analisa struktur lanjutan 2

8/13/2019 Analisa Struktur Lanjutan 2

1/313

l,lsl' l.Ll $lSLI K]LI RL{,luuTl,f{


2/313

qUoBs 0o11t

6

,t:

upusY*g1IaT


3/313

NT I T,I :K_290

Judul Asli : INTERMEDIATE STRUCTURAL ANALrS/SHak Cipta O 1983 dalam bahasa Inggris pada McGraw-Hill, Inc.Hak Terjemahan dalam bahasa Indonesia pada Penerbit ErlanggaAlih BahasaEditorKorektor

: Drs. L: Kusuma WirawanIr. Mulyadi Nataprawira: Ir. Edi Harjadi: Fernando PasaribuCetakan Pertama, 1989Cetakan Kedua, 1990Cetakan Ketiga, 1999Dicetak oleh : P.1'. Gelora Aksara PratarnaBuku ini disetting dan dilayout oleh Bagian Produksi penerbit Erlangga denganhuruf PR-l0-MDilarang keras mengutip, menjiplak, memfotocopy atau memperbanyak dalambentuk lain, baik sebagian atau keseluruhan dari buku ini serta memperjual-belikannya tanpa mendapat izin tertulis dari Penerbit Erlangga.O IIAK CIPTA DILINDI-INGI OLEH UNDANG-UNDANG

rlt., i-,.-


4/313

a' TuB-sue1 uIBUI

qIBB

l0

{ -Seeu?s '

Besen L?s{enu?Su{uE u

sEu{oE:1'e>e:1Iuu Eu8 -u{uE

nu1 nes{u9E 'BruS

'4{uuE-uBB{u

STOLT6

6s

ZIIX

nu{eluqJ u

tzIt?BB

ISU


5/313

vlr4.3t4.4r4.514.6

45474852576162

Pengandaian untukPengandaian untuk Analisis Beban VertikalAnali sis Beban-LateralMetode PortalMetode Kantilever

14.7 Distribusi Momen dan14.8 PembandinganMetode Gaya-Lintang Secara Silih-Berganti .14.9 Latihan15.1 lntroduksi Umum 6415.2 Momen Ujung-Terjepit untuk Unsur Balok dengan Momen InersiaTetap . 6515.3 Faktor Kekakuan dan Faktor Pemindah untuk Unsur Balok dengan

Momen Inersia Tetap . 7015.4 Momen Ujung-Terjepit untuk Unsur Balok dengan Momen InersiaVariabel 7215.5 Faktor Kekakuan dan Faktor Pemindah untuk Unsur Balok denganMomen Inersia Variabel 7715.6 Momen di dalam Kerangka Berbentuk Segiempat dengan Satu SumbuSimetri 7915.7 Momen pada Kerangka Tertutup dengan Satu Sumbu Simetri 8915.8 Momen pada Kerangka Berkepala Segitiga dengan Satu Sumbu Simetri 93

15.9 Momen pada Kerangka Berbentuk Segiempat yang Taksimetris . . . . . 9815.10 MomenpadaKerangkaTertutupTaksimetris 10615.1 I Latihan 112

,,,r.,, ..., I16. 1 Gambaran Umum I 1616.2 Struktur Paduan dengan Unsur Rangka-Batang dan Unsur Balok-

Metode Gaya . ll716.3 Struktur Paduan dengan Unsur Rangka-Batang dan Unsur Balok-Metode Perpindahan 12216.4 Struktur Paduan dengan Unsur Rangka-Batang dan Unsur KombinasiMetode Gaya . 12616.5 Struktur Paduan dengan Unsur Rangka-Batang d.rn UnsurKombinasi - Metode Perpindahan 13816.6 Latihan 149

17.1 Gambaran Umum 15217.2 MetodePenganalisisan.... 153L7.3 Penyelesaian untuk Persoalan Umum Kerangka-Dwimatra. 15517.4 Metode Iterasi - Dari Gaya Aksial Primer ke Momen Lentur Sekunder 16617.5 Metode Iterasi - Dari Momen l,entur Sekunder ke Gaya Aksial Ketiga 17417.6 Pembandingan Metode 17617.7 Latihan .......176


6/313

fgBueBz bIBoBIz3BCuez _FCozz_ulzsuzIuez goe1SnNu jLuusoBunz6{uw gnz9BLOl9IoaO geOISuanO IooDB06eoueO guu0-s?sLuoeIsx6 tE1sIZPe6 OZIuSSS6

ir

LglS-eaun

tZlop -uoue18d -BnOoueeZuooDou Ls?9ssdSne noSoasgeetidSB Inud6uu6Iu3nuSIA

.

I8O8

6888t898s8 ,8e8z8I8gI


7/313

vur iii22.6 Matriks Kekakuan suatu Anggota pada Fondasi Elastis22.7 Gaya-Lintang dan Momen Ujung Terjepit Akibat Beban Terbagi-Rata22.8 Gaya-Lintang dan Momen Ujung Terjepit Akibat Beban BerlentukSegitiga 2gsMatriks Lokal [S,4r] dan lASArl suatu Bagian di dalam Balok . . . . 296Penganalisisan Balok di atas Fondasi Elastis dengan Metode perpin-dahan .22.11 kndutan, Gaya-Lintang, dan ordinat Momen di dalam potongan . . .22.12 Latihan

,ro22.10

29r293

297301304


8/313

,Eeeeee- SasBaqu?

gdeuqe qnndOnesrB{ua rnunn

nmouE uuBesseBnuawsrnlenE nssu>nnoe

'w'asEBQuauue'uaBup{erunu?leeueEuu '1nnBBnuBrur4 -seuann9eClqepuu1ln En?pB

W'euuuPuu Eenefuqleeudpasu -

lnuuuqBos -p{dusDepse

eedaeu nuEe

'eqenpq

EV


9/313

i,Ij..\ K.\ L\

(force method) dan metode perpindahan (displacement method) analisa struktur, agarprogram-program komputer dapat digunakan secara seksama. Jadi, untuk membuatbuku ini sebagai risalah yang lengkap untuk kedua analisa tersebut, baik tertentu rnau-pun taktentu, beberapa pasal dan bab telah ditambahkan pada metode potongan dan-hubungan (oints and sections) untuk analisa rangka-batang, pada gaya geser dan momendi dalam balok tertentu, pada garis pengaruh dan muatan bergerak, serta pada metodependekatan analisa kerangka bangunan bertingkat.

Sisa sepertiga bagian buku ini, yang tidak terkandung di dalam Strukrur StatisTaktentu, adalah metode rnatriks-perpindahan (matrix displacenrent method). Dasarmetode ini mula-mula disajikan pada analisa rangka-batang (truss). Kemudian, contohrumerik yang sama dan yang telah diselesaikan dengan metode ubahan-sudut (slope-deflection), istilah putaran-sudut juga sering digunakan untuk nama metode ini(Pener-iemah), serta metode distribusi-momen akan diselesaikan juga dengan metode matriks-perpindahan dalam bentuk tulisan tangan, agar mahasiswa dapat memahami pulalangkah yang akan dilakukan komputer. Sebelumnya momen kedua di dalarn rangkabatang dengan hubungan kaku diselesaikan hanya dengan rnetode iterasi (iterationmethod) sambil menggunakan distribusimomen; sekarang penyelesaian masalah rangka-batang dwimatra yang lebih umum dengan menggunakan komputer akan disajikan.Dulu lengkungan terjepit (fixed arch) diselesaikan secara tersendiri. sekarang hal terse-but sudah menjadi bagian dari masalah keseluruhan yang mencakup suatu kurva darikerangka kaku yang rumit. Deformasi aksial di dalam kerangka kaku biasanya diabaikandi dalam analisa tanpa komputer demi penghematan pekerjaan; sebaliknya pencakupanmasalah tersebut justru banyak menyederhanakan proses pengumpulan data masukan(input) pada metode kekakuan langsung di dalam analisa dengan komputer. Kedua pen-dekatan tersebut akan dilakukan selengkapnya di dalam metode matriks-perpindahanpada analisa kerangka dwimatra.Empat bab terakhir, tentang kerangka kisi-kisi horisontal, hubungan setengah-kisi-kisi (semigrid), deformasi akibat gaya geser, dan balok di atas fondasi elastis merupakanhal-hal baru yang tidak terdapat dalam blkl Struktur Statis Taktentu. Tanpa komputer,penggunaan metode yang diajukan pada keempat bab tersebut di dalam dunia nyataadalah mustahil. Dewasa ini, penerapan hal tersebut ke dalam program komputer me"u-pakan pekerjaan "sepele".

Enam bab pertama bersifat mendasar: perihal balok statis tefientu, rangka-batarig,dan kerangka-kaku; dan tentang metode gaya untuk penganalisaan balok statis tertentu,rangka-batang, dan kerangka-kaku, terrnasuk persamaan tiga-momen. Pemilihan urutanbab boleh dilakukan menurut urutan yang disajikan, 1,2,4,6,3,5; atau 1,3,5,2,4.6;1,3,2,5,4,6 tergantung kemauan. Bab 7 dan 8 boleh dibalik urutannya; atau boleh jugadisingkirkan dari kurikulum, atau bagian terakhir dari kedua bab tersebut saja yang disingkirkan.Bab 9 boleh dilewatkan jika para mahasiswa telah pernah mempelajari definisimatriks di dalam kuliah matematika. Bab l0 dan I I mencakup bahan dasar metodematriks-perpindahan pada rangka-batang dan analisa balok. Pembaca boleh juga langsungmeloncat ke Bab 17 yang berisi penganalisaan kerangka dwimatra umumnya denganmempertimbangkan adanya perubahan bentuk aksial, berdasarkan penganalisaan rangka-batang dengan penghubung kaku. Urutan tersebut dapatlah mencakup bahan tentangmetode matriks-perpindahan.Bab 12 dan 16 dianjurkan bagi mereka yang ingin menggali metode matriks-per-pindahan secara lebih mendalam. serta melihat bagaimana hubungan antara metode yanglebih baru tersebut dengan metode deformasi taat-asas (consistent-deformation), metodeubahan-sudut dan metode distribusimomen yang lebih kuno.


10/313

'8.

'UlhBBunBepe?qu6snao EeZZO68?'


11/313

'aw-qnEuusgeEJouuBe-wmuunEdpFBqunE4-da8uaepe>uuamuuF ddleouueBBrEnquBledpBteuBwum leetsuu?E1uOaqeeeuu1u 'n-aJSpBBDEuuez ueqeu1u-ulqgneu3?1Ee?pePBeeoIun -

su1uoE ,ueuuup

YEUNNHUUSY a


12/313

i- 'i .,U1-.1,1,iKarena beban hidup bisa ada atau tidak ada di situ dan karena ia bisa membuatsembarang pola pada struktur yang bersangkutan, muncullah pertanyaan, kedudukanbeban-hidup. manakah yang paling kritis pengaruhnya pada siruktui tersebut. Tentusaja, masalah seperti ini tak akan muncul pada beban mati karena ia selalu berada di situ.Kunci jawabannya adalah dengan meninjiu dulu beban hidup yang melibatkan hanya se-buah beban terpusat tunggal sebesar I satuan berat, misalnya 1,0 kN. Lalu pengaruh daribeban satuan terpusat yang bergerak di sepanjang struktur yang diselidiki. sebagaicontoh, pengaruhnya terhadap gaya lintang di suatu titik terpilih pada balok atau penla-ruhnya terhadap salah sebuah reaksi pada balok bisa diselidiki. ika besar pengaruh inidiplot tepat di posisi beban-satuan terpusat bergerak tersebut, hasilnya adalah suatugaris pengaruh. Jadi, garis pengaruh merupakan peragaan grafis yang menunjukkanpengaruh dari beban'satuan terpusat bergerak pada suatu fungsi terpilih. Akan diiunjuk-kan bahwa garis pengaruh merupakan alat yang sangat diperlukan untuk menentukanposisi kritis suatu sistem beban-hidup yang lebih rumit, yang menimbulkan pengaruh

maksimum pada suatu struktur.13.2 Caris Penglruh untuk Balok Statis 'ferlrrrtuGaris pengaruh untuk reaksi, gaya-lintang, dan momen lentur pada balok statis tertentuselalu terdiri dari bagian-bagian yang lurus, karena fungsi tersebut merupakan akibat daribeban-satuan terpusat bergerak yang terletak pada jarak x dari suatu titik acuan, selalumcrupakan fungsi linier dari x. Tinjaulah balok-gantungABC pada.Gb. 13..2.1. Andai-kan bahwa persoalannya adalah menurunkan ekspresi untuk Ro, Rp, dan Mp sebagaifungsi dari x, posisi beban terpusat w yangbergerak. Sejauh rr*yu ..nyungkut Ro,

R{ '= -r-fYP Lrntrik o -- r :: L * rr ( 13.1. I )

(a)W

tRr= +

W(b)

.:EttGambar 13.2.1 Reaksi, gaya-lintang, dan momen lentursebagai fungsi dari posisi beban.

Ru= +

R.= R,= ry


13/313

eT?e -?'eee reo

?eauequg aBee?gp

ia?qe6 L0ee7e?eee

:ln duZqur4ZEegAV laIoSeeuss -SpepZEr$nS -?qnuo1uuGZZ ue-oZNVA

'Z?uuu 'ovnunuZu.

quepusn{SesBunEouu -Sqeuad-euwn -ZuZg'Zg eEspuesloequus 'quB72

i>nqq==)cJ

(--H" eOeeeuSnuuq{{7E -B

{qfeu{o+rG]-

(=0U=

(at(z

(a(zaL

Bld :o/o

>vu


14/313

Y{iIIII

4 ,l ii i '\\ iit,04Bcl-ffi r..-ll-" I,r.J ,1, I(e) Beban-satuan dila) Balok yang ditinjau

-0,25 I I(D) Garis pengaruh untuk R4 0$25 0,i75(f) Beban-satuan di D+0,625t,0_ r=_. , i--o 17i -0.250 ,-.E(c) Garis pengaruh untuk lzp lo II'o

Xl (s) Beban-satuan dia r.o/ ----\.--orio + t(d) Garispengaruh untuk ifp 0,25 (ft) Beban-satuan di C

', i:rn lxir t -l " l. 1 Garis pengaruh untuk balok pada Contoh I 3.2, l.fungsi terpilih. Sebagaimana ditunjukkan oleh Gambar 13.2.3a, karena r, 2,dan y3 adalah nilai-nilai dari fungsi akibat beban-satuan di tempat r, z,dany3diukur, maka akibat W t, Wz , dan Wx di tempat-tempat tersebut.

lril.r:, luitl.,t ,, ), I i r I -, .l .i ,Di. lain pihak, iika terdapat beban terbagi-rata dengan panjang tertentu pada baloksebagaimana ditunjukkan pada Gambar 13.2.3b,

(o) (D)(irr',:i,t; 1.1.2.,1 Penggunaangari$pengaruh untuk menghitung nilai fungsi.

1,25

q per panjang-satuan

,,*l


15/313

'zzlom1uFs60v

6G 0

El|e o@N0

fs0 roo vo

rv rNL# N0=3

'SwsoaQNCE

N3.r1

NGCu(eNS=3

'glnuN6Cu

N=3'Zu

NmCGN=3

'1{seq -eeewsots@1

'nlooe 'uuee?;eS-VeuuBcu

'ZetZE 1?aolaunN'eeqenIBU"unqeedurumsepBUo1rsnn>nspu79zge

npoB


16/313

6 ./ \N.1 LISIS slR liK'I u R l, \\JLir',\N(c) Diskusi Apabila terdapat rangkaian beban terpusat bergerak yang pan-jang, pelbagai posisi pembebanan mesti dicoba. Di dalam Pasal 13.3, metodeuntuk mendapatkan posisi pembebanan yang paling kritis akan dibahas lebih lan-jut untuk balok-sederhana.

Contc,h I 3.2.3 Untuk balok-menggantung pada Gambar I 3.2.5, tentukanlah RA po-sitif dan negatif maksimum akibat beban terbagi-rata sebesar 6kN/m yang bisabekerja pada sembarang bagian atau bagian-bagian dari balok.PtrNl'llLES,AIr\N (a) Rn positif maksimum. Untuk posisi 1,

Po : q kali Ar = 6(+4) = +24 kNRe (dari benda-bebas) = itoltsl : + 24 kN

(b) Rn negatif mdksimum. Untnk posisi 2,R, = q kali A: = 6(-0,25)= -l,5kN

Rr (dari benda-bebas) : -ry = - 1,5 kNContoh l-1.2.4 Untukbalok-menggantungpadaGambar l3.2.6,tentukanla}l,Vppo-sitif dan negatif maksimum akibat tiga beban terpusat sebagaimana diperlihatkan,yang bisa bergerak bolak-balik di atas balok tersebut.

+ 8m Az. I--(a) Balok yang ditinjau (c) Posisi pembebanan No. I

+ 1,00ru

Tatntli

*0,25(D) Garis pengaruh R4

Ganrhar 13.2.5 Reaksi maksimum pada balok Contoh(d) Posisi pembebanan Not3.2.3.

oo o_.. No. I(a) Balok yang ditinjau

+0.625No. 2

-0,375(D) Garis pengaruh untuk Z,20 kN 25 kN 30 kNc__-o____-olz. I 3m Il.-fF- il(c) Badan roda

6 kN/m

6 kN/m

Gambar 13.2.6 Gaya-lintang positif dan negatif maksimum pada balok Contoh I 3.2.4.


17/313

'n{??{Bu -Be$?eJ ogunugZSuuBuZu

'SZueuZ q1

Zos0 919oV

so tNN'o

uNN 8

f-=NS0-0y

'gvwoOQN6#=

N6VB=A'1>wusoto@V

'nloe?P -qSeEseeeJs -qquLLSuuuZ

'nsequnIClp ?se7

sOWe-Sps1S

No (0=7I

'gN0CE

N0o03'Euuol1

NCZO(eX003

'ZIUNzfIN00=3

'1wsolu'

rp{E


18/313

8 7--,,,

(a) Balok yang ditinjau

AN.\ LISIS SI'R(I KI'TIR30

I- ANJ U'TAN

(D) Garis pengaruh untuk r'lfp20kN 25 kN 30kN No. 3

No.4(c) Beban roda (d) Posisi pembebanan

{..inllrr i3.2.8 Momenlenturpositif dannegatif maksimumpadabalokContoh 13.2..6.Pl.\)' 'Ltr-\.i1,1r' (a) Mp positif maksimum. Sulitlah untuk melihat apakah ke-tiga beban terpusat tersebut mesti mengangkang titik-puncak (+1,875) pada garispengaruh. Dari teori yang akan diuraikan di dalam Pasal 13.4, salah satu daribe-ban-beban terpusat tersebut harus terletak persis diD. Dalam kenyataannya, teoritersebut akan juga mengungkapkan beban yang mana dari beban-beban terpusattersebut mesti dikerjakan di D untuk menghasilkan Mp maksimum. Cobalah po-sisi l. 'l \.'1', i '.',r '' l:., i:.-i'.

. " i : Untuk balok-menggantung pada Gambar 13.2.9,tentukanlahMp po-sitif dan negatif maksimum akibat beban terbagi+ata sebesar 6kN/m yang bisa be-kerja pada sembarang bagian atau bagian-bagian dari balok tersebut.(a) M o positif maksirnum. lJrrtuk posisi l,

Mo = e kali Ar = 6(+7,5) = +45 kN.mMp (dari benda bebas) = Re(3) - lE(1,5) = 24{3) -27 = +45 kN.m


19/313

dB3u tue7zeu-BqlelooBg :7zuqo-ag9u'JsBEB Bu{uJ?u'ue?oua4ee e

Jsu tuB?aE -ppup2s

yunuagg rpBEI,su ueeeD

ren '?loen -Ds{u

u8peauy 'nIUnu t?eo-nSe -

Jqqqa lueuqe4e-Ee1BJsn -

uqIseEuqsu dsua

n1rN?-= rNS0=zE=

'Zuq('Zosuu1

uNIo

ZoV f

o

s

noB

rN:NH


20/313

10

(a) Balok-sederhana, L-a,L

(D) Garis pengaruh untuk /c

....4i.\l.illlS \ RI-\l llR i hNJl,i'j'A\La;p

l.-1.*l

fuazr-c er(d) Posisi beban untuk Vs negattf

A ooo@rDr\ (-.ls,rls23l ^i--.] .--]o@

@ Ba-c l] (e) Posisibeban untuk lz'gpositif(c) Posisi beban untuk Iz6 positif

Ganrbar 13.3.1 Gaya lintang maksimum pada balok-sederhana akibat bahan terpust bergerak.persoalan, apakah Wr di C atau llz di C akanmenghasilkan Vc yan1lebih besar, adalah:

Tanrbahan = Osy-2lL Kurangan = I1l1Jika tanibahan (kr-rrangan. ternpatkan W1 dl C 113.i la)Jika tlmbahan) kurangan. lentpatkan ll/2 d'i Cdan bandingkan dengan ll3 danC' (i-l.3.lbl

Di dalam kasus umum, beban roda yaflg pertarna mungkin lebih ringan sehingga penem-,patan W2 di C akan lebih bersifat kritis, tetapi kebutuhan untuk memindahkan Wt ke Cjarang timbul.

Untuk mendap4tkan reaksi maksimum di,4, Persamaan (13.3.14 dan D) jugadapat digunakan, kecuali bahwa G di dalam persamaan itu tidak akan mengandungl,l1 karena W1 telah keluar dari bentangan dan tak ada tambahan momen darinyaterhadap titik -B dalam perhitungan reaksi di,4.

Contoh 13.3.1 Untuk balok-sederhana pada Gambar 13.3.2a, tentukanlahreaksi maksimum di:4 akibat lintasan bolak-6atk dari lima beban roda yang diikutioleh beban teibagi-rata yang takterhingga panjangnya sebagaimana diperlihat-kan pada Gamb'ar 13.3.k.PENYI.LESAIaN (a)Posrsi. Bandingkan W1 diA denlan W2 diA,

G(W t di A, tidak termasuk I/1 ) = 160 + l6(18 - 8) = 320G(W2 di A, tidak termasuk I'tz1 ) = 160 + 16(18 - 6) : 352Tambahan = Gsy2f L = (di antara 320 dan 352)(2)118= (di antara 35,6 dan 39,1)Kurangan = llr =20.Tambahan ) kurangan; 142 akan mengakibatkan R4ryang lebih besar ketimbangl,l) 1 di A.


21/313

O (S1u8u=u 8-0=

g=PM ,pM)Jrw1@NV 'pE

Ea -eoeo?u eogEPuu

N,Ge.NO

o=swe'VWZus.-eWu>

}= (8u=e 9=b+O{VD

Z041Y 'yVpEp'gu1

{

TN9ONONOl1u

BiV

'NNU

o

I


22/313

\\.1 tit \i.i

(D) Garis pengaruh untuk I/s

20 kN 40 kN 40 kN 40 kN 40 kN 16 kN/m

(d) Beban bergerakt-ianrbar 1 3.3.3 Gaya lintang positif dan negatif maksimum pada balok Contoh 13.3.2.

Tambahan ) kurangan: ttt2 di c, akan menghasilkan zs yang lebih besar ketim-bangWl diC,Bandingkan W2 di C dengan W., di C,

C (W, di C) = lEO + 16(14 - 6) = 308G (W3di C)= lEo+ t6{14-4,5)=332Tambahan - Gsz.tlL = (di antara 308 dan 332)(l,S)llg= (di antara 25,7 daln 27,7)

Kurangan = Wz= 40Tambahan ( kurangan; w2 di c akan menghasikat vs yang lebih besar ketim-baag ril3 di C dengan W2 di C,vc (metode garis-pengaruh) = m(-*)(i). ,*(jil(l#). ,.(i)(i{)(*)o,

(a) Balok-sederhana

.t4*IE

4-IE

.4'18

(c) Garispengaruh untuk lrt

2,0m ll,5 mll,5 mll,5 mlt,5 m

= + 130165 kN


23/313

-e+UC@1*Tp lPfo '4'A

zt rvc ,@

qBJu gWJee1p

lnn1ne -snuumruuBU sB

Iemau l?ueuuWd-{?q -

Wgeu -neuep-FloB? IBEzuuq

BemuU{'N90 uNue1

uuue3u@N=#=eJ

N(JXJr*,HH 0=

(SIuIP8@0u=zP

oI0 'pp,CpiS,psoc1Nom+s+me1

8i


24/313

14 ..\\,-\t_lsts tltll(tljR [ANjUi,\NDapatlah ditunjukkan bahwa, asalkan garis pengaruh yang bersangkutan merupakan satubagian yang lurus, nilai fungsiDlly untuk beban-beban terpusat bisa diperoleh juga dariperkalian antara resultan beban pada bagian yang lurus tersebut dengan ordinat-penga-ruh di bawah resultan tersebut. Mengacu kepada Gambar 13.4.1b, ambillah momen-mo-men dari keempat gaya ll terhadap titik O dan samakan jumlahnya dengan momen dariGr, G0t: Wrat* Wflz* Wpll_ WaaaKalikan setiap suku di dalam persamaan di atas dengan tan o1.

GrAr tan 01: W1o1 tan a1*Wgy tan o1 lWflt tan a1 lWaaa tan a1daripadanya

GrIr : Wr)r * W:):+ Wryj+ WayaKembalikan ke kondisi dasar dari Persamaan (13.a. l);jika srstem beban yang ber-sangkutan bergerak dari kanan ke kiri sejauh dx yang kecil, Gr menuruni garis pengaruh

dan Gz mendaki garis pengaruh. Tambahan bersihnya adalah/11tr 1 '{, , :i 1,

tr.r-:I

lt ;il -f i ).; rlli

Dari pengamatan terhadap Persamaan (13.4.3), dapatlah dinyatakan bahwa, agarmomen lentur maksimum terjadi di C, posisipembebanannya haruslah sedemikian rupahingga beban G1 di dalam AC sama dengan Gaf L.Kesamaan ini jarang terjadi secara te-pat; namun, jika sebuah beban ditempatkan pesis di Q, sebagian nilainya dapat dianggapsebagai beban yang terlbtak dalam AC, sehingga memungkinkan terpenuhinya syarat

Maka, secara praktis dapatlah dikatakan bahwa untuk menentukan posisi bebanyang menyebabkan momen lentur di C bernilai maksimum, lakukanlah langkah-langkahberikut :l. Tempatkan sebuah beban di C, tentukan beban total G pada bentangan yang bersang-kutan, dan hitungGalL.2. Ada dua nilai-mungkin dari beban G1 di dalam AC: nilai yang lebih kecit yang tidakmencakup beban di C dan nilai yang lebih besar yang mencakup beban di C.3. Jika nilai Gr yang lebih kecil, nilai GafL, dan nilai Gr yang lebih besar berurut, be-ban di C yang tepat telah diperoleh untuk menghasilkan momen lentur maksimum di

C.Di dalam kasus yang rumit - seperti apabila secara serentak terdapat beban dir4,

If$2i.iI

I j ,'


25/313

rN(--(e 'Jp

:mS -fqguuToe,-upou

'pV -4eosueEuu qunuDEouu

'ule?ossA{o, 'J1o{eupBuunuoepBqu -seu-uBsmq -$BU

eu2'BpSNn{upE unBeBepuEeu1D'q-udeqq-1 -uH-qu

1.:n[ Euy91eeB

-C91V1V


26/313

ANALISIS SI' RLI KTUR I,ANJU'IAN6

(D) Garis pengaruh untuk .ilfg

(c) Garis pengaruh untuk MC,20kN ,l0kN 40kN40kN40kN 16kN/m

(d) Beban bergerakGambar 13.4.2 Momen lentur maksimum pada balok Contoh 13.4.1.

(a) Balok-sederhana

2,0m ll,5 mll,5 mll,5 mll,5 m

Mc (metode saris-pengaruh)= rro(?X#).*(fl(?). r(fl(T).' ro(i)(f)(ff),'sr

= 579,33 kN.m(b) Momen lentur maksimum di C

Dengan W, dic'.Mc (metode benda-bebas) - totz's)'/z + tqLo,zs) + zo(to,s)(14) - 120(3) - 20(6,5)

= 490 kN.m


27/313

{p9

(I

(

(lHlp''uuB

quuuqSu -epe?eernsBIC 'ew4ueuonpeulBu uBmaa

lpU -wnFIsnu qeueB

eEnu1ueJusu -

euB1uupeuu -

1uoolnuunruBueEu{d -

1FEeIBnseuE

'uNt6e96uqBJs -uPuN0leuup6Ie nsBuus

uGXX

-- )

?o{me(

'1eo(rtu-."

Lg

L3NnU


28/313

18Jarak G dari ujung kanan adalah

Bandingkan Persamaan (13.5.2) dengan Persamaan (13.5.3), dapatlah dikatakan bahwafu dan G mesti ditempatkan masing-masing pada jarak yang sama dari ujung kiri dankanan balok, agar momen lentur di I/3 bernilai maksimum.I ' ,: , : Tentukanlah momen lentur maksimum di tengah-tengah bentang-an balok-sederhana pada Gambar 13.5.2a dan kemudian momen lentur maksimummutlak akibat lintasan bolak-balik lima beban roda yang diikuti oleh beban ter-bagi-rata yang takterhingga panjangnya sebagaimana ditunjukkan pada Gambar13.5.2d.

' , (a) Momen lentur maksimum di tengah-tengah bentangan.r

Ii- llr' :i'1 I l;r,:i

(a) Balok-sederhana+4,5

(D) Garis pengaruh untuk ily'g

(c) Momen lentur maksimum mutlak di 520 kN 40 kN ztt) kN 40 kN,l() kN 16 kN/m

(d) Beban bergerakMomen lentur maksimum mutlak pada balok Contoh 13.5 .'1 .

2m ll,5 mil,5mll,5 mlt,5m


29/313

'qee'N-u

'uu\iuu reeeeeupueuFnuuWhe'

l

'uuuu'pSE

ueeouPBn Iupuseuuuu

'drBeusuu-eoenuo 'u

uuNT6e -eNglo uee&ecSEr5guS

uNz6o=Pu88

06-8r(1vy

8 (9-Gz-z9 (dL?Mo

'suruuqcSuqn 'NeuuuA

'N=u'q

seuupuNu

'qseuuup6Y1JYYd


30/313

20

(a) Balok-sederhana

(c) Momen lentur maksimum mutlak di @20 kN 40 kN 40 kNo____@__o

G(d) Beban bergerak

(b) Momen lenturW3,yaknix, adalah:

danjarak c adalahc =E-5,6=2,4m

Gunakan Persamaan ( I 3. 5.2), L- c lt-2.4t=i =7'EmDari diagram benda-bebas pada Gambar 13.5.3c,

:::,:: .. Momen lentur maksimummutlak pada balok Contoh 13.5.2makEimum mutlak. Dari Gambar 13.5.3d, jarak G dari

_ 40(E) + 20fl2)i=-=r6m- 100

M di w = R^(7,8) - 20(nl = fftz,t) - 80 = 25t kN.m(c) Diskusi. Di dalam kasus ini, momen lentur maksimum mutlaknya adalah258kN.m, sedangkan momen lentur maksimum di tengah-tengah bentangannyaadalah 250kN.m.

Pada tahun 1886 dan 1887 Muller.Breslau tampil dengan cara yang brilyan untuk me-lukiskan dan mendapatkan garis pengaruh dari struktur statis tertentu dan taktentu.tPasal ini dibatasi kepada pembahasan balok statis tertentu.

tS. P. Timoshenko, Hisfory of Strength of Materials, McGraw-Hill Book Company, NewYork, 1953; hal.310.

(D) Garis pengaruh untuk Ms


31/313


32/313

22 ANALISIS STRUKTUR LANJUTANTeorema ini dapat dibuktikan dengan menunjukkan bahwa nilai-nilai Y pada Gam-bar 13.6.lb hingga d masing-masing sama dengan ,Ra, vc danMs pada Gambar 13.6.20. Sehubungan dengan reaksi, sebutlah seluruh sistem gaya pada Gambar 13.6.?a me'ngalami gerakan balok sebagai benda-kaku pada Gambar 13.6.1b. Kerja-semu totalnya

haruslah nol karena resultan sistem gaya tersebut bernilai nol'W = Re(* 1,0) - 1,0(Y) + Rr(O) = 0

daripadanya

Sehubungan dengan 26,, sebutlah kedua sistem gaya yan1 bekerja pada bagian kiri dankanan dari Gambar 13.6.2b mengalami gerakan benda'kaku AC dan CB pada Gambar13.6.Ic, makaw : RA(o)+ vc(cc,)- "(#) + RB(o)- 1,0(Y)+ vc(cc:) - "(#)

: o

(a ) Balok-sederhana

Y:Re

Y=Mc

( 13.6.1)

( 13.6.3)

tR. v(frr(

(b) Dua bagian dari balok-sederhana

FaedahteolemapengaruhMiiller.Breslauterletakpadakenyataanbahwagaris-garis pengaruh sebagaimani diperoleh dengan metode "titik tebal" yang diuraikan didalam Pasal 13.2, dapat ditinjau kembali secara visual dengan menerapkan teorema ini'

Contoh 13.6.1 Buatlah sketsa garis pengaruh untuk Re' Ra' Rs' dan Ms dailbalok statis tertentu pada Gambar 13.6.3a, dengan menerapkan teorema pengaruhMiiller-Bres1au.PENYELESAIAN Hasil-hasilnya ditunjukkan pada Gambar 13.6.3b hingga e. Didalam setiap kasus, kekangan yang disebabkan oleh fungSi yang bersangkutan dihapuskan, perpindahan-satuan yang berkaitan langsung dengannya diintrodusir da-

1,0 kN

l\+- Gambar 13.6.2 Diagram benda bebas (free body) untuk ke-ffn dua bagian balok-sederhana yang memikul beban-satuan.

daripadanYay = Vt. (13.6.2)

Sehubungan dengan M6" sebutlah pula kedua sistem gaya pada Gambar 13.6.2b menga-lami gerakan benda-kaku AC dan CB pada Gambar 13'6'ld, makaw : RA(o)- v(cc') + Mc(0r) + RB(0)- 1,0(Y)+ V(CC',) + M(0,) : 0daripadanYa


33/313

uqBu3uB{BU 'ZLeupenu'Eu{ -B

wuB{gp lnu{P-neIeo 'nuunEICseu -{u

{{naneueEealn 'muee

4 -edeuEnuEuE49

'el?ee-oou ?u?I?pp9Eeeeee-eu

'9gu Ieneeo9

C1

ED5

8

c{

s{u

YIu

mpI

xuH


34/313

24 ANALISIS STRUKTUR LANJ TJTANRangka-batang utamaalok-pengikat

L2 L1 L4 Ls(a) Rangka-batang yang ditinjau

canlal-rel ,f,RelrTBalok-pengikatPotongan transversal

Gambar I 3. 7, I Tataruang tipikal j embatan jalan-kereta-api.yang bekeda secara langsung pada titik-titik hubungnya dapat secara mudah dihitungdan diplot sebagai titik-titik tebal pada gambar itu. Persoalan yang masih ada ialah me-nentukan gaya di dalam batang ini akibat sepasang beban-satuan yang bekerja padabalok-balok pengikat sejauh x di sebelah kanan La. Melalui proses pemindahan, baloklantai di Ia memikul sepasang gayayang sama, masing-masing sebesar (1,0) (p - x)lp;dan yang diI5, masing-masing sebesar (1,0) (x/p). Pada gilirannya, beban-beban diZa

u32r

,rj

q ,-)1----=_.-__--____= /(D) Garis pengaruh untuk gaya di dalam batang {12L3

Gambar 13.7.2 Garis pengaruh di antara titik-titik hubung yang bersebelahan pada rangka-batang


35/313

ueI3eeeoEeE -BSmu4lnuuF'neo

-E1uU -uoueeu-{ue3p{ rue-8Eoeu r?a>n

e2Eo uuSuzepeneoep 'u{u-e?I?una 3u1uole

'3qCI8zBeB{

douEe8 -De1ueu

ueBuoIqousou?8{u 'Eu

I rBEo{D'sspe

{usee(

'qLe 'xO@-Ou

(-r

eSe

- HI n(

npt

9Hu


36/313

26 ANALISIS STRUKTUR LANJUTANhubung Uz dibagt dengan panjang U2L2. Asakan titik-titik hubung pada talibusur-atasterletak vertikal di atas titik-titik hubung pada talibusur-bawah, bentuk garis pengaruh,untuk momen lentur atau untuk gaya di dalam talibusur-bawah, tetap berbentuk segitigasederhana, dan metode untuk menentukan posisi pembebanan kritis dari beban-bergerakyang bersangkutan sama seperti untuk momen lentur maksimum di titik-titik terpilihpada balok-sederhana.Namun, apabila titik-titik hubung pada talibuzur yang takterbebani tidak terletakvertikal di atas yang pada talibusur terbebani, bentuk umum garis pengaruhnya adalahsebagaimana ditunjukkan padaGambar 13.9.1. Kasus yang biasa adalah bahwa titik-hu-bung yang takterbebani terletak di tengah-tengah di antara dua titik-hubung terbebaniyang bersebelahan. Inilah kasus yang akan dibahas di sini.Garis pengaruh y-g diperlihatkan pada Gambar 13.9. I adalah untuk memonlentur di titik-hubung pada talibusur yang takterbebani, dengan titik-hubung di sebelahkirinya pada talibusur terbebani terletak sejauh z buatr bentangan dari tumpuan-kiri didalam rangka-batang bertentangan z buatr. Hal yang menarik di sini adalah, dapatlatr di-buktikan bahwa perpanjangan AB dm DC berpotongan di titik E yang terletak persis dibawah titik-hubung U3. Penurunan kriterium untuk posisi pembebanan kritis yangmengakibatkan momen lentur maksimum di U3 akan dilakukan sekarang.Tinjaulah posisi dasar dari rangkaian beban terpusat pada Gambar 13.9.1, dengan;Gr terletak di sebelah kiri dari titik-hubung pada talibusur terbebani yang di sebelahkirinya, G2 terletak di dalam bentangan yang berhadapan dengan titik-hubung pada tali-busur takterbebani, dan G3 terletak di sebelah kanan dari titik-hubung pada tali-buzur

u3

IG2IGl IG3

Panjang bentangan =p

C.ambar 13.9.1 Garis pengaruh untuk momen lentur di titik-hubung pada tali takterbebani


37/313

rNz (9ssdqa\ uNZZ

I ,OO-SO-=E=N '9uNZZZtlpN rN

-8z-In rN-=7pw'7tUZ6Eeeu

n2u rszuueSOmuuu?? ru

,LZ+f3=D?000Z+U

tV=Dtuoe600+ {r

W8z+g=Ce00I+ 9=9t

u?+"oclp u 6 q

(as

'zrsuDNVAN'p6l uBueo

Iqpeuouo69 rzsu6u'Buu

q8uplu ?eeEPWeeepge -s69P4psIu

(+DA+-# 'uue9=9nvc,

[-oo1__)N 'ENOg'qf1el upnuepLuNHu


38/313

i{

28 ANALISIS STRUKTUR LANJUTANu5

(c) Garis pengaruh untuk momen lentur di Ua20 kN ,() kN 40 kN.m kN 40 kN 16 kN/m

(d) Beban bergerakGambr 13.9.2 Momen lentur maksimum di U2 pada rangka-batang Contoh 13.91.

Di dalam soal ini, dengan W4 di Lr beban terbagi-rata telah memasuki ben-tangan LrLz; oleh sebab itu, tak ada lagi beban terpusat yang dapat ditempatkandi Z2 untuk memenuhi kriterium dari Persamaan (13.9.1).(b') Momen lentur maksimum di Ua. Dengan mengacu kepada posisi pembe-banan pada Gambar 13.9.2c,

Gr:180+16(x-16) G::16(8):128 G:180+16xGantikan nilai-nilai di atas ke dalam Persamaan (13.9.1) dan samakan dengan nol,

? - ro,+ iG, = ( t+aXfD - [r80 + 16(r - 16) + i(r28)] : 0daripadanya, x:28,'75 mUntuk posisi ini, R c = 326',3125kN, danM di L 4= R(8) - l6(8)'?/2 : 2098,5 kN.mM di L3- Re(t6) - t6(1q'n: 3173,0 kN.mM di ll4= l2Osa,S + 3173,0): 2635,75 kN.mM di U4 (secara langsung) = Re(12) - t6(8X8) - j(l6X8X4) = 25,35,7t **.rn

5 @ 8 m=40m(a) Rangka-batang yang ditinjau

(D) Garis pengaruh untuk momen lentur di U2

x= 28.75 m


39/313

(oe

'0pLmlosDOu '1xEuqI'nFOgu LE2

{ee '9o?oeeeueae7vs'u 'nnOE?upTlea0n -Be?s

4wpleteBu{m

,- reEJee

-oE4 'pnuE

BBpnE 3eqB?'eo'ea4ue-uue{u -uB

'uooBulaueu EoB

4opsu1npuqnee?u Eo

IDop0rB4quu?puue 'aupBu?uIo1 qdu

?{ -{ol?ouuulup'04pEESu -S0u1p-mqa{utn?lnuuuB 'p8Eo

{ uuuue10EenEEeEEeoIs4p

'wNZL?sueu -ueeuNSuN 7TVesueu

-pBeeee$Q'uN9s(

GzzzDelp6Hvu


40/313

30 ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN

L, L4 L58 m=48 m

Rangka batang yang ditinjau

-|a= -r,1785(D) Garis pengaruh untuk gaya di dalam batang Z6 U1

(c) Garis pengaruh untuk gaya di dalam batang U1L1

(d) Garis pengaruh untuk gaya di dalam batang U1L2

L

(e) Garis pengaruh untuk gaya di dalam batang U2L3Gamba 13.10.1 Garis pengaruh untuk gaya di dalam anggotajaringan dari rangka-batang.

contoh l3.l0.l rentukan gaya-tarik maksimum dan gaya-tekan maksirrum di da-lam batang u2L3 dari rangka-batang jembatan pada Gambar 13.10.2a akibatlintasan bolak-balik lima beban roda yang diikuti oleh beban terl-ragi-rata yang tak-terhingga panjangnya sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 13.lO.2d.

rltr*ti,i

-ftffil'". a= -o,s76i


41/313

:unp -euee:euuou -uoe?eoeSaEuSz -wowVAN

'I0oue8lqe

4@

uNN0

Ewlnu

nplrt

t ,

uuuu0Z

tu"

""

TNu


42/313

32 ANALISIS STRUKTUR LANJUTANberpotongan di titik di bawah pusat momen yang digunakan di dalam metode po-tongan. Posisi pembebanan kritis pada alas segitiga pada bagian kanan dari garispengaruh diperoleh dari tabel berikut.

Bebandi L3 ?ldatam L2L += "ffi:o,lreoc 11 dalam L2L T kriteriumWt 0 0,1190(436):51,9 20 TidakWz z0 0, il90(468) : 55,7 60 YaWt 60 0,r 190(492): 58,5 100 Tidak

Dengan W2 di L3,*o:16,r8f 12+ t$Q - 2,25)+2oQO :8i,13

Beban titik-hubuns di ,, = - :J:1:3IL-- = 58mHitung momen dari gaya-gaya pada penampang kiri terhadap titik-titik potongar:l,ara UzUx dan LzUs,

137t33(40)- 5(56) - U:L; cos 0(64) :0UzLr : 102,40 kN (tarkan)

u2lr(metode garis pengaruh)- 20(0'l 198) + 160(0'2832) + l6('(0'234375X18): 102,40 kN t,rriLtltl "(b) Gaya-tekan maksimum di dalam LtU+. Garis pengaruh untuk gaya didalam batang LtUq yang diperlihatkan pada Gambar 13.10.2c dapat diperolehdengan pemikiran yang sebaliknya dari Gambar 13.10.2b. Posisi pembebanankritis pada alas segitiga pada bagian kanan dari garis pengaruh ini diperoleh daritabel berikut.

Bebandi La ) 1 dalam L3L. +: "H#=o,zzszc ll dalam L3L, Terpenuhikakriterium?Wt 20 0,2292(340) : 77 ,9 60 TidakWr 60 0,2292(364) = 8t,4 100 YaWt 100 0,2292(388) = 88,9 140 Tidak

Dengan W3 di La,R0 - l6(11,5)'?/2+ 160(16- 0,75) + 20(16+ 3,5) - "l48

Beban titik-hubung di 1r:19C-4-141J) = 16,25Hitung momen dari gaya-gaya pada penampang kiri terhadap titik-titik potongantara U3Ua dan L3La,

8 l(88) - 16,25(64) + Li Ur cos o (64) : 0LrUr = - I 19,58 kN (negatif berarti tekanan)

erpenuhikahlztitotirrm ?


43/313

'Ic^e0d1-

r1ewBInEBernuetEuBnddE-Ue1peB&?ne,ggqBe '

Ieu\e771 upgonIu{qppqerBIqweEqrpugqg4z eeeesheuwenu s31c-ESooe1I uEe

1'uI -puo

tonunwou-up17qod Dp

:nqu-E{swoenu -

oeun'nuEuEm$qeSqqBI1Eeep r

IBSEens-peueenuJEeenpBU 'nue

es?uBsssnEEu-E:dpeqerBoeBnuoesoeBA-o{uesNu-un1uB9EC

nuBesn'ee

?131 -N6B neBuunuQ

N6 D

8

@r0 (eJ>Hu


44/313

1\N/t/L L L34 ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN

us

(a) Pemendekan lrZ, sebesar 1,0 satuan

Gamba l3.f 1.l Teorema pengaruh Miiller-Breslau untuk rangka-batang statis tertentu.Contoh l3.ll.l Untuk rangka-batang statis tertentu pada Gambar 13.11.2a, per-tama-tama didapatkan garis pengaruh untuk gaya di dalam batang U2L3 melaluidefinisinya sendiri, dan kemudian tentukan lendutan vertikal semua titik-hubungpada talibusur-bawah akibat penyusutan sebesar 1,0 satuan pada panjang-batangUzLt.PENYELESAIAN Garis pengaruh untuk gaya di dalam batang UrL3 yatgdisele-saikan melalui definisinya sendiri, ditunjukkan pada Gambar 13.11.2b. Lendutanvertikal semua titik-hubung pada talibusur-bawah, akibat pemanjangan sebesar-1,0 satuan pada batang U2L3 saja, diselesaikan melalui merouj geometrik de-ngan menggunakan LoUl sebagai anggota acuan dan menerapkan persamaan per-pindahan titik-hubung, Persamaan (3.6.2). Hasil-hasilnya, sebagaimana ditunjuk-kan pada Gambar 13.ll.2c, sama dengan ordinat-ordinat pengaruh pada Gambart3.tt .2b.

u432l

(D) Bentuk talibusur-bawah,01+ 0r= 1111

(c) Beban-satuan di titk-hubung Za


45/313

EweP1dE.ueopee .

Wue{e-uoqSE?eJp-{?uBB '

lsapew -SuYOS-,u{u1Ee-oe{un{

nues{eZ'n

-WBp1ZEee0?

00000 00 -9+0800 z000800 800

8080 Zo

,O \+

90q0 soo+0

L00 000

Lo8o 00

s00oo sG

L08o08G Lm'0euIIunu

'nu

z t

Lo

9O

9HU


46/313

36 ANALISIS STRUKTUR LANJUTANterdapat dua balok-penopang utama longitudinal, masing-masing pada setiap sisi jem-batan, yang menumpu balok-balok lantai yang ditempatkan pada jarak yang sama disepanjang bentangan utama. Balok-balok lantai tranwersal pada gilirannya akan me-nurnpu balok-balok longitudinal, yang sering disebut balok-pengikat, yang pada giliran-nya akan menumpu geladak jembatan. Pada jenis yang pertama, garis-garis pengaruhuntuk kasus statis taktentu akan berupa kurva kontinu di seluruh panjang balok (dise-but balok karena lak ada pembanding lain), sebagaimana ditunjukkan oleh kurva penuhpada Gambar 13.12.1b. Pada jenis yang belakangan ini, bagian-bagian pendek di antaratitik-titik hubung tempat balok-balok lantai bertumpu mestilah lurus, sebagaimana di-tunjukkan oleh garis terputus-putus pada Gambar l3.lZ.lb jadi garis pengaruh yangbersangkutan tidak memiliki "rentangan-rentangan panjang" garis-garis lurus, tapi me-reka terdiri dari bagian-bagian yang lurus dan pendek dalam bentuk "kurya-kurya uta-ma" di seluruh panjang balok-penopang (disebut balok-penopang karena ada balok-balok lantai yang masuk ke dalamnya).

Pembedaan antara garis pengaruh balok dan garis pengaruh balok-penopang telahdilakukan, persoalan berikutnya ialah menguraikan cara menentukan ordinat-ordinatpengaruh di titik-titik terpilih pada bentangan. Tentu saja, untuk balok-kontinu dua-bentangan pada Gambar 13.12.1, ordinat-ordinat pengaruh di titik L, 2,4,5, dan 6 da-pat diperoleh masing-masing melalui penganalisisan balok untuk lima kondisi pembeban-an, yang masing-masing mengandung beban-satuan tunggal di titik l, 2, 4, 5 dan 6. Peng-analisisan ini dapat dilakukan dengan salah satu metode yang biasa, seperti metode per-samaan tiga-momen, ubahan sudut, distribusi-momen, atau metode matriksperpindah-an. Hanya di dalam metode yang terakhir kelima kondisi pembebanan tersebut dapatditangani sekaligus dengan menggunakan matriks empat persegi,panjang [P]. Metodelangsung ini boleh kita sebut metode deftn*i-gais-pengaruh.,^12345614ffi

(a) Balok atau balok-penopang yang ditinjau

--- jika beban-satuan bekerja langsung pada balok--- jika beban-satuan bekerja pada balok-penopang hanya di titik-titik hubung(b ) Garis pengaruh untuk momen lentur di IGambar 13.l2.l Garis pengaruh untuk balok atau balok-penopang statis taktentu.

Contoh 13.12.1 Untuk balok-kontinu dua-bentangan pada Gambar 13.12.2a,hi-tunglah ordinat-ordinat pengaruh pada setiap selang 2 m dan buatlah sketsa garis-garis pengaruh untuk R n, Ra, R c, M4, M s, dan M 5. Andaikan bahwa beban ber-gerak yang bersangkutan bisa bekerja langsung pada balok.PENYELESAIAN Balok yang ditinjau dianalisis untuk lima kondisi pembebanan,masilg-masing mengandung beban-satuan di titik 1,2,4,5, dan 6, dengan metodematriks-perpindahan. Penganalisisannya sendiri tidak ditunjukkan: hanya hasil-hasitnya digelarkan pada Tabel 13.12.1. Apabila beban tersebut dikerjakan di,4,B, atat C, ia membebani langsung tumpuan, menghasilkan nilai +1,0 untuk reaksidi bawah beban tersebut tapi tidak menghasilkan sesuatu lainnya di dalam balokitu sendiri. Garisgaris pengaruh yang bersangkutan pada Gambar l3.l2.lb hing-ga g.


47/313

t'BT uaeIopIDZ JB4ur

-?4uaunJeu4n

nuuIBmstI

00+O100o 00o00000 00ot000

96'L l100 i690

i0 .9S0

.rNvt.Y

r?ICuloeIIe

IZu19E

8r

a\

nIIl J Y1&)

C1

sIu

uu1+

a

Iu

uQ

t slsLxHu


48/313

38 ANALISIS STRUKTUR LANJUTANtitik-titik B dan C di antara paku-paku, dan kemudian mengangkat kelem tersebut se-tinggi 1 satuan. Karena baloknya sendiri bersifat statis taktentu hanya berderajat dua,sekali lagi ketiga garis pengaruh untuk Ro, Rs, danRg, sebagaimana ditunjukkan padaGarnbar 13.12.2.b hingga di diperoleh dari pengukuran di laboratorium, kecocokan satusama lain di antara mereka dapat ditinjau-ulang.Sejauh hanya menyangkut garis pengaruh untuk momen lentur di A, B, dan titik5, sebagaimana ditunjr,kkan pada Gambar 13.12.2e hingga g, metode Muller-Breslaubersifat sama. Sebuah sendi dipasang di titik yang bersangkutan, kemudian sepasangMdan M (dan sepasang V dan I/ untuk titik 5) dikerjakan hingga 01+02 sama dengan I ,0satuan. Maka teorema pengaruh Miiller-Breslau untuk balok statis taktentu dapat di-nyatakan persis seperti yang untuk balok statis tertentu. Namun, untuk pembuktiannya,tidaklah lagi mungkin kita terapkan prinsip kerja-semu terhadap satu atau dua benda-kaku terbatas. Kondisi keseimbangan dari Gambar 13.12.20 harus dibagi-bagi menjadibenda-benda bebas yang panjangnya kecil sekali yang banyaknya takterhingga. Kerja-semulah, yang dilakukan oleh semua gaya tersamarata yang bekerja pada benda-bebasini, yang mengalami perpindahan-perpindahan yang bersangkutan dalam keadaan selarasdari, katakanlah, Gambar 13.12.2c, yang disamakan dengan nol. Jadi,

+ (Rs) (perpindahan + 1,0) - (beban 1,0) (Y) = 0Y padaGambar 13.12.2c =R6 pada Gambar 13.12.2a (r 3. I 3.1)

Kerja-semu yang dilakukan oleh semua gaya tersamarata adalair nol, karena hal ini selaluterjadi secara berpasangan pada permukaan-permukaan yang bersebelahan dari duabenda-bebas (free body) yang berurutan.

Bukti untuk Persamaan (l 3 .l 3 .l ) dapat juga dilakukan melalui penerapan teoremakerja-semu timbal-balik sebagaimana telah dibuktikan di dalam ksal 4.3, dengan me-nyebut Gambar 13.12.2a sebagai sistem P dan Gambar 13.12.2c sebagai sistem Q, yangkeduanya diterapkan pada balok tanpa tumpuan di B, meskipun lendutan di B padabalok di dalam Gambar 13.12.2a tetap bernilai nol. Maka,

P*AQ:Q*Ap-(1,0)(y) + R6(1,0):0

Perhatikan bahwa kerja-semu yang dilakukan oleh gaya-gaya di dalam sistem Q yangmengalami perpindahan-perpindahan di dalam sistem P adalah nol. Bukti yang samaberlaku di antara sistem P dari Gambar 13.12.2^a dan sistem Q dari Gambar 13.12.k,yang keduanya diterapkan pada balok dengan sebuah sendi yang dipasang di titik 5,meskipun garis singgung di titik 5 pada Gambar 13.12.2.q tetap kontinu.Ordinat-ordinat pada setiap dari keenam kurva elastis pada Gambar 13.12.? dapatdiperoleh baik dengan metode gaya ataupun metode perpindahan. Jika metode gaya di-gunakan untuk menentukan kurva elastis pada Gambar 13.12.2f . kita akan perlu menen-tukan M, pada Gambar 13.13.14 yang menyebabkan ketakkontinuan garis singgung diB sebesar 1,0 rad. Jika metode perpindahan digunakan, persoalannya adalah mendapat-kan kurva elastis terakhir mulai dengan salah satu dari dua kondisi terjepit pada Gambar13.13.1r. Jika metode gaya digunakan untuk menentukan kurva elastis dari Gambar13.12.25, M5 dan Vs pada Gambar 13.13.2a'mesti diselesaikan dari kondisi bahwa ter-dapat ketakkontinuan kemiringan sebesar 1,0 rad tapi kekontinuan lendutan di titik5. Jika metode matriksperpindahan digunakan, matriks P harus ditentukan dari salahsatu dari dua kondisi terjepit pada Gambar 13.13.2b.

atau


49/313

IEIoua

'u-leuau -EIe

'R {eeztd

+=

=" '

p0ueeqA

t

vNBa

o_'

s

\tww'uauoo

-lee


50/313

r{{{I

40 ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN13.14 Garis Pengaruh untuk Rangka-Batang Statis Taktentu versus TeoremaPengaruhMriller-BreslauTeorema pengaruh Miiller-Breslau untuk rangka-batang statis taktentu, sejauh hanyamenyangkut gaya di dalam batang, dapat dinyatakan persis seperti yang untuk rangka-batang statis tertentu. Keuntungan menggunakan teorema ini untuk memperoleh garispengaruh gaya di dalam suatu batang sembarang, ketimbang metode definisigaris-pe-ngaruh, tidaklah seberapa, terutama apabila rangka-batang yang bersangkutan masihmemiliki reaksi-reaksi kelebihan atau batang-batang kelebihan meskipun batang yanggaris pengaruhnya akan ditentukan telah dipotong.Di dalam kasus rangka-batang yang bersifat statis taktentu hanya secara eksternal,akanlah memudahkan kalau garis-garis pengaruh, hanya untuk reaksi-reaksi kelebihan,ditentukan melalui teorema Miiller-Breslau. Kemudian, setiap garis pengaruh lainnyadapat diperoleh melalui penerapan statika terhadap setiap dari kondisikondisi pem-bebanan.

Contoh l3.f 4.l Uraikanlah suatu prosedur untuk memperoleh garis pengaruh B3dari rangka-rangka statis taktentu pada Gambar 13.l4.la.PENYELESAIAN Kerjakan gaya-satuan ke atas di titik-hubung'3 dari rangka-batang statis tertentu tumpuan-antara. Lendutanlendutan vertikal semua titik-hubung pada talibusur-bawah ditunjukkan pada Gambar 13.l4.lb, dengan: 6;7adalah lenclutan di titik-hubung ke+ akibat beban-satuan di titik-hubung ke7 padarangka-batang sederhana. Kemudian dapatkan garis pengaruh untuk R3 pada Gam'bar 13. 14.1c dengan membagi semua ordinat pada Gambar 13.l4.lb dengan 6 33.

Rtz(a) Rangka-batang kontinu dua-bentangan

(D) l*ndutan vertikal akibat beban-satuan di titik3 dari rangka-batang sederhana

(c) Garis pengaruh untuk R3 pada rangka-batang dua-bentanganGambar 13.14.1 Garis pengaruh untuk reaksi pada rangka-batang kontinu dua-bentangan

I1,0 kN


51/313

09Be

6gsJS9

's-e{ue= uBqp8{BucY uu8SSeu

,sNN

tgsEN

zzgw

) IpIs

(ea- ee{u4eeeNoe= roueem-uu+m -?S96ese1

uXN&

I

T


52/313

l7


24m Gambar 13.15.7 Latihan 13.7

l0mt- Gambar 13.f5.8 Latihan 13.8

13.9 danl3.10 Untuk balok-sederhana pada Latihan 13.5 dan 13.6, tentukan momenientur maksimum di pusat bentangan dan juga momen lentur maksimum mutlak akibatlintasan beban bergerak yang sama seperti yang digunakan di dalam Latihan 13.5 dan13.6.13. I I dan 13. l2 Tentukan momen lentur maksimum mutlak pada balok-sederhana yangmasing-masing panjangnya 12 m (Lati[an 13.11) dan 18 m (Latihan 13.12), akibat lin-tasan empat beban terpusat yang sama, masing-masing sebesar 40kN. Jarak antara duabeban yang bersebelahan adalah 3 m.13.13 s/d 13.16 Tentukan garis-garis pengaruh untuk balok statis tertentu di dalam La-tihan 13.1 hingga 13.4 dengan teorema pengaruh Mijller-Breslau.13.17 dan 13.18 Tentukan momen lentur maksimum di U1 d,an U5 (Latihan 13.17)serta di Ug (Latihan 13.. l8) untuk rangka-batang di dalam Contoh 13.9.1 (Gambar 13.9.2) akibat pembebanan yang sama di dalam contoh itu. Tentukan momen lentur ini baikdengan metode garispengaruh maupun metode benda-bebas (free body method).13.19 dan 13.20 Tentukan gaya-tarik maksimum dan gaya-tekan maksimum yang bisabekerja di dalam batang LsUl (Latihan 13.19) dan batang UtLz (Latlhan 13.20) untukrangka-batang di dalam Contoh l3.l0.l (Gambar 13.10.1 dan 13.10.2) akibat pembe-banan yang sama di dalam contoh itu. Tentukan gaya batang yang bersangkutan didalam setiap kasus baik dengan metode garis-pengaruh maupun metode benda-bebas.13.21 dan 13.22 Tentukan garis-garis pengaruh untuk gaya di dalam batang UrL2 (l-a-tihan 13.21) dan di dalam batang UzLz (Latihan 13.22) dari rangka-batang di dalamContoh 13.11.1 (Gambar l3.l1.2), pertama-tama melalui definisi mereka sendiri dankemudian dengan teorema p engaruh Mii ller-Breslau.13.23 sld 13.28 Tentukan setiap dari keenam garis pengaruh pada Gambar 13.12.2(atau pada tabel pengaruh dari Tabel 13.12.1) melalui teorema pengaruh Miiller-Bres-lau, dengan menggunakan metode gaya.13.29 sld 13.34 Tentukan setiap dari keenam garis pengaruh pada Gambar 13.12.2 (atatpada Tabel 13.12.1) melalui teorema pengaruh Miiller-Breslau, dengan menggunakanmetode perpindahan.


53/313

'EBmp1e -EuB-{?n0pm -eu?nu-sulueuuensueereB1{e3uuBsoBeEnuoqsEuuaSus{1uInuooeuu -qooBsulEeBuImunupu -eloEPleu{?pUn8 '1n1u{ uWB0puuaru6q -uu{uarnueqnp'uups1nu

4tpsBI9

YVU YNSTIAVNYCSYS s


54/313


Gambu l4.l.l .Kerangkagedung yang memilikitiga-bentangan, dua-tingkat.

Sehubungan dengan kasus umum pengandaian semua titik-hubung pada kerangkabertingkat-banyak sebagai titik-hubung yang kaku-sempurna, analisis yang bersangkutandapat dilakukan dengan metode ubahan-sudut distribusimomen, atau metode perpin-dahan matriks. Karena kemudahan komputer elektronik, metode perpindahan matrikslebih disukai, meskipun metode distribusi-momen dapat juga diprogram pada komputer.Namun, selama bertahun.tahun, metode-metode tersebut di atas, disebut analisis elastisdengan metode eksak, barryak memakan waktu dalam penggunaannya, kecuali untuktinjauan terakhir struktur setelah beberapa percobaan dalam proses pendesainan atauuntuk kasus-kasus yang takbiasa. Meskipun demikian, telah ada metode-metode pende-katan yang dikembangkan dan berhasil digunakan, terutama untuk penganalisisanbebanJateral. Inilah tujuan dari bab ini, menguraikan metode-metode pendekatan iniagar mereka bisa terus bermanfaat dalam pendesainan awal; mereka juga bisa membantupenganalisis dan pendesain untuk secara lebih lengkap mengerti dan memahami lembar-an-lembaran keluaran yang sangat banyak dari penganalisisan elastis pada komputer.14.2 krajat Ketaktentuan versus Jumlah PengandaianDerajat ketaktentuan merupakan salah satu karakteristik yang dimiliki oleh suatu struk-tur; ia tidak tergantung kepada pengandaian (yang mana pun) yang digunakan dalampenganalisisan, seperti pengandaian panjang anggota yang tak bisa bertambah. Darisudut-pandang metode perpindahan, derajat ketaktentuan A? dari suatu kerangka kakusama dengan NF-NP, di mana Nf' sama dengan dua kali jumlah anggota dan ly'P adalahjumlah rotasi dan goyangan-ke-samping yang takdiketahui dari titik-hubung. Dasaruntuk pernyataan ini telah digelarkan di dalam Persamaan ( I I .3. 1).

Ringkasnya, untuk kerangka kaku seperti diperlihatkan pada Gambar 14. I . 1 , yangtakdiketahui bebasnya adalah momen-momen di ujung-ujung semua balok dan kolom,karena gaya-gaya aksial di dalamnya dapat diperoleh dengan persamaan-persamaan kese-imbangan resolusi di titik-titik hubungnya. Dari ke-16 persamaan keseimbangan resolusiyang tersedia di kedelapan titik-hubungnya, 2 buah telah dipakai sebagai kondisigoyangan-ke-samping di dalam penyelesaian dengan metode perpindahan, tinggal 14buah persamaan untuk ke-l4 gaya aksial yang takdiketahui. Dengan demikian, jumlahyang takdiketahui bebasnya sama seperti jumlah momen-ujungnya, atau 28. Jumlah per-pindahan titik-hubung tersamarata yang takdiketahui adalah 10, 8 buah dari antara-nya berupa rotasi dan 2 buah lainnya berupa goyangan-ke-samping. Derajat ketaktentu-an 1// adalah NF-NP = 28 - l0 = 18. Sesungguhnya, rumus umum untuk 1/1 bisa di-turunkan untuk kerangka bertingkat-banyak sebagai fungsi dari jumlah bentangan danjumlah tingkatnya.Dari sudut-pandang metode gaya, derajat ketaktentuan adalah jumlah gaya ke-iebihan tersamarata yang bekerja bersama-sama dengan beban pada struktur statistertentu dasar, yang diturunkan dari struktur statis taktentu yang ditinjau, dengan me-motong atau membebaskan di tempat-tempat kelebihan. Untuk kerangka kaku dariGambar 14.1.1, diulangi pada Gambar 14.2.1a, satu pilihan yang mungkin untuk struk-\


55/313

ransu? -lsqpuB1g

eueasD ru:?u

,,PuBtu7 Iu- l

IlL-) s'ue szdCN

'ueeeuewU0zv:Be

48EIue -uSu'8ueueB

1uaunneDZ rupuEuuooue1??slqsneus?4y ue8EBnueeoeB?pSa8'8WBB1ueuuu Bpunue-amepeooBooqzn r

lBuusu?eu1'een

nqec9'wqa9I 3us

L

9

nsq==E -

.VCSVAVVNSNY


56/313

46 ANALISIS STRUKTUR LANJUTANI:

*nr, h"t'0,t46L t46L

(a) Kerangka yang ditinjau (b) Diagam momen optimum

(c) Tempat titik-belok yang diandaikan (d) Tumpukan kolomGdmbar 14.3. I Pengandaian untuk analisis beban-vertikal.diselesaikan melulu dengan statika. Sejauh hanya menyangkut pembebanan terbagiratavertikal pada semua balok, diagram momen-lentur untuk setiap balok harus berbentukseperti pada Gambar l4.3.lb; hanya momen di ujung-ujungnya berupa yang takdiketa-hui. Untuk bentangan-dalam tipikal, kedua momen ujungnya mestilah hantpir sama,dan, jika balok yang bersangkutan terbuat dari baja denganpenampang tegak yang tetap,distribusi-momen yang ekonomis di sepanjang bentangan akan menghasilkan momenpositif dan negatif yang sama, sebesar **L'. Di dalam kasus ini, titik-beloknya terletakpada jarak O)46L dari kolom. Untuk bentanganJuar, titik-belok di dekat kolom-luarbisa terletak pada jarak yang sedikit lebih kecil dari 0,146L darinya, dan yang di dekatkolom-dalam bisa terletak pada jarak yang sedikit lebih besar dariO,l46L darinya. Jikapenganalisis, dengan menggunakan intuisi atau pengalaman yang lampau, hendak menen-tukan tempat dua titik-belok secara sembarang pada setiap bentangan balok, derajat ke-taktentuan struktur yang bersangkutan dikurangi dengan 2 kalijumlah balok.Akibat pembebanan vertikal, reaksi-reaksi horisontal di dasar-dasar kolom biasa-nya bernilai kecil sehingga gaya-gaya aksial di dalam balokjuga bernilai kecil. Jika peng-andaian lebih lanjut dilakukan, bahwa gaya aksial di setiap balok adalah nol, maka de-rajat ketaktentuan struktur akan tereduksi lebih lanjut hingga noI, karena jumlah totalpengandaiannya kini adalah 3 kali jumlah balok.

Pengandaian-pengandaian terdahulu telah dibuat, bagian-bagian balok di antaratitik-titik belok dapat didesain sebagai balok-sederhana tanpa momen-momen ujung, dantumpukan-tumpukan kolom dapat didesain sebagai struktur kantilever sebagaimana di-tunjukkan pada Gambar 14.3.ld. Di dalam cara ini, suatu desain pendahuluan diperolehsehingga momen-momen inersia nisbi dari semua balok dan kolom akan tersedia sebagaimasukan dalam penganalisisan yang lebih ketat. Dalam kenyataannya, letak-letak titik-belok, juga besar gaya-gaya aksial, sebagaimana ditentukan dari analisis yang lebih ketattersebut, dapat dibandingkan dengan yang digunakan di dalam analisis pendekatan.Informasi seperti ini dapat dikumpulkan dan disimpan pada arsip di biro pendesainan,untuk penggunaan di kemudian hari.

I

0,146L=0tl46L,k- l-lrQJq6L\ < o, t+et

+0,500v2


57/313

IEEwB?IuIo

C\Ie tdB *

__ L Jseeuo1uNU'ueaopeBBsBuE{u'?uu-eousUedauonuu ioeuquoI -EonSe

FIO :nqEneuu>m -

e0wmo rey{'1alo>u

iuuuE Eueso .ode

loe neeenIFeuu-puB'E{sol1eun

:omeDwunv ulnJusnIBes -e

IBs{u,LYDSVVYAX


58/313

T48 ANALISIS STRU KTUR LANJUTANdari pengandaian-pengandaian ini adalah bahwa titik-titik belok terletak di titik-tengahdari semua kolom dan balok. Keempat pengandaian lainnya, dua buah untuk setiap ting-kat, menyangkut nilai nisbi gaya-gaya-lintang di dalam balok. Ada tiga balok di setiaptingkat, nilai-nilai nisbi di antaranya Eaya-gaya lintang di dalam mereka dapat berlakuhanya untuk dua pengandaian bebas.

Secara umum, sebutlah -A/B sebagai jumlah bentangan dan 1/S sebagai jumlah ting-kat, jumlah balok adalah 1/B * 1/S, jumlah kolom adalah (,r/B + l) * r'/S, dan jumlahtitik-belok terciri (PO adalahJumlahPl = (1/B *1/S) + (I/B + l) x i/S (r4.4.1)

Nilai nisbi gaya-gaya lintang balok di setiap tingkat memberikan (NB - l) buah peng'andaian bebas per tingkat; maka jumlah pengandaian tambahan adalahJumlah pengandaian untuk gaya-lintang nisbi balok = (1/B - l) * NS (14.4.2)

Junrlah Persamaan (14.4.1\ dan (14.4.2),Jumlah total pengandaian = 3 x (1/B *1/S) (14.4.3)

yang sama seperti derajat ketaktentuan NI yang diekspresikan oleh Persamaan$a.2.1).Telah ada dua metode pendekatan yang terkenal untuk analisis bebanJateral padakerangka bertingkat-banyak: metode portal dan metode kantilever. Metode portal di-

kemukakan oleh Albert Smith di dalam makalah "Wind Stresses in the Frames of Offi-ce Building" di dalam Journal of the Western Society of Engineers (April l9l5). Me-tode kantilever dikemukakan oleh A.C. Wilson di dalam makalahnya "Wind Bracingwith Knee Braces or Gusset Plates," Engineering Record (September 5, 1908). Peng-andaian penempatan titik-titik belok di titik-tengah semua balok dan kolom dilakukandi dalam kedua metode ini; perbedaannya adalah di dalam cara pemberian nilainilainisbi kepada gaya-gaya lintang di dalam balok. Di dalam dua pasal berikut, setiap meto-de akan diuraikan dengan penjelasan tentang mengapa masing-masing dinamakan demikian.14.5 Metode PortalDi dalam metode portal, semua gaya lintang di dalam balok dari tingkat yang sama dian-daikan bernilai sama.

Kerangka berbentangan-tiga dan bertingkat-dua yang telah digunakan sebelumnyauntuk ilustrasi ditunjukkan lagi pada Gambar 14.5.la. Di sini garis-garis kolom ditandaidengan A B, C, dan D, dan garis-garis balok dengan 1 dan 2. Diagram benda-bebasdiagram kerangka dari puncak kolom ke tengah-tengah tinggi kolom pada tingkat keduadan kesatu masing-masing ditunjukkan pada Gambar 14.5.lb dan c. Dari pengandaiandasar bawah gaya-lintang tetap di sepanjang setiap garis-balok, kesimpulan lebih lanjutdapat ditarik:l. Terdapat gaya aksial tarik dan tekan yang sama besarnya pada kolom'luar yang me-

nyongsong angin dan kolom-luar yang tidak menyongsong angin, tapi tak ada gayaaksial di dalam kolom-kolom dalam.2. Momen-momen ujung-balok, yang adalah perkalian antata gaya-lintang vertikaldengan setengah bentangan balok yang bersangkutan, sebanding dengan bentanganbalok, seperti Lr lL2lh.3. Momen-momen ujung-kolom sebanding dengan Lt, Lr + L2, L2 + L'r,d,anLa,ataudengan L r/2, (Lr + L)12, (L2 + L3/2, dan La, yang tak lain adalah perbandingan


59/313

.3oaezIsB

nDSuooloe Ip(-n-v

6

oI

oI

,t 'a

'eleooe )Fe1zefo t

7O,u l_7

:OJyo @Yl717 r

'u-Iaeo{ea -p

luZgE -EE-naunqe?uoB ?epoe

JEee-ZZ+DZL+Zl lu6pBZgVunpuSnne

'woaluppB>ZbZ+ZZ EEuEug

'uoeIu'vsN

qc

nd-qN 6


60/313


61/313

'Bu qsq1ue -n?e

Z -euogrDsnpCpSu -{snnwn

'aB,SZ

0nS?-9

'oeS(

goI

@g=t *

gt

9vt *lr

IqI{S

-O'

N il63

r97

I\XCNSVVYO


62/313

52 ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN3,84 3,E4 5,76 5.76 4,80 4,E0^ ^,A

--)I_\_ J\_ ^,^tr- \*/\- -)03,84 6f,60U,,.24

(l)r,* il"55,44

I5,44(io''o1,,

25,20

Is20l*.,=,, l-,, l*l*,,, l*-*,

L 24^ ^16 36^ ,+30 30-----\/- /\- +/\- +5C20,t6

I011650,40

I0,40 18.667(a) Dari momen balok ke momen kolom (D)Dari rnomen kolom ke gaya-lintang kolomGambr 14.5.5 Metode portal: Gaya-lintang dan momen di dalam kolom.(d) Gaya-lintang uiung-kolom: Gaya-gaya lintang lawan di ujung-ujungbawah kedelapan kolom dihitung dengan membagi momen-momen ujung-kolomdengan setengah tinggi tingkat yang bersangkutan. Nilai-nilai ini digelarkan padaGambar 14.5.5b. Perhatikan pengecekannya bahwa

dan?,133 + 5,3t3 + 5,667 + 2,667 -- Wt = 16,000

7,46'7 + 18,66'7 r-20,533 +9,313 = W: .l Wr = 56,00014.6 Metode KantileverDi dalam metode kantilever, Eaya-gaya aksial di dalam kolom diandaikan sebanding de-ngan jarak mereka masing-masing dari titik-berat luas-luas kolom, menarik pada satu sisidan menekan pada sisi lainnya, dengan menganggap semua luas kolom sama.

Kerangka yang sama, berbentangan-tiga dan bertingkat-dua,yang digunakan dalampenyajian metode portal, diperlihatkan pada Gambar 14.6.1a. Pengandaian untuk va-riasi linier gaya-gaya aksial di dalam kolom berarti bahwa nilai-nilai nisbi gaya-gayaaksial di dalam kolom sama untuk semua tingkat, seperti ditunjukkan pada Gambar14.6.1b dan c. Pada gilirannya, nilai-nilai nisbi gaya-gaya lintang di dalam bentangan-balok yang sama untuk semua tingkat, juga ditunjukkan pada Gambar 14.6.lb dal:. c.Nilai-nilai gaya lintang ini adalah yang terbesar secara numerik di bentangan atau ben-tangan-bentangan tengah balok, berbeda dengan gaya-lintang yang tetap untuk semuabentangan di dalam metode portal. Karenanya, momen-momen ujung-balok, dan jugamomen-momen ujung-kolom di dekat tengah-tengah lebar bangunan, relatif lebih besardari yang di dalam metode portal.

Penerapan metode kantilever di dalam soal numerik dapat dilakukan di dalamlangkah-langkah berikut :l. Tentukan letak titik-berat kolom-kolom dengan mengandaikan bahwa semua kolommemiliki luas yang sama.2. Selesaikan untuk memperoleh gaya-gaya aksial di dalam kolom-kolom dari setiaptingkat dengan menerapkan persamaan momen terhadap benda-bebas dari puncak ke-

rangka ke titik-titik belok kolom pada tingkat itu.


63/313

.ueeBInE8o {eBO

((tg1u

Iouo,I

,II

t

'at

,UI t

ee d IOE'o

(,

iot '

zt

71 'q3yo

r

@-Y t

#8VSVvo


64/313

ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN3. Gambarkan diagram gaya-lintang untuk balok pada setiap tingkat dan dari merekahitunglah momen-momen ujung-balok searah jarum jam dari tingkat itu.4. Selesaikan untuk memperoleh momen-momen ujung-kolom lawan arah jarum jam

dengan menggunakan kondisi bahwa jumlah momen ujung-kolom lawan arah jarumjam harus sama dengan jumlah momen ujung-balok searah jarum jam di setiap titik-hubung.5. Selesaikan untuk memperoleh gayalintang lawan horisontal di ujung-ujung bawahsemua kolom pada setiap tingkat dan cek nilai totalnya terhadap beban lateral diatas permukaan itu.

Prosedur lain akan membalik urutan langkah 2 hngga 5 di atas, yang didalam kasus ini kita masih perlu menempuh langkah 2 tnngga 5, dengan pertama-tama menggunakan hanya nilai-nilai nisbinya untuk mencapai angka-angka pem-banding distribusi yang dapat digunakan untuk membagi beban lateral total men-jadi gaya-gaya lintang lawan di dalam kolom-kolom.Balok kantilever adalah balok yang terjepit di salah satu ujungnya dan bebasdi ujung lainnya; pula, distribusi tegangan di dalam balok bersifat linier, berubahdari tarikan menjadi tekanan di titik-berat Penampang tegaknya. Sebagaimana di-tunjukkan pada Gambar 14.6.2a, kerangka gedung tinggi yang memikul beban la-teral dapat dianggap sebagai kantilever vertikal; dan, dengan meninjau keseimbang-an benda-bebas pada Gambar 14.6.2b, gaya aksial di setiap,kolom, karena kemirip-annya dengan balok kantilever padat, boleh diandaikan sebanding dengan jaraknyadari titik-berat semua luas kolom. Nana metode kantilever berasal dari konsep ini.

Contoh 14.6.1 Untuk kerangka bertingkat-banyak pada Gambar 14.6.3o, ten-tukan, dengan metode kantilever, semua momen-ujung-kolom dan ujung-ba-lok akibat beban-beban lateral sebagaimana ditunjukkan.PENYELESAIAN (a) Titik-berat kolom. Mengacu kepada Gambar 14.6.3b, jarakf, vaknijarak-titik-berat kolom dari garis-kolom D adalah

x _ 1,0(6,0) + 1,0(11,2) + 1,0(18,0) = 9,3 m4,0(b) Gaya aksial di dalam kolom dari setiap tingkat. Gayaaaya aksial berupatarikan di dalam kolom-kolom yang menyongsong angin dan berupa tekanan didalam kolom-kolom yang tidak menyongsong angin, masing-masing sama dengan

(o)Cambar 14.6.2 Konsep kantilever.

54

( titik-berat kolom-kolom


65/313

N6N0N%0N

'eeo=

Q6,,e,8) 'uolec9 suooleesp

'oqeee :u9Nr=

It(

N r=t=AN6 I8=I

N=o q6Et1*

N9q=Bet *

{--

e-Q_--qS

---IP

IPq'tu

3N

Io

InuS

+N0


66/313

56 ANALISIS STRUKTUR LANJUTANGunakan benda-bebas pada Gambar 14.6.3d, dan hitung momen terhadap titik-berat kolom-kolom,

16(6,3) + 40(2,7) = k'(8,72 + 3,92 + 331+ 9,32)u,=trIH#@= r,roeoMaka,

Rer:8,7kr = 9,648kN Rsr: 3,9kr :4,325 kNRcr : 3,3kr = 3,660 kN Roz = 9r3kr : 10,3-14 kN

(c) Gaya-lintang ddn rnomen di dalam balok. G'tnakan gaya-gaya lintang didalam kolom yang diperoleh pada bagian (D) dan ditunjukkan pada Gambar14.6.3c dar- d, gaya-gaya lintang dan kemudian momen-momen dihitung dan di-tunjukkan Pada Gambar 14.6-4.(d)Momenuiungkolom.Momen-momenujungkolomlawanarah-jarumjam yang ditunjukkan pada Gambar 14.6.5a diperoleh dari kondisi bahwa jumlahmomen ujung-kolom lawan arah jarum jam harus sama dengan jumlah momenujung-balok searah jarum-jam untuk titik-hubung yang sama'

- 1,331 -1,927 - t t+LL

,,r_ u'Pl* o,3L--3,19 6,94 4,27(a) Garis-balok 2

Gambar 14.6.4 Metode kantilever:

43,36(D) Garis-balokl

Gaya-lintang dan momen di dalam balok.

3.19 3.19 6.94 6,94 4,21 4,27;+ '^ /-i -\/+ 1\_


67/313

'4^uup

-N3N

?[E?p1upaEeeB unuupe

'DLV -u8olouquBUB rnseuo

9S?eeesE r?oaB-peweauuep unIuIS

'eeIruESS{m{eusSo uB

lequ ESou

euoeuuee08BE lpnm

rEa{uEq -uaEBu{uunsspe?nEerBCunaoESSu?neS?sspe08eC p

EsOt+

=9816Z9e?euu1=99+S+LLB -euqe9V -eo

S9nnp EewLCSVCVVYAA


68/313

58 ANALISIS STRU KTUR LANJUTANdistribusi momen dan gaya-lintang akan berlangsung secara silih-berganti, dan proses ter-sebut berlangsung terus hingga semua perubahan nilai-nilai momen di dalam dua siklusyang berurutan berada di dalam toleransi yang dikehendaki. Secara urnum, proses ter-sebut mesti berhenti pada akhir distribusi momen.

Contoh 14.7.1. Analisislah kerangka bertingkat-banyak pada Gambar l4.j.la de=ngan metode distribusi-momen dan gaya-lintang secara si_lih berganti.PENYELESAIAN Bagianttas tabel distribusi. Tabel distribusi lengkap digelarkanpada Tabel 14.'7.1 . Titik-titik hubung pada Gambar 14.7 .la telah ditandai dari Ahingga.L, baris I hingga 4 di dalam tabel ini disusun seperti di dalam tabel distri-busi momen.(b) Dist/ibuEi gaya-lintang pertatna, baris 5. Jika kedelapan titik-hubung di.kunci terhadap rotasi tetapi balok dibiarkan bergoyang ke kanan, sebagaimana di-tunjukkan pada Gambar 14.7.lb, nilai-nilai nisbi momen ujung-kolom mesti samaseperti yang sebesar 6(EI\*NH2, atau hanya (I'l)- untuk Ldan H yang tetap.Jumlah keempat pasang momen ujung-kolom pada tingkat kedua mestilah W2H2= 16(3,6) = 5'7,60 kN.m, yang jika dibagi 8 menghasilkanT,2O. Jumlah keempatpasang momen ujung-kolom pada tingkat kesatu mestilah (W1 + la/z) (Hr) =(16 + 40) (5,4) = 302,4,yangjika dibagi 8 menghasilkan 37,80. Nilai-nilaiinidi-mazukkan ke dalam baris 5. Perhatikan bahwa jika nilai-nilai kekakuan kelentur-an (EI)1o1 tidak sama, gaya-lintang total pada tingkat tersebut harus dibagikan diantara kolom-kolomnya dalam perbandingan nrlai-nilai EI meteka.(c) Distibusi momen pertama, baris 6 dan 7. Titik-titik hubungnya dibiar-kan beiotasi; mereka diseimbangkan dan pemindahan dilakukan.(d) Distribusi gaya-lintang kedua, baris 8. Karya gaya-lintang diseimbangkanuntuk tingkat kedua pada baris 5, momen ujung-kolom takdikehendaki yang di-tambah adalah (+2,88 + 7,10) + (14,21+ 1,44)+ (2,06 + 5,40)+(10,80 + 1,03)+(2,25 + 5,82) + (l 1,64 + 1,12) + (3,27 + 7,85) + ( I 5,70 + 1,64) = +94,21, yansjika dibaei 8 dan dibalik tandanya menghasilkan -11,78. Untuk tingkat kesatu,momen-momen ujung-kolom yang takdikehendaki pada baris 6 dan 7 adatah(9,4'7 + 0) + (0 + 4,7 4) + (7,2O + 0) + (0 + 3,60) + (7,76 + 0) + (0 + 3,88) + (1 0,46+ 0) + (0 + 5,23) = +52,34, yang jika dibagi 8 dan dibalik tandanya melghasilkan-6,54. Nilainilai -11,78 dan -6,54 ditempatkan pada ujung-ujung kolom yangbersangkutan pada baris 8.(e) Distribusi rnomen dan gaya-lintang secara silih-berganti, bais t hingga 11,12 hingga 14, 15 hingga 17, dan 18 hingga 20. Proses yang dilakukan pada baris 6hingga 8 diulangi di dalam keempat distribusi momen dan gaya{intang secara silih-berganti ini.

Qfi Berhenti pada distibusi momen, baris 21. Momen-momen pengimbangpada baris ini dianggap berada di dalam.toleransi sebesar 0,02 atau 0,01.(g) Momen-momen uiung terakhir, baris 22. Nilai-nilai pada baris ini adalahjumlah-jumlah yang dari baris 5 hingga 2l .(h) Momen uiung-terjepit akibat goyangan-ke-samping, baris 2-1. Nilainilaipada baris ini adalah jumlah-jumlah yang pada baris 5, 8, I l, 14, 17, dan 20.(i) Pengecekan pada distribusi momen, baris 24 hingga 27. Prosedur penge-cekan yang biasa untuk distribusi momen diterapkan untuk memperoleh rotasi-rotasi titik-hubung.

Q) Hasil dari keluaran komputer, baris 28. Nilai-nilai ini diambil dari keluar-an komputer dengan menggunakan program komputer yang disesuaikan untukanalisa kerangka-gedung yang tinggi dengan teknik jajaran, yang di dalamnya, in-vers terbesarnya tidak lebih dari jumlah titik-hubung pada setiap tingkat ditambah1.t Penyelesaian lengkapnya digelarkan pada Gambar 14.7.2.tC.-K. Wang, Matix Methods of Structural Analysis, ed ke-Z., American Publishing Compa-ny, Madison, Wis., 1970, Bab 19 dan Apendiks P.,


69/313

.tco5{A

E

IGlgoEE

oGc

GE

&

-D r,o'E6

sh-3E

r=

e>ra3

a>fEB

.>F=

9rr

t{F,GEo

E

FTca&

sB+J+rr.o

l+_+

o"'t+6ooE-a+o

oE+:

cLL

-a

'+--t

I\@

Ip- el -

c$.o&+-+

6$*LaE

I

\l+o

r:x

l+oa

+t

_I

a{

a

'iEal9a+p

-t

aL{'p\L 8'lC

-c-\oC

'9.SXt?'-,Je'G9

8.9,S

*-On

aB

.'+

6Ura, 1'EE.ga 6+

k+9

.,

_c

l 3+tg

(.J6.+l?

?+,r'a},b.

+D6-

..

+I .t

+b*

i+'li

'P

:.iI

'Lx6{

ira:E

'E.

.B

,x

.Ot,.Pd.8,.:.9

.I

.-xg

:i:

:r

.*''.

,.

.t_ort*:JO ?.aS9'#e.I "-.E-T:

'NSWVNS 6


70/313

ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN-

60

&IL x{ Ert:ii;,';.. O6- .:*.:*,,,r9:-e,.&::e...*l:,1 L. :'*-,ri 6 *:6.f, 6-d,{.'-:.1.rr.. rl l q,&,,96:.6":6. cJ 6.do'd'*,.i. II,r.J: :a:.qii.t:i., 6g*e6rr-nq.{c^fl *6 q-ql

:Eai

,tar :..&.:.Ots, ,*:i.6-o'o.1., +'.i

{s8rgs'--+f o' d.:.*r*. ..:.::j*i.:r::: it i.,:t:i: +ri+.:r' 'tr,ir. r-rrl.l 'ild,:lrt.' ,.ii* -r,::l ,- &,r:.:';.$;:,::+.i, r::,,:.i*i:,:: 4+:'':{:i. e- q -^--: +.....1:il+:.+. a'+

:.&ill,;',.;tti 6d6

e^':1 t9=,eo@i 1'-:.1.:. i..: .-:t.:sr6r6?6'6*-ifdig''i.l + ri_ +:.+ F:

s .,8;.,ai,ir:a:r:1r3. -i+. i.l . +.60r6: .i.6'i+tl.'

a,a.',4 l:,8 8.,8.I:.friii,:d: . .t: q+:r.::.ilq

.r +.i Ik d +. '++ +t i*+l + i +$

II

L F 1+-oo qT

1 I + l++t-I

fJ e a:.++ ++ l+ 3A o-' I + r9--+ l++ I*lL r + j+t O+S- EI+

cq

E. t- *i* I ;x8+l+ l aar'I t e-.1 " 6-l+t++ I r r t- ++ o j 6+ t 1++

o ++ ;so- ci l+ o" o- + @_d. q. o_it++ oa.+

I l+ --.: a1

+t+ ddd I6t

I

to ra 9- O_ +l +t +i a+ +1+i 6of+ED

j4i6Na

l{Ji-l *

E}JJ r>JJo


71/313

tmEpo?IC 'I8Izqloeuum1

'uEguS0ZOUOesne -aB

uo{eJ 'ue1eeuu e460690dau1WeE{o 'eug7gu?o-o{u{pJa 'pu

earqeeuIpJ

:ZVu -eulouI u4u8eue

-EeeS{BnuaoaBp saeL

Busas -uoueseeu>?sesUa puneueS

ao9

8z

,tJo7

0

99 lrI

(&L8l

ot

JIIt

l

I

tIiN

lC

to66rw9o,J

Z9

7Los

,r

LJv7

Iu68

tU98

Ss

\ZZZ,_\ZL

78 /+ r9

IIU0

n._\esn

il:

i

8,_tV

q?fL?209.Jt8o,_ 06

TYSVAVVYA


72/313

ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN

1,331 - 1W- -1,422ttt.6 0I9,648

tl l,6

t10,314

t12,038

I0Metode portal

t3,660I4,325Metode kantileverrtl6p44 t0,692 5.786Analisis elastis

(a) G:aya aksial pada kolom dasarGambar 14.8.1 Pembandingan gaya aksial kolom dan gaya-lintang balok

sirma, yang berarti bahwa gaya-gaya aksial di dalam kolomluar yang menyongsong angindan yang tidak menyongsong angin sama secara numerik tetapi bernilai nol untuk ko-lom-kolom dalam. Di dalam metode kantilever, gaya-gaya lintang balok secara numeriklebih besar di dalam bentangan-bentangan tengah, karena pengandaian variasi linier gaya-gaya aksial di dalam kolom-kolom terhadap titik-berat semua luas kolom. Namun, darianalisis elastis, gaya-gaya lintang balok jenuh lebih kecil pada bentangan-bentangan te-ngah, karena gaya-gaya aksial di dalam kolom bersifat menarik dan menekan secara silih-berganti mulai dari kiri. Sekilas pandang, seseorang akan mengira bahwa pengandaianvariasi linear gaya-gaya lintang di dalam metode kantilever sangat masuk akal, dan peng-analisisan eksak struktur-kerangka (sekeleton structure) mesti memperkuat dugaannya,tapi hal itu tidak demikian. Penulis telah membuat peringatan seperti "Pengertian biasaberasal dari penumpukan pengetahuan"; barangkali inilah kasus yang mengena.

14.9 Latihan14.1 Vd 14.27 Analisislah kerangka gedung empat persegi panjang pada Gambar 14.9.1.hingga 14.9.3 dengan metode sebagaimana ditunjukkan pada Tabel 14.9.130kN+

Metode portalI c.sm I t.z* I o.o'n Ir-_=-.r-

Analisis elastis(D) Gaya geser di kolom balok

Gambar 14.9.1 Latihan 14.1 hingga 14.9.


73/313


74/313

BABLIMA BELASMETODE ANALOGI KOLOM

15.1 Introduksi UmumDua sumbangsih penting pada analisis struktural yang diberikan oleh Prof. Hardy Crossdari University of Illinois adalah distribusi momen dan analogi kolom. Menguraikan se-lengkapnya metode analogi-kolomf , secara bertahap dari kasus sederhana ke kasus yanglebih rumit, lebih merupakan tujuan dari bab ini, ketimbang menurunkan teoremaumum dan menerapkannya pada semua kasus. Dalam kenyataannya, teorema umumyang bersangkutan digelarkan di dalam dua pasal terakhir dari bab ini.Pertama-tama, metode analogi-kolom bermanfaat dalam penentuan momen-mo-men ujung-terjepit, juga faktor-faktor kekakuan dan pemindahan, untuk unsur balokyang memiliki momen inersia tetap atau variabel. Kedua, ia bermanfaat dalam pengana-lisaan lengkap kerangka kaku simetris atau taksimetris, baik yang memiliki dua tumpu-an terjepit ataupun satu rongga tertutup. Meskipun contoh-contoh dan latihan-latihanyang digunakan di dalam bab ini bisa mengacu kepada unsur balok dengan hanya se-jumlah kecil perubahan mendadak momen inersia di seluruh panjangnya, keuntunganmetode tersebut terletak pada penerapan prosedur yang sama terhadap unsur balokdengan banyak perubahan momen inersia untuk bagian'bagian yang sangat kecil di se-luruh panjangnya, seperti unsur balok berpinggang pada Gambat 15.l .la. Demikianpula, prosedur yang sama, yang digunakan untuk penganalisisan kerangka berbentuksegiempat atau kotak pada Gambar 15.l.lb dan c ,dapat diterapkan terhadap strukturjembatan kerangka-kaku atau struktur-saniter berongga-tertutup, dengan: momen iner-sianya dianggap tetap hanya untuk setiap bagian kecil di sepanjang sumbu kurva ke-rangka yang bersangkutan. Prosedur yang digunakan untuk penganalisisan kerangka ber-bentuk segi-empat taksimetris pada Gambar 15.1.\d dapat diterapkan terhadap leng-

iHardy Cross, "The Column Analogy," University of Illinois Engineering ExperimentStation, Bulletin 215, 1930; juga, Hardy Cross dan Newlin D. Morgan, Continuous Frames o1Reinf orced Concrete, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1932.


75/313

's

-u{?uoZSnuerpdgoa BueB

'uEpuEreuC-nunuEeq

du$ds'ze

-pzulneuqeerooue8eeBe8t? -qoPqole

'B-uWr1neBs

'{m9(

@

ESaUdno

q


76/313

Ttiiili

66 ANALISIS STRUKTUR LANJUTANterjepit yang ditinjau tersebut merupakan jumlah diagram momen akibat beban yangbekerja, jika bekerja pada balok-sederhana AB, Gunbar 15.2.1b, dan yang akibat mo-men-momen ujung, Gambar 15.2.lc. Kondisi-kondisi keselarasannya, yang dapat diguna-kan untuk menentukan kelebrhanMa danMg, adalah sebagai berikut :l. Beda kemiringan antara A d.an B = 0;atau jumlahJuas bidang momen di antuaAdan .B = 0 (karena EI tetap); atau luas diagram momen pada Gambar ll.Z.lb =luas diagram momen pada Gambar 15.2.lc;2. kndutan di .B dari garis singgung di A = 0; atau jumlah momen dari luas bidangmomen di antara A dan B terhadap B = O; atau momen dari diagram momen padaGambar 15.2.1b terhadap.B = momen dari diagram momen pada Gambar 15.2.lcterhadap B.

Sekarang jika suatu kolom-khayal yang pendek dengan penampang tegak sebagai-mana ditunjukkan pada Gambar 15.2.le di-visual-kan sedemikian rupa sehingga pem-bebanan pada puncak kolomnya adalah diagram momen pada Gambar l5.2.lb dantekanan yang bekerja pada dasarnya adalah diagram momen pada Gambar 15.2.1c,jelaslah bahwa kolom tersebut berada dalam keseimbangan karena kedua kondisi yangtelah dinyatakan sebelumnya, yang tak lain adalah (l) beban total pada puncak samadengan tekanan total pada dasar, dan (2) momen dari beban terhadap .B sama denganmomen dari tekanan terhadap B. Makajika diagram pembebanan dari Gambar ls.z.lddiketahui, diagram tekanan dari Gambar 15.2.lf dapat ditentukan.Suatu perjanjian tanda perlu ditetapkan untuk diikuti dalam pekerjaan berikut-nya. Dengan mengacu kepada Gambar 15.2.2, perjanjian tanda ini mencakup hal-halberikut :1. Pembebanan pada puncak kolom berarah ke bawah jlka M, (momen statikal, ataumomen akibat pembebanan yang terjadi pada balok-sederhata AB sebagaimana dtentukan oleh hukum-hukum statika) bernilai positif, yang berarti bahwa ia meng-akibatkan tekanan pada sisi-luar.

w per jarak satuan2l

)MR

l*-la-,t-L I- t_(f) Tekanan pada dasar kolom

analogi ; diagram Mi, sarnaseperti (c)

E/ konsian(a) Balok yang ditinjau

(D) Diagram momen akibatbeban yang bekerja,digam bar pada sisi-tertekan

(c)Diagram momen akibat momenujung, digambar pada sisi-tertekan

(d) Pembebanan pada puncakkolom aaalogi; diagram M'sama seperti (6)I satuan(sangat kecil)

-j

;' )-a(e) Penampang tegak kolom

analogi

Gambar 15,2.1 Momen ujung-tedepit untuk unsur balok dengan momen inersia tetap.


77/313

(T :oa

ruotB

TIlo -Tl7l1 I

'uEszsm'u

-BB -o,pdBu -

'u -ueaue yp-

--__

rT(? upswe ranp

)

-punEwBEa u{e{duup 'nBuZSEnPo

weuE{uBDe ieaga-le-Su8n0=w -

IeFuZS Bpulo uuBqdwPp

rouqemspee'eBBu-W=W u

eruJIapnu-wenusuE3

, z

ulZSEtS|z

L


78/313


79/313

Be

rm-u?nuE

'qZgl -eTowSA'ue7S

-BUuZSu'gppm wBuwuuSe

ueuoegnSsBegaYeuBYee

'zzsuIzgeD

'gu

'ph0 6

7q

u


80/313


81/313

,N=hq*hz

'oo*^ ?suVp-on tU

'e touuBuup1uuo ?qWBewunp-JuuJqgwPm 'uBwEouulgs4wv -ueurun1$eu

'duu1 ra

Iu9cu

e

uu

,FLt f1 ulu

-t(

ul

To


82/313

-72 ANALISIS STRUKTUR LANJUTANTanda negatif untuk Mg berarti bahwa Mg dan M, memiliki tanda yang berlawananmenurut perjanjian tanda yang digunakan di dalam metode analogi-kolom;atauMg danM1 mesti memiliki tanda yang siuna menurut perjanjian tanda yang digunakan di dalammetode ubahan-sudut, distribusimomen, dan perpindahan matriks. Maka,

COF: *: +\MaI5.4 Momen Ujung-Terjepit untuk Unsur Balok dengan Momen Inersia VariabelMetode analogi-kolom dapat digunakan, secara sangat memudahkan, untuk menentukanmomen-momen ujung-terjepit untuk unsur balok yang momen inersianya variabel se-hubungan dengan beban yang dikerjakan pada unsur yang bersangkutan'

Andaikan kita perlu menentukan momen-momen ujung-terjepitMa darrMB yarrgbekerja pada ujung-ujung unsur balok,4B yang momen inersianya variabel akibat pem-bebanan yang terjadi pada Gambar 15.4.1a. Apabila metode gaya'kelebihan digunakandan jika balok-sederhana AB dipilih sebagai balok statis tertentu dasar, kondisi kesela-rasan yang dapat digunakan untuk menentukan ;V/a d.an M e adalah sebagai berikut :l. Beda kemiringan antara A dar. B = 0, atau luas Gambar 15.4.1b = luas Gambart5.4.tc;2. Lendutan di B dari garis singgun1 di A = 0, atau momen dari luas Gambar 15.4.lbterhadap B = momen dari luas Gambar 15.4.lc terhadap B

un(A- e),,1 variabel

(a) Balok ),ang ditinjau

(d)Pembebanan pada puncak kolomanalogi (e); Diagram M r/EI, satnaseperti (D)

(b-) Diaeram M IE I akibat pembebananyang terjadi, digambar pada sisi-ta-tekan.,a lr-. 1T[ laylTt il,ltt"i >\L ,, )-v(c) Diagram MIEI akibat momen-momen ujung, digambar padasisi-tertekan

(e) Penampang kolomanalogi--1 - d.llruD'vB\A-L--Y -FI

(f) Tekanan pada dasar kolomanalogi (e); diagram M rfEI,sama seperti (c)

Gambu 15.4.1 Momen ujung-terjepit untuk unsur balok dengan momen inersia variabel


83/313

'0-dloa rsp

BS -eB

-nlusnuBeseI9Bu 'B

7utuudueuVSs

er48unSoe dB

ISSIunae >qpgmSrotnS -yeeEaSuWoeqeSnu eaelmuVg4u-1Slapuo?

(uI9uSe ro

r uo

(l11 ule

s?fs-

(er (

8OV


84/313

14 ANALISIS STRUKTUR LANJUTANContoh 15.4.1 Tentukan momen-momen ujung-terjepit untuk balok pada Gam-bar 15.4.2a dengan metode analogi-kolomPENYELESAIAN (a)K arakteristik penampang kolom analogi. Panjang penam-pang kolom sama seperti panjang bentangan balok yang ditinjau, dan lebarnyasama dengan llEI. Karcna ntlai EI bervariasi di sepanjang bentangan, maka lebarpenampang kolom analogi bervariasi pula, sebagaimana ditunjukkan pada Gambar15.4.2b. Untuk mudahnya sebutlah EI" = 1 supaya penampang kolom yang di-tunjukkan pada Gambar | 5 .4.2c dapat digunakan

Luas penampang kolom = i(r) + t(o) + kf) = q,s_ _ 2(-4,5) + 6Lq)_+ l,s(+4,5) = _0,2368

la=Ir-Ar2=2?r' + z


85/313

oX==d c '$=110

'SVSud1pp egE6eBVeeeeDn

8L0@OD=c--'g 6rxB{

t0=='d0=-= t

'uBSue?pBzn 'qVg11wqou

'suIue19 fuu

6L

dP r

uo{B

Lcs6I

i= -"'

9ruaIB

z

gu u

rSSS oS

I8\8le

81N

9I


86/313


87/313


88/313

78 ANALISIS STRUKTUR LANJUTAfiContoh 15.5.1 Tentukan faktor kekakuan di:{ dan B, dan faktor pemindahan dar:A ke .B serta dari B ke A untuk unsur balok dengan momen inersia variabel se-bagaimana ditunjukkan pada Gambar 15.5.Ia.PENYELESAIAN (a) Karakteristik penampang kolom analogi. Dari bagian (a)pada Contoh 15.4.1,

Luas penampang kolom analogi = 9,5/EI,Jarak titik-berat dari A = 5,7632Jarak titik-berat dari B = 6,2368Momen inersia terhadap titik-berat =90,926/EI,(b) Faktor kekokuan Sa dan faktor pemindahCa6 dariA ke B. Di dalamGambar I 5 .5 . 1 D , beban $a dikerjakan di tepi-kiri kolom analogi.

Me = Srde: tekanan di 24.6e $;76326i$,7632): g,slEI,- n,g6ilEI"= l#. WIT r ^ : 0,2632+ 4,3'tr* o ^=s,wtffb^

6,c = l,oISa4s,t$z6e

EI.s,6441(i)(D) Untuk S/4 dan C13

Gambu 15.5.1 Faktor kekakuan dantoh 15.5.1.

Qa

t\6,2368d8

qeu1ff1(c) Untuk Sg danCg4

pemindah untuk unzur balok di dalam Con-

da= 1,0I(a) Unsur balok yang ditinjau

GGi

6,2368 m

GI


89/313

-0[d2SIDnn4ae 'nuqoeE1a -

unsenuee uenEu uE

{e B?9SnepuEe8Iu-DnslJeue -

nu)umeagseeEBI9S

8o= upeBIue'a

-6 ''s9'A66 @a

7Pf'Q

,*# 'LM96GGd BPe=

roduegS rvEnzo 'ew

-{?dfe

'evM6 '9 'LM

AS6 (6B

fs'BHe

'u

6


90/313


91/313

'u?Eea9s(

'oB?I?B-.nuInu{eun{uu -

tpV9S6sa '19SuuBooqUeq0 -leuaaeerOepox (

Jr

o

:

(s(9s

(s

[J

s-y (Jr s-+r

(Es-++W'v q

Co? 'geugSo9Sue41u (SSU??U?e8-6depzx(99NN

a uS%EluuJee?un1-EsBg9SEd97ou u9gu4qSauEuooDgSe8werBeposD9sru8SB8 'D9Bq-luuudpeez yo

nuq9Bu -dsppe

ID


92/313


Gambar 15.6.4 Penampang kolom analogi.Sebutlah A, Ix, ly, d.an I* sebagai luas. kedua momen inersia, dan momen sentri-fugal (product of inertia) penampang kolom analogi terhadap sumbu x dany yang me-lalui titik-berat. Maka, melalui definisi,o=l# ex: ff:o et:[ff:or, = J%f : o $:'Iil#1j*'fi ffi|;i (,5 6 5)''=l+',=l#sekarang jika suatu batang kaku oD yang'menghubungkan pusat-elastis o dantumpuan-terjepit D dicantelkan pada struktur yang ditinjau dari Gambar 15.6.5a, kitaperoleh struktur padanannya pada Gambar 15.6.50. Karena batang oD kaku (dengan:EI = taklerhingga) dan tidak dapat terdeformasi, ketiga perpindahan tersamarata di titikO juga sama dengan nol. Sebutlah Mo, Ho, dan Vs sebagai tiga kelebihan yang tak diketahui yang akan bekerja pada pusat elastisnya. Jika huruf D di dalam Persamaan(15.6.k hingga c) digantikan oleh huruf o dan kemudian ekspresi-ekspresi yang diper-oleh disamakan dengan nol.

Ad di o :*lW**"1#*r.[#-r.[#=o (r5.6.6c)AH di o = *lryf * *.1#. ".[+- */otf : o(15.6.6b)Av di o =-l*#f'-r,l#-",J#+q\ff:o

(15.6.6c)

HDt),,VD(o)


93/313

(qs

(s

(ss)

(9S(qs(D9s

(-+yu9S uweqgg

S99

1xro

:l_N(_NN'OSSB9S

(^ /neW(s .W

YdrugI -uyex

u6odnu -?991So eepgS'D9S?

(eu^ (99tnsJ

(e G9sinnsw

(gsrSNJr

(r9So -4eFJ9S oooqaazupu

'ge(9SsuuetEuuODOSe rns

nuuE6 seveex8


94/313

84 ANALISIS STRUKTUR LANJUTANPeng-analogian kolom yang bersangkutan secara gamblang ditunjukkan oleh Persamaan(15.6.10a dan D). Dengan peng-analogi-an ini, sekali karakteristik dan pembebasan padakolom analogi telah ditentukan, momen di titik-titik terpilih (sebanyak mungkin, se-iring kehendak) pada struktur yang bersangkutan langsung diperoleh.Telah ditunjukkan di dalam Bab 4 bahwa dalam penerapan metode-penganalisisangaya-kelebihan, pada umumnya terdapat beberapa cara pemilihan struktur statis ter-tentu dasar. Suatu cara lain untuk mendapatkan struktur statis tertentu dasar dari ke-rangka berbentuk segiempat yang memiliki dua tumpuan-terjepit ditunjukkan padaGambar 15.6.fu hingga c; di dalam kasus yang demikian, kelebihan-kelebihannya adalahMe, Mo, dar, Hp dan kondisikondisi keselarasannya adalah 0.q. = O, 0 o = 0, dan As diD = O. Apabila sebuah batang kaku yang menghubungkan pusat-elastis dan tumpuan-t

analisa struktur lanjutan 2

Documents