Klik tombol mulai untuk menjalankan program

MEDAL

MEDALSundak 21/05/2011 Sundak 21/05/2011

FUNGSI KONTINUDEFINISITEOREMA i (kriteria fungsi kontinu)TEOREMA iiTEOREMA iiiTEOREMA iv

KONTINU SERAGAMDEFINISIKRITERIA KONTINU TAK SERAGAMTEOREMA KS PADA SELANG TERTUTUP TERBATASFUNGSI LIPSCHITZ (DEFINISI,TEOREMA)TEOREMA KS DENGAN BC

1. δ yang bergantung2. Kontinu Seragam pasti Kontinu Biasa tetapi Kontinu Biasa tidak Kontinu Seragam

Pengetahuan Umum

MEDAL

Definisif : A R→C Є A tiik limit AFs f dikatakan kontinu di c ))()(,()0),()(0( εδεδδε <−⇒<−∈∀∋>=∃>∀⇔ cfxfcxAxc

AtauFungsi f kontinu di c jika(1). f (c) ada

(2). (3).

adaxfcx

)(lim→

)()(lim cfxfcx

=→

Catatan:Fungsi f dikatakan kontinu pada A jika f kontinu di setiap titik anggota A.Fungsi yang tidak kontinu dinamakan fungsi diskontinu.

Contoh : f[0,1] R→f(x)=4x+1. Buktikan f kontinu di dan pada [0,1]

PembuktianPembuktianMEDAL

Teorema if : A → Rc Є Af kontinu di c )()(,,)( cfxfcxcxAx nnnn →⇒→≠⊆∀⇔

Teorema iif : A → Rc Є Af diskontinu di c )()(,,)( cfxfcxcxAx ncnn →/⇒→≠⊆∃⇔

Contohf : R → R

xxxxxf ,3,38{)( +

−= rasionalirrasional

Tentukan titik kekontinuan dari f! PenyelesaianPenyelesaian

MEDAL

Teorema iiif ,g : A R→c Є AJika f dan g masing-masing kontinu di c, maka

(i). α f kontinu di c, α skala r

(ii). f ± g kontinu di c

(iii). fg kontinu di c

(iv). Kontinu di c, g(c)≠0g

f

PembuktianPembuktian

LatihanLatihan

Teorema ivMisal

f : A R→g: B R→

Adalah fungsi-fungsi dengan

RBA ⊆,

BAf ⊆)(MEDAL

DefinisiMisal

Fs f dikatakan kontinu seragam ada A jika setiap ε > 0, terdapat δ = δ(ε) > 0 sehingga untuk setiap x,c Є A dengan x – c < ǀ ǀ δ berlaku ǀ f (x) – f (c) < ǀ ε

RAf

RA

→⊆:

Contoh fs f : R R→f (x) = 3x, x Є R . Buktikan fs f kontinu seragam!

PembuktianPembuktian

MEDAL

Kriteria Kontinu tak Seragam

Misal

RAf

RA

→⊆:

Pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen(i) f kontinu tak seragam pada A

(ii) tetapi

(iii) tetapi

5,,,000 <−∈∃>∀∋>∃ δδδδδε cxAcx 0)()( εδδ ≥− cfxf

nyxAyxNn nnnn

1,,,,00 <−∈∃∈∀>∃ε 0)()( ε≥− nn yfxf

Atautetapi

0)()( ε≥− nn yfxf0,)(),(,00 →−⊆∃>∃ nnnn yxAyxε

Contoh

Buktikan g(x) kontinu tak seragam!

0,1

)( >= xx

xg

PembuktianPembuktianMEDAL

Teorema Kontinu Seragam

Jika f kontinu pada selang tertutup terbatas I = [a,b], maka f kontinu seragam pada I

Contoh

f kontinu pada [0,2]. [0,2] tertutup terbatas maka f kontinu seragam pada [0,2]

[ ]2,0,)( ∈= xxxf

MEDAL

Fungsi LipschitzDefinisi

f dikatakan fungsi Lipschitz (memenuhi kondisi Lipschitz) ada A jika terdapat K > 0 sehingga setiap untuk setiap x, y Є A

RAf

RA

→⊆:

yxKyfxf −≤− )()(

MEDAL

Teorema f : A → RJika f memenuhi kondisi Lipschitz pada A,maka f kontinu seragam pada A

Sehingga Fungsi Lipschitz digunakan pembuktian fungsi kontinu seragam.

PembuktianPembuktian

Contoh

Buktikan f (x) bukan fungsi Lipschitz!

[ ]1,0,)( ∈= xxxf

PembuktianPembuktian

MEDAL

Hubungan KS dengan BC

Teorema i :f : X Y → kontinu seragam(xn) Barisan Cauchy di dalam X maka (f(xn)) Barisan Cauchy di dalam Y.

PembuktianPembuktian

Contoh :Buktikan f(x) =1/x tidak kontinu seragam pada (0,1).

PenyelesaianPenyelesaian

MEDAL

Teorema ii :f kontinu seragam pada (a,b) jika dan hanya jika f dapat diperluas menjadi fungsi kontinu pada [a,b].

PembuktianPembuktian

MEDAL

MEDAL

Puyeng mak

(i) f kontinu di [0,1])5)14(1,()0),1()(0( εδεδδε <−+⇒<−∈∀∋>=∃>∀ xxAxadb

Diambil ε>0 sebarang, dipilih δ = Akibatnya

445)14(

1,

−=−+

<−∀

xx

xx δ4

ε

εεδ =<=

−=

444

)1(4 x

(ii) f kontinu pada [0,1] adb f kontinu disetiap titik didalam [0,1] Diambil sebarang c Є [0,1]. Dibuktikan f kontinu di c maka

))()(],1,0[()0),()(0( εδεδδε <−⇒<−∈∀∋>=∃>∀ cfxfcxxcadbDiambil ε>0 sebarang, dipilih δ = Akibatnya 4

ε)14()14()()(

],1,0[

+−+=−

<−∈∀

cxcfxf

cxx δ

εεδ ==<−=

−=

−=

4444

4

44

cx

cx

cx

WANGSULMEDAL

WANGSUL

Penyelesaian:Misal f kontinu di cDiambil sebarang barisanBerakibat

Karena maka rasional&irrasional konvergen ke c dengan demikian

)()(,)( cfxfcxRx nnn →⇒→⊆nn

nn

xxxxnxf

,3,38{)( +

−= rasionalirrasional

cxn → )( nx

33 +→+= cxy nn

cxz nn 3838 −→−=

Dilain pihak barisan bagian dari , karena f kontinu di c maka)(&)( nn zy ))(( nxf

)(&)( cfzcfy nn →→

Dengan ketunggalan limit barisanf(c) = c + 3 = 8 - 3c maka c = ⁵/₄ titik ⁵/₄ kontinu di f҉

MEDAL

WANGSUL

(i). α f kontinu di c, α skala r Adb α f kontinu di c

Diambil sebarang karena f kontinu di c maka

Berakibat untuk α Є R :

))(())((,,)( cfxfcxcxAx nnnn αα →⇒→≠⊆∀⇔

)()(

,,)(

cfxf

cxcxAx

n

nnn

→→≠⊆

))(()())(())(( cfcfxfxf n

def

n αααα =→=(ii). f ± g kontinu di c adb f ± g kontinu di c

Diambil sebarang karena f,g kontinu di c maka

Berakibat f , g Є R :

))(())((,,)( cgfxgfcxcxAx nnnn ±→±⇒→≠⊆∀⇔

)()(&)()(

,,)(

cfxgcfxf

cxcxAx

nn

nnn

→→→≠⊆

))(()()()()())(( cgfcgcfxgxfxgf nn

def

n ±=±→±=±

MEDAL

WANGSULMEDAL

PembuktianAdb

Diambil sebarang ε > 0 dan c Є R dipilih δ = /₃ᵋsehingga :

ǀ f (x) – f (c) = ǀ ǀ 3x – 3c = ǀ ǀ 3(x – c) = 3 ǀ ǀ ǀ ǀ x - cǀ = 3 ǀ x – c < 3 ǀ δ = 3 / = ₃ᵋ ε

҉ Jadi f kontinu di cKarena c Є R sebarang, maka f kontinu pada R

εδεδδε <−⇒<−∈∀∋>=∃>∀ )()(,,)0)()(0( cfxfcxRcx

δ<−∈∀ cxRcx ,,

WANGSULMEDAL

WANGSUL

Penyelesaian

adb tetapi 0)()( ε≥− nn ygxg0,)(),(,00 →−⊆∃>∃ nnnn yxAyxε

Diambil ε₀ = 3

tetapi

03

113

1;1

→+

−=−

+==

nnyx

ny

nx

nn

nn

33)3()()( ≥=+−=− nnygxg nn

g kontinu tak seragam pada {x Є R : x > 0}

MEDAL

WANGSUL

Pembuktian

Diketahui f fungsi Lipschitz pada A, artinya terdapat K > 0 sehingga

Diambil ε > 0 sebarang, pilih δ = /ᵋ k , akibatnya

yxKyfxf

Ayx

−≤−∈∀

)()(

,

ε

δ

≤−

<−∈∀

)()(

:,,

yfxf

yxAyx

MEDAL

WANGSUL

Pembuktianf merupakan fungsi seragam pada [0,1].

misal f fungsi Lipschitz pada [0,1], berarti ada K > 0 sehingga

Tetapi

yxKyfxf

yx

−≤−∈∀

)()(

:]1,0[,

ikontradiksKK

KKKKxxKyxK

KKxyfxf

yK

x

2

1

2

1

2

1

2

12

1

2

1.0

2

10

2

10)()(

]1,0[0],1,0[2

1

2

2

2

≤⇒≤∴

===−=−∗

=−=−=−∗

∈=∈=

MEDAL

WANGSUL

Bukti :Diberikan ε > 0 sebarang. Karena f : X → Y kontinu seragam, maka terdapat δ > 0 sehingga berlaku :

Karena (xn) Barisan Cauchy didalam X, maka untuk δ > 0 di atas terdapat H Є N sehingga untuk m,n ≥ H :

Akibatnya untuk m,n ≥ H :

ε

δ

<−

≤−∈∀

)()(

)()(,,

yfxf

yfxfXyx

ε

δ

<−

<−

)()(

)()(

mn

mn

xfxf

xx

MEDAL

WANGSUL

Diambil barisan (xn) (0,1), xn =

(xn) Barisan Cauchy tetapi f(xn) = n bukan barisan Cauchy.

Jadi f(xn) = tidak kontinu seragam pada (0,1).

⊆n

1

x

1

MEDAL

WANGSUL

Bukti :Karena f kontinu pada [a,b] maka f kontinu seragam pada [a,b]. Akibatnya f kontinu seragam pada (a,b).Diketahui f kontinu seragam pada (a,b).Akan dibuktikan f dapat diperluas menjadi fungsi kontinu di a dan b.Tanpa mengurangi keumuman, ditunjukkan (ada).

Untuk titik b, bukti analog.Bilangan a adalah titik limit dari (a,b), maka terdapat (xn) (a,b) sehingga xn → aAkibatnya (xn ) Barisan Cauchy, oleh karena itu (f(xn)) Barisan Cauchy sehingga (f(xn)) konvergenJadi (ada)

Jika (yn ) (a,b) sebarang , yn → a maka

Dengan kekontinuan seragam dari f

= 0 + L = LKarena diperoleh nilai yang sama untuk setiap barisan yang konvergen ke a, maka dari kriteria barisan untuk limit, f mempunyai limit L di a.Jika didefinisikan f(a) = L, maka kontinu di a.Argumen yang sama dapat dilakukan untuk b.

҉ Jadi f dapat diperluas menjadi fungsi yang kontinu pada [a,b]

Lax

=→lim

⊆

Lxf nn

=→

))((lim~

⊆ 0)(lim~

=−=−→

aaxy nnn

))((lim))()((lim))((~~

~lim n

nnn

nn

n

xfxfyfxf→→→

+−=

MEDAL