analisis kompleks - drs. supriyono- m.si
TRANSCRIPT
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 1/80
1
BAHAN AJAR PERKULIAHAN
Drs. SUPRIYONO, M.Si.
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2008
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 2/80
2
S istem Bilangan Komplek s
BAB 1
SISTEM BILANGAN KOMPLEKS
1.1. Sistem Bilangan Kompleks Sebagai Suatu Aljabar
Definisi 1.1:
Bilangan kompleks adalah suatu pasangan terurut dari dua bilangan real x dan y,
yang dinyatakan oleh ( x, y).
Lambang bilangan kompleks, kita gunakan z, yang berarti z = ( x, y).
Himpunan semua pasangan terurut dengan operasi – operasi tertentu yang sesuaipadanya dapat didefinisikan sebagai sistem bilangan kompleks.
Definisi 1.2:
« = ÷x÷= ( x, y) : x ÷, y ÷.
z ( xK , yK ) , k 1,2 . z1 z 2 x1 x2 , y1 y 2 .
z = ( x, y), x Re ( z) atau R( z)
y Im( z) atau I( z).
z1 z 2 ( x1 x 2 , y1 y2 ) .
z1 z2 x1 x2 , y1 y2 . z = ( x, y) e « : bilangan kompleks.
(«, +, ∏ ) : sistem bilangan kompleks.
Teorema 1.1
(«, +, ∏ ) merupakan suatu lapangan ( field ).
Bukti:
1. («, +) group komutatif
1.1. z1 « , z2 « Ωz1 z2 «.
Ambil Sebarang z1 , z2 «.
z1 « Ω z1 x1
, y1 , x1 ÷ , y1 ÷.
z2 « Ω z2 x
2 , y
2 , x2 ÷ , y2 ÷.
Jadi z1 z2
x1 x
2, y
1 y
2 «.
1.2. z1 , z2 , z3 «: ( z1 z2) z3 z1 ( z2 z3
) .
Ambil Sebarang z1 , z
2 , z
3 «.
z1 z2 x1 x2
, y1 y2
dan z2
z3 x2 x
3 , y
2 y3 .
( z1
z2) z
3 ( x
1 x
2 , y
1 y
2) ( x
3 , y
3)
( x1
x2) x
3 , ( y
1 y
2) y
3 .
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 3/80
3
z1 ( z
2 z3) ( x
1 , y
1) ( x
2 x3 , y
2 y
3)
x1 ( x
2 x
3) , y
1 ( y2 y
3) .
(÷, +) memenuhi ( x1
x2 ) x
3 x
1 ( x
2 x
3) dan
( y1
y2) y
3 y
1 ( y
2 y
3) .
Jadi ( z1 z2 ) z 3 z1 ( z2 z3 ) .1.3. n « z n z n z , z «.
Ambil Sebarang z «.
Misal : z = ( x, y) dan n = n1 , n2 . z + n = z.
( x + n1, y + n2) = ( x, y).
x n1 x ¤ n
1 0
‹ n 0 ,0 . y n
2 y › n2 0
Jadi 0 = (0, 0) « bersifat z + 0 = z = 0 + z z «.
1.4. z « t « z t 0 t z .
Ambil Sebarang z «.
Misal : z = ( x, y) , t = t 1 , t 2 . z + t = 0 Ω ( x +t 1, y +t 2) = (0,0).
x t 1 0 ¤ t
1 x
‹ . y t 2 0 › t
2 y
Jadi t = ( – x, – y) = – z.
2. (« – 0 , ∏ ) group komutatif
2.1. z1 « , z2 «Ω z1. z2 «.
Ambil Sebarang z1 , z2 «.
z1 « Ω z1
x1 , y
1 , x1 ÷ , y1 ÷.
z2 « Ω z2 x
2 , y
2 , x2 ÷ , y2 ÷.
z1. z
2 x1. x
2 - y
1. y
2 , x
1 . y
2 x
2. y
1 .
x1. x2 - y1. y2 ÷, x1 . y2
Jadi z1.z2 «.
x2. y1 ÷.
2.2. z1 , z
2 , z
3 «, z1
. z2 . z
3 z
1 . z2
. z3 .
Ambil Sebarang z1 , z
2 , z
3 «.
z1. z
2 x
1. x
2 - y
1. y
2 , x
1 . y
2 x
2. y
1 .
z1. z2 . z3 x1. x2 - y1. y2 , x1 . y2 x2. y1 . x3 , y 3 x
1.x
2.x
3 y
1.y
2.x
3 x
1.y
2.y
3 x
2.y
1.y
3 , x
1.x
2.y
3 y
1.y
2.y
3 x
1.y
2.y
3 x
2.y
1.x
3
x1. x
2.x
3 y
2.y
3 y
1. x
2.y
3 x
3.y
2 , x
1. x
2.y
3 y
2.y
3 y
1. x
2.x
3 y
2.y
3
x1, y
1 x
2.x
3 y
2.y
3, x
2.y
3 x
3. y
2 .
Jadi z1. z
2 . z
3 z
1 . z
2 . z
3 .
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 4/80
4
∆ ÷2 2
S istem Bilangan Komplek s
2.3. !u «, u 0 zu z uz , z « .
Ambil Sebarang z «.
Misal u u1 , u2 , z x, y . zu = z xu1 yu2 , xu2 yu1 x , y
Diperoleh xu1 yu2 x xu2 yu1 y
dan
Jadi u1
x y
y x
x y
y x
1 dan u2
x x
y y
x y
y x
0 .
Jadi u = (1,0) = 1
2.4. z « – 0 !s «, zs 1 sz .
Ambil Sebarang z « – 0.
Misal z = ( x, y) dan s (s1 , s2 )
z « – 0 z x, y 0, 0 x 0
y 0
zs = 1 xs1 ys2 , ys1 xs 2 1, 0 .
Diperoleh xs1 ys
2
ys1 xs 2
1 dan
0
Jadi s1
1 y
0 x
x y x2
y x
x
y2
dan s2
≈
x 1
y 0
x y
y x
x
y
. x
2 y2
y ’Jadi z x, y « – 0 ! s ∆
« x y2 , «
x2
y ◊
2.5. z1 ,z2 « z1.z2 z2.z1.
Ambil Sebarang z1, z2 «.
z1.z2 x1. x
2 y
1. y
2 , x
1. y
2 x
1. y
2 x
2. x
1 y
2. y
1 , y
2. x
1 y
1. x
2 z
2.z
1.
Jadi z1.z
2 z2.z1 .
3. z1 ,z
2 ,z
3 « z
1 z
2 z
3 z
1. z
2 z
1. z
3.
Ambil Sebarang z1 , z
2 , z
3 «.
z1 z
2 z
3 x
1 , y
1 . x
2 x
3 , y
2 y
3
x1 x2 x3 y
1 y2 y3 , x
1 y2 y3 y
1 x2 x
3 x1
.x2 x
1.x
3 y1.y
2 y1. y
3 , x
1.y
2 x1.y
3 y1. x
2 y1.x
3 x1
. x2 y
1.y
2 (x1.x
3 y1.y
3 , x1.y
2 y1.x
2 x1.y
3
z1. z
2 z
1.z
3 .
y1.x3
Jadi z1 z2
z3 z1 z2
z1 z
3 .
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 5/80
5
0
1.2. Sistem Bilangan Kompleks Sebagai Perluasan dari Sistem Bilangan Real
C0
( x,0), x ÷
z1 ( x
1,0) C
0 dan z
2 ( x
2,0) C
0.
z1 z
2 ( x
1 x
2,0) C
0
z1 . z2 ( x1. x2 ,0) C0
Definisi 1.3:
f : ÷TC oleh f ( x) = ( x,0) , maka f : ÷ 11
Cpada
0
Misal f ( x1) = f ( x2)
( x1,0) ( x
2,0)Ω x
1 x2
11Jadi f : R C
0.
Misal z C0 sebarang z = ( x,0), x R bersifat f ( x) = ( x,0) = zpada
Jadi f : ÷
x1
x2
Co
z2
÷ C0
f x1 x2
x1 x2
,0 x1,0 x2
,0 f ( x1 ) f ( x2 ) .
f ( x1 . x2)
x1
( x1.x2, 0) ( x1
,0) ( x2, 0) f ( x1
). f ( x2) .
x1. x2
x2
x1 x2
f ( x1). f ( x
2)
f ( x1)
f ( x2)
f ( x1) f ( x
2)
(C0, , ) sistem aljabar dianggap identik dengan (÷, +, ).
Jadi ( x, 0) = x dan C0
«.
Jadi (C0, , ) dianggap sebagai perluasan dari (÷, +, ).
(a,0).( x, y) = a( x, y) = (ax, ay).
Jadi a( x, y) = (ax, ay) a ÷, ( x, y) «.
(0, 1).(0, 1) = ( – 1, 0) = – 1 , (0,1) = i.
Jadi i2= – 1.
( x, y) = ( x, 0) + (0, y) = ( x, 0) + y(0,1) = x + yi
x1 iy1 x2 iy2 x1 x2 , y1 y2
( x1 iy1) ( x2 iy2 ) ( x1 x2 ) i( y1 y 2 )
Jadi x1 iy1 . x2 iy2 x1.x2 y1. y2 i x1 y2 x 2 . y1
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 6/80
6
S istem Bilangan Komplek s
1.3. Bilangan Kompleks Sekawan
Definisi 1.4:
Jika z = ( x, y) « maka z = ( x, – y) « disebut bilangan kompleks sekawan
dari z.
Sifat konjugasi
1. z z selanjutnya z z
2. z1 z2 z1 z2
Bukti :
zk ( x
k ,y
k ) , k 1 ,2
z1 z2 ( x1 x2 , y1 y2 )
z1 z2 ( x1 x2 , ( y1 y 2 )) ( x1 x2 , y1 y 2 )
z1 ( x1 , y1) , z2 ( x2 , y2 )
z1 z2 ( x1 x2 , y1 y 2 ) z1 z 2
3. z1 z
2
Bukti :
z1
z2
Misal z
z1
z1
z1
z
z
z2
z2
z2 z z2
z1 z2 z z1 z2
z1 z2 z1 z2
4. z1 . z2
Bukti :
z1 . z2
z1.z
2 ( x1 x2 y1 y2 , x1 y2 x2 y
1)
z1 . z
2 ( x1 x
2 y
1 y
2 , x
1 y
2 x
2 y
1)
z1
( x1 , y1) ¤ z . z ( x x y y , x y x y )
z2
‹ 1 2
( x2 , y
2)›
1 2 1 2 1 2 2 1
z1 . z2 z1 . z
2
≈ ’∆
z1 ÷ z15.∆ ÷ , z
2 0« z
2 ◊
Bukti :
Misal
z2
z1 z2
z , z1 z . z
2
z1
≈ ’
zz2 z . z
2
∆ z1 ÷ z
z1
∆ ÷« z2 ◊ z2
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 7/80
7
1 2
2
6. z . z x2
y2
7. z z 2 Re ( z)
8. z z 2i Im ( z)
1.4. Nilai Mutlak Bilangan KompleksDefinisi 1.5:
Nilai mutlak bilangan kompleks didefinisikan sebagai
z x2
y2
z x, y «
Sifat nilai mutlak
1. z 0 , z «
2. z 0 z 0
23. z . z z
4. z1 . z
2
Bukti :2
z1
z2
2 2 z1.z2 ( z1.z2
).( z1.z2) ( z1.z2 ).( z1.z2 ) ( z1.z1).( z2.z2 ) z1 . z2
Jadi
5. z
1 z
2
z1.z
2
z1
z2
z1 . z
2
, (z2
0)
Bukti:
Misal z z1
z2
, z1 z.z
2
z1
z
z. z2
z1
z2
z . z2
Jadi z
1 z1
z2
z2
6. Re ( z) Re ( z) z
Bukti:
dan Im( z) Im( z) z
z ( x,y) sehingga Re( z) x x x2
x2
y2
7. z z , -z z
8. z1
z2
z1
z2
: Ketaksamaan segitiga
z1 z
2 z z 2
z1 z
2 z
1 z
2
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 8/80
8
2
2
S istem Bilangan Komplek s
Bukti:
z1 z
2 z1 z
2 z1 z
2 z
1 z
2 z
1 z
2
z1 z1 z1 .z2 z1.z2 z2 z2
2
2 z1 z1.z2 z1.z2 z2
2 2 z
1 2
2
Re z1 z
2 z
2
2
z1 2 z1 z2 z2
z1
z2
Jadi z1 z
2 z
1 z
2
9. z1 z
2
Bukti:
z1
z2
z1 z2 z1 z
2 z1
-z2
z1 z2
Jadi z1 z
2 z
1 z
2
10. z1
z2
Bukti:
z1 z
2
z1 z
1 z
2 z
2
z1 z1 z2 z 2
z1
z2
z1 z
2
z2 z1 z 2 z1 z1 z 2
z1
z2
z1 z2
z1 z
2
z1 z 2 z1 z2
Jadi z1
z2
z1
z2
1.5. Geometri Bilangan Kompleks
Sb. imaginer
r
0
z = ( x, y)
Sb. real
z = ( x, y) = x + iy
oz menyatakan bilangan kompleks z
oz = modulus dari z = z r
= (oz, sb. real positif) = argumen z = arg z
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 9/80
9
x r cos ¤‹r z
y r sin ›
x2 y
2
(q, r ) menentukan z secara tunggal
z = ( x, y)diketahui fl r x2
y2
Dua bilangan kompleks yang sama x1 ,y1 x2 ,y2 x1 x2 , y1 y2 atau
1
,r 1
2 ,r
2 r
1 r
2 ,
2 1 2k
A. Bilangan kompleks dipandang sebagai vektor
z1 x
1 , y
1 , z
2 x
2 , y
2
z1 z
2 x
1 x
2 , y
1 y
2
z1 z1 + z2
z1 r
1cos
z2
1 i sin
1
z2 r 2 cos 2 i sin 2
z1.z2 x1 x2 y1 y2 i x1 y2 x2 y1
r 1 cos 1. r 2 cos 2 r 1 sin 1. r 2 sin 2
ir 1 cos 1.r 2 sin 2 r 2 cos 2 .r 1 sin 1
r 1r 2 cos 1 2 i sin 1 2 z
1 z
2 z
1 z
2 , arg z
1 z
2 arg z
1 arg z
2
z = z1 . z2 OZ
2 Z ~ OEZ
1
OZ : OZ 2
OZ 1 : OE
r : r 2
r 1 :1
r r 1.r 2
z2
z1
12
E (1,0)
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 10/80
10
z1 z z
z1
z2
z2
arg z1
z1
arg z arg z2
S istem Bilangan Komplek s
z z
1
z2
z2
E
w= v.z
z
w v z zv 1
arg w arg v arg z
arg v
Latihan!
1. Diketahui : Bilangan kompleks z = A
OABC bujur sangkarB
C
A= z
Ditanyakan : Tentukan B, C dinyatakan
dalam z
O
2. Diketahui : D OAB sama sisi
Ditanyakan : Tentukan B yang dinyatakanB
dalam z
A= z
O
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 11/80
3. Diketahui : ABCD bujur sangkar
C OA = z1, OB = z2
D Ditanyakan : Tentukan C dan D yang
dinyatakan dalam z1 dan z2
BA
4. Diketahui : OA = z1, OB = z2, D ABC
C sama sisi
Ditanyakan : Tentukan C
A B
1.6. Rumus de Moivre
zk
r k cos
k i sin
k
z1.z
2 r
1r
2 cos 1
2 i sin
1
2
nuntuk z1 z 2 ... z n , maka z dapat ditentukan sebagai berikut :
zn r
n cos n i sin n , n A.
Catatan
z r cos i sin Ω zn r
n cos n i sin n , n A
untuk n∆
n = O
; z
O
= 1r
O cos O . i sinO . benar untuk n = O
11 O 1
n m 1 1n -m z z
zm
r m cos m i sin m
r m cos m sin m
cos2
m sin2
m
Jika w n z
r m cos m i sin-m
r n cos n i sin n
maka tentukan nilai dari w (w «).
Penyelesaian:Jika w n z w
n z maka nilai z ada sebanyak n A.
Misal z r cos i sin dan w cos i sin .
wn z n cos n i sin n r cos i sin
sehingga diperoleh:
n= r = n r
1O
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 12/80
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 13/80
11
∆O
÷
cos n cos n 2k (k B)
S istem Bilangan Komplek s
2k
n
w n r ≈cos
« n i sin
’
n ◊
n » ≈ 2 ’ ≈ 2 ’ ÿw1 r … cos ∆ ÷ i sin ∆
n n÷ Ÿ
« ◊ « ◊ ⁄
n » ≈ 2n ’ ≈ 2n ’ ÿw
n r
…
cos ∆«
÷ i sin ∆n ◊ «
÷ Ÿn ◊ ⁄ kesimpulan
z r cos i sin
n n » ≈ 2k ’ ≈ 2k ’ ÿw z w
k r
…
cos∆«
÷ i sin ∆n ◊ «
÷ Ÿn ◊ ⁄ k O ,1 ,2 ,3 ,..., n 1
Contoh:
1. Tentukan akar dari w5
33
(3 4i)5
Penyelesaian
r 32
3 4i 32
32
42
325 5
(3 + 4 i)
arctan 4
3
w cos i sin
5 » ≈ 2k ’ ≈ 2k ’ ÿwk
32…
cos∆«
÷ i sin ∆5 ◊ «
÷ Ÿ5 ◊ ⁄ k = O , 1, 2, 3, 4.
2. Selesaikan!5
≈ 2 z∆
1 ’÷
32(3 4i)
« 3 z 4 ◊ 5
Penyelesaian:
Misal 2 z 1
w3 z 5
w5
323 4i
5
wk ...
w 2 z 1
3 z 5
w 3 z 5 2 z 1
z 4w 1
z 3w 2
k
4wk 1
3wk 2
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 14/80
12
5
2 n
2
Dari soal no.1
≈ ’w
O 2 ∆ cos
« 5 i sin ÷
5 ◊» ÿ ≈ ’
z
4wO 1
4…
2cos5
2 i sin 15
∆ 8cos« 5
1÷ 8 i sin◊ 5
= ... .Ow » ≈ ’ ÿ ≈ ’3
O 2
3…
2∆ cos« 5
i sin ÷ Ÿ 2◊ ⁄
∆ 6cos« 5
2 ÷ 6 i sin◊ 5
Latihan (lanjutan)
5. Diketahui: z1, z
2, z
3 « yang memenuhi z
1 z
2 z
3 1 , z
1 z
2 z
3 O
Buktikan:
6. Buktikan:
7. Buktikan:
z1, z
2, z
3adalah titik sudut-titik sudut suatu segitiga samasisi!
z2 ( z)
2Ω z ÷ atau z = iy, y ÷ .
zw O z O atau w = O .
8. Buktikan: z 1Ω z w 1 wz w«.
9. Buktikan: z 1 ÷ ΩIm( z) = O atau z
z 1.
≈ v z ’1O .Buktikan: z, w, dan v terletak pada satu garis lurus Im ∆ ÷ O
11.Buktikan: Im( z + w) = O = Im ( zw) Ω z w
« w z ◊atau z ÷ , w ÷ .
Untuk ak ÷ (k = O , 1, 2, ..., n), serta f ( z) = aO + a1 z+a2 z2+ ... + an z
n, jika w akar
dari f ( z) = O , maka w akar dari f ( z) = O .
Bukti:
W akar dari f ( z) = O Ω f w a a w a w2
... a wn
= O .O 1 2 n
f w a a w a w2 ... a wn OO 1 2 n
aO a
1.w a .w2 ... a .wn
O
aO
a1
w a w 2
... an w n
O .
Jadi w akar dari f ( z) O .
Akibat:
n ganjil Ω a a x a x2 ... a x
n = O selalu mempunyai akar real.O 1 2 n
Bukti: a a z a z2
... a zn
= OO 1 2 n
Mempunyai akar berpasangan w1, w
1 ;
n ganjil, n = 2m + 1
wO ; w
1, w
1 ; w
2, w
2 ; ...; w
m, w
m
wO w
O w
O ÷ .
w2, w
2 ; ...
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 15/80
Latihan (lanjutan)
12. Uraikan z2O
– 1
Petunjuk: 1). Ten
2). ( z
1.7. Topologi Wajar
z = ( x, y), w = (
z x2 y
2
z w ( x u)
= jarak dari
zO «, r > O diketa
N ( zO , r ) = z« :
N *( zO , r ) = z« :
r
zO
A. Himpunan Terbuk
Definisi 1.6:
Dipunyai A « dan
P disebut titik dalam
A
O
= p «
Akibat:
1. p AOΩ pA
2. pAO
r > O :
Definisi 1.7 (Himpun
A C himpunan ter
dalam dari A
Contoh:
1. z3 l
z1
z A
2
S istem Bilanga
enjadi hasil faktor linear atau kuadratis.
tukan akar dari z2O
=1
)( z ) z2
( ) z
dari Bidang Kompleks
u, v)
( y v)2
titik ( x, y) ke titik (u, v)
hui
z zO < r : lingkungan r dari zO .
< z zO < r : lingkungan r dari zO tanpa zO .
z zO
z zO
z zO
O
O z zO
O z zO
«.
ari A Jika r > O N ( p, r ) A
p titik dalam dari A
AO
A (ekivalen dengan pAΩ pAO
)
N ( p, r ) A
an Terbuka):
buka jika AO
= A setiap unsur x A merupa
z1
AΩ z1
A O
O z
2 A Ω z
2 A
z3
l Ω z3
A O
AO AJadi A terbuka.
13
Komplek s
an titik
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 16/80
14
z
2. z3
l z1
z2A
3. z2
l1
A z1
l23
4.
( )
( p, 0) (q, 0)
Teorema 1.2:
A B ΩA0
Bukti : Misal pA0, harus d
pA0
artinya r >
Karena A B dan
Jadi p B0
Akibat: A B, pA0Ω p
B. Himpunan tertutup
Definisi 1.6:
Dipunyai A « dan p«.
P disebut titik limit dari A j N
*( p, r )
A = p«| p : titik limit d
Akibat
p « bukan titik limit dari
2 2
3 3
0
0
0
0
0
B A l
z1
A, z1
l Ω z1
A
z A Ω z A0
z l Ω z A0
A
0
A B
Jadi B tak terbuka
(bukan titik dalam)
C A l1
z1
A, z1
l1, z
1l
2 Ω z
1 C
0 z2 l1 Ω z2 C
z3 l
2 Ω z
3 C
C0
A C
Jadi C tak terbuka
A ( x, 0) p x q
0 z1 A Ω z1 A
z2 ( p,0) Ω z2 A
z3
(q, 0) Ω z3
A
0 z
4 ( x,0), p x q , z
4 A
A0
B0
ibuktikan bahwa pB0.
N ( p, r ) A
( p, r ) A maka N ( p, r ) B.
B0
ikar > 0 : N ( p, r )A – p A
ri A.
jika r > 0 N ( p, r )A – p=
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 17/80
Contoh:1.
2.
3.
z3 l
z2A
z2 l
z3A
z3
l1
A z4
z2 l2
4.
( p, 0) (q,
5.
1 1 14 2
1
S istem Bilanga
z1
z1
z
z1 A ,z1 lΩ z1 A
z2 AΩ z2 A
z3 A ,z 3 lΩ z3 A
A A lJadi A tak tertutup.
BA l
z1 A, z1 lΩ z1 B
z2 lΩ z2 B
z3 AΩ z3 B
Jadi B A l
C A l2
z1 A, z1 l1, z1 l2 Ω z1 C
z2 A, z2 l1, z2 l2 Ω z2 C
z3 l1Ω z3 C
z4 AΩ z4 C
Jadi C A l1 l2
A ( x,0): p x q
A ( x,0): p x q
0)
À ¤A Ã
1: n A‹ (n himpunan bil.a
Õ n › N (1,r )A 1
N (1,r ) A 1
≈ 1 ’ À 1 ¤ N ∆ ,r ÷ A Ã ‹
« n ◊≈ 1 ’
Õ n ›À 1 ¤
N ∆ ,r ÷ A Ã ‹ « n ◊ Õ n ›
Jadi 1
An An
15
Komplek s
sli)
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 18/80
16
Bagaimana untuk nol?
À 1 ¤ 1 N (0, r )A Ã
Õ m, m n 1‹
› jika r
m
r 0 mA 1
r .m
Jadi r 0 : N (0, r ) A 0 .
Jadi 0A .
Jadi A 0 .
C. Batas suatu himpunan di bidang kompleks
Definisi 1.7:
Dipunyai A « dan p«.
p disebut titik batas dari A jikar > 0 : N ( p, r )A dan N ( p, r )Ac .
(Ac
= komplemen dari A = z« : zA)
(A) = p p = titik batas dari A = batas dari himpunan A.
Akibat :
p (A) r > 0 N ( p, r )A = atau N ( p, r )Ac
= .
D. Hubungan antara titik batas, titik dalam, dan titik limit suatu himpunan.
1). (A) A ( p (A) p A )
Bukti :
Misal p (A) artinyar > 0 : N ( p, r )A atau N ( p, r )Ac
N ( p, r )A Ω y N ( p, r ) dan y A
N ( p, r )A
c
Ω
z N ( p, r ) dan z A
c
Jadi y, z N ( p, r )
N ( p, r )A – p
Jadi pA .
Definisi 1.8:
A A A disebut penutup dari A.
2). A S, A AS A A Ao
Bukti :
(A) A
A A A
Misalkan x AS A xA dan x S A
À xA x A A Ã
xA atau
xA
xA r > 0 : N x,r A x
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 19/80
xA r
S – A = Ac
xS A Ωr
Jadi x
Jadi x
Jadi A
x(A) Ωr >
N x,
xAS A
x(A) Ω x
Jadi (A) A
Definisi 1.8:
(i) A : himpunan
(ii). A : himpunan
Latihan (lanjutan)
13. Buktikan (A) =
14. Buktikan « A 15. A = A (A)
16. AO
= A – (A)
17. A tertutup (A
18. A terbuka A
Contoh
1.l
p2A
pA r
p A r
2.
l
A
S istem Bilanga
O : N x, r A , N x,r A .
O : N x,r S A (A)
A
S A
Ω x(A)
S A (A)
: N x, r A Ω xA dan
r Ac
S A
S A .
Ω xS A
tertutup A A
terbuka AO
= A
A AO
.
AO
(« – A)O
A
(A) = .
(A) =l
p1
O : N p,r A
O : N p,r A
dan
dan
N p, r Ac
N p, r Ac
B A lB l
17
Komplek s
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 20/80
18
3.
l2
A
l1
4.
l1
l2
A
5.
(O , 1) (1, 1)
A
(1, O )
Teorema 1.3:
Setiap selang terbuka dal
bilangan irrasional.
Akibat :a, b, c, d dengan a < b, c
(a, b) x (c, d ) selalu memua
x2 ’ , y1’ , y2 ’ .
Bukti :
(a, b) x (c, d ) = ( x, y): a <
Jadi x 1’ , x 2’ , y1’ ,
a, b x c, d .
Penyelesaian no.5
Ambil z = ( x, y).
Jika x > 1 maka z (A)Jika x < O maka z (A)
Jika O x 1 dan y > 1 mak
Jika O x 1 dan y <O maka
Jika O x 1 dan O y 1 ma
Jadi z (A).
Jadi (A) = z … z = ( x, y), O
C A l2
C l1 l2
A l1 l2
A= z z x, y, O x 1, O y 1, x’ , y’
’ : himpunan bilangan rasional
A z z x, y, O x 1, O y 1
m ÷ memuat bilangan rasional dan juga mem
d ,
titik ( x1, y1), ( x1, y2), ( x2, y1), ( x2, y2), dimana x1’
< b, c < y < d
y2’ ( x1, y1), ( x1, y2), ( x2, y1), ( x2, y2) semuany
z (A)
z (A)
ar > O : N ( z, r )A dan N ( z, r )Ac
.
x 1, O y 1.
at
,
di
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 21/80
19
S istem Bilangan Komplek s
E. Hubungan antara himpunan terbuka dengan himpunan tertutup.
Teorema 1.4:
A terbuka AC tertutup
Bukti (dengan pengandaian):
(Ω) Diketahui A terbuka, akan dibuktikan AC tertutup.(1) Andaikan AC tak tertutup.
AC
tak tertutup A A .
Jadi xA x A.
xAC
x A x AC.
¤
‹ x A O A, r O , N ( x,r )A ....*)A terbuka A A
O
› x A
OΩr > O : N ( x, r ) A
y N ( x, r )
x A Ωr > O : N ( x, r )A – x N ( x, r )A ....**)
Sehingga *) dan **) kontradiksi.
Jadi pengandaian AC
tak tertutup salah, sehingga AC
tertutup.
() Diketahui AC tertutup, akan dibuktikan A terbuka.
Andaikan A tak terbuka.
xA x AO. ....*)
x AO
r > O : N ( x, r ) A
N ( x, r )AC
x AC
= AC
AC AC tertutup Ω xAC x A ....**)Jadi *) dan **) kontradiksi, A tak terbuka salah sehingga A terbuka.
Bukti (langsung):
(Ω) Diketahui A terbuka, akan dibuktikan AC
tertutup.
C
Ambil sebarang xO A .C CKarena xO A berartir > O : N ( xO , r )A – xO .
Diperoleh N ( xO , r )AC .
Dipunyai A terbuka artinya A = AO
xA r > O sehingga N ( x, r ) A.
Karena N ( xO , r )AC maka N ( xO , r ) A sehingga xO A.
Jadi xO AC.
Jadi xO AC berlaku xO AC.
Jadi AC AC
.
Jadi AC
tertutup.
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 22/80
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 23/80
21
() Diketahui AC
tertutup, akan dibuktikan A terbuka.
Ambil sebarang xO AO.
Karena xO AO
berarti r > O N ( xO , r ) A.
Karena N ( xO , r ) A dan xO N ( xO , r ) maka xO A.
Jadi xO AO
berlaku xO A.Jadi A
O A.
Ambil sebarang xO A.
Karena xO A berarti xO AC.
Karena xO AC
dan AC
tertutup maka r > O N ( xO , r )AC
= .
N ( xO , r )AC = artinya x N ( xO , r ) berlaku x AC atau sama
artinya dengan x N ( xO , r ) berlaku x A.
Jadi N ( xO , r ) A.
Jadi r > O : N ( xO , r ) A.
Jadi xO A berlaku xO AO.
Jadi A AO.
Jadi AO
= A.Jadi A terbuka.
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 24/80
22
2O
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 25/80
L
2.1. Fungsi Bernilai
A «, B «
z A 1w B
f : fungsi berni
z A n nilai
f : fungsi berni
z A tak hin
f : fungsi berni
Contoh:1). w = z
n, fungsi
2). w = n z , fung
3). w = ln z, fung
A «, B «
Diketahui : f : A
g : A
f + g :
f : A
f : A
g: P
A
W
E = R f Dg
W = f – 1 (E)
go f : W Q
(go f ) ( z) = g ( f ( z))
2.2. Limit Fungsi
MA T : Selang ([a, b]
dari beberapa s
lim f ( x) L x x
O
MA T T . T : Suatu daera
terhubung, T
Limit Fungs
BAB 2
MIT FUNGSI KOMPLEKS
ompleks dengan Satu Variabel Kompleks
w = f ( z).
lai satu
B w = f ( z).
lai n
ga banyaknya nilai w B.
lai tak berhingga
bernilai satu
si bernilai n
i bernilai tak hingga
B, «
B
A B didefinisikan oleh ( f + g)( z) = f ( z) + g( z)
B didefinisikan oleh ( f )( z) = . f ( z)
B, E = R f Dg
Q
B P
f g
atau [a, b) atau (a, b] atau (a, b)) atau gabungan
elang xO T atau merupakan titik batas dari T .
O , O f x L , O x xO
, x T .
terhubung atau gabungan berhingga dari beberapa
÷2.
23
i Komplek s
Q
erhingga
daerah
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 26/80
24
xO T atau merupakan titik batas dari T .
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 27/80
25
O O
lim( x, y )( x
O , y
O )
f : T ÷
f ( x, y) L O , O f x, y L ,
O x xO
, O y yO
, x, y T atau
O ( x x )2 ( y y )
2 , ( x, y)T atau
O x xO
y yO
, x, y T ( x, y) N *(( xO , yO ), )
N ( x, r ) = xX : d( x: xO ) < r
(X,d), xO X
f : ( x,d) ÷
lim f ( x) L O , O x x
O
f x, y L , ( x N *
( xO , )).
Definisi 2.1:
Dipunyai f : A « suatu fungsi, zO A .
lim f ( z) L O , z zO
atau ( z N *
( zO , )).
O f z L , O z zO
, zA
Definisi 2.2:
Dipunyai f : A « suatu fungsi, zO A.
f kontinu di zO O , O f z f zO , O z z
O , zA .
A = z1, z2, z3.
f : A « didefinisikan oleh f ( z1) = w1
f ( z2) = w2
f ( z3) = w3
f kontinu ( f kontinu di zO , zO A).
Bukti : misal > O sebarang diberikan, akan dibuktikan f kontinu di z.
ŒÀ
Ambil = min ÃŒÕ
zk
z j
,2
j, k 1,2,3,... j k .
z3 z z1 < , z A Ω z = z1
f ( z) f ( z1) f ( z
1) f ( z
1) O <
z1 z2
Jadi f kontinu di z1.
Dengan cara yang sama diperoleh f kontinu di z2, z3.
Dengan cara yang sama diperoleh A = z1, z 2, z 3, ..., z n
f : A «
f ( zk ) = wk (k = 1,2,3, ...,n)
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 28/80
26
O
O
Limit Fungsi Komplek s
Teorema 2.1:
Drpunyar A e, zO A A dan f : A e.
f kontrnu dr zO u rn
z zO
f ( z) f ( zO ) .
Srfat fungsr yang nenpunyar u rnrt :T . 1. Jrka u rn f ( z) = L,
z zO
u rn f ( z) = M, naka L = M z z
O
2. Jrka u rn f ( z) ada, naka f terbatas dr suatu u rngkungan darr zO . z zO
k O , O f z k z N zO ,
T T . Jrka u rn f z L dan z z
O
u rng z M naka: z z
O
1. u rn f g z L M z zO
2. u rn f z .L z zO
dengan e
3. u rn f . g z L . M z z
O
≈ f ’4. u rn∆ ÷ z
L(M O )
z zO « g ◊
Hubungan antara
M
u rn f z L dengan z zO
u rn
x, y xO , y
O
h x, y
Contoh: f ( z) = z2, z = x + iy
f z x iy2 x 2 y 2 2 xyi u x, y iv x, y &)')(I
R R
Teorema 2.2:Drpunyar w f z f x iy u x, y iv x, y , L M iN
zO x
O, y
O
dan z x, y ,
u rn f z M iN L z z
O
u rn
x, y xO , y
O
u( x, y) M dan u rn
x, y xO , y
O
v( x, y) N
Buktr:
(Ω) f z L u x, y iv x, y M iN
u x, y M i v x, y N apabr u a O x, y xO , y
O
u x, y M apabr u a O x xO 2
y y 2 *)
v x, y N apabru a O x xO 2
y y 2 **)
*)
**)
u rn
x, y xO , y
O
u rn
x, y xO , y
O
u( x, y) M
v( x, y) L
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 29/80
27
2 2
2
2
O
.
() Drketahur u rn
x, y xO , y
O
u( x, y) M dan u rn
x, y xO , y
O
v( x, y) L .
Akan drbuktrkan u rn f z M iN . z z
O
f z M iN u x, y iv x, y M iN
u x, y M i v x, y N
u x, y M 2 v x, y N2
Anbr u sebarang > O .
u rn
x, y xO , yO u( x, y) M Ω
1 O u x, y M br u a
2
O x xO y y
O
1 dan
u rn
x, y xO , y
O
v( x, y) NΩ 2
O v x, y N br u a2
O x xO y y
O 2 .
Pr u r h nrn 1, 2 .
Br u a O x xO 2
y y 2 O z z
O , naka u x, y M
2
dan v x, y N .2
Jadr f z M iN u x, y M 2 v x, y N 2
Jadr u rn f z M iN . z zO
2 2
≈ ’ ≈ ’∆ ÷ ∆ ÷« 2 ◊ « 2 ◊
Contoh: u rn
xy: trdak ada
x, y O ,O x2 y
2
xy2
u rn x, y O ,O x
2 y
4
x p
yq
u rn
: trdak ada
: trdak ada ( p, q “ ). x, y O ,O x
2 p y2q
Akibat:
Drpunyar f z f x iy u x, y iv x, y .
Jrka u rn
x, y xO , y
O
u( x, y) atau u rn
x, y xO , y
O
v( x, y) trdak ada naka u rn f z trdak ada. z z
O
Contoh: f z xy
x2 y
2 2i x
3 y
3.
Tentukan zO agar u rn f z ada atau trdak ada. z z
O
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 30/80
28
1
1 2
O O
2
Limit Fungsi Komplek s
Penyeu esaran:
Drpunyar u x, y xy
x2
y2 dan v x, y 2 x
3 y
3.
u1 x, y xy kontrnu (Buktrkan r x, y x kontrnu dan s x, y y kontrnu).
u2 x, y x 2
y2 kontrnu.
Jadr u x, y xy
x2 y
2 kontrnu, kecuau r nungk rn untuk trtrk (O , O ).
Jadr u rn
x, y xO , y
O
Àu( x, y)
Œ x
O y
O , x
2 y 2
xO , y
O O ,O
.
trdak ada , xO , y
O O ,O
v x, y 2 x3 y
3kontrnu sehrngga u rn v( x, y) 2 x
3 y
3
x, y x , y O OO O
À xO y
O 3 3
Jadr Œ
x 2
2ix
y 2 O
yO , x
O , y
O O ,O
u rn f z zO
z
à O O
.
trdak ada , xO , y
O O ,O
A. Lrngkungan suatu trtrk
Pada÷
– x O 1 x j = jarak
Y O E X
OY : OE OX : OE
j x, y x y ,
Srfat jarak
N p,r x÷: x p r p r , p r .
1) x y O
2) x y O x y
1) j x, y O
2) j x, y O x y
3) x y y x 3) j x, y j y, x
4) j x, z j x, y j y, z 4) x z x y y z
Pada÷2
÷2= x x , x
x x x1
2 2
: x1, x
2÷
x2
x1
x2
x nax x1 , x
2
Lemma 2.1:
a O , b O Ωu rnn a n b n naxa,b
n
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 31/80
2
N 2 p, r x÷ : x
2
1
1
Akibat:
a , a , a ,..., a senuanya p
1 2 3 m
N 1 p, r x÷ : x1 2
N p,r x÷ : na
( p1, p2
( p1 r , p
2)
p
( p1, p2
r
p
p
x1 p1 r
j x, y x y x 1 1 1 2
j2 x, y x
1 y 2
j x, y nax x
1 y
1 ,
1
1
n
2
2
2
2
2
srtrf Ωu rnn a
n a
n ... a naxa , a , a , ..
n
1 2 m 1 2 3
p1 x2 p 2 r p 2
x2 p2 r
x1 p
1, x
2 p
2 r
r )
)
( p1 r , p
2)
N 1 p, r
x1
N p, r
p 2 x p
2 2
r 2
x2
p2
r
N p, r
x2 p r
x1 p r
y x y2 1
x y2 x y
2
2 y2 x y
29
., am
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 32/80
30
1 2 3
3
3
3
1
1 2 n
n
n
2 2 2
2 3
2 2 2
Limit Fungsi Komplek s
untuk k = 1, 2, 3 beru aku
1) jk x, y O
2) jk x, y O x y
3) jk x, y jk y, x 4) jk x, z jk x, y jk y, z
Pada÷3
÷3= x x , x , x : x , x , x ÷
1 2 3 1 2 3
x x x x1
x2
x1
x2
x3
x nax x1, x
2 , x
3
Lemma 2.2:
a O , b O Ωu rnn a n b n naxa,b
n
Ak rbat: Sana dr ÷2.
N 1 p,r x÷ : x
1 p1 x2 p2 x3 p3 r
x p 2
x p 2
x p 2
r
N 2 p,r x÷ : 1 1 2 2 3 3
N p,r x÷ : nax x1 p1 , x2 p 2 , x3 p3 r
j x, y x y x y x y x y1 1 1 2 2 3 3 1
j2 x, y x1 y
2
x y 2
2
x y3
2
x y 2
j x, y nax x1
y1 , x2 y2
, x3 y3 x y
Pada÷n
÷n
= x x , x ,..., x : x ÷(i = 1,2, ..., n)1 2 n i
x x x ... x1
x2 x1 x
2 ... x
n
x nax x1, x
2 ,..., x
n
Sehrngga
N 1 p,r x÷ : x1 p1 x2 p 2 ... xn p n r x
1 p
1 x
2 p
2 ... x
n p
n r
N 2 p,r x÷ :
n 2 2 2
N p,r x÷ : nax x
1 p
1 , x
2 p
2 , ..., x
n p
n r
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 33/80
31
2
Definisi 2.3:
X himpunan sebarang
Fungsi j: X x Y ÷dengan sifat:
1) j x, y O
2) j x, y O
x y3) j x, y j y, x 4) j x, z j x, y j y, z
dinamakan Metrik pada X dan (X, j) disebut ruang metrik.
N p, r xX : j x, p r adau ah bou a terbuka dengan pusat p dan jari-jari r .
A ÷n
f : A ÷n
pA
u im f x L x p
O O x : O x p k Ω f x L
x N * p, 1A Ω f x N L,
(X, j) ruang metrik
A X, p A
f : A ÷
u im f x L x p
O O x N * p, 1AΩ f x L
q A A
f x N L,
f kontinu di q O O x N q, 1A Ω f x N f q,
(X, j) dan (Y, d) dua ruang metrik
A X, p A , dan q A A
f : A Y
u im f x L x p
O O x N * p, 1A Ω f x N L,
f kontinu di q O O x N q, 1A Ω f x N f q,
e = z x, y : x, y÷
x1 , y1 x2 , y2 x1 x2 , y1 y 2 x, y x, y ÷
z x2
y2 x, y
N p,r ze: z p r 2
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 34/80
32
*
*
Limit Fungsi Komplek s
A e, p A , dan q A A
f : A e suatu fungsi
u im f z L z p
O O z N * p, 1A Ω f z N L,
f kontinu di q O O z N q, 1A Ω f z N f q,
B. Sifat fungsi yang mempunyai u imit
T . u im f x : tunggau (jika ada) x p
Bukti:
1) A ÷dan f : A ÷
Andaikan u im f x L dan u im f x M . x p
Ambiu sebarang > O .
x p
1 O x N p,
1 1A Ω f x N L, dan
2 O x N p, 2 1A
Ω f x N M, .
Piu ih min 1, 2 .
O O x N * p, 1A Ω f x N L, dan f x N M,
Khususnya untuk 1
jL, M 4
O x N * p, 1A Ω
À f x N L,Ã
¤‹mustahiu
Õ f x N M, ›
p +
p
p –
L +
L
L –
M +
M
M –
÷ ÷
2) A ÷2
dan f : A ÷
L +
f LL –
p M +
M
M –
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 35/80
3) A ÷2
dan f : A ÷2
N (L, )
f
N (M, ) p
4) A (X, j), (Y, d) dan f : A Y, p A’.Y
X
f L
A
p
N (L, )
N (M, )
M
T T . u im f x ada Ω f terbatas di sekitar p. x p
Bukti:
Misau u im f x L x p
O O x N * p, 1A
f x N L, f x L
f x f x L L f x L L LKhususnya untuk = 1
O x N * p, 1A Ω f x 1 L .
Ambiu k max f p ,1 L . x N p, 1A : f x k .
Jadi f terbatas di sekitar p.
A X
f : AY terbatas di sekitar p k O
f : A÷terbatas di sekitar p k O
O x N p,
O x N p,
1A Ω
1A Ω
f x k .
f x k .
f : A÷2
terbatas di sekitar p k O O x N p, 1AΩ f x k ,
f : AY dan p A
(k 1, 2,...,) .
f kontinu di p O O z N q, 1AΩ f z N f p,
3O
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 36/80
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 37/80
31
∆ ∆
*
÷ ÷
Limit Fungsi Komplek s
(X, ) dan (Y, ) dua ruang topologi, e himpunan terbuka, dan
G = A e | A: himpunan terbuka
1) G , eG
2) AG (T ) Ω8AG
n
3) Ai G (i=1, 2, 3, ..., n) Ω1A i G .i 1
X : himpunan sebarang, (X, ) dan (Y, ) dua ruang topologi,
P(X) = A| A X
P(X) : topologi pada X jika:
1) , e
2) A (T ) Ω8A T
n
3) Ai (i=1, 2, 3, ..., n) Ω1A i .i 1
(X, ) : ruang topologi dengan topologi A
ΩA dinamakan himpunan terbuka
N( p) : himpunan terbuka yang memuat p
(X, ) dan (Y, ) dua ruang topologi, p X.
Fungsi f : X Y kontinu di p V N f p U N p xU Ω f xV .
2.3. Teorema Limit
Teorema 2.3:
Jika lim f z L dan lim g z M maka: z z
O z z
O
1. lim f g z L M z zO
2. lim f z .L z z
O
dengan e
3. lim f . g z L . M z z
O
lim 1
1
dengan syarat lim g z M O .4. z z
O g z M z zO
Bukti:
(1) Ambil sebarang > O .
* ≈ ’Jadi
1 O , z N z
O ,
*
1 1A Ω f z N ∆ L,
«
≈
÷ dan2 ◊
’2 O , z N z
O ,
2 1A Ωg z N ∆ M, ÷ .« 2 ◊
Pilih min 1
,2 .
Dipunyai z N zO , 1A .
Jelas f z N ≈
L, ’
« 2 ◊
f z L 2
dan g z N ≈
M, ’
« 2 ◊
g z M .2
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 38/80
32
‹
‹
‹ x
‹
*
Jadi f g z L M
f z L g z M
f z g z L M
f z L g z M .2 2
Jadi u in f g z L M . z zO
f : e e : f z L
g z M
¤
2 Œ f g z L M
Œ2›
apabiu a O z zO
.
¤ f : ÷ ÷ : f x L
g x M
2 Œ f g x L M
Œ2›
apabiu a O x xO
.
f : ÷n
÷ : ¤ f x L 2 Œ
f g L M
g x M Œ2›
apabiu a O x xO .
f : ÷n ÷n: ¤ f x L
2 Œ f g x L M
g x M Œ2›
apabiu a O x xO .
(2) Anbiu sebarang > O .
Kasus (1) : = O .
= O Ω( f )( z) = O z.
u in f z O O .L .L . z zO
Kasus (2) : O .
O , z N zO , 1A Ω f z L .
f z L f z L
Jadi u in f z .L z z
O
Jadi u in f z .L . z z
O
f z L . .
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 39/80
33
*
*
*
Limit Fungsi Komplek s
(3) Anbiu sebarang > O .
Kasus (1) : L O .
u ing z M z zO
1 O ,k O , g z k z N z
O ,
1 1A
2 O f z L
2 k
O z zO
2, z A
3
O g z M 2 L
O z zO
3, zA
Piu ih = nin 1, 2, 3.
Dipunyai z N zO , 1A .
Karena z N zO , 1A naka beru aku g z k k , f z L ,
2 k
dan g z M .2 L
f .g z L.M f z .g z L.M
f z .g z L.g z L.g z -L.M
f z .g z L.g z L.g z - L.M
f z .g z L.g z L.g z -L.M
f z L g z L .g z M
. k L .2 k 2 L
Jadi u in f .g z L.M . z z
O
Kasus (2) : M O .
f .g z L.M f z .g z L.M
f z .g z f z .M f z .M L.M
f z .g z f z .M f z .M L.M
f z .g z f z .M f z .M L.M
f z g z M MI&)')(
P
f z L&)')(
2 P 2 M
Jadi u in f .g z L.M . z z
O
Kasus (3) : L = O .
Akan dibuktikan u in f .g z O .M O . z z
O
Akan dibuktikan: O O f z .g z L.M .
u ing z M Ω z z
O
O k O g z k z N * z
O , 1A .
u in f z O Ω z z
O
f z k
z N * z
O , 1A .
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 40/80
34
O
*
2
«
*
*
*
z N * z
O , 1A Ω f z .g z .k .
k
Jadi u in f .g z O .M L.M . z z
O
Kasus (4) : M = O . (Seperti pada kasus (3)).
Catatan:
Dari bukti tersebut diperou eh:
Jika u in f z O dan g( z) terbatas di sekitar zO , naka u in f .g z O . z z
O z z
O
1 1(4) u ing z M O Ω u in
M.
z zO z z
O g z
u ing z M z z
O
O Ω
2
M O g(z)
2 z N
* z , dan
Mg(z) - M .
2
Dipunyai z N zO , .
M
1 1 g( z) M 2Jadig z
M
1 1
.g( z) M M
.M2
Jadi u in
M
. z z
O g z
Teorema akibat:
Jika u in f z L dan u ing z M O naka u in f z
L
. z zO z zO z zO g z M
Bukti:
∆ f
÷ z
f z
f z . ∆ f . ÷ z .
≈ ’
« g ◊
g z f z
1 ≈ 1 ’
g z ∆g ◊
≈ 1 ’ 1 LJadi u in u in∆ f . ÷ z L. .
g z g M M z zO
z zO « ◊
Teorema 2.4:Dipunyai A ÷, xO A , dan f : A ÷.
(a)
(b)
u in f x M O Ω x x
O
u in f x M O Ω x xO
O
O
f x O x N
f x O x N
xO ,
xO ,
1A
1A
Bukti:
u in f x M x x
O
O O x N xO , ΩM f x M
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 41/80
35
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 42/80
36
*
*
*
*
*
Limit Fungsi Komplek s
(a) M > O , anbiu u ah M
2
x N * x , ΩM
M f x M
M.
O
(b) M < O
, an
biu u
ah
2 2
M
O
2
x N * x , ΩM
M f x M
M
M O .
O
2 2 2
Catatan:
(a) M > O , anbiu u ah M, O 1
x N xO , Ω1 M M M f x M M 1 M .
(b) M < O , anbiu u ah M, O 1
x N xO , Ω1 M M M f x M M 1 M .
Teorema 2.5:
u in f z L Ω u in f z L z z
O z z
O
Bukti: f z L f z L
Cara T . Anbiu sebarang > O .
Jadi O , f z L z N zO , 1A .
Sesuai dengan aturan segitiga Ω f z L f z L .
Jadi u
in
f z L . z zO
Cara T T . f z u x, y iv x, y u in f z L
1 L
2 u in u x, y L
1 z z
O
f z
x, y xO , y
O
u in x, y x
O , y
O
u2 x, y v
2 x, y .
v x, y L2
Jadi u in f z z z
O
Catatan:
u in x, y xO
, yO
u2 x, y v
2 x, y L1 L
2 L .
(a) u in f z O Ωu in f z O . z z
O
Bukti:
Dipunyai
z zO
u in f z O artinya z z
O
O O f z O
z N zO , 1A .
Jadi f z O f z f z f z O .
Jadi O O f z O z N zO , 1A .
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 43/80
37
*
*
*
Jadi u in f z O . z z
O
Sebagai contoh:
À 1, x ODipuyai f z f x, y Ã
Õ 1,.
x O
Jeu as f z 1 ze dan u in f z 1 tetapi u in f z tidak ada. zO zO
Teorema 2.6 (Prinsip Apit):
Jika f z g z h z di sekitar zO dan u in f z L u inh z
naka u ing z L . z z
O
z zO
z zO
Lemma 2.3:
Dipuyai A ÷dan xOA .
Jika f x g x h x di sekitar xO dan u in f x L u inh x
naka u ing x L . x x
O
x xO x xO
Bukti:
Anbiu sebarang > O .
Dipunyai u in f x L u inh x .
Jadi
x xO
O L
x xO
f x L dan L h x L apabiu a
x N xO , 1A .
Jadi L f x g x h x L apabiu a x N xO , 1A .
Jadi O O L g x L apabiu a x N xO , 1A .
Jadi u ing x L . x x
O
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 44/80
38
Turunan Fungsi
BAB 3
TURUNAN FUNGSI KOMPLEKS
3.1. Fungsi KontinuDefinisi 3.1:
Dipunyai A « z0A . Fungsi f : A « dikatakan
i. kontinu di z0, jika 0 0 z N z0
, 1A Ω f z N f z0 , 2. kontinu di A, jika f kontinu di z
0 z
0A .
Jadi f : A
zA Ω
« kontinu di A z0A , 0
f z f z0
0 z z0
,
f : A « kontinu uniform pada A 0 0 z N z0 , 1A
Ω f z f z0 z
0A
Teorema 3.1:
Dipunyai A «, z0A1A .
Fungsi f : A « kontinu di z0
lim f z z z0
f z0 .
Teorema 3.2:
Jika f , g kedua-duanya kontinu di
i) f + g kontinu di z0
2) f kon tinu di z0, «
3) f .g kontinu di z0
z0« maka
f kontinu di z (dengan syarat4)
g 0
g z0 0 .
Teorema 3.3:
f kontinu di z0
g kontinu di f z0
Bukti:
¤
‹Ωg A f kontinu di z 0
›
Ambil sebarang 0 .
Karena g kontinu di f ( z0), maka ada i> 0 sehingga
f z f z0
i, f z D
g .
g f z g f z0 bila
Selanjutnya, karena f kontinu di z0, maka untuk i tersebut di atas ada > 0
sehingga f z f z0 i
bila z z0 , zD f .
Jadi z z0 , zD f Ωg f z g f z0 .
Jadi g A f kontinu di z0.
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 45/80
39
37
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 46/80
40
1
* 1
* 1
* 1
*
Teorema 3.4:
Jika f : A 11
B kontinu di z0 makapada
f 1
: B A kontinu di f ( z0).
Bukti:
Ambil sebarang > 0.
Karena f kontinu di z0 maka ada > 0 sehingga f z f z0 bila
z z0
, zA .
A B
f w = f ( z)
z0
z0 = f -1
(w0)
f -1
f ( z0) = w0 z = f
-1(w)
Akan dibuktikan f 1 kontinu di f ( z0) = w0 atau 0 0
w N w0, 1BΩ f 1 w f w
0 .
Andaikan f -1 diskontinu di w0.
Jadi 0 0 0 w N w0, 1B f
1 w f w0
0.
Khususnya untuk = sehingga w1 N w
0, 1B f
1w1 f w
0
0 .
Dipunyai w1 N w
0, 1B artinya w
1 w
0 f z
1 f z
0 , , f z1 B .
0 0 1 0 0 1 0
f 1
w f 1w z z bertentangan z z .
Jadi pengandaian salah, haruslah f 1
kontinu di f z0 .
3.2. Limit Fungsi Khusus
1) Jika f z k z«, z0« maka lim f z k .
z z0
Bukti:
Ambil sebarang > 0.
f z k k k 0 z«.
Disini dapat diambil sebarang.
2) Jika f z z z« maka lim f z lim z z0.
Bukti:
Ambil sebarang > 0.
z z0 z z0
f z z0
z z0
bila z z0
, zA .
lim f z lim z z0.
z z0 z z0
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 47/80
41
38
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 48/80
42
0
0
1
n
Turunan Fungsi
Akibat :
1) u rn z2 z
2.
z z0
2) u rn z3 z
3.
z z0
Dengan prrnsrp rnduksr natenatrka, drperou eh:
3) u rn z n z n .0
z z0
Akibat :
4) u rn zn z
n.
0 z z0
5) Jrka f z 0
zn
zn1
... n-1
z n naka
u rn f z z0
z 0 z
0
1 z
0
n1 ...
n-1 z
0
n f z 0 .
Jadr po u rnonadau ah suatu fungsr yang kontrnu.
6) f, g dua pou r non, g z0 0
u rn f z
f
z
0 . z z0 g z g z0
2
≈ f ’Contoh: f, g dua pou r non,
Penyeu esaran:
g z0 0 , seu rdrk r apakah ∆ ÷
« g ◊kontrnu dr z0.
Drpunyar w = t 2
kontrnu. Mrsau t f z
.g z
» f z ÿ 2
Jadr w …
g z Ÿ kontrnu.
3.3. Turunan Fungsi
Definisi 3.2:
Drpunyar hrnpunan terbukaA «dan suatu fungsr
Turunan fungsr f dr z0 drdef rnrsrkan
f : A «
f z0 u rn
z z0
f z f z0 z z0
Mrsau z z0 z z z
0 z .Drpunyar z z0 z 0 .
Jadr f z0 u rn
z0
f z0
z f z0
.
zMrsau z x iy, z0
x0 iy
0 , dan z x i y .
Jadr f z0 u rn
xi y0
f x0 x i y0 y f x0 i y0 .
x i y
Mrsau f z u x, y iv x, y .
Jadr f z0 u rn
xi y0
u x0 x, y
0 y iv x
0 x, y
0 y u x
0, y
0 iv x
0, y
0
. x i y
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 49/80
43
39
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 50/80
44
Contoh
1) f z k zC , zOC .
f zO u rn
f z f zO
u rn
k k O .
z zO z zO
z zO z zO
2) f
z
z zC .
f zO u rn
f z f zO
u rn
z zO 1.
z zO z zO
z zO z z
O
3) f z z zC .
f z u rn
f zO z f z
O
u rn
zO z z
O u rn
zO
zO
u rn
z
x i y.
zO z zO z
xi yO x i y
Drperou eh u rn
x 1 dan u rn
i y 1.
Jadr
xi yO x yO
f zO trdak ada.
xi yO
xOi y
f zO ada Ω f drferensrabe u dr zO
Teorema 3.5:
I. Jrka f , g kedua-duanya drferensrabeu dr zOC naka
1) f + g drferensrabe u dr z , f g z f z g z O O O O
2) f drferensrabeu dr z , C , f z f z O O O
3) f .g dr
ferensr
abeu d
r
z , f .g
z f z .g z f z .g z
O O O O O O
f ≈ f ’
g z . f z f z .g z 4) drferensrabeu dr z , ∆ ÷ z O O O O
g O
« g ◊ O
g 2 z O
(dengan syarat g zO O .
II. Turunan fungsr rnversr
Jrka z g w adau ah rnversr darr w f z dan f drferensrabeu dr zO dengan
f z O , naka g drferensrabeu dr f z dengan g f z 1
.O O O
f z O
III. Turunan Konposrsr Fungsr
Jrka f drferensrabeu dr zO dan g drferensrabeu dr f zO , naka g A f
drferensrabeu dr zO dengan g A f z g f z . f z .O O O
Contoh (u anjutan)
4) f z z2
z. z g z .g z dengan g( z) = z.
f z 1. z z.1 2 z
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 51/80
45
4O
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 52/80
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 53/80
41
… Ÿ
n n
0
Turunan Fungsi
5) f z z3
z2. z g z .h z dengan g( z) = z
2 dan h( z) = z.
f z 1. z2 2 z. z z
2 2 z2 3 z
2.
6) f z z4 z
3. z f z 4 z
3.
7) Dugaan: f z zn, n“ f z n. z
n1. . . * )
Buktr dengan PIM (Prrnsrp Induksr Matenatrka)
Buktr u arn darr *)
f z zn
, f z0 u rn
f z f z0 u rn
z z0
z z0 z z0 z z0 z z0
u rn z n1 zn2
. z zn3
. z 2
... z. z n2
z n1
z z0
n. z0
0 0 0 0
n1.
8) f z zn f z n z
n1.
9) n n1 n2
n-1 n f z
0 z
1 z
2 z
... z f z n
0 z
n1 n 1
1 z
n2 n 2
2 z
n3 ... n-1
10) f , g : dua pou rnondan p z f z g z
p z
g z . f z f z .g z , (dengan syarat g z 0 ).
g2 z
11) f : pou rnon, w f n z
dw ?
dzPenyeu esaran:
w f z n. Mrsau w t
ndan t f z .
Karena w t n , naka dw n.t n1 .dt
Karena t f z , naka dt
f z .dz
Jadr
dw
dw. dt
n.t n1
. f z n. f z n1. f z .
dz dt dz
» f z ÿ n
dw12) f , g dua pou rnon, w
…
g z Ÿ Ω ?dz
Penyeu esaran:
Mrsau w t n dan t
f z .
g z Karena w t
n, naka
dw n.t
n1.
dt
f z Karena t , naka
g z dt
dz
g z . f z f z .g z
g2 z
.
dw dw dt » f z ÿ n1
≈ g z . f z f z .g z ’Jadr . n. .∆
dz dt dz g z ⁄ «
÷ .g
2 z ◊
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 54/80
42
0 0
0
u v
0 0
A. Syarat untuk eksrstensr f ’ ( z0)
Teorema 3.6:
Drpunyar w f z u x, y iv x, y , z0
x0
iy0.
Jrka (1) u,v,u
,u
,v
,v
senuanya kontrnu dr
x , y
.
x y
u
x y 0 0
v ¤(2) x
0, y
0
x x
0, y
0
y ŒPersanaan Cauchy Rrenann
x0, y
0
y x
‹
x0, y
0 Œ
Maka f z0 ada.
3.4. Fungsi Diferensiabel
1) f : ÷ ÷
f x u rn
f x0
v f x0
0
v0 v artrnya
0 0 f x0 v f x0
f x
v 0
br u a 0 x x0
.
&)))))')))))(( * )
(*) v f x0 v f x0 f x0
.v v
f x0
v f x0 f x
0 .v v .E
x v dengan E
x v .
f : ÷ ÷ drdef rnrsrkan ou eh f x ax ( a÷ ).
(a) f x1 x2 a x1 x2 ax1 ax2 f x1 f x2 (b) f x a . x .ax . f x Jadr
f : ÷
f x ax
u
rn ear
÷
( a÷ ) nerupakan transfornasr u rnear.
(÷ , +, .) : ruang vektor dengan drnensr satu atau
f reu d (÷ , +, .) dengan basrs 1.
f x f x1 x f 1 a x a f 1
Definisi 3.3:
Fungsr f : ÷ ÷ drkatakan drferensrabeu dr x0, jrka ada transfornasr u rnear
J : ÷ ÷ , ada fungsr : E : ÷ ÷ dengan srfat u rnE x v 0 , ada 0 x0 x0 v0 0
sehrngga f x0
v f x0 J
x v v E
x v v dengan v .
Teorema 3.7:
Jrka fungsr f : ÷ ÷ drferensrabeu dr x0 naka f x0 ada dan J
x v f x
0 v
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 55/80
43
J p p p
p p
J p p p
p p
Turunan Fungsi
Definisi 3.4:
Fungsr f : ÷ n ÷ drkatakan drferensrabeu dr p , jrka ada transfornasr u rnear
: ÷ n ÷ , ada fungsr : E : ÷
n ÷ dengan srfat u rnE
v 0v 0 , ada 0
sehrngga f p v f p J v v E v v dengan v .
Definisi 3.5 :
Fungsr f : ÷ n ÷
n
drkatakan drferensrabeu dr p , jrka ada transfornasr u rnear
: ÷ n
÷ n
, ada fungsr : E : ÷ n
÷ n
dengan srfat u rnEv 0
v 0 , ada 0
sehrngga f p v f p J v v E v v dengan v .
1) f : ÷ ÷
a) f x0 ada Ω f kontrnu dr x0
b) f drferensrabeu dr x0
2) f : ÷ n ÷
f x0 ada.
a) f
xk
p ada k 1, 2, 3, ... , n beu untentu f kontrnu dr p .
b) f : ÷ n ÷ drferensrabeu dr p Ω
(b.1) f kontrnu dr p
(b.2)
(b.3)
f
xk
f
xk
p ada k 1, 2, 3, ... , n
p beu untentu kontrnu dr p .
Teorema 3.8:
Drpunyar f : ÷ n ÷ .
Jrka f
xk
kontrnu dr p k 1, 2, 3, ... , n naka f drferensrabeu dr p .
Definisi 3.6:
fungsr f : ÷ n ÷ drkatakan drferensrabeu kontrnu dr p jrka
k 1, 2, 3, ... , n .
f
xk
kontrnu dr p
f : ÷ n
÷ drferensrabe u -kontrnu
æ
drferensrabeu
æ
kontrnu
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 56/80
44
x, y Œ
2
2
u
v
v
u
Contoh fungsr yang drferensrabeu tetapr trdak drferensrabeu -kontrnu
À x
2 y2
à srn
x2
1
y2 , x, y 0,0
0, x, y 0,0 drferensrabeu dr (0, 0) tetapr trdak drferensrabeu kontrnu
(Baca: Apostou , Ca u cuu us vou II ch 8 dan R. Convant, Drff. And Int. Cau . Vou . II)
Catatan
Syarat tersebut nerupakan syarat cukup tetapr tak peru u untuk eksrstensr f z0 .
Contoh
À f z Œ x srn
1,
x x, y 0,0
0, x, y 0,0
f 0 ada tetapr
u
xPenyeu esaran:
tak kontrnu dr (0, 0).
Àu x, y Œ x srn
1,
x x, y 0,0
0, x, y 0,0
v( x, y) = 0 x, y R2.
f 0 u rn
z0
f z f 0 z
f z f x i y u x, y iv x, y u x, y
u x, y u(0,0) u
(0,0) x u
(0,0) y
x y , 0 , 0 br u a x y
x, y 0,0 .
1 2 1 2
Tugas
(19) a. Hrtung: u
(0,0) dan x
u(0,0) .
y
b. Peru r hatkan bahwa u
xtak kontrnu dr (0, 0).
c. Hrtung f 0
Teorema 3.9:
Jrka f z0 ada naka f z0
x0 , y0 i x
x0, y
0 i
y
x0 , y0 x
x0, y
0
y
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 57/80
45
Œ
u v
u v
Turunan Fungsi
Jadr Jrka f z0 ada naka
x0, y
0
x x
0, y
0
y
¤
Œ
Persanaan Cauchy Rrenann
x0, y
0
y x
‹
x0, y
0 Œ
Catatan
À u x , y v x , y
Œ x
0 0
Dapat terjadr à u
y 0 0
v tetapr f z
0 trdak ada.
Œ
ŒÕ y x
0, y
0
x x
0, y
0
À z2
Contoh:
Tugas
f z Œ
ŒÕ
z, z 0
.
0, z 0
(20) (1) Peru rhatkan Persanaan Cauchy Rrenann drpenuhr dr (0, 0).
(2) f 0 trdak ada.
Seu rdrk r dr nana fungsr berrkut nenpunyar turunan. Dau anhau nenpunyar
turunan, tentukan turunannya!
1) f z z2
x iy 2 x 2
y2 2ixy
u x, y x2
y2
dan v x, y 2 xy
u 2 x dan
u 2 y
v 2 y dan
v 2 x
x y x y
u,v,u
,u
,v
,v
senuanya kontrnu x, y÷ 2
. x y x y
u 2 x
v ¤
x y Œ
Persanaan Cauchy Rrenann drpenuhr x, y÷ 2
.u
2 y
y v‹
x Œ›
u vJadr f z0 ada zC dan f z0
x0, y
0 i
x x
0, y
0
x
Jadr f z z2
f z 2 z .
2 x0 i2 y0 2 x0 iy0 2 z0
2) f z x2
iy2
u x, y x2
dan v x, y y2
u 2 x dan
x
u 0
y
v 0 dan
x
v 2 y
y
u,v,u
,u
,v
,v
senuanya kontrnu x, y ÷ 2
. x y x y
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 58/80
46
Œ
u v
u
v ¤
x y Œ
PersanaanCauchy Rrenann drpenuhr dengan syaratu
y
v‹
x Œ›
2 x 2 y¤
‹ y x .0 0 ›
Jadr f z0 ada hanya untuk trtrk z
0 x
0, x
0 dan
f z0 x0 , y0
i x
x0 , y0
x 2 x
0.
3) f z z x iy
u x, y x
u 1 dan
x
dan v x, y y
u 0
y
v 0
xdan
v 1
y
u,v,u
,u
,v
,v
senuanya kontrnu x, y ÷ 2
.
x y x yu
v x, y÷
2.
x
Jadr
y
f z z trdak nenpunyar turunan z÷ 2
.
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 59/80
47
2
‹
Fungsi Analitik
BAB 4
FUNGSI ANALITIK
4.1. Fungsi Analitik
Contoh:
1) f z cos y i sin y .
Dipunyai u x, y cos y , v x, y sin y .
Jelas
Jelas
u 0 ,
x
v 0 ,
x
u sin y .
y
v cos y .
y
Jelas u, v, u
,u
,v
,v
semuanya kontinu pada «. x y x y
À
Œ 0 cos y Ω y 2n 1
2, n B
Jadi C RŒ
.
Œ sin y 0 Ω y n ŒÕ
Jadi f z tidak ada z «.
2) f z z x2 y
2.
Dipunyai u x, y x2
y2, v x, y 0 .
Jelas u
2 x ,
x
u 2 y .
y
Jelas v
0 , x
v 0 .
y
Jelas u, v, u
,u
,v
,v
semuanya kontinu pada «. x y x y
À 2 x 0 ¤
Jadi C RŒ Œ
x 0, y 0 .
Œ 2 y 0ŒÕ ›
Jadi f z ada hanya untuk z = 0 dan f 0 u
0 i v
0 0 i0 0 .
3) f z x 2 iy 2
f z ada hanya untuk
x
z x 1 i (garis lurus) dan
x
f x1 i 2 x .
4) Buatlah suatu fungsi yang mempunyai turunan pada setiap titik dari
lingkaran x2
y2
1.
Penyelesaian:
Ambillah u
x2
1, maka dari u
v
dan x2
y2
1, x x y
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 60/80
48
’
3 3
0
1
diperoleh v
2 y2
. y
3
Jelas u
x2
1 x
Ωu x, y x
3 x c y dan
3v
2 y 2
y Ωv x, y 2 y y
3 k x .
Jelas u
c y dan y
v k x .
x
Jadi u
v
c y k x k — c y dy — k x dy y x
— c y dy — k dy c y ky d dan
u
v c y k x k — c y dx — k x dx
y x
— k dx — k x dx k k x e k x kx e .
Jadi u x, y x
x ky d dan v x, y 2 y y
kx e .3
≈ x3
3
’ ≈ y3
’Jadi f z ∆
3 x ky d ÷ i ∆ 2 y
3 kx e ÷ .
« ◊ « ◊
5) f z z2 f z 2 z z «.
Definisi 4.1 (Fungsi Analitik):
Dipunyai A «, z A0.
Fungsi f :A « dikatakan analitik di z0 jika r 0 f ( z)ada z N z0 , r 1A0
Akibat:
f tak analitik di z0 jika dan hanya jika r 0 z1 N z0 , r 1A
0 f ( z )tidak ada
r 1
, n “Ω zn
n
≈ N ∆ z
0,
«
1÷ 1A
0 f z
n ◊ n tidak ada.
Jadi f tak analitik di z1 barisan ( zn) dengan sifat:
(1) zm ≠ zn (m ≠ n)
(2)
(3)lim z n z0n
f zn tidak ada
(4) Jadi f tak analitik di z0 z0 titik limit dari D, D = z | f z tidak ada.
Catatan: f z0 mungkin ada.
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 61/80
49
2
1
Fungsi Analitik
Definisi 4.2 (Titik Singular):
z2 disebut titik singulardari f :A « jika dan hanya jika:
(1) f tak analitik di z2 r 0 z1 N z2 , r 1A
0 f ( z )tidak ada,
(2) r 0 z3 N z , r 1A0 f analitik di z3.
Contoh:
1) f z z 2
.
Jelas f z ada hanya untuk z = 0 ( f z tidak ada z ≠ 0).
Jadi z = 0 bukan titik singular dari f (karena syarat (2) tidak dipenuhi).
2) f z x2
iy2.
Jelas f tidak analitik di z x i x .
Jadi z x i x bukan titik singular dari f (karena syarat (2) tidak dipenuhi).
3) f z 1 . z
2 1
Jelas z = – 1 dan z = 1 adalah titik singular dari f .
Bukti:
Jelas f (1) tidak ada dan lim f z . z 1
z R
Jadi f tak kontinu di z = 1.
Jadi f tak analitik di z = 1.
Jelas f z ada z 1, z 1 .
2 z
Jelas f z z 2 1 2
, z 1, z 1 .
Jadi r 0 z N 1, r f z ada.
Jadi z = 1 titik singular f .
4) f , g dua fungsi analitik pada «
f Jika g mempunyai sejumlah berhingga titik nol (misal z1, z2, . . ., zn) maka
g
analitik pada « z1, z
2,..., z
n .
f Jadi zk adalah titik singular
g
Teorema 4.1:
dengan k = 1, 2, . . ., n.
Jika f analitik di z0 maka f ’ analitik di z0.
Akibat:
f analitik di z0 Ω f (n)
analitik di z0.
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 62/80
50
u v
0
2
Teorema 4.2:
Dipunyai f z u x , y iv x , y , z 0 x 0 iy 0 .
Jika (1) u ,v ,u
,u
,v
,v
semua kontinu di ( x , y ) dan x y
u
0 0 x y
v(2) x 0, y
0 x
x 0, y
0 dan y
x0, y
0
y x x
0, y
0
u vmaka f z 0
ada dan f z 0 x0, y
0 i
x
v
x0, y
0
x
u x
0, y
0 i
y y x 0 , y 0
Teorema 4.3:
Dipunyai f z u x , y iv x , y , z 0 x 0 iy 0 .
Jika (1) r 0 u ,v ,u
,u
,v
,v
semua kontinu pada N x , y ,r dan x y x y
0 0
(2) u
x , y v
x , y dan u
x , y v
x , y , x , y N x , y ,r x y y x
0 0
maka f analitik di z0.
Teorema 4.4:
Jika f analitik di z0 maka r 0 f analitik di z z N z0 ,r 1A
0
Teorema 4.5:
Dipunyai A ÷2, x , y
0 A0dan f : A ÷2
.
Jika
2 f
dan
2 f
kedua-duanya kontinu di x , y x y
2 f
y x 0 0
2 f
maka x0, y
0
x y y x x 0 , y 0
.
Contoh Kontra:
À x 2 y 2
f x , y Œ xy x
2 y
2 , x , y 0,0
.
2 f
ŒÕ 0
0,0 f
, x , y 0,0
0,0 . x y y x
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 63/80
51
Œ
2
0
0
Fungsi Analitik
Teorema 4.6:
Jika f z u x , y iv x , y , z0
x0
iy0 analitik di z0 maka u dan v memenuhi
persamaan laplace, yaitu
2w
x2
2w
y
2 0 .
Bukti:
Dipunyai f analitik di z0.
Jelas f analitik di z0.
Jadi f analitik di z0.
Dipunyai f z u x , y iv x , y .
Jelas f z u
i v
v
i u
dan x x y y
2 2 2 2 2 2
f z u
i v
v
i u
v
i u
. x
2
2 2
x2
y x
2
y x
2
x y x y
Jelas v
v
dan u
u
. x y y x
À u
v
x y
(1)
y x
Œ xJelas C R à u
Œ
y
v
.
(2) y x
2u
Dari (1) : x y
2v ¤
y2 Œ
2v
2v
2
u 2v‹
x2
y
2 0 .
(2): y x x
2
2uDari (1) :
x2
2v ¤ Œ
y x 2
u 2
u
2
u(2):
y2
2v
x y
‹2
2
0Œ x y
Œ›
Definisi 4.3:
u: ÷2 ÷ disebut fungsi harmonik di x , y jika
2u
u 0 di sekitar
x0, y
0 .
0 0 x
2 y
2
Jadi Jika f : « « analitik di z0 maka:
u:÷2
÷ harmonik di x
v: ÷2 ÷ harmonik di x
, y0
, y0
dan
.
v disebut fungsi harmonik sekawan dari u.
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 64/80
52
—
Konstruksi fungsi analitik jika bagian real diketahui.
Diketahui: u( x, y)
Konstruksilah fungsi f z u x , y iv x , y yang analitik.
(1) Periksalah apakah u merupakan fungsi harmonik.
(a) u bukan fungsi harmonik Ω tidak ada fungsi analitik f f z u x , y iv x , y
(b) u fungsi harmonik Ωlanjutkan ke (2).
(2) Hitung u
dan x
u.
y
(3) Pilih v u
v
. x y
(4) Dari v
, konstruksilah v x , y — u
dy c x . y
(5) Dari hasil (4), hitunglah
x
v
u
x y
»
— u
dy c x ÿ
u
x … x y
»
— u
dy ÿ
c x u
. x … x y
(6) Dari (5) dapat diperoleh c x .
(7) Konstruksilah c x .
Jadi diperoleh f z u x , y iv x , y yang analitik.
Contoh:
1) Dipunyai u( x, y) = x2 – y
2. Tentukan f z u x , y iv x , y yang analitik.
Penyelesaian:
Jelas u
2 x dan x
2u
u 2 y
y
2u
Jelas x
2
2
u
2 dan
2u
y2
2 .
Jadi x
2 y
2 0 sehingga u fungsi harmonik.
Dipunyai v
u
. y x
Jadi
Jelas
v 2 x v x , y 2 x dy c x 2 xy c x . y
v 2 y c x .
x
Dipunyai v
u
. x y
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 65/80
53
—
Jadi v
u
2 y c x 2 y c x 0 c x k . x y
Fungsi Analitik
Jadi v x , y 2 xy k .
Jadi f z x 2 y
2 i2 xy k z2
ik .
2) Dipunyai u( x, y) = excos y. Tentukan f z u x , y iv x , y yang analitik.
Penyelesaian:
Jelas u
e x
cos y dan x
2
u e
xsin y .
y
2
Jelas u
e x cos y dan
u e
x cos y . x
2
2u 2
u
y2
Jadi x
2 y2
0 sehingga u fungsi harmonik.
Dipunyai v
u
.
y x
Jadi
Jelas
v e
xcos y v x , y e
xcos y dy c x e
xsin y c x .
y
v e
xsin y c x .
x
Dipunyai v
u
. x y
Jadi v
u
e x sin y c x e
x sin y c x 0 c x k . x y
Jadi v x , y e x
sin y k .
Jadi f z e x cos y ie x sin y k e
x cos y i sin y ik .
3) Dipunyai f z u x , y iv x , y analitik di daerah÷.
dan f z u x , y iv x , y kedua-dua nya
Buktikan: bahwa k « f z k z ÷.
Bukti:
Dipunyai f z u x, y iv x, y analitik pada÷.
Jelas u
v
dan u
v
. x y y x
Dipunyai f z u x , y iv x , y .
Jelas u
v
dan u
v
.
Jadi
x y
v
v
y y
y
dan v
x
x
v
. x
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 66/80
54
›
Jadi v
0 v x, y k x dan y
v k x 0 k x k .
x
Jadi v x , y k .
Jelas u
u
dan x x
u
u
. y y
Jadi
Jadi
u 0 u x, y c y dan
x
f z c ik .
u c y 0 cy c .
y
4.2. Persamaan Cauchy-Riemann dalam Bentuk Polar
z x iy r cos t i sin t f z u x, y iv x, y ur ,t ivr ,t
x r cos t ¤ r x2
y2
y r sin t ‹Ω
t arctan y .
x
u x u ≈ y ’ u x u ≈ sin t ’u
u.
r
u. t
. .∆ ÷ . .∆ ÷ x r x t x r r t « x
2 y2
◊ r r t « r ◊
u
u.
r
u. t
y r y t y
v . . .
xdan
v . . .
y
Àr .
u
v
ŒC RÃŒ r .Õ
r t v
u
r t
f z ur ,t ivr ,t
f z z ≈ u
∆r « r
v ’ i ÷ .
r ◊
4.3.Fungsi Elementer
Secara umum:
1. Inversi Fungsi
(a) f : A
11
B Ω
pada f
1
: B A terdefinisi
(b) y f x, x A
x g y, y B
f 1
: B A
y g x, g x f 1 x .
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 67/80
1
1
2
2. Grafik Fungsi
f : A B
Grafik f x, y
A ÷dan B ÷
A ÷2 dan B
A « dan B «
w f z ,w u z x iy r cos w f z u i
u i
co
co
Bidang z Y
z
3. w f z , z A
satu nilai z satu
z1
z2
f z1
Banyak ke satu
z1 z 2 f z1
satu nilai z ban
Contoh:
Dipunyai f : ÷
Jelas f : ÷ t idak 11
tidak pad
Dipunyai f : ÷
Jelas f : ÷ t
idak
11
pada
Dipunyai f 1 : 0,
Jelas f : 0,Jelas f
1: 0,
Dipunyai f 2 :
Jelas f 2 : ,0
Jelas f 1
: 0,
1
2
Fun
x A, y f x .
Ωgrafik fungsi berupa lengkungan berada di bida
Ωgrafik fungsi berupa permukaan berada di ruan
grafik fungsi berupa berada di ruang berdimensi
iv cos i sin t i sin t v
f x iy
f r cos t i sin t
i sin
i sin
f x iy
f r cos t i sin t
V Bidang w
f w=f ( z)
«,
X U
f z B «.
nilai w w f z : fungsi
f z2 w
f z2 w
f z : fungsi
f z : fungsi 1 – 1
À 2 n yak nilai w à w f z : relasi
÷,
Õ
f x x2.
n
÷, jadi f tidak mempunyai inversi.
0,, f x x2.
0, , jadi f tidak mempunyai inversi.
0,, f 1 x x2.
1
1
0, , jadipada f 1 mempunyai inversi.
0,, f 1 x x .
,0 0,, f 2 x x
2.
0, , jadi f 2 mempunyai inversi.
,0 , f 1 x x .
55
gsi Analitik
g.
g.
4.
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 68/80
56
A. Fungsi Elementer
1. Fungsi Konstanta f x k x «
D f «, R f k .
f : D f
R f merupakan fungsi banyak ke satu.
Y V
f k
X U
f : D f
R f tidak mempunyai inversi.
∑ f : 1 1 k Ωpada
f 1
: k
f k 1 k
∑ f
: 1
1k Ω
pada
f 1
: k
f k 1 k
Jadi f : C k , f z k z C
f k .
merupakan gabungan dari f : k ,
Jadi f f dan C
f : 1 1
k , f k pada
1: k ,
1 k
2. Fungsi Identitas
f : « «, f z z z «
f – 1
: « «, f 1 z z z «
3. Fungsi Homogen
f : « «,
Àw az Ã
f z az z « (a « tetap)
w a z.
Contoh:
Õ arg w arg a arg z
Tentukan peta lingkungan berikut terhadap pengaruh fungsi w 3 4i z .
1) y mx .
Penyelesaian:
Misal w u iv, z x iy .Jelas u iv 3 4i x iy 3 x 4 y i4 x 3 y .
Diperoleh u 3 x 4 y dan v 4 x 3 y .
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 69/80
u
vJadi x
3
4
4
3
4
3
Jadi y mx 3
3
v
Jadi y mx v
Kasus m 3
:4
Jelas y
3
x4
3v 4u
4 3v 4u 12v 16 v
2) y mx n
3) y x2.
Dipunyai
?
x 3u
2
Jadi y x
2
3v
4) f z az b , a, b
f : « 11
«,pada
f : « «,
f 1 z
z b
a
f z z b artin
bid. W
z b
1) (1, 1)
3
Fun
3u 4v
25
3
4dan y
3
4
u
v
3v 4u.
4 25
3
4u m 3u 4v25 25
v 4u 3u 4vm 4mv 3m 4 u
3m 4
u, 3 4m 0 .3 4m
3m 4u,
3 4mm
3.
4
3v 4u
3 3u 4v
25 4 25
3u 4v 3
4 33u 4v
9u 12v u 0
4v
5dan y
3v 4u.
252
4u
5
≈ u 4v ’
∆ ÷ .« 25 ◊
C tetap, a 0, b 0 .
w az b
z w b
a
w z b
a
a translasi sejauh b.
= bid. Z
(0,
(1, 0)
57
gsi Analitik
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 70/80
58
1
2
1
2
f z az b¤
f 1 z az
‹Ω f z ›
f 1 z b
w 3 4i z 1 2i
3 4i 5, arg(3 4i) arctan 4
3Contoh:
Tentukan peta dari daerah berikut oleh pengaruh w 3 4i z .
1) D adalah daerah persegi dengan titik-titik sudut (0, 0), (1, 0), (1, 1), dan (0,1).
2) D adalah daerah yang dibatasi oleh x2
y2
1 .
3) w z2
a) u iv x iy 2 x 2 y
2 i 2 xy .
u x2
y2, v 2 xy atau
b) cos i sin r cos t i sin t 2
r 2, 2t , r 0, 0 t 2
r 2 , 2t t 2
t =
=2
1,0 : r 1, t 1,
1,0 1,0 1,0 : r 1, t 2 1,
w z2
z w z2
z w z 2 z
2
2 .
4
w z2
: fungsi banyak (2) 1
f : « t
idak
11 «,
pada f z z
2
f 1 : «1 11 «,pada
f z z2
«1 r , t , r 0, 0 t
f 2 : «2 11 «,pada
f z z2
«2 r , t , r 0, t 2 f r ,t : cos i sin r
2 cos 2t i sin2t , 0 t
f r ,t : cos i sin r 2 cos 2t i sin2t , t 2
r 2, 2t Ωr , t
2
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 71/80
f 1 r ,t ∆ c
≈1
«
f 1 r ,t ∆ c
≈2
«
f 1 r ,t … c
»2
w
Contoh:
f r ,t f r
Tentukan peta dari da
1) t 2 2) r a a
2
3) D Ã r , t 1 r À
Õ
Penyelesaian:
Jelas r 1 12
r 2 4 .
Jelas t 4
t
2
2.
2.
2 D
-2 -1 1 2
Tugas Kelompok 1
w z2
u x2
y
1a x2
y2
c
1b 2 xy d v
2 y mx ?
u x2 y
2
v 2 xy 2 x.m
u 1 m2 x 2
v 2mx
2
2
s
i sin
÷ , 0 2
Fun
’
2 2 ◊
s
i sin
÷ , 2 4
’
2 2 ◊
atau
s ∆ 2 ÷ i sin∆ 2 ÷ Ÿ , 0 2
≈ ’
« 2 ◊
≈ ’ÿ
« 2 ◊ ⁄
os t i sin t
rah/lengkungan berikut terhadap pengaruh w z2
2,
t ‹¤
4 2›
1 dan
2
2
.
dan
4
-4 -1 1 4
2, v 2 xy
u c
d
2 mx2
1 m2 x 2
x 2mx2
1 m2
2m
59
gsi Analitik
.
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 72/80
60
u 1 m
2mv atau v
2mu
1 m2
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 73/80
1
n
n
n
2
2
k
k
k
4) w zn
(n “)
w cos i sin , z r cos t i sin t , r 0, 0 t 2 .
w zn
cos i sin r cos t i sin t n
cos i sin r
n
cos nt i sin nt r
n, nt
Jadi w zn: fungsi n 1.
∑ f 1 : «1 11
«,pada
À
f z zn
2 ¤«1 à r , t r 0, 0 t ‹
Õ ›
f r , t r n cos nt i sin nt , 0 t
2 1
n
∑ f 2 : «2 11
«,pada
À
f z zn
2 2 ¤«2 à r , t r 0,Õ
t 2 ‹n ›
f r , t r n cos nt i sin nt ,
atau
2 t 2
2 n n
f r , t r n cos nt 2 i sinnt 2 , 0 t
2 2
n
∑ f k : «k 11 «,pada
À
f z zn
2 2 ¤«k à r , t r 0, k 1
Õ n t k ‹
›
f r , t r n cos nt i sin nt , k 1 2
k n
atau
t k 2
n
» ≈ 2 ’ ≈ 2 ’ÿ f r , t r
n
… cos ∆ nt k 1 ÷ i sin∆ nt k 1 ÷ Ÿ« n ◊ « n ◊ ⁄
Tugas Kelompok 2
Tuliskan: a) f 1
:« «k
b) Tentukan 1 z dalam bentuk pola
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 74/80
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 75/80
61
Trans f ormasi Moebius
BAB 5
TRANSFORMASI MOEBIUS
5.1. Transformasi Moebius
f z az b
,cz d
a,b,c,d konstanta kompleks, ad bc 0 .
À d ¤1) D f = z « | f ( z) terdefinisi = z « | cz + d 0 = « Ã ‹.
Õ c ›
À az b d ¤ À a ¤ R
f à z ‹= « à ‹
Õ cz d c› Õ c›
Ambil w « sebarang dan w a
c
N
r
f ( z0) 0
z0 f ( z) 0
az b w az b wcz d
cz d
a wc z wd b
z
wd b
a wc dengan syarat w
a
.c
À a ¤ wd bJadi w « Ã ‹Ω z memenuhi f z w .
Õ c›
À d ¤
a wc
À a ¤Jadi f : « Ã ‹ « Ã ‹.
Misal
Jelas
Õ
f z1
f z1
c›
f z2 .
f z2
Õ c ›
az1
b
cz1 d
az2 b
cz2 d
az1
b cz2
d az2
b cz1
d acz1 z2 adz1 bcz2 bd acz1 z2 adz2 bcz1 bd
ad bc z1 ad bc z2
ad bc z1
z2 0
ad bc z1 z2 0¤
Jadiad bc 0
‹Ω z1 z 2 .›
À d ¤ À a ¤Jadi f : « Ã ‹
11 « Ã ‹dan
Õ c› Pada Õ c ›
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 76/80
62
‹
À a ¤ À d ¤ dz b f : « Ã ‹ « Ã ‹, f
1 z .Õ c › Õ c › cz a
Jelas ad (b)(c) ad bc 0 .
Didefinisikan À
f Õ
f ( z) az b
cz d , ad bc 0
¤.›
Jelas f f 1 .
Ambil sebarang f , g .
Tulis f z az b
cz d dengan ad bc 0 dan
g z
Ditunjukkan
pz qdengan
rz s
f A g .
ps qr 0 .
≈ pz q ’Jelas f A g z f g z f ∆ ÷
a∆ pz q
÷ b
« rz s ◊
≈ ’
« rz s ◊
a pz q brz s
c∆ pz q
÷ d c pz q d rz s
≈ ’
« rz s ◊
apz aq brz bs
cpz cq drz ds
ap br z aq bs
cp dr z cq ds Tulis ap br A, aq bs B , cp dr C , dan cq ds D .
Jadi f A g z Az B
.Cz D
Jelas AD – BC =
ap br
cq ds
aq bs
cp dr
acpq adps bcqr bdrs acpq adqr bcps bdrs adps adqr bcqr bcps
ad ps qr bcqr ps ad ps qr bc ps qr ad bc ps qr .
Dipunyai ad bc 0 dan ps qr 0 .
Jadi AD – BC ad bc ps qr 0 .
Jadi f A g .
Jadi f , g , f A g .
Jadi f , g
Ω f
A g .
Apabila cp dr z cq ds 0 diperoleh z cq ds
.cp dr
À d ¤ À s ¤ À cq ds ¤Jadi D
f C Ã ‹, D
g C Ã ‹ dan D
f g C Ã ‹.
Õ c› Õ q› Õ cp dr ›
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 77/80
63
›
c c
Trans f ormasi Moebius
Teorema 5.1:
À az b ¤Dipunyai à f
Õ f ( z)
cz d , ad bc 0‹ dan f A g z
› f g z .
, merupakan grup
Bukti:
(1) Telah dibuktikan f , g Ω f A g .
(2) f , g ,h Ω f A g A h f A g A h Ingat teorema: f , g, h tiga fungsi sehingga g A h terdefinisi,
f A g A h terdefinisi Ω
terdefinisi.
f A g terdefinisi, f A g A h
f A g A h f A g A h .
(3) I z z 1. z 0
, 1.1 0.0 1 0 .0. z 1
Jadi I . f A I f I A f
(Ingat f A I f I A f f jika I A f terdefinisi).
(4) f Ω f 1 .
Jadi ,A merupakan grup.
g z az b kontinu ¤ az b d
h z cz d kontinu ‹Ω f z , z
cz d ckontinu .
f z az b f z cz d a az bc ad bc , z d .cz d cz d
2 cz d 2
c
5.2.Geometri Transformasi Moebius
f z az b
cz d
a
c
bc ad
ccz d
a
bc ad .
12 d
z c
m n . 1
, m a
, n bc ad
, p d
z p c c2
c
m g( z), g( z) n . 1
z p
m n .h( z), h( z) 1
z p
m n. 1
,k ( z)
k ( z) z p .
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 78/80
64
2 2
2
2 2
h( z) 1
, z
k ( z) z p
h A k ( z) 1
. z p
f z az b
az b
0. z 1 translasi.
g( z) nz adalah rotasi sebesar argumen n diikuti oleh perbesaran sebesar n .
Sifat: Transformasi oleh w 1
zw u iv, z x iy
w 1
u iv z
1
x iy
1
x iy. x iy
x iy
u x
, x
2 y2
v y
x2 y
2
z
1
wΩ
x iy
1
u iv
u iv
u 2 v 2
Beberapa hasil transformasi oleh w 1
: z
(1) persamaan y mx (persamaan garis lurus melalui 0) ?
v
u2 v
2
mu
u2 v
2 v mu (persamaan garis lurus melalui 0).
(2) Persamaan y mx n
v
u2
v2
mu n
u2
v2
nu 2 v2 mu v 0
u2
v2
m
u v
0n n
≈ m ’ ≈ 1 ’ m2
1∆ u «
÷2n ◊
∆ v «
÷2n ◊
4n
2
4n2
(Lingkaran).
(3) Persamaan x p2 y q2
r 2
∆ u
p ÷ ∆ v
2
÷ 2
≈
« u2
v2
’
≈
◊ «
u2
v2
q’
r ◊
u 2 2 pu v 2qv 2 2
u 2 v
2 p q r
u2
v2 u 2
v2 2
u2
v2
1
u2 v
2 p 2
q2
2 pu qv r
2
u2
v2
p2
q2
r 2
2 pu qv 1
0u
2 v
2
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 79/80
65
p 2 q
2 r
2 u 2 v
2 2 pu qv 1 0
Trans f ormasi Moebius
u2 v
2 2 pu qv
p2
q2
r 2
1
r 2
p 2 q
2
Kesimpulan:
Hasil transformasi oleh w 1
zadalah sebagai berikut:
(1) Garis lurus melalui 0 garis lurus melalui 0
(2) Garis lurus tidak melalui 0 lingkaran
(3) Lingkaran lingkaran.
Transformasi oleh f z m n. 1
z p
w 1
Œ¤
z ‹t z pŒ›
h( z) 1
zk ( z) z p
Jadi hasil transformasi oleh
lurus atau lingkaran
f ( z) az b
cz d berupa garis
Contoh
Tentukan peta dari
Penyelesaian:
y 6 x 7 oleh pengaruh f z 2 z 3
4 z 5
Cara I:
Pilih (0,7), ( – 1 ,1), (1,13) y 6 x 7 .
Jelas (0,7) 7i, (1,1) 1 i, (1,13) 1 13i .
f 0,7 2 .7i 3
14 i 3
14 i 3. 28i 5
x iy x , y .
4.7i 5 28 i 5 282
52 1 1 1 1
1,1 x2 , y2 1,13 x
3, y
3
(1) Apabila x1 , y1 , x2 , y2 , dan x3 , y3 terletak pada sebuah garis lurus dapat
disimpulkan peta dari garis lurus
adalah berupa garis lurus
y 6 x 7 oleh pengaruh f z 2 z 3
4 z 5
(2) Apabila x1 , y1 , x2 , y2
, dan x3 , y3 tidak terletak pada satu garis lurus
dapat disimpulkan peta dari garis lurus y 6 x 7 oleh pengaruh
f z 2 z 3
4 z 5
adalah berupa lingkaran.
Cara II:
Tulis z x iy dan f z w u iv .
w 2 z 3
2 z 3 w4 z 5 4 z 5
z2 4w 5w 3
7/22/2019 Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-kompleks-drs-supriyono-msi 80/80
Jadi
z 5 w 3
2 4 w
5u iv 3 x iy
4u iv 2
5w 3.
4 w 2
5u 3 5iv
4u 2 4iv
5u 3 5iv 4u 2 4iv
4u 22 4v2
Tugas Kelompok 4
Lanjutkan proses di atas sehingga ditemukan peta dari garis y 6 x 7 .