ANALISA NUMERIK KECEPATAN BENDA JATUH BEBAS DENGAN MENGGUNAKAN METODE

HEUN BERBASIS MATLAB

Makalah ini disusun sebagai Tugas Matakuliah

Pemrograman Lanjut

EDI PRASETYO

M0210019

JURUSAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

TAHUN 2013

Daftar Isi

Tujuan............................................................................................... 3

Dasar Teori........................................................................................ 3

Perancangan Program....................................................................... 6

Hasil.................................................................................................... 8

Pembahasan...................................................................................... 8

Kesimpulan........................................................................................ 9

Daftara Pustaka.................................................................................. 10

2

Analisa Numerik Kecepatan Benda Jatuh Bebas Dengan Menggunakan Metode Heun

Berbasis Matlab

Tujuan

Dapat menganalisa kecepatan benda jatuh bebas dengan metode Heun

menggunakan MATLAB

Dasar teori

Matlab

Matlab adalah bahasa canggih untuk perograman komputer yang diproduksi

oleh The Mathworks, inc. Secara umum, matlab dapat digunakan untuk:

1. Matematika dan komputasi

2. Pengembangan algoritma

3. Pemodelan, simulasi dan pembuatan prototipe

4. Analisis data, eksplorasi dan visualisasi

5. Pembuatan aplikasi, termasuk pembuatan antar muka grafis

Prosedur perhitungan, visualisasi dan pemrograman dengan matlab sangat

mudah dilakukan karena variabelnya dinyatakan dalam notasi metematika biasa.

Penamaan variabel dalam matlab dilakukan secara langsung tanpa melalui deklarasi

seperti pada pascal, delphi dan fortran. Basis data dalam bentuk syntax tidak perlu

dinyatakan secara khusus, sehingga memudahkan perhitungan dalam waktu yang

lebih singkat.

Fisika kommputasi merupakan idealisasi fenomena fisis dengan bantuan

komputer. Pemanfaatan matlab untuk fisika komputasi diperlakukan ebagai

kalkulator tercanggih yang dapat diprogram. Kerumitan metode komputasi untuk

sistem fisika dapat direduksi oleh kemampuan matlab dalam memecahkan operasi

matematika secara langsung, serta prosedur operasi dalam matlab dapat mereduksi

kerumitan pemrograman

Gaya Benda jatuh bebas

3

Hukum newton kedua dapat dipakai untuk menentukan kecepatan berhenti

dari sebuah benda yang jatuh bebas dekat permukaan bumi. Hal ini dapat

diturunkan suatu model dengan menyatakan percepatan sebagai laju waktu dari

perubahan kecepatan (dv/dt).

mdvdt

= F (1)

Dimana v adalah kecepatan (dalam m/detik). Jadi massa dikalikan dengan laju

perubahan kecepatan adalah setara dengan gaya netto yang bekerja pada benda.

Kalau gaya netto itu positif, benda akan dipercepat dan bila negatif, benda akan

diperlambat. Jika gaya netto adalah nol, kecepatan benda akan tetap pada tingkat

yang konstan.

Untuk sebuah benda yang jatuh disekitar permukaan bumi, gaya netto itu

terdiri dari dua gaya yang berlawanan. Kebawah gaya tarik gravitasi FD dan ke atas

adalah gaya yang disebabkan oleh gesekan udara Fu

F = FD + Fu (2)

Kalau gaya kebawah diberi tanda positif, hukum kedua dapat digunakan untuk

merumuskan gaya yang disebabkan gravitasi

FD = mg (3)

Dimana g adalah konstanta gravitasi atau percepatan disebabkan gravitasi yang

harganya 9.8 m/s2

Tahanan udara dapat diformulasikan dalam berbagai cara. Suatu pendekatan

yang sederhana adalah dengan menganggap bahwa harganya berbanding linier

dengan kecepatan, seperti:

Fu = -cv (4)

Dimana c ialah konstanta perbandingan yang disebut dengan koefisien tahanan

(dalam kg/detik). Jadi semakin besar kecepatan jatuh, semakin besar besar gaya

keatas yang disebabkan tahanan udara. Parameter c dihitung untuk perilaku benda

jatuh seperti bentuk atau kekasaran permukaan yang memperngaruhi tahanan udara

4

Gaya total merupakan perbedaan antara gaya kebawah dan keatas.

Karenanya persamaan (1) dan (4) dapat digabungkan agar memenuhi

mdvdt

= mg – cv (5)

atau jika tiap suku dibagi m, maka:

dvdt

= g - cm

v (6)

Persamaan (6) adalah suatu model yang menghubungkan percepatan dari sebuah

benda jatuh terhadap gaya yang bekerja padanya. Persamaan tersebut merupakan

persamaan diferensial karena ditulis dalam suku laju diferensial (dv/dt).

Metode heun

Metode Heun merupakan modifikasi dari metode Euler. Modifikasi dilakukan dalam

memperkirakan kemiringan . Metode ini memperkirakan dua turunan pada interval, yaitu

pada ujung awal dan akhir. Kedua turunan tesebut kemudian diratakan untuk mendapatkan

perkiraan kemiringan yang lebih baik (Gambar 8.4).

Berdasarkan metode Euler, kemiringan pada ujung awal dari interval adalah:

y i'=f (x i , y i ) (7)

Kemiringan tesebut digunakan untuk menghitung nilai yi + 1 dengan ekstrapolasi linier

sehingga:

y i + 10 = y i+f (x i , y i ) Δx (8)

metode Heun

5

Nilai y i + 10

dari persamaan (8.14) tersebut kemudian digunakan untuk memperkirakan

kemiringan pada ujung akhir interval, yaitu:

y i + 1' =f ( x i + 1 , y i + 1

0 ) (9)

Kedua kemiringan yang diberikan oleh persamaan (8.13) dan persamaan (8.15), kemudian

diratakan untuk memperoleh kemiringan pada interval, yaitu:

y ' =yi' + y i + 1

0

2=f ( x i + 1 , yi + 1

0 )2 (10)

Kemiringan rerata tersebut kemudian digunakan untuk ekstrapolasi linier dari yi ke yi + 1

dengan menggunakan metode Euler:

y i + 1 = y i +f ( x i , yi ) + f ( x i + 1 , y i + 1

0 )2

Δx (11)

Metode Heun ini disebut juga metode prediktor-korektor. Persamaan (8.14) disebut dengan

persamaan prediktor, sedang persamaan (8.16) disebut dengan persamaan korektor.

Perancangan program

Persamaan yang dapat menggambarkan gerakan sebuah benda bermassa m yang

dijatuhkan dari keadaan diam adalah persamaan diferensial newton

dvdt

= g - cm

v

Koefisien tahanan udara kira-kira 12,5 kg/s dan gaya gravitasi sebesar 9,8 m/s2 maka

persamaan diatas menjadi

dvdt

=9,8 - 12,5m

v (12)

Persamaan (12) diselesaikan dengan menggunkan metode heun, algoritma penyelesaiannya

adalah:

Menentukan titik awal (kecepatan awal): v0 = 0

6

Menetukan gradien awal v’0 = f(t0,v0) = 9,8 - 12,5m

v

Melakukan ekstrapolasi: v1= v0 + (v’0)∆t

Menentukan gradien ekstrapolasi: v’1 = f(t1,v1) = 9,8 - 12,5m

Menentukan gradien rata-rata: v= v '0+v ' 1

2

Menentukan titik berikutnya: v2 =v’0+ v∆t

Flowchart program

7

Meng-input nilai :

Massa Iterasi ∆t

Grafik kecepatan

selesai

Menentukan titik berikutnya: v2 =v’0+ v∆t

Menentukan gradien rata-rata: v=

Menentukan gradien ekstrapolasi:

v’1 = f(t1,v1) = 9,8 - 12,5m

Melakukan ekstrapolasi: v1= v0 + (v’0)∆t

Menetukan gradien awal

v’0 = f(t0,v0) = 9,8 - 12,5m

Titik awal v0 =0

mulai

Hasil

% Program Metode Heun Gerak Jatuh bebas% By edi prasetyodisp(' ')disp('############################################')disp('# SOLUSI PERSAMAAN GERAK BENDA JATUH BEBAS #')disp('############################################')disp(' ')format shortm=input('Massa (kg) = ');n=input('jumlah iterasi/ waktu jatuh (second)= ');deltat=input('interval setiap titik= ');x=zeros(n,1);v=x;vga=x;vea=x;vm=x;v(1)=0;vga(1)=10-(12.5/m)*(v(1));vea(1)=v(1)-v(1)^2*deltat;vm(1)=(vga(1)+vea(1))/2;v(2)=v(1)+vm(1)*deltat;for i=2:n vga(i)=10-(12.5/m)*(v(i))^2; vea(i)=v(i)-v(i)^2*deltat; vm(i)=(vga(i)+vea(i))/2; v(i+1)=v(i)+vm(i)*deltat;endplot(v,'b.:')title('Kurva dv/dt','fontsize',16)xlabel('t (s)','fontsize',14)ylabel('v (m/s)','fontsize',14)grid on

Pembahasan

Program untuk solusi persamaan gerak benda jatuh bebas kemudian dijalankan.

Pada awal program, program meminta inputan massa, waktu jatuh dan interval titik.

Semisal massa benda yang jatuh adalah 100 kg waktu jatuh adalah 1000 detik, dan interval

titik atau ∆t sebesar 0,01 maka didapatkan grafik

8

Grafik diatas menjelaskkan model benda yang bermassa 100 kg bergerak jatuh bebas

dengan memperhitungkan gaya gesek udara. Benda bergerak jatuh semakin cepat atau

mengalami percepatan, hal ini dapat dilihat pada grafik yang semakin memuncak seiring

berjalannya waktu. Digrafik tersebut diperlihatkan bahwa semakin lama waktu

percepatannya semakin menurun, ini diperlihatkan pada grafik setelah memuncak

kemudian pada waktu tertentu grafik tersebut semakin mendatar . Setelah suatu waktu

kecepatan benda jatuh ini akan tiba pada suatu saat dimana kecepatannya menjadi tetap

atau disebut dengan kecepatan terminal. Kecepatan konstan ini terjadi karena gaya grafitasi

akan seimbang dengan gaya gesek udara. Jadi gaya total menjadi nol dan percepatan

terhenti

Kesimpulan

Setelah dilakukan perhitungan numerik dengan metode heun menggunakan bantuan

MATLAB, Ketika benda jatuh bebas maka akan mengalami percepatan sampai tiba

dimana percepatannya menjadi nol kerena gaya gravitasi akan seimbang dengan

gaya gesek udara yang arahnya berlawanan sehingga gaya total menjadi nol dan

kecepatan benda menjadi tetap atau percepatannya terhenti.

9

Daftar pustaka

Aminuddin, Jamrud.2008.Dasar-dasar Fisika Komputasi Menggunakan MATLAB.Gava

media:yogyakarta

Chapra & raymond Terjemahan sardy s.1991.Metode Numerik Untuk Teknik.UI-press:depok

10