ANALISA RANGKAIANPada sub bab ini akan dibahas penyelesaian persoalan yang muncul padaRangkaian Listrik dengan menggunakan suatu teorema tertentu.

Ada beberapa teorema yang dibahas pada sub bab ini , yaitu :Teorema SuperposisiTeorema SubstitusiTeorema TheveninTeorema NortonTeorema Transformasi SumberTeorema Transfer Daya Maksimum *E G F

E G F

TEOREMA SUPERPOSISIJika ada sejumlah sumber tegangan atau arus dalamsuatu rangkaian yang masing-masing sumber bebasdari pengaruh sumber yang lain.*E G F

E G F

Ada 4 prosedur perhitungan superposisi :Salah satu sumber dibuang, rangkaian terbuka. Sehingga dapat dihitung R internal.*2. Arus pada R dan sumber tegangan V yang dibuang, dapat dihitung.E G F

E G F

Ada 4 prosedur perhitungan superposisi (Contd.):*3. Proses dapat diulang lagi dengan sumber lain.Jumlah arus secara aljabar akan memberikan nilai yang valid. Kombinasi kedua gambar yang terhubung buka :E G F

E G F

Teorema Superposisi (Contd.)Teorema superposisi ini hanya berlaku untuk rangkaian yang bersifatlinier. Rangkaian linier adalah suatu rangkaian dimana persamaanyang muncul akan memenuhi jika y = kx, k = konstanta dan x = variabel.

Pada setiap rangkaian linier dengan beberapa buah sumbertegangan/ sumber arus dapat dihitung dengan cara :Menjumlah aljabarkan tegangan/ arus yang disebabkan tiap sumber independent/ bebas yang bekerja sendiri, dengan semua sumber tegangan/ arus independent/ bebas lainnya diganti dengan tahanan dalamnya.

Pengertian dari teorema diatas bahwa jika terdapat n buah sumberbebas maka dengan teorema superposisi sama dengan n buahkeadaan rangkaian yang dianalisis, dimana nantinya n buah keadaan tersebut akan dijumlahkan. *E G F

E G F

Teorema Superposisi (Contd.)Jika terdapat beberapa buah sumber tak bebas maka tetap sajateorema superposisi menghitung untuk n buah keadaan dari nBuah sumber yang bebasnya.Rangkaian linier tentu tidak terlepas dari gabungan rangkaian Yang mempunyai sumber independent atau sumber bebas, Sumber dependent / sumber tak bebas linier (sumber dependent arus/ tegangan sebanding dengan pangkat satu dari tegangan/ arus lain, atau sebanding dengan jumlah pangkat satu besaran-Besaran tersebut) dan elemen resistor ( R ), induktor ( L ), dankapasitor ( C ).*E G F

E G F

Analisa rangkaian dengan teorema superposisiRangkaian berikut ini dapat dianalisa dengan mengkondisikan sumber teganganaktif/bekerja sehingga sumber arusnya menjadi tidak aktif (diganti dengan tahanandalamnya yaitu tak hingga atau rangkaian open circuit). Oleh sebab itu arus i dalamkondisi sumber arus OC yang mengalir di R10 dapat ditentukan.

Kemudian dengan mengkondisikan sumber arus aktif/bekerja maka sumber tegangantidak aktif (diganti dengan tahanan dalamnya yaitu nol atau rangkaian short circuit).Disini arus i dalam kondisi sumber tegangan SC yang mengalir di R10 dapat ditentukanjuga. Akhirnya dengan penjumlahan aljabar kedua kondisi tersebut maka arus total akandiperoleh.

*E G F

E G F

Contoh 1:Hitunglah arus I yang melewati R3dan potensial V yang terukur padahambatan tersebut*E G F

E G F

*Tentukan I0 dengan menggunakan superposisi(-0.4706 A)Contoh 2:E G F

E G F

*Tentukan vx dengan menggunakan superposisi(12.5 V)Contoh 3:E G F

E G F

Teorema SubstitusiPada teorema ini berlaku bahwa :Suatu komponen atau elemen pasif yang dilalui oleh sebuah arus yang mengalir (sebesar i) maka pada komponen pasif tersebut dapat digantikan dengan sumber tegangan Vs yang mempunyai nilai yang sama saat arus tersebut melalui komponen pasif tersebut.Jika pada komponen pasifnya adalah sebuah resistor sebesar R,maka sumber tegangan penggantinya bernilai Vs = i.R dengantahanan dalam dari sumber tegangan tersebut samadengan nol.*E G F

E G F

Analisa rangkaian dengan teorema substitusiRangkaian berikut dapat dianalisa dengan teorema substitusi untuk menentukan arusyang mengalir pada resistor 2.

Harus diingat bahwa elemen pasif yang dilalui oleh sebuah arus yang mengalir(sebesar i) maka pada elemen pasif tersebut dapat digantikan dengan sumbertegangan Vs yang mempunyai nilai yang sama saat arus tersebut melaluinya.Kemudian untuk mendapatkan hasil akhirnya analisa dapat dilakukan dengan analisismesh atau arus loop.

*E G F

E G F

*TheveninNortonE G F3. TEOREMA THEVENIN

E G F

Dalil2 Thevenin dan NortonDalil2 Thevenin dan Norton sering digunakan utk penyederhanaan rangk. Perhatikan rangk N dg 2 terminal yg menghubungkannya ke rangk N* sbb :

Analisis sistem ini akan menghasilkan suatu set persamaan dlm bentuk pers linier : aV+bI-c = 0, dg a, b dan c independen thd V dan I.*E G F

E G F

Terdapat 2 kasus :

Kasus 1 : Jika a 0, kita dpt menyatakan V dlm I :V = -bI/a + c/a = -RTI + VTKasus 2 : Jika b 0, kita dpt menyatakan I dlm V :I = -aV/b + c/b = -V/RN + IN

Utk kasus 1, kita dpt menemukan sebuah rangkaian yg memberikan pers linier : V = -RTI + VT. Rumus ini menyatakan hub seri antara tahanan RT dg sumber teg VT sbb :*E G F

E G F

Karena rangkaian ini memiliki sifat yg sama dg sifat rangk N dari sudut pandang N*, maka biasa disebut rangk setara utk rangk N. Hasil ini disebut dalil Thevenin : setiap rangk berterminal 2 yg memp tahanan2 linier, sumber2 linier dpt direpresentasikan dg kombinasi seri antara sebuah tahanan dg sumber teg independen.*E G F

E G F

Rangkaian Setara TheveninBeberapa sumber tegangan dan beberapa hambatan, digantidengan sebuah sumber tegangan tetap (tegangan Thevenin,ETH) atau suatu gaya gerak listrik (ggl) dan suatu hambatanseri (hambatan Thevenin, RTH ) dengan ggl tersebut.

*Dengan teorema ini, rangkaian yang sangat kompleks dapatdisederhanakan dengan sumber tegangan ideal terhubungseri dengan hambatan theveninE G F

E G F

Rangkaian ekivalen TheveninVTH dan RTH terhubung seriVTH = Voc (open-circuit voltage)

RTH = R ekivalen (R total) dalam rangkaian *E G F

E G F

Contoh*Prosedur :1. RL terhubung singkat2. Titik AB terbuka, hitung VOCVth atau VOCDIE G F

E G F

Jika diberi beban (RL) seperti gambar di bawah :Terlihat dari rumusan di atas,bahwa jatuh tegangan terjadi olehadanya arus beban pada RLsebesar ILRL *Mengukur Eth dan RthSuatu pengukuran yang sekaligus menentukan Eth dan Rthadalah dari lengkung pembebanan. Yaitu membuat grafikyang menunjukkan hubungan antara VO dengan arusbeban IL.

E G F

E G F

Teorema TheveninRangkaian ekivalen*E G F

E G F

*Rangkaian dengan beban Teorema TheveninE G F

E G F

Contoh :Tentukan rangkaian ekivalen Thevenin dan arus yang melalui RL = 1*E G F

E G F

10V

3

10

RL

2

2

Tentukan VTH*E G F

E G F

10V

3

10

2

2

Sumber terhubung singkatRTHTentukan RTH*E G F

E G F

10V

3

10

2

2

3

10

2

2

Rangkaian ekivalen TheveninArus yang melalui RL = 1 adalah :*E G F

E G F

6V

RL

13.2

Contoh :Tentukan rangkaian ekivalen Thevenin*E G F

E G F

3

1A

10

RL

2

2

Tentukan VTH*E G F

E G F

3

1A

10

2

2

Sumber arus terhubung buka RTHTentukan RTH*E G F

E G F

3

10

2

2

3

1A

10

2

2

Rangkaian ekivalen Thevenin*E G F

E G F

3V

RL

15

Contoh: Rangkaian Jembatan Rangkaian ekivalen Thevenin*E G F

E G F

Z

DC

R3=4K

R2=8K

R1=2K

R4=2K

10V

RL=1K

+-

Tentukan VTHVTH = 8-2 = 6V*E G F

E G F

Tentukan RTHRTH*E G F

E G F

Z

DC

R3=4K

R2=8K

R1=2K

R4=1K

R3=4K

R2=8K

R1=2K

R4=1K

R3=4K

R2=8K

R1=2K

R4=1K

*E G F

E G F

Z

DC

R3=4K

R2=8K

R1=2K

R4=1K

Rangkaian ekivalen Thevenin*E G F

E G F

6V

RL

2.4K

*Tentukan ekivalen Thevenin pada terminal a-bContoh Thevenin :(RTh=6, VTh=20 V)E G F

E G F

*Tentukan ekivalen Thevenin pada terminal a-bLatihan Thevenin(RTh=0.44, VTh=5.33 V)E G F

E G F

Utk kasus 2, kita dpt menemukan sebuah rangk yg memberikan pers linier : I = -V/RN + IN. Rumus ini menyatakan hub pararel antara tahanan RN dg sumber arus IN sbb :

*E G F4. TEOREMA NORTON

E G F

Karena rangkaian ini memiliki sifat yg sama dg sifat rangk N dari sudut pandang N*, maka biasa disebut rangk setara utk rangk N. Hasil ini disebut dalil Norton : setiap rangk berterminal 2 yg memp tahanan2 linier, sumber2 linier dpt direpresentasikan dg kombinasi pararel antara sebuah tahanan dg sumber arus independen.*E G F

E G F

Rangkaian Setara Norton Jika RO >>RL , maka (arus tetap). Nilai VO akan berubah jika nilai RL juga berubah dimana Suatu sumber arus akan bernilai tetap jika Setiap rangkaian yang terdiri dari beberapa sumber tegangan dan beberapa hambatan, dapat diganti*dengan sebuah sumber arustetap (disebut sumber arusNorton, IN) dan sebuahhambatan (disebut hambatanNorton, RO) paralel dengan IN.E G F

E G F

Apa hubungan antara IN dengan Eth ? *E G F

E G F

*Teorema NortonE G F

E G F

* Cari arus Norton IN ? Teorema NortonE G F

E G F

*Ekivalen Tevenin dan NortonE G F

E G F

Rangkaian Ekivalen NortonIN= ISC (short circuit current)RN = RTH R ekivalen (Rtotal) dalam rangkaian*E G F

E G F

Contoh : Tentukan rangkaian ekivalen Norton dan arus yang melalui RL jika RL = 1*E G F

E G F

10V

3

10

RL

2

2

Tentukan IN*E G F

E G F

10V

3

10

2

2

Isc

Sumber tegangan terhubung singkatRTHTentukan Rn*E G F

E G F

10V

3

10

2

2

3

10

2

2

Rangkaian ekivalen NortonArus yang melalui RL = 1 adalah*E G F

E G F

RL

0.45

13.2

Hubungan antara Rangkaian Thevenin dan Norton *E G F

E G F

Rangkaian ekivalen NortonRangkaian ekivalen TheveninNilai R sama*E G F

E G F

RL

0.45

13.2

6V

RL

13.2

Contoh :Tentukan Rangkaian ekivalen norton*E G F

E G F

3

1A

10

RL

2

2

Tentukan IN*E G F

E G F

3

1A

10

2

2

Isc

Sumber arus terhubung bukaRTHTentukan RTH*E G F

E G F

3

10

2

2

3

1A

10

2

2

Rangkaian ekivalen Norton*E G F

E G F

RL

0.2

15

Rangkaian ekivalen TheveninRangkaian ekivalen Norton0.2 x 15 = 3*E G F

E G F

3V

RL

15

RL

0.2

15

Rangkaian ekivalen dengansumber yang tidak bebas Kita tidak dapat mencari RTH dalam suatu rangkaian Dengan sumber yang tidak bebas menggunakan metoda resistansi totalTapi kita dapat memakai*E G F

E G F

Contoh :Tentukan Rangkaian ekivalen Thevenin dan Norton ?*E G F

E G F

1V

4K

2K

80

250

RL

+Vx-

-+

100Vx

+

-

Tentukan Voc*E G F

E G F

1V

4K

2K

80

250

+Vx-

-+

100Vx

+

-

Penyelesaian persamaan

I1 = 3.697mAI2 = 3.678mA*E G F

E G F

1V

4K

2K

80

250

+Vx-

-+

100Vx

+

-

Tentukan Isc*E G F

E G F

Tentukan IscI1 = 0.632mAI2 = 0.421mAI3 = -1.052 A

Isc = I3 = -1.052 A*E G F

E G F

Rangkaian ekivalen TheveninRangkaian ekivalen Norton*E G F

E G F

-7.28V

RL

6.94

RL

-1.052

6.94

*Tentukan ekivalen Norton pada terminal a-bContoh Norton :(RN=5, IN=7 A)E G F

E G F

*Tentukan ekivalen Norton pada terminal a-bLatihan Norton :(RN=1, IN=10 A)E G F

E G F

Penentuan rangkaian setara Thevenin dan NortonProsedur formalMasalah pd penentuan rangk2 setara Thevenin dan Norton adalah mencari VT, RT, IN dan RN. Karena V = -RTI + VT, maka kita menentukan VT dg mengukur teg terminal V dg I = 0. Ini sama seperti pengukuranteg V rangkaian-terbuka.*E G F

E G F

Demikian pula karena I = -V/RN + IN, maka kita dpt menentukan IN dg mengukur arus I dg V = 0. Ini sama dg pengukuran arus I hub-singkat .IN = iS/C.

Kita tuliskan lagi pers utk pengukuran rangk-terbuka dan hub-singkat : -vO/C/RN+IN=0 & -RTiS/C+VT=0.Karena VT=vO/C & IN=iS/C, maka RN=RT=vO/C/iS/C.*E G F

E G F

Jadi prosedur penentuan rangk2 setara Thevenin & Norton :Cari teg rangk-terbuka vO/C,Cari arus hub-singkat iS/C,Nilai2 RT & VT diberikan oleh : RT=vO/C/iS/C, VT=vO/C,Nilai2 RN & IN diberikan oleh : RN=vO/C/iS/C, IN=iS/C.

Jadi bila rangk setara Thevenin telah ditemukan, maka kita dpt menyelesaikan rangk setara Norton, dan sebaliknya. Pers2 yg digunakan :IN = VT/RT, VT = INRN, dan RN = RT.*E G F

E G F

Contoh : Mencari rangk setara Thevenin & Norton

Dari rumus pembagian teg : vO/C=2x1/(1+1)= 1V.Dari rumus pembagian arus : iS/C=2/(1+)x= 2/3A.Jadi : VT = vO/C = 1V dan IN = iS/C = 2/3A.RT = RN = vO/C / iS/C = 3/2 Ohm.*E G F

E G F

Rangkaian setaranya diberikan sbb :

*E G F

E G F

Pertukaran berurutan rangk Thevenin & NortonPenyederhanaan rangk dpt dilakukan dg dalil2 Thevenin & Norton. Bila bag rangk yg cocok diisola-si diganti dg rangk Thevenin, maka sebuah simpul dpt dihilangkan. Demikian pula bila bag rangk yg cocok diisolasi diganti dg rangk Norton, maka sebuah simpul dpt dihilangkan. Contoh :*E G F

E G F

Isolasi bag kiri dan ganti dg rangk Thevenin, maka :

Tahanan 0,5 diseri dg 2 , lalu konversikan menjadi rangkaian Norton. Maka diperoleh :*E G F

E G F

Sumber arus 1 A dan 2/5 A digabung, maka diperoleh :*E G F

E G F

Konversikan ke rangk Thevenin dan gabungkan dg sumber 3 V, maka diperoleh :*E G F

E G F

*E G F

E G F

Resistansi setara berdasarkan inspeksiKadang2 kita hanya perlu mencari RT atau RN saja, tetapi VT dan IN tdk diperlukan.Caranya : menghubung-singkatkan semua sumber teg dan merangkai-terbukakan semua sumber arus sehingga yg tersisa rangk resistif. Maka RT dan RN adalah sama dg resistansi setara dilihat dari terminal2.Contohnya lihat rangk berikut :*E G F

E G F

Hubung-singkatkan sumber teg dan buka sumber arus dari gbr a, maka diperoleh gbr b.

Resistansi setara gbr b adalah : 1+1/(1+1) = 1 .Jadi RT = RN = 1 .*E G F

E G F

Bila diinginkan juga menghitung IN dan VT, maka kita lihat bentuk rangk hampir sama spt contoh terdahulu hanya ditambahkan sumber arus 3 A. Pd contoh tsb kita dptkan iS/C = 2/3 A. Dg memperhitungkan arah arus yg berlawanan, maka iS/C = 2/3 3 = -7/3 A.Jadi IN = iS/C = -7/3 A.VT = RNIN = 1,5x(-7/3) = -3,5 AJadi rangk setara Thevenin dan Nortonnya :*E G F

E G F

*E G F

E G F

Contoh : Diberikan rangk spt pd gbr berikutCarilah arus pd R5 !Cari rangk-terbukamelintasi A & B dgmenyingkirkan R5.vO/S = V{R4/(R1+R4)-R3/(R2+R3) = VT.Resistansi setara RT :(R1//R4)+(R2//R3) =(G1+G2+G3+G4)/{(G1+G4)(G2+G3)}*E G F

E G F

Rangk setara diperlihatkan pd gbr berikut :

Jadi arus pd R5 = VT/(RT+R5)

*E G F

E G F

Teorema Transformasi SumberSumber tegangan yang dihubungserikan dengan resistansi dapat diganti dengan sumber arus yang dihubungparalelkan dengan resistansi yang sama atau sebaliknya.Teorema ini berguna untuk menyederhanakan rangkaian dengan multi sumber tegangan atau multi sumber arus menjadi satu sumber pengganti (Teorema Millman)*E G F

E G F

Langkah-langkah analisaUbah semua sumber tegangan ke sumber arus

Jumlahkan semua sumber arus paralel dan tahanan paralel

Konversikan hasil akhir sumber arus ke sumber tegangan*E G F

E G F

Sumber tegangan secara praktis*E G F

E G F

Sumber arus secara praktis*E G F

E G F

Secara praktis kedua sumber ekivalen Arus kepalanya = +*E G F

E G F

Contoh : Gunakan transformasi sumber untuk mencari nilai Ix*E G F

E G F

1V

Ix

1A

2

3

1

*E G F

E G F

1V

Ix

1A

2

3

1

*E G F

E G F

Ix

1A

2

3

1

1A

*E G F

E G F

2V

Ix

2

3

1

*Daya maksimum : telah tertransferkan terhadap beban ketika hambatan beban sama dengan hambatan Thevenin (RL = RTh)TRANSFER DAYA MAKSIMUME G F

E G F

*TRANSFER DAYA MAKSIMUME G F

E G F

*Tentukan a) Nilai RL saat terjadinya transfer daya maksimumb) Nilai transfer daya maksimum Contoh (RL=9, pmax=13.44 W)E G F

E G F

*Tentukan a) Nilai RL saat terjadinya transfer daya maksimumb) Nilai transfer daya maksimum Latihan(RL=4.22, pmax=2.901 W)E G F

E G F

Buktikandan*E G F

E G F

VTH

RL

RTH

Untuk transfer daya maksimum*E G F

E G F

ContohCarilah nilai RL untuk transfer daya maksimum dan cari daya nya*E G F

E G F

10V

3

10

RL

2

2

Rangkaian ekivalen TheveninRL seharusnya di set 13.2 untuk mendapatkan transfer daya maksDaya maksimum :*E G F

E G F

6V

RL

13.2

Dalil transfer daya maksimumPerhatikan rangk yg dinyatakan dg rangk Thevenin yg ujung2-nya diberi tahanan RL spt gbr berikut :

Arus pd RL : I = VT/(RT+RL)Daya pd RL : PL = I2RL = VT2RL/(RT+RL)2*E G F

E G F

PL adalah fungsi dari RL spt pd gbr berikut :Pertanyaan menarik :Brp daya maks pd RLjika RL dpt di-ubah2 ?Diferensiasikan PL thdRL : dPL/dRL =VT2{(RT-RL)/(RT+RL)3}Daya maks bila dPL/dRL = 0,Jadi didptkan : RL = RT.Hasil ini dikenal sbg dalil transfer daya maks, yg*E G F

E G F

Menyatakan bhw utk sumber yg tetap yg diberikan dg tahanan internal RT, transfer daya maks terjadi ketika RL sama dg RT yg diberikan.Contoh : Misal diberikan VT = 10 V, RT = 100 dan kita coba hitung daya pd RL bila RL divariasikan. Kita gunakan rumus : PL = VT2RL/(RT+RL)2. Hasilnya

Daya maks terjadi pd RL = 100 = RT.*E G F

RL ()020406080100120140PL(W)00,1390,2040,2340,2470,2500,2480,243

E G F

Teorema Transfer Daya Maksimum Teorema ini menyatakan bahwa :Transfer daya maksimum terjadi jika nilai resistansi beban samadengan nilai resistansi sumber, baik dipasang seri dengan sumber tegangan ataupun dipasang paralel dengan sumber arus.

Hal ini dapat dibuktikan dengan penurunan rumus sebagai berikut :

*E G F

E G F

Dengan asumsi Vg dan Rg tetap, dan PL merupakan fungsi RL, makauntuk mencari nilai maksimum PL adalah :

Teorema transfer daya maksimum adalah daya maksimum yangdikirimkan ketika beban RL sama dengan beban intern sumber Rg.Maka didapatkan daya maksimumnya :

*E G F

E G F

LATIHAN 1.Buatlah rangkaian ekivalen Thevenin dari rangkaian d bawah ini jika R = dan E = 6 volt ? 2.Hitunglah berapa jatuh tegangan suatu rangkaian setara Thevenin jika hambatan R1 dan R2 diberi 100 ohm dengan hambatan beban 1 Kohm. 3.Buatlah rangkaian setara Thevenin untuk rangkaian di bawah ini. Hitung tegangan keluaran bila diambil arus 3 mA. Berapa nilai hambatan beban RL yang harus dipasang ? 4. Dari contoh soal pada rangkaian ekivalen Thevenin di atas, susunlah rangkaian ekivalen Nortonnya. Dari keduanya manakah yang lebih baik ?*E G F

E G F

5.Tentukanlah rangkaian setara Norton *E G F

E G F

*