analisis keakkeeaakeadaan mantap rangkaian rangkaian ... filenilai puncak sinyal. karena kita hanya...

ii

AnalisisAnalisisAnalisisAnalisis KeaKeaKeaKeadaan Mantapdaan Mantapdaan Mantapdaan Mantap

Rangkaian Rangkaian Rangkaian Rangkaian SistemSistemSistemSistem TenagaTenagaTenagaTenaga

Sudaryatno Sudirham

7-1

BAB 7

Pembebanan Nonlinier

(Analisis Di Kawasan Fasor)

7.1. Pernyataan Sinyal Sinus Dalam Fasor

Sebagaimana dijelaskan di bab sebelumnya, suatu sinyal sinus di

kawasan waktu dinyatakan dengan menggunakan fungsi cosinus

] cos[)( 0 φ−ω= tVtv A

dengan VA adalah amplitudo sinyal, ω0 adalah frekuensi sudut, dan φ adalah sudut fasa yang menunjukkan posisi puncak pertama fungsi

cosinus. Pernyataan sinyal sinus menggunakan fungsi cosinus diambil

sebagai pernyataan standar.

Jika seluruh sistem bekerja pada satu frekuensi tertentu, ω, maka sinyal

sinus dapat dinyatakan dalam bentuk fasor dengan mengambil besar dan

sudut fasa-nya saja. Untuk suatu sinyal sinus yang di kawasan waktu

dinyatakan sebagai )cos()( θ+ω= tAtv maka di kawasan fasor ia

dituliskan dalam format kompleks sebagai θ= jAeV dengan A adalah

nilai puncak sinyal. Karena kita hanya memperhatikan amplitudo dan

sudut fasa saja, maka pernyataan sinyal dalam fasor biasa dituliskan

sebagai

θ+θ=θ∠= sincos jAAAV

yang dalam bidang kompleks digambarkan sebagai diagram fasor seperti

pada Gb.7.1.a. Apabila sudut fasa θ = 0o maka pernyataan sinyal di

kawasan waktu menjadi )cos()( tAtv ω= yang dalam bentuk fasor

menjadi o0 ∠= AV dengan diagram fasor seperti pada Gb.7.1.b. Suatu

sinyal yang di kawasan waktu dinyatakan sebagai

)2/cos()sin()( π−ω=ω= tAtAtv di kawasan fasor menjadi

o90 −∠= AV dengan diagram fasor seperti Gb.7.1.c

Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Sistem Tenaga 7-2

a). b).

c).

Gb.7.1. Diagram fasor fungsi:

a) )cos()( θ+ω= tAtv ; b) )cos()( tAtv ω= ; c) )sin()( tAtv ω= .

Dalam meninjau sinyal nonsinus, kita tidak dapat menyatakan satu sinyal

nonsinus dengan menggunakan satu bentuk fasor tertentu karena

walaupun sistem yang kita tinjau beroperasi pada satu macam frekuensi

(50 Hz misalnya) namun arus dan tegangan yang kita hadapi

mengandung banyak frekuensi. Oleh karena itu satu sinyal nonsinus

terpaksa kita nyatakan dengan banyak fasor; masing-masing komponen

sinyal nonsinus memiliki frekuensi sendiri.

Selain dari pada itu, uraian sinyal sinyal nonsinus ke dalam komponen-

komponennya dilakukan melalui deret Fourier. Bentuk umum komponen

sinus sinyal ini adalah

tnbtnati nnn ω+ω= sincos)(

yang dapat dituliskan sebagai

)cos()( 22nnnn tnbati θ−ω+=

yang dalam bentuk fasor menjadi

nnnn ba θ−∠+= 22I dengan n

n

a

b1tan−=θ

Mengacu pada Gb.7.1, diagram fasor komponen sinyal ini adalah seperti

pada Gb.7.2.

Im

Re

o90 −∠= AV

Im

Re

θ∠= AV

θ

Im

Re

o0 ∠= AV

7-3

Gb.7.2. Fasor komponen arus nonsinus dengan an > 0 dan bn > 0.

Fasor nI pada Gb.7.2. adalah fasor komponen arus jika an positif dan bn

positif. Fasor ini leading terhadap sinyal sinus sebesar (90o − θ). Gb.7.3

berikut ini memperlihatkan kombinasi nilai an dan bn yang lain.

Gb.7.3. Fasor komponen arus nonsinus untuk berbagai kombinasi nilai

an dan bn.

θ−∠+= 22 nnn baI

Im

Re

an

bn

θ

)180( o22 θ+∠+= nnn baI

Im

Re

an

bn

θ an < 0, bn > 0

In lagging (900 − θ)

terhadap sinyal sinus

)180( o22 θ−∠+= nnn baIIm

Rean

bn

θ an < 0, bn < 0

In lagging (900 + θ)


θ∠+= 22 nnn baIIm

Rean

bn

θ an > 0, bn < 0

In leading (900 + θ)



Perlu kita perhatikan bahwa pernyataan fasor dan diagram fasor yang

dikemukakan di atas menggunakan nilai puncak sinyal sebagai besar

fasor. Dalam analisis daya, diambil nilai efektif sebagai besar fasor. Oleh

karena itu kita perlu memperhatikan apakah spektrum amplitudo sinyal

nonsinus diberikan dalam nilai efektif atau nilai puncak.

COTOH-7.1: Uraian di kawasan waktu arus penyearahan setengah

gelombang dengan nilai maksimum Im A adalah

A

)10cos(007.0

)8cos(010.0)6cos(018,0 )4cos(042,0

) 2cos(212,0)57,1cos(5,0318,0

)(

0

000

00

ω+

ω+ω+ω+

ω+−ω+

×=

t

ttt

tt

Iti m

Nyatakanlah sinyal ini dalam bentuk fasor.

Penyelesaian:

Formulasi arus i(t) yang diberikan ini diturunkan dari uraian deret

Fourier yang komponen fundamentalnya adalah

tti 01 sin5,00)( ω+= ; jadi sesungguhnya komponen ini adalah

fungsi sinus di kawasan waktu.

Jika kita mengambil nilai efektif sebagai besar fasor, maka

pernyataan arus dalam bentuk fasor adalah

;02

007,0 ;0

2

010,0 ;0

2

018,0

;02

042,0 ;0

2

212,0 ;90

2

5,0 ;318,0

o10

o8

o6

o4

o2

o10

∠=∠=∠=

∠=∠=−∠==

mmm

mmmm

III

IIII

III

IIII

Diagram fasor arus-arus pada Contoh-7.1 di atas, dapat kita gambarkan

(hanya mengambil tiga komponen) seperti terlihat pada Gb. 7.4.

Gb.7.4. Diagram fasor arus fundamental,

harmonisa ke-2, dan harmonisa ke-4

I1

I2 I4

7-5

Persamaan arus pada Contoh-7.1 yang dinyatakan dalam fungsi cosinus

dapat pula dinyatakan dalam fungsi sinus menjadi

A

)10cos(007.0)8cos(010.0

)57,16sin(018,0 )57,14sin(021,0

1,57) 2sin(212,0)sin(5,0318,0

)(

00

00

00

ω+ω+

+ω++ω+

+ω+ω+

=

tt

tt

tt

Iti m

Jika komponen sinus fundamental digunakan sebagai referensi

dengan pernyataan fasornya o11 0∠= rmsII , maka masing-masing

komponen arus ini dapat kita nyatakan dalam fasor sebagai:

..;.........902

018,0 ;90

2

042,0

;902

212,0 ;0

2

5,0 ;318,0

o6

o4

o2

o10

∠=∠=

∠=∠==

mm

mmm

II

III

II

III

Diagram fasor-fasor arus ini dapat kita gambarkan seperti terlihat pada

Gb.7.5.

Gb.7.5. Diagram fasor arus fundamental,

harmonisa ke-2, dan harmonisa ke-4

Diagram fasor arus pada Gb.7.5 tidak lain adalah diagram fasor pada

Gb.7.4 yang diputar 90o ke arah positif karena fungsi sinus dijadikan

referensi dengan sudut fasa nol. Nilai fasor dan selisih sudut fasa antar

fasor tidak berubah. Pada Gb.7.5. ini, kita lihat bahwa komponen

harmonisa ke-2 ‘leading’ 90o dari komponen fundamental; demikian juga

dengan komponen harmonisa ke-4. Namun fasor harmonisa ke-2

berputar kearah positif dengan frekuensi dua kali lipat dibanding dengan

komponen fundamental, dan fasor harmonisa ke-4 berputar kearah positif

dengan frekuensi empat kali lipat dibanding komponen fundamental.

Oleh karena itulah mereka tidak dapat secara langsung dijumlahkan.

Dalam pembahasan selanjutnya kita akan menggunakan cara

penggambaran fasor seperti pada Gb.7.4 dimana fasor referensi adalah

fasor dari sinyal sinus yang dinyatakan dalam fungsi cosinus dan

memiliki sudut fasa nol. Hal ini perlu ditegaskan karena uraian arus

nonsinus ke dalam deret Fourier dinyatakan sebagai fungsi cosinus

I1 I2 I4


sedangkan tegangan sumber biasanya dinyatakan sebagai fungsi sinus.

Fasor tegangan sumber akan berbentuk osrmss V 90−∠=V dan relasi-

relasi sudut fasa yang tertulis pada Gb.7.3 akan digunakan.

Contoh-7.2: Gambarkan diagram fasor sumber tegangan dan arus-arus

berkut ini

V sin100sin ttVv srmss ω=ω= , A 301 =rmsI 30o lagging dari

tegangan sumber dan A 502 =rmsI 90o leading dari tegangan

sumber.

Penyelesaian:

7.2. Impedansi

Karena setiap komponen harmonisa memiliki frekuensi berbeda maka

pada satu cabang rangkaian yang mengandung elemen dinamis akan

terjadi impedansi yang berbeda untuk setiap komponen. Setiap

komponen harmonisa dari arus nonsinus yang mengalir pada satu cabang

rangkaian dengan elemen dinamis akan mengakibatkan tegangan

berbeda.

COTOH-7.3: Arus ttti 000 5sin303sin70sin200 ω+ω+ω= A

mengalir melalui resistor 5 Ω yang terhubung seri dengan kapasitor 20 µF. Jika frekuensi fundamental adalah 50 Hz, hitung tegangan

puncak fundamental dan tegangan puncak setiap komponen

harmonisa.

(a) Reaktansi dan impedansi untuk frekuensi fundamental adalah

15,159)1020502/(1 61 =×××π= −

CX →

23,15915,1595 221 =+=Z Ω

Im

Re

Vs

I1 30o

I2

7-7

Tegangan puncak fundamental adalah

kV 85,3120023,159111 ≈×=×= mm IZV

(b) Impedansi untuk harmonisa ke-3 adalah

05,533/13 == CC XX → 29,5305,535 223 =+=Z Ω

Tegangan puncak harmonisa ke-3 adalah

kV 73,37029,53333 =×=×= mm IZV

(c) Impedansi untuk harmonisa ke-5 adalah

83,315/15 == CC XX → 22,3283,315 223 =+=Z Ω

Tegangan puncak harmonisa ke-5 adalah

kV 97,03022,32555 =×=×= mm IZV

7.3. ilai Efektif

Sebagaimana telah dibahas dalam bab sebelumnya, sinyal nonsinus

dipandang sebagai terdiri dari dua komponen, yaitu komponen

fundamental dan komponen harmonisa total. Nilai efektif suatu sinyal

periodik nonsinus y, adalah

221 hrmsrmsrms YYY += (7.1)

dengan

rmsY1 : nilai efektif komponen fundamental.

hrmsY : nilai efektif komponen harmonisa total.

Karena komponen ke-dua, yaitu komponen harmonisa total, merupakan

gabungan dari seluruh harmonisa yang masih diperhitungkan, maka

komponen ini tidak kita gambarkan diagram fasornya; kita hanya

menyatakan nilai efektifnya saja walaupun kalau kita gambarkan

kurvanya di kawasan waktu bisa terlihat perbedaan fasa yang mungkin

terjadi antara tegangan fundamental dan arus harmonisa total.


7.4. Sumber Tegangan Sinusiodal Dengan Beban onlinier

Sebagaimana dijelaskan di bab sebelumnya, pembebanan nonlinier

terjadi bila sumber dengan tegangan sinus mencatu beban dengan arus

nonsinus. Arus nonsinus mengalir karena terjadi pengubahan arus oleh

pengubah arus, seperti misalnya penyearah atau saklar sinkron. Dalam

analisis di kawasan fasor pada pembebanan non linier ini kita perlu

memperhatikan hal-hal berikut ini.

7.4.1. Daya Kompleks

Sisi Beban. Jika tegangan pada suatu beban memiliki nilai efektif Vbrms V

dan arus nonsinus yang mengalir padanya memiliki nilai efektif Ibrms A,

maka beban ini menyerap daya kompleks sebesar

VA brmsbrmsb IVS ×= (7.2)

Kita ingat pengertian mengenai daya kompleks yang didefinisikan pada

persamaan (14.9) di Bab-14 sebagai *VI=S . Definisi ini adalah untuk

sinyal sinus murni. Dalam hal sinyal nonsinus kita tidak menggambarkan

fasor arus harmonisa total sehingga mengenai daya kompleks hanya bisa

menyatakan besarnya, yaitu persamaan (3.2), tetapi kita tidak

menggambarkan segitiga daya. Segitiga daya dapat digambarkan hanya

untuk komponen fundamental.

Sisi Sumber. Daya kompleks |Ss| yang diberikan oleh sumber tegangan

sinus tVv sms ω= sin V yang mengeluarkan arus nonsinus bernilai

efektif A 221 shrmsrmsssrms III += adalah

VA 2

srmssm

srmssrmss IV

IVS ×=×= (7.3)

7.4.2. Daya yata

Sisi Beban. Jika suatu beban memiliki resistansi Rb, maka beban tersebut

menyerap daya nyata sebesar

( ) W221

2bbhrmsrmsbbbrmsb RIIRIP +== (7.4)

di mana rmsbI 1 adalah arus efektif fundamental dan bhrmsI adalah arus

efektif harmonisa total.

7-9

Sisi Sumber. Dilihat dari sisi sumber, daya nyata dikirimkan melalui

komponen fundamental. Komponen arus harmonisa sumber tidak

memberikan transfer energi netto.

Wcos 111 ϕ= rmssrmss IVP (7.5)

ϕ1 adalah beda sudut fasa antara tegangan dan arus fundamental sumber,

dan cosϕ1 adalah faktor daya pada komponen fundamental yang disebut

displacement power factor.

7.4.3. Faktor Daya

Sisi Beban. Dengan pengertian daya kompleks dan daya nyata seperti

diuraikan di atas, maka faktor daya rangkaian beban dapat dihitung

sebagai

b

b

S

P=beban f.d. (7.6)

Sisi Sumber. Faktor daya total, dilihat dari sisi sumber, adalah

s

ss

S

P 1.d.f = (7.7)

7.4.4. Impedansi Beban

Reaktansi beban tergantung dari frekuensi harmonisa, sehingga masing-

masing harmonisa menghadapi nilai impedansi yang berbeda-beda.

Namun demikian nilai impedansi beban secara keseluruhan dapat

dihitung, sesuai dengan konsep tentang impedansi, sebagai

Ω= brms

brmsb

I

VZ (7.8)

Seperti halnya dengan daya kompleks, impedansi beban hanya dapat kita

hitung besarnya dengan relasi (3.6) akan tetapi tidak dinyatakan dalam

format kompleks seperti (a + jb).

7.4.5. Teorema Tellegen

Sebagaimana dijelaskan dalam Bab-7, teorema ini menyatakan bahwa di

setiap rangkaian elektrik harus ada perimbangan yang tepat antara daya

yang diserap oleh elemen pasif dengan daya yang diberikan oleh elemen

aktif. Hal ini sesuai dengan prinsip konservasi energi. Sebagaimana telah


pula disebutkan teorema ini juga memberikan kesimpulan bahwa satu-

satunya cara agar energi dapat diserap dari atau disalurkan ke suatu

bagian rangkaian adalah melalui tegangan dan arus di terminalnya.

Teorema ini berlaku baik untuk rangkaian linier maupun non linier.

Teorema ini juga berlaku baik di kawasan waktu maupun kawasan fasor

untuk daya kompleks maupun daya nyata. Fasor tidak lain adalah

pernyataan sinyal yang biasanya berupakan fungsi waktu, menjadi

pernyataan di bidang kompleks. Oleh karena itu perhitungan daya yang

dilakukan di kawasan fasor harus menghasilkan angka-angka yang sama

dengan perhitungan di kawasan waktu.

7.5. Contoh-Contoh Perhitungan

COTOH-7.4: Di terminal suatu beban yang terdiri dari resistor Rb=10

Ω terhubung seri dengan induktor Lb = 0,05 H terdapat tegangan

nonsinus V sin2200100 0tvs ω+= . Jika frekuensi fundamental

adalah 50 Hz, hitunglah: (a) daya nyata yang diserap beban; (b)

impedansi beban; (c) faktor daya beban;

Penyelesaian:

(a) Tegangan pada beban terdiri dari dua komponen yaitu komponen

searah dan komponen fundamental:

V 1000 =V dan o1 90200 −∠=V

Arus komponen searah yang mengalir di beban adalah

A 1010/100/00 === bb RVI

Arus efektif komponen fundamental di beban adalah

A 74,10

)05,0100(10

200

22

11rms =

×π+==

b

rmsb

Z

VI

Nilai efektif arus rangkaian total adalah

A 14,6874,1010 2221

20 =+=+= rmsbbbrms III

Daya nyata yang diserap beban sama dengan daya yang diserap

Rb karena hanya Rb yang menyerap daya nyata.

7-11

W21541068,14 22 =×== bbrmsRb RIP

(b) Impedansi beban adalah rasio antara tegangan efektif dan arus

efektif beban.

V 5100200100 2221

20 =+=+= rmsbrms VVV

Ω=== 24,1568,14

5100

brms

brmsbeban

I

VZ

(c) Faktor daya beban adalah rasio antara daya nyata dan daya

kompleks yang diserap beban. Daya kompleks yang diserap

beban adalah:

VA 328168,145100 =×=×= brmsbrmsb IVS

Sehingga faktor daya beban

656,03281

2154f.d. ===

b

bb

S

P

COTOH-7.5: Suatu tegangan nonsinus yang terdeteksi pada terminal

beban memiliki komponen fundamental dengan nilai puncak 150 V

dan frekuensi 50 Hz, serta harmonisa ke-3 dan ke-5 yang memiliki

nilai puncak berturut-turut 30 V dan 5 V. Beban terdiri dari resistor

5 Ω terhubung seri dengan induktor 4 mH. Hitung: (a) tegangan

efektif, arus efektif, dan daya dari komponen fundamental; (b)

tegangan efektif, arus efektif, dan daya dari setiap komponen

harmonisa; (c) tegangan efektif beban, arus efektif beban, dan total

daya kompleks yang disalurkan ke beban; (d) Bandingkan hasil

perhitungan (a) dan (c).

Penyelesaian:

(a) Tegangan efektif komponen fundamental V 1062

1501 ==rmsV

Reaktansi pada frekuensi fundamental

Ω=×××π= − 26,1104502 31LX


Impedansi pada frekuensi fundamental adalah

Ω=+= 16,526,15 221Z

Arus efektif fundamental A 57,2016,5

106

1

11 ===

Z

VI rmsrms

Daya nyata yang diberikan oleh komponen fundamental

W2083557,20 2211 =×== RIP rms

Daya kompleks komponen fundamental

VA 218257,20106111 =×== rmsrms IVS

Faktor daya komponen fundamental 97,02182

2083 f.d.

1

11 ===

S

P

Daya reaktif komponen fundamental dapat dihitung dengan

formulasi segitiga daya karena komponen ini adalah sinus

murni.

VAR 9,53120832182222

12

11 =−=−= PSQ

(b) Tegangan efektif harmonisa ke-3 dan ke-5

V 21,212

303 ==rmsV ; V 54,3

2

55 ==rmsV

Reaktansi pada frekuensi harmonisa ke-3 dan ke-5

Ω=×=×= 77,326,133 13 LL XX ;

Ω=×=×= 28,626,155 15 LL XX

Impedansi pada komponen harmonisa ke-3 dan ke-5:

Ω=+= 26,677,35 223Z ; Ω=+= 03,828,65 22

5Z

Arus efektif komponen harmonisa ke-3 dan ke-5:

7-13

A 39,326,6

21,21

3

33 ===

Z

VI rmsrms ;

A 44,003,8

54,3

5

55 ===

Z

VI

rmsrms

Daya nyata yang diberikan oleh harmonisa ke-3 dan ke-5

W4,57539,3 2233 =×== RIP rms ;

W97,0544,0 2255 =×== RIP rms

(c) Daya nyata total yang diberikan ke beban adalah jumlah daya

nyata dari masing-masing komponen harmonisa (kita ingat

komponen-komponen harmonisa secara bersama-sama mewakili

satu sumber)

( )( )

W2174

221

25

23

21

25

23

21531

RIRIRIIRI

RIIIPPPP

hrmsrmsrmsrmsrms

rmsrmsrmsb

+=++=

=×++=++=

Tegangan efektif beban

V 22,1082

5

2

30

2

150 222

=++=brmsV

Arus efektif beban

A 86,2044,039,357,20 222 =++=brmsI

Daya kompleks beban

VA 225786,2022,108 =×=×= brmsbrmsb IVS

Daya reaktif beban tidak dapat dihitung dengan menggunakan

formula segitiga daya karena kita tak dapat menggambarkannya.

(d) Perhitungan untuk komponen fundamental yang telah kita

lakukan menghasilkan

W20831 =P , VA 21821 =S , dan

VAR 9,53121

211 =−= PSQ .

Sementara itu perhitungan daya total ke beban menghasilkan


W2174=bP , dan VA 2257=bS ; ?=bQ

Perbedaan antara P1 dan Pb disebabkan oleh adanya harmonisa

P3 dan P5 .

RIP rms211 = sedang

( ) RIRIIIPPPP brmsrmsrmsrmsb22

523

21321 =++=++= .

Daya reaktif beban Qb tidak bisa kita hitung dengan cara seperti

menghitung Q1 karena kita tidak bisa menggambarkan segitiga

daya-nya. Oleh karena itu kita akan mencoba memperlakukan

komponen harmonisa sama seperti kita memperlakukan

komponen fundamental dengan menghitung daya reaktif

sebagai nnrmsn XIQ 2= dan kemudian menjumlahkan daya

reaktif Qn untuk memperoleh daya reaktif ke beban Qb.

Dengan cara ini maka untuk beban akan berlaku:

( )5253

231

21531 LrmsLrmsLrmsb XIXIXIQQQQ ++=++=

Hasil perhitungan memberikan

VAR 4,5762,13,439,531

5253

231

21321

=++=

++=++= LrmsLrmsLrmsb XIXIXIQQQQ

Perhatikan bahwa hasil perhitungan

VAR 9,5311211 == LrmsXIQ sama dengan

VAR 9,53121

211 =−= PSQ .

Jika untuk menghitung Qb kita paksakan menggunakan

formulasi segitiga daya, walaupun sesungguhnya kita tidak bisa

menggambarkan segitiga daya dan daya reaktif total komponen

hamonisa juga tidak didefinisikan, kita akan memperoleh

VAR 604217422572222 =−=−= bbb PSQ

lebih besar dari hasil yang diperoleh jika daya reaktif masing-

masing komponen harmonisa dihitung dengan formula

nnrmsn XIQ 2= .

7-15

COTOH-7.6: Sumber tegangan sinusoidal V sin21000 tvs ω=

mencatu beban resistif Rb = 10 Ω melalui dioda mewakili

penyearah setengah gelombang. Carilah: (a) spektrum amplitudo

arus; (b) nilai efektif setiap komponen arus; (c) daya kompleks

sumber; (d) daya nyata yang diserap beban; (e) daya nyata yang

berikan oleh sumber; (f) faktor daya yang dilihat sumber; (g)

faktor daya komponen fundamental.

Penyelesaian:

a). Spektrum amplitudo arus penyearahan setengah gelombang ini

adalah

Spektrum yang amplitudo ini dihitung sampai harmonisa ke-

10, yang nilainya sudah mendekati 1% dari amplitudo arus

fundamental. Diharapkan error yang terjadi dalam

perhitungan tidak akan terlalu besar.

b). Nilai efektif komponen arus dalam [A] adalah

7.0 ;1 ;8,1

;3,4 ;2,21 ;50 ;45

1086

421rms0

===

====

rmsrmsrms

rmsrms

III

IIII

Nilai efektif arus fundamental A 501 =rmsI

Nilai efektif komponen harmonisa total adalah:

A 507,018,13,42,218,312 222222 =+++++×=hrmsI

A

45.00

70.71

30.04

6.032.60 1.46 0.94

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 4 6 8 10

harmonisa


Nilai efektif arus total adalah

A 7,705050 22221 =+=+= shrmsrmsrms III

c). Daya kompleks yang diberikan sumber adalah

kVA 7,707,701000 =×=×= rmssrmss IVS

d). Daya nyata yang diserap beban adalah

kW 50 1067,70 22 =×== brmsb RIP

e). Sumber memberikan daya nyata melalui arus fundamental.

Daya nyata yang diberikan oleh sumber adalah

11 cosϕ= rmssrmss IVP

Kita anggap bahwa spektrum sudut fasa tidak tersedia,

sehingga perbedaan sudut fasa antara tegangan sumber dan

arus fundamental tidak diketahui dan cosϕ1 tidak diketahui.

Oleh karena itu kita coba memanfaatkan teorema Tellegen

yang menyatakan bahwa daya yang diberikan sumber harus

tepat sama dengan daya yang diterima beban, termasuk daya

nyata. Jadi daya nyata yang diberikan sumber adalah

kW 50== bs PP

f). Faktor daya yang dilihat oleh sumber adalah

7,07,70/50// ==== sbsss SPSPf.d.

g). Faktor daya komponen fundamental adalah

1501000

50000cos

11 =

×==ϕ

rmssrms

s

IV

P

Nilai faktor daya ini menunjukkan bahwa arus fundamental

sefasa dengan tegangan sumber.

h). 100%atau 150

50

1

===rms

hrmsI

I

ITHD

Contoh-7.6 ini menunjukkan bahwa faktor daya yang dilihat sumber

lebih kecil dari faktor daya fundamental. Faktor daya fundamental

7-17

menentukan besar daya aktif yang dikirim oleh sumber ke beban,

sementara faktor daya yang dilihat oleh sumber merupakan rasio daya

nyata terhadap daya kompleks yang dikirim oleh sumber. Sekali lagi kita

tekankan bahwa kita tidak dapat menggambarkan segitiga daya pada

sinyal nonsinus.

Sumber mengirimkan daya nyata ke beban melalui arus fundamental.

Jika kita hitung daya nyata yang diserap resistor melalui arus

fundamental saja, akan kita peroleh

kW 2510502211 =×== brmsRb RIP

Jadi daya nyata yang diserap Rb melalui arus fundamental hanya

setengah dari daya nyata yang dikirim sumber (dalam kasus penyearah

setengah gelombang ini). Hal ini terjadi karena daya nyata total yang

diserap Rb tidak hanya melalui arus fundamental saja tetapi juga arus

harmonisa, sesuai dengan relasi

( ) bbrmsrmsbbrmsRb RIIRIP ×+== 221

2

Kita akan mencoba menganalisis masalah ini lebih jauh setelah melihat

lagi contoh yang lain. Berikut ini kita akan melihat contoh yang berbeda

namun pada persoalan yang sama, yaitu sebuah sumber tegangan

sinusoidal mengalami pembebanan nonlinier.

COTOH-7.7: Seperti Contoh-7.6, sumber sinusoidal dengan nilai

efektif 1000 V mencatu arus ke beban resistif Rb=10 Ω, namun

kali ini melalui saklar sinkron yang menutup setiap paruh ke-dua

dari tiap setengah perioda. Tentukan : (a) spektrum amplitudo

arus; (b) nilai efektif arus fundamental, arus harmonisa total, dan

arus total yang mengalir ke beban; (c) daya kompleks yang

diberikan sumber; (d) daya nyata yang diberikan sumber; (e)

faktor daya yang dilihat sumber; (f) faktor daya komponen

fundamental.

Penyelesaian:

(a) Diagram rangkaian adalah sebagai berikut:

Rb 10 Ω

vs Vsrms =1000 V

is saklar sinkron

iRb

∼


Bentuk gelombang tegangan sumber dan arus beban adalah

Spektrum amplitudo arus, yang dibuat hanya sampai harmonisa

ke-11 adalah seperti di bawah ini.

Amplitudo arus harmonisa ke-11 masih cukup besar; masih di

atas 10% dari amplitudo arus fundamental. Perhitungan-

perhitungan yang hanya didasarkan pada spektrum amplitudo

ini tentu akan mengandung error yang cukup besar. Namun hal

ini kita biarkan untuk contoh perhitungan manual ini mengingat

amplitudo mencapai sekitar 1% dari amplitudo arus

fundamental baru pada harmonisa ke-55.

(b) Arus fundamental yang mengalir ke Rb

A 25,592

79,831 ==rmsI

0.00

83.79

44.96

14.83 14.838.71 8.71

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1 2 3 4 5 6 7 0 1 3 5 7 9 11 harmonisa

A

-300

-200

-100

0

100

200

300

0 0,01 0,02

iRb(t)

vs(t)/5 [V]

[A] [detik]

7-19

Arus harmonisa total

A 14,36

2

71,8

2

71,8

2

83,14

2

83,14

2

96,440

22222

=

+++++=hrmsI

Arus total : A 4,69 14,3625,59 22 =+=rmsI

(c) Daya kompleks yang diberikan sumber adalah

kVA 4,694,691000 =×== rmssrmss IVS

(d) Daya nyata yang diberikan sumber harus sama dengan daya

nyata yang diterima beban yaitu daya nyata yang diserap Rb

karena hanya Rb yang menyerap daya nyata

kW 17,48104,69 22 =×=== brmsbs RIPP

(e) Faktor daya yang dilihat sumber adalah

69,04,69/17,48/ === sss SPf.d.

(f) Daya nyata dikirim oleh sumber melalui arus komponen

fundamental.

11 cosϕ= rmssrmss IVP

813,025,591000

48170cos..

111 =

×==ϕ=

rmssrms

s

IV

Pdf

(g) 61%atau 61,025,59

14,36

1

===rms

hrmsI

I

ITHD

Perhitungan pada Contoh-7.7 ini dilakukan dengan hanya mengandalkan

spektrum amplitudo yang hanya sampai harmonisa ke-11. Apabila

tersedia spektrum sudut fasa, koreksi perhitungan dapat dilakukan.


Contoh-7.8: Jika pada Contoh-7.7 selain spektrum amplitudo diketahui

pula bahwa persamaan arus fundamental dalam uraian deret Fourier

adalah

( ))sin(7,0)cos(5.0)( 001 ttIti m ω+ω−=

Lakukan koreksi terhadap perhitungan yang telah dilakukan pada

Contoh-7.7.

Penyelesaian:

Persamaan arus fundamental sebagai suku deret Fourier diketahui:

( ))sin(7,0)cos(5.0)( 001 ttIti m ω+ω−=

Sudut o1 6,57)5.0/7.0(tan ==θ − . Mengacu ke Gb.3.3, komponen

fundamental ini lagging sebesar (90o−57,6o) = 32,4o dari tegangan

sumber yang dinyatakan sebagai fungsi sinus. Dengan demikian

maka faktor daya komponen fundamental adalah

844,0)4,32cos(cos.. o11 ==ϕ=df

Dengan diketahuinya faktor daya fundamental, maka kita dapat

menghitung ulang daya nyata yang diberikan oleh sumber dengan

menggunakan nilai faktor daya ini, yaitu

kW 50844.04,591000cos 11 =××=ϕ= rmssrmss IVP

Daya nyata yang dikirim sumber ini harus sama dengan yang

diterima resistor di rangkaian beban sbrmsb PRIP == 2 . Dengan

demikian arus total adalah

A 7,7010/50000/ === bsrms RPI

Koreksi daya nyata tidak mengubah arus fundamental; yang

berubah adalah faktor dayanya. Oleh karena itu terdapat koreksi

arus harmonisa yaitu

A 63,3825,597,70 2221

2 =−=−= rmsrmshrms III

Daya kompleks yang diberikan sumber menjadi

kVA 7,707,701000 =×== rmssrmss IVS

7-21

Faktor daya total yang dilihat sumber menjadi

7,07,70/50/.. === sss SPdf

65%atau 65,025,59

63,38==ITHD

Perbedaan-perbedaan hasil perhitungan antara Contoh-7.8 (hasil koreksi)

dan Contoh-7.7 telah kita duga sebelumnya sewaktu kita menampilkan

spektrum amplitudo yang hanya sampai pada harmonisa ke-11. Tampilan

spektrum ini berbeda dengan tampilan spektrum dalam kasus penyearah

setengah gelombang pada Contoh-7.6, yang juga hanya sampai hrmonisa

ke-10. Perbedaan antara keduanya terletak pada amplitudo harmonisa

terakhir; pada kasus saklar sinkron amplitudo harmonisa ke-11 masih

sekitar 10% dari amplitudo fundamentalnya, sedangkan pada kasus

penyearah setengah gelombang amplitudo ke-10 sudah sekitar 1% dari

ampltudo fundamentalnya.

Pada Contoh-7.8, jika kita menghitung daya nyata yang diterima resistor

hanya melalui komponen fundamental saja akan kita peroleh

kW 1,351025,59 2211 =×== brmsRb RIP

Perbedaan antara daya nyata yang dikirim oleh sumber melalui arus

fundamental dengan daya nyata yang diterima resistor melalui arus

fundamental disebabkan oleh adanya komponen harmonisa. Hal yang

sama telah kita amati pada kasus penyearah setengah gelombang pada

Contoh-7.6.

7.6. Transfer Daya

Dalam pembebanan nonlinier seperti Contoh-3.6 dan Contoh-3.7, daya

nyata yang diserap beban melalui komponen fundamental selalu lebih

kecil dari daya nyata yang dikirim oleh sumber yang juga melalui arus

fundamental. Jadi terdapat kekurangan sebesar ∆PRb; kekurangan ini diatasi oleh komponen arus harmonisa karena daya nyata diterima oleh

Rb tidak hanya melalui arus fundamental tetapi juga melalui arus

harmonisa, sesuai formula

bbhrmsrmsbRb RIIP )( 221

+=

Padahal dilihat dari sisi sumber, komponen harmonisa tidak memberi

transfer energi netto. Penafsiran yang dapat dibuat adalah bahwa


sebagian daya nyata diterima secara langsung dari sumber oleh Rb , dan

sebagian diterima secara tidak langsung. Piranti yang ada di sisi beban

selain resistor adalah saklar sinkron ataupun penyearah yang merupakan

piranti-piranti pengubah arus; piranti pengubah arus ini tidak mungkin

menyerap daya nyata sebab jika demikian halnya maka piranti ini akan

menjadi sangat panas. Jadi piranti pengubah arus menyerap daya nyata

yang diberikan sumber melalui arus fundamental dan segera

meneruskannya ke resistor sehingga resistor menerima daya nyata total

sebesar yang dikirimkan oleh sumber. Dalam meneruskan daya nyata

tersebut, terjadi konversi arus dari frekuensi fundamental yang diberikan

oleh sumber menjadi frekuensi harmonisa menuju ke beban. Hal ini

dapat dilihat dari besar daya nyata yang diterima oleh Rb melalui arus

harmonisa sebesar

bbhrmsrmsbhrmsRbh RIIRIP ×+== )( 221

2 .

Faktor daya komponen fundamental lebih kecil dari satu, f.d.1 < 1,

menunjukkan bahwa ada daya reaktif yang diberikan melalui arus

fundamental. Resistor tidak menyerap daya reaktif. Piranti selain resistor

hanyalah pengubah arus; oleh karena itu piranti yang harus menyerap

daya reaktif adalah pengubah arus. Dengan demikian, pengubah arus

menyerap daya reaktif dan daya nyata. Daya nyata diteruskan ke resistor

dengan mengubahnya menjadi komponen harmonisa, daya reaktif

ditransfer ulang-alik ke rangkaian sumber.

7.7. Kompensasi Daya Reaktif

Sekali lagi kita memperhatikan Contoh-7.6 dan Contoh-7.7 yang telah

dikoreksi dalam Contoh 7.8. Telah diulas bahwa faktor daya komponen

fundamental pada penyearah setengah gelombang f.d.1 = 1 yang berarti

arus fundamental sefasa dengan tegangan; sedangkan faktor daya

komponen fundamental pada saklar sinkron f.d.1 = 0,844. Nilai faktor

daya komponen fundamental ini tergantung dari saat membuka dan

menutup saklar yang dalam kasus penyearah setengah gelombang

“saklar” menutup setiap tengah perioda pertama.

Selain faktor daya komponen fundamental, kita melihat juga faktor daya

total yang dilihat sumber. Dalam kasus penyearah setengah gelombang,

meskipun f.d.1 = 1, faktor daya total f.d.s = 0,7. Dalam kasus saklar

sinkron f.d.1 = 0.844 sedangkan faktor daya totalnya f.d.s = 0,7. Sebuah

pertanyaan timbul: dapatkah upaya perbaikan faktor daya yang biasa

7-23

dilakukan pada pembebanan linier, diterapkan juga pada pembebanan

nonlinier?

Pada dasarnya perbaikan faktor daya adalah melakukan kompensasi daya

reaktif dengan cara menambahkan beban pada rangkaian sedemikian

rupa sehingga faktor daya, baik lagging maupun leading, mendekat ke

nilai satu. Dalam kasus penyearah setengah gelombang f.d.1 = 1, sudah

mencapai nilai tertingginya; masih tersisa f.d.s yang hanya 0,7. Dalam

kasus saklar sinkron f.d.1 = 0,844 dan f.d.s = 0,7. Kita coba melihat kasus

saklar sinkron ini terlebih dulu.

COTOH-7.9: Operasi saklar sinkron pada Contoh-3.7 membuat arus

fundamental lagging 32,4o dari tegangan sumber yang sinusoidal.

Arus lagging ini menandakan adanya daya rekatif yang dikirim oleh

sumber ke beban melalui arus fundamental. (a) Upayakan

pemasangan kapasitor paralel dengan beban untuk memberikan

kompensasi daya reaktif ini. (b) Gambarkan gelombang arus yang

keluar dari sumber.

Penyelesaian:

a). Upaya kompensasi dilakukan dengan memasangkan kapasitor

paralel dengan beban untuk memberi tambahan pembebanan

berupa arus leading untuk mengompensasi arus fundamental

yang lagging 32,4o. Rangkaian menjadi sebagai berikut:

Sebelum pemasangan kapasitor:

A 25,591 =rmsI ; A 63,38=hrmsI ; 7,0.. =sdf

kVA 59,2559,25100011 =×== rmssrms IVS ;

f.d.1 = 0,844;

kW 500,84459,251 =×=P

kVAR 75,3121

21 =−= PSQs

∼ Rb vs

is saklar sinkron

iRb

C

iC


Kita coba memasang kapasitor untuk memberi kompensasi daya

reaktif komponen fundamental sebesar 31 kVAR

CVZVQ srmsCsrmss ω=×= /221

→ F 991001000

31000

2

1 µ=π×

=ω

=srms

s

V

QC ; kita tetapkan 100 µF

Dengan C = 100 µF, daya reaktif yang bisa diberikan adalah

kVAR 4,31101001001000 62 =××π×= −CQ

Arus kapasitor adalah

A 4,31)100/(1

1000=

π==

CZ

VI

C

srmsCrms .

Arus ini leading 90o dari tegangan sumber dan hampir sama

dengan nilai

A 75,31)4,32sin( o1 =rmsI

Diagram fasor tegangan dan arus adalah seperti di bawah ini.

Dari diagram fasor ini kita lihat bahwa arus o

1 4,32sindan IIC tidak saling meniadakan sehingga beban

akan menerima arus )4,32cos( o1rmsI , akan tetapi beban tetap

menerima arus seperti semula. Beban tidak merasakan adanya

perubahan oleh hadirnya C karena ia tetap terhubung langsung

ke sumber. Sementara itu sumber sangat merasakan adanya

beban tambahan berupa arus kapasitif yang melalui C. Sumber

yang semula mengeluarkan arus fundamental dan arus

harmonisa total ke beban, setelah pemasangan kapasitor

Im

Re

Vs

I1

32,4o

I1cos32,4o

I1sin32,4o IC

7-25

memberikan arus fundamental dan arus harmonisa ke beban

ditambah arus kapasitif di kapasitor. Dengan demikian arus

fundamental yang diberikan oleh sumber menjadi

A 05)4,32cos( o11 =≈ rmsrmsC II

turun sekitar 10% dari arus fundamental semula yang 59,25 A.

Arus efektif total yang diberikan sumber menjadi

A 2,6363,3850 22221 =+=+= hrmsrmsCsrmsC III

Daya kompleks yang diberikan sumber menjadi

kVA 2,632,631000 =×=sCS

Faktor daya yang dilihat sumber menjadi

8,02,63/50.. ==sCdf

sedikit lebih baik dari sebelum pemasangan kapasitor

7,0.. =sdf

b). Arus sumber, is, adalah jumlah dari arus yang melalui resistor

seri dengan saklar sinkron dan arus arus kapasitor.

- bentuk gelombang arus yang melalui resistor iRb adalah

seperti yang diberikan pada gambar Contoh-7.7;

- gelombang arus kapasitor, iC, 90o mendahului tegangan

sumber.

Bentuk gelonbang arus is terlihat pada gambar berikut:

-300

-200

-100

0

100

200

300

vs/5

is

iRb

iC [detik]

[V]

[A]

0 0.005 0.01 0.015 0.02


Contoh-7.9 ini menunjukkan bahwa kompensasi daya reaktif komponen

fundamental dapat meningkatkan faktor daya total yang dilihat oleh

sumber. Berikut ini kita akan melihat kasus penyearah setengah

gelombang.

Dalam analisis rangkaian listrik [2], kita membahas filter kapasitor pada

penyearah yang dihubungkan paralel dengan beban R dengan tujuan

untuk memperoleh tegangan yang walaupun masih berfluktuasi namun

fluktuasi tersebut ditekan sehingga mendekati tegangan searah. Kita akan

mencoba menghubungkan kapasitor seperti pada Gb.7.6 dengan harapan

akan memperbaiki faktor daya.

Gb.7.6. Kapasitor paralel dengan beban.

COTOH-7.10: Sumber tegangan sinusoidal V sin21000 tvs ω=

mencatu beban resistif Rb = 10 Ω melalui penyearah setengah

gelombang. Lakukan pemasangan kapasitor untuk

“memperbaiki” faktor daya. Frekuensi kerja 50 Hz.

Penyelesaian:

Keadaan sebelum pemasangan kapasitor dari Contoh-3.5:

tegangan sumber V 1000=srmsV ;

arus fundamental A 501 =rmsI ;

arus harmonisa total A 50=hrmsI

arus efektif total A 7,70=rmsI ;

daya kompleks sumber kVA 7,70=sS ;

daya nyata kW 501 == PPs ;

faktor daya sumber 7,07,70/50/.. === sss SPdf ;

faktor daya komponen fundamental 1.. 1 =df .

Spektrum amplitudo arus maksimum adalah

vs R C

iR iC

is

7-27

Gambar perkiraan dibawah ini memperlihatkan kurva tegangan

sumber vs/5 (skala 20%), arus penyearahan setengah gelombang

iR, dan arus kapasitor iC seandainya dipasang kapasitor (besar

kapasitor belum dihitung).

Dengan pemasangan kapasitor maka arus sumber akan merupakan

jumlah iR + iC yang akan merupakan arus nonsinus dengan bentuk

lebih mendekati gelombang sinusoidal dibandingkan dengan

bentuk gelombang arus penyearahan setengah gelombang iR.

Bentuk gelombang arus menjadi seperti di bawah ini.

-400

-200

0

200

400

0 0.01 0.02 0.03iC

vs/5

iR

[V]

[A]

t [s]

45.00

70.71

30.04

6.032.60 1.46 0.94

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 4 6 8 10 harmonisa

A


Kita akan mencoba menelaah dari beberapa sisi pandang.

a). Pemasangan kapasitor seperti pada Gb.7.6 menyebabkan sumber

mendapat tambahan beban arus kapasitif. Bentuk gelombang arus

sumber menjadi lebih mendekati bentuk sinus. Tidak seperti

dalam kasus saklar sinkron yang komponen fundamentalnya

memiliki faktor daya kurang dari satu sehingga kita punya titik-

tolak untuk menghitung daya reaktif yang perlu kompensasi,

dalam kasus penyerah setengah gelombang ini f.d.1 = 1; arus

fundamental sefasa dengan tegangan sumber.

Sebagai perkiraan, daya reaktif akan dihitung dengan

menggunakan formula segitiga daya pada daya kompleks total.

kVAR 50507.702222 =−=−= sss PSQ

Jika diinginkan faktor daya 0,9 maka daya reaktif seharusnya

sekitar

kVAR 300,9)sin(cos-1 ≈= ss SQ

Akan tetapi formula segitiga tidaklah akurat karena kita tidak

dapat menggambarkan segitiga daya untuk arus harmonisa. Oleh

karena itu kita perkirakan kapasitor yang akan dipasang mampu

memberikan kompensasi daya reaktif QC sekitar 25 kVAR. Dari

sini kita menghitung kapasitansi C.

kVAR 2510)(1/

1000 62

2

=ω=ω

== CCZ

QC

s

C

V

-400

-200

0

200

400

0 0.01 0.02 0.03iC

vs/5

iR

[V]

[A]

t [s]

iR+iC

iR

7-29

Pada frekuensi 50 Hz F 6,7910010

25000

6µ=

π×=C .

Kita tetapkan 80 µF

Arus kapasitor adalah

A 13,25)1080100/(1

1000

6=

××π==

−Z

s

C

VI

yang leading 90o dari tegangan sumber atau o9013,25 ∠=CI

Arus fundamental sumber adalah jumlah arus kapasitor dan arus

fundamental semula, yaitu

A 2196,559013,25050 ooo11 ∠=∠+∠=+= CsemulasCs III

Nilai efektif arus dengan frekuensi fundamental yang keluar dari

sumber adalah

A 755096,55 22221 =+=+= hrmsCrmsssCrms III

Jadi setelah pemasangan kapasitor, nilai-nilai efektif arus adalah:

A 96,551 =CrmssI ; ini adalah arus pada frekuensi

fundamental yang keluar dari sumber

sementara arus ke beban tidak berubah

A 50=hrmsI ; tak berubah karena arus beban tidak berubah.

A 75=sCrmsI ; ini adalah arus yang keluar dari sumber yang

semula A 7,70=rmsI .

Daya kompleks sumber menjadi

kVA 75751000 =×== sCrmssrmssC IVS

Faktor daya yang dilihat sumber menjadi

67,075/50/ === sCssC SPf.d.

Berikut ini adalah gambar bentuk gelombang tegangan dan arus

serta spektrum amplitudo arus sumber.


Pemasangan kapasitor tidak memperbaiki faktor daya total

bahkan arus efektif pembebanan pada sumber semakin tinggi.

Apabila kita mencoba melakukan kompensasi bukan dengan arus

kapasitif akan tetapi dengan arus induktif, bentuk gelombang arus

dan spektrum amplitudo yang akan kita peroleh adalah seperti di

bawah ini.

-300

-200

-100

0

100

200

300

0 0.005 0.01 0.015 0.02iC

iRb isC

vs/5

V

A

45.00

79.14

30.04

6.032.60 1.46 0.94

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1 2 3 4 5 6 70 1 2 4 6 8 10

harmonisa

A

7-31

Dengan membandingkan Contoh-7.9 dan Contoh-7.10 kita dapat melihat

bahwa perbaikan faktor daya dengan cara kompensasi daya reaktif dapat

dilakukan pada pembebanan dengan faktor daya komponen fundamental

yang lebih kecil dari satu. Pada pembebanan di mana arus fundamental

sudah sefasa dengan tegangan sumber, perbaikan faktor daya tidak

terjadi dengan cara kompensasi daya reaktif; padahal faktor daya total

masih lebih kecil dari satu. Daya reaktif yang masih ada merupakan

akibat dari arus harmonisa. Oleh karena itu upaya yang harus dilakukan

adalah menekan arus harmonisa melalui penapisan. Persoalan penapisan

tidak dicakup dalam buku ini melainkan dalam Elektronika Daya.

-300

-200

-100

0

100

200

300

0 0.005 0.01 0.015 0.02iC

iRb

isC

vs/5 V

A

A

45.00

79.14

30.04

6.032.60 1.46 0.94

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1 2 3 4 5 6 70 1 2 4 6 8 10

harmonisa

analisis keakkeeaakeadaan mantap rangkaian rangkaian ... filenilai puncak sinyal. karena kita hanya...

Documents