I=IR+IL+IC

Diagram phasor rangkaian ditunjukkan pada gambar 4.59.

Gambar 4.59

Daya rangkaian dapat ditentukan dengan persamaan terdahulu sehingga

P = Ei cos θT

= (20mV) (18.86mA) cos (100o-42o)

= (377.2x10-6) (cos 58o)

= (377.2x10-6) (0.5299)

= 200µW

atau

WWmV

R

EP µµ

2002

400

2

)20( 22

==Ω

==

Sedangkan faktor dayanya adalah

laggingF oTP 5299.058coscos === θ

260

99

4.9 Daya pada Tegangan Sinusoidal

Dalam rangkaian bolak-balik hanya elemen resistif saja yang

menyerap energi listrik. Elemen reaktif murni menyimpan energi dalam

bentuk medan magnet dan dapat dikembalikan ke dalam sistem. Berapa

total watt yang diserap adalah jumlah yang diserap oleh elemen-elemen

resistif yang ada, perhatikan persamaan 4.55.

Gambar 4.97.

Koneksi wattmeter (alat pengukur daya) ditunjukkan pada gambar

4.97. Terminal tegangan mengukur level tegangan, sedangkan terminal

arus menunjukan level arusnya. Wattmeter telah memperhatikan efek

sudut daya (cos θ) dalam hal ini angka yang ditunjukkan alat adalah

bersatuan watt.

Meskipun dalam konsep daya AC tidak mengenal disipasi energi

oleh elemen reaktif, energi listrik tertentu diambil dari pasokan dan

disimpan dalam bentuk medan magnet atau medan listrik. Tentu saja

energi ini dapat dikembalikan kedalam sistem tetapi pada waktu sesaat

hal ini akan menaikkan arus pasokan ke elemen reaktif tersebut. Kenaikan

arus ini menyebabkan generator pemasok untuk mengatasinya. Pada

tingkat tegangan yang tetap kenaikan arus mengharuskan kenaikan

penyediaan daya maksimum sesaat. Kenaikan arus maupun daya akan

menyebabkan kenaikan biaya peralatan maupun biaya produksi atas

energi yang diperlukan.

Perbedaan antara energi yang diserap sistem dengan energi yang

diserap elemen resistif dinyatakan dalam faktor daya (power factor = FP)

(FP= cos θ). Untuk sistem dengan FP=1, semua daya yang dipasok

100

didisipasi oleh sistem, pemakaian elemen reaktif yang lebih banyak

menyebabkan FP mendekati nol dan semakin banyak energi disimpan

oleh elemen reaktif sistem.

Perkalian EI -yang tidak tergantung dari berapapun energi terserap

dan disimpan-, disebut sebagai daya semu (S = apparent power) dari

suatu sistem bolak-balik dengan satuan volt-ampere(VA). Untuk

rangkaian 4.97. daya semu ditentukan dengan persamaan 4.56

))(( VAamperevoltEIS −= (4.56)

Arus I, adalah arus yang harus dipasok oleh sumber termasuk bagian

yang akan diubah menjadi simpanan elemen reaktif. Semakin besar arus

mengalir, industri mengeluarkan lebih banyak biaya untuk daya semu

dari biaya

Gambar 4.98

Hubungan antara daya real dan daya semu, dinyatakan dalam

segitiga seperti ditunjukkan pada gambar 4.98., komponen dari segitiga

ini adalah daya reaktif dengan satuan volt-ampere reaktif (VAR) dimana

besarnya dinyatakan dengan persamaan:

θsinEIQ = (4.XX)

Daya reaktif adalah ukuran dari daya masukan yang diabsorbsi (bukan

didisipasi) oleh elemen reaktif. Pada pasokan dengan tegangan tetap

semakin kecil daya ini menyebabkan arus pasokan yang lebh kecil juga.

Efisiensi sistem tertinggi dicapai pada saat Q=0 atau P=S

Untuk beberapa rangkaian, total daya reaktif secara sederhana

adalah selisih antara komponen kapasitif dan komponen induktif

101

sebagaimana persamaan berikut:

LLL

LLLL IV

X

VXIQ ===

22

(4.xx)

CCC

CCCC IV

X

VXIQ ===

22

(4.xx)

Untuk suatu rangkaian dengan VAR kapasitif sama dengan VAR induktif,

netto daya reaktif adalah sama dengan nol, dengan kata lain daya real dan

daya semu bernilai sama.

Karena

PTTT FSCOSSCOSEIP === θθ (4.xx)

maka dapat kita tentukan

T

TP S

PF = (4.xx)

dimana PT dan ST merepresentasikan total masing-masing besaran sistem.

Contoh 4.9.

Dari tegangan dan arus yang diperlihatkan pada rangkaian gambar

4.99 tentukan:

a. Total daya yang diserap

b. Netto daya reaktif

c. Total daya semu

d. PF dari rangkaian

Gambar 4.99

Jawaban:

a. Daya yang diserap hanyalah daya yang dipakai oleh elemen resistif

sehingga:

102

WARIPT 1440)10)(144()10()12( 22 ==Ω==

b. )(360)40)(9()40()3( 22 kapasitifVARAXIQ CC ==Ω==

)(720)20)(36()20()6( 22 induktifVARAXIQ LL ==Ω==

)(360360720 induktifVARQQQ CLT =−=−=

c. 22TTT QPS +=

VA

ww

1484

2)360(2)1440(

≅+=

d. VA

W

S

PF

T

TP 1484

1440== =0.97

4.10 Koreksi Faktor Daya

Pada suatu rangkaian yang bekerja pada efisiensi tertinggi, arus

yang ditarik dari sumber dapat dikurangi ke titik minimalnya, jika

tegangan sumber tetap. Sehingga daya semu sistem yang hanya

ditentukan dari perkalian arus dan tegangan dapat dijaga agar tetap

minimum.

Karena 22

TTTT QPEIS +== , netto komponen reaktif beban yang

lebih kecil dalam keadaan PT yang tetap, akan menyebabkan mengecilnya

daya semu dan naiknya faktor daya dari rangkaian (T

T

S

P= ). Konsep

koreksi faktor daya adalah usaha yang dilakukan terhadap sistem untuk

memastikan agar faktor daya bernilai maksimum, mendekati nilai satu

jika memungkinkan dengan cara mengurangi netto komponen reaktif dari

pembebanan sistem. Seperti ditekankan didepan hasil akhirnya adalah

pengurangan arus yang ditarik oleh sistem dari sumber.

Sebagai contoh penerapan adalah penggunaan elemen kapasitiif

untuk memperbaiki faktor daya sistem dengan suatu faktor daya

tertinggal akibat beban induktif seperi motor-motor, trafo dan lain-lain.

103

Contoh 4.10.

Sebuah motor dengan daya 2.2HP memiliki PF 0.8 lagging dengan

efisiensi 76%, jika dihubungkan ke sumber 208V, 60HZ. Tentukan

besarnya kapasitansi yang harus di paralel dengan motor untuk

menaikkan PF menjadi satu.

Jawaban:

VAR

PQ

P

Q

F

WWP

PdanP

P

WHPWHPP

oiL

i

L

o

P

Oi

i

O

O

6.1619

)75.0(47.2159

)87.36(tan47.2159tan

tan

87.368.10cos

8.0cos

47.215976.0

25.1641

2.1641)/746)(2.2(2.2

==

==

=

=−=

==

====

===

θ

θ

θθ

ηη

Sudut daya beban diperlihatkan pada gambar 2.100 agar PF =1

maka harus ditambahkan VAR kapasitif sebesar var induktifnya

sehingga QC=QL=1619.6VAR

CC

CC X

E

X

VQ

22

==

dan

Ω=Ω=== 71.266.1619

26.43

6.1619

)208( 22

VAR

V

Q

EX

CC

tetapi

fCX C π2

1=

sehingga

FHZfX

CC

µππ

31.99)71.26)(60(2

1

2

1 =Ω

==