vektor ruang 2d dan 3d -...

Vektor Ruang 2D dan 3D

Besaran

Skalar (Tidak mempunyai arah)

Vektor (Mempunyai Arah)

Vektor Geometris

• Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak tertentu.

• Vektor (Gaya, Percepatan, Berat, Kecepatan dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak dan arah tertentu.

• Vektor disajikan secara geometris sebagai ruas garis berarah atau panah dalam ruang berdimensi 2 dan ruang berdimensi 3.

• Arah panah menentukan arah vektor dan panjang panah menentukan besarnya vektor.

• Ekor dari panah disebut titik pangkal vektor • Ujung panah disebut titik ujung vektor • Vektor ditulis dalam huruf kecil (a, k, v, w, x), sedangkan

Skalar ditulis dengan huruf kecil miring (a, k, v, w, dan x)

• Jika menyatakan ruas garis berarah dari A ke B, maka ditulis

dengan lambang = , panjang vektor u dinyatakan

dengan |u| dan panjang vektor AB dinyatakan dengan AB

AB

Vektor Secara Geometri

vAB

• Vektor - vektor yang panjang dan arahnya sama disebut ekuivalen, vektor-vektor yang ekuivalen dipandang sama walaupun mungkin terletak pada posisi yang berbeda.

• Jika v dan w ekuivalen, kita tuliskan : v = w

A

B

Vektor AB Vektor-vektor yang ekuivalen

Vektor Secara Geometri

Jika v dan w adalah dua vektor sembarang, maka jumlah v dan w adalah vektor yang ditentukan sebagai berikut :

• Letakkan vektor w sedemikian sehingga titik pangkalnya bertautan dengan titik ujung v.

• Vektor v + w disajikan oleh panah dari titik pangkal v ke titik ujung w.

v

w

v + w

v + w = w + v

Vektor Secara Geometri

• Vektor yang panjangnya nol disebut vektor nol dan dinyatakan dengan 0.

• Jika v adalah sembarang vektor tak nol, maka –v, negatif dari v, didefinisikan sebagai vektor yang besarnya sama dengan v, tetapi arahnya terbalik.

-v

v

Vektor ini mempunyai sifat : v + (-v) = 0

Vektor Secara Geometri

Jika v dan w adalah dua vektor sembarang, maka selisih w dari v didefinisikan sebagai :

v – w = v + (-w)

Jika v adalah suatu vektor tak nol dan k adalah suatu bilangan real tak nol (skalar), maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali panjang v dan arahnya sama dengan arah v jika k > 0 dan berlawanan arah dengan v jika k < 0. Kita definisikan kv = 0 jika k = 0 atau v = 0

v-w v

w

Vektor Secara Geometri

Vektor pada Sistem Koordinat (aljabar)

Vektor Posisi (pada koordinat Cartesius)

Operasi Vektor Operasi Vektor meliputi :

1. Penjumlahan antar vektor (pada ruang yang sama)

2. Perkalian vektor

(a) dengan skalar

(b) dengan vektor lain

• Hasil kali titik (Dot Product)

• Hasil kali silang (Cross Product)

u

v vu

u v

vu

Misalkan dan adalah vektor – vektor

didefinisikan

yang berada di ruang yang sama, maka vektor

maka

Penjumlahan Vektor

u

Perkalian Vektor dengan Skalar

u

u2

u2

u uk

u

uu

Perkalian vektor dengan skalar k,

didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali

panjang vektor dengan arah

Jika k > 0 searah dengan

Jika k < 0 berlawanan arah dengan

321 ,aaaa 321 ,, bbbb

332211 ,,.1 babababa

332211 ,,.2 babababa

321 ,,.3 kakakaak

Secara analitis, kedua operasi pada vektor diatas

dapat dijelaskan sebagai berikut :

adalah vektor-vektor di ruang yang sama

dan

maka

Misalkan

Penjumlahan Vektor & Perkalian Skalar

Hasilnya

merupakan

Vektor

Perkalian 2 Vektor

Perkalian antara dua vektor

• Hasil kali titik (dot product)

• Hasil kali silang (cross product)

Hasil kali titik merupakan operasi

antara dua buah vektor pada ruang yang sama

yang menghasilkan skalar

Hasil kali titik (dot product)

Hasil kali silang merupakan operasi

antara dua buah vektor pada ruang R3

yang menghasilkan vektor

Hasil kali silang (Cross product)

Perkalian Titik (dot product)

Misalkan adalah vektor pada ruang/dimensi

yang sama maka hasil kali titik antara dua vektor :

dimana

: panjang

: panjang

: sudut keduanya

,v w

,v

w

v

w

Hasilnya

merupakan Skalar

Perkalian Titik (dot product)

Contoh:

Tentukan hasil kali titik dari dua vektor

dan

Jawab :

Karena tan = 1 , artinya = 450

= 4 (skalar) = 4 (skalar)

ia ˆ2 jib ˆ2ˆ2

cosbaba

22

1.8.2

2211 .. bababa

2.02.2

Perkalian Titik (dot product)

abba

cabacba

Rkbkabakbak dimana,

Beberapa sifat perkalian titik adalah:

Proyeksi Ortogonal

Vektor ortogonal : vektor-vektor yang tegak lurus, 0wv

u

Proyeksi Ortogonal u

Proyeksi Ortogonal u

Contoh:

Tentukan proyeksi ortogonal

vektor u terhadap vektor v

3

4

2

u

4

3

1

v

4

3

1

4

3

1

26

26

4

3

1

26

)12()12(2

4

3

1

)4(31

4

3

1

3

4

2

222

2v

v

vuuPv

Perkalian Silang (Cross product)

Merupakan hasil kali antara 2 vektor di Ruang (R3) yang

menghasilkan vektor yang tegak lurus terhadap kedua vektor

yang dikalikan tersebut.

Perkalian Silang (Cross product)

Contoh :

Tentukan dimana ;

Jawab :

vuw

321

321

ˆˆˆ

vvv

uuu

kji

w

2,2,1 u )1,0,3(v

103

221

ˆˆˆ

kji

j)2(31.1 k2.30.1

kji ˆ6ˆ7ˆ2

i)2(01.2

Matriks & Ruang Vektor

ATA 2014/2015

Pengantar Vektor Latihan

Matriks & Ruang Vektor

ATA 2014/2015

Latihan

Answer: a, b, c, d, e, f

Matriks & Ruang Vektor

ATA 2014/2015

Latihan

Answer: 2

Matriks & Ruang Vektor

ATA 2014/2015

Latihan

Answer: 5

Matriks & Ruang Vektor

ATA 2014/2015

Latihan

Answer: d Trace out the vector u starting at the tail and moving along the vectors a, b and c until you reach the head of u.

Matriks & Ruang Vektor

ATA 2014/2015

Latihan

Answer: b

Matriks & Ruang Vektor

ATA 2014/2015

Latihan

Answer: c

Matriks & Ruang Vektor

ATA 2014/2015

Latihan

Answer: a

Matriks & Ruang Vektor

ATA 2014/2015

Latihan

Answer: d