variabel random dan distribusi peluang

DISTRIBUSI PELUANG

Ketika melakukan percobaan (eksperimen) dengan melantunkan sebuah mata uang, kita akan dapatkan P(G) = P(A) = 1/2.

Kalau dihitung banyaknya G, maka kita dapat mengatakan banyaknya G = 1 dan G = 0.

Jika banyaknya G kita beri simbol X, maka untuk :G berlaku X=1, danH berlaku X=0

P(X=1) = 1/2 dan P(X=0) = 1/2

Jika percobaan dengan menggunakan 2 mata uang, maka peristiwa yang terjadi adalah :

T = {GG, GH, HG, HH} dengan probabilitas masing-masing adalah :

P(GG) = P(GH) = P(HG) = P(HH) = 1/4

Lanjutan . . .

Jika X menyatakan banyaknya G, maka nilai X di atas adalah X=0,1,2, sehingga :

P(X=0) = 1/4 P(X=1) = 2/4 P(X=2) = 1/4

x P(X=x)

0 1/4

1 1/2

2 1/4

jumlah 1

Simbol X di atas, yang memiliki peluang, bersifat variabel dan hanya memiliki nilai 0, 1, 2. . .

Variabel ini disebut VARIABEL ACAK DISKRET

Lanjutan . . .

Dalam tabel contoh, jumlah peluang selalu sama dengan 1. Apabila semua ini terjadi, maka dikatakan bahwa DISTRIBUSI PELUANG VARIABEL ACAK X TELAH TERBENTUK.

x P(X=x)0 1/41 1/22 1/4

jumlah 1

Variabel acak diskret X menentukan distribusi peluang apabila untuk nilai-nilai X = x1, x2, x3,...., xn terdapat peluang p(xi) = P(X=xi) sehingga :

∑p(xi) = 1

Lanjutan . . .

p(x) disebut fungsi peluang untuk variabel acak X pada nilai X=x

Nilai Rata-Rata

Nilai rata-rata pada distribusi probabilitas adalah sama pada penghitungan nilai rata-rata yang telah dibahasa pada bagian sebelumnya.

Nilai rata-rata pada distribusi probabilitas = nilai harapan (expexted value) yang dilambangkan dengan E(x) = nilai rata-rata untuk variabel acak X

µ = E(x) = ∑ xi .p(x

i)

Contoh :Ada tiga orang nasabah yang akan menabung di bank. Terdapat 2 bank yang terdapat di Jln. Pajajaran Timur, yaitu BCA dan BNI. Ketiga orang tersebut bebas memilih bank tempat untuk menabung, bisa di BCA semua, BNI semua atau di BCA dan BNI.

Pertanyaan :1. Berikan ruang sampel pilihan nasabah tersebut.2. Jika X = Pilihan tampat menabung di BNI berikan tabel distribusi

frekuensinya3. Berapakah expexted value pada kasus pilihan tiga nasabah tersebut.

Contoh :Pengamatan yang menunjukkan banyaknya kendaraan yang melalui sebuah tikungan setiap menit mengikuti distribusi peluang sbb :

Pertanyaan :1. Berapakah Peluang dalam satu menit paling sedikit tiga kendaraan

melalui tikungan.2. Berapakah rata-rata tiap menit terdapat kendaraan melalui tikungan

tsb ?3. Berapakah perkiraan kendaraan yang melewati tikungan tiap 100

menit ?

Jml Kendaraan

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Peluang 0.01 0.05 0.10 0.28 0.22 0.18 0.08 0.05 0.03

Contoh :Untuk keperluan analisis saham telah dicatat distribusi probabilitas untuk harga saham yaitu probabilitas harga naik 0.16; harga tetap 0.64 ; dan harga turun 0.20.

Pertanyaan :1. Berapakah nilai rata-rata apabila pada hari Sabtu, 15 Desember 2012

harga saham Indosat sempat naik ke Rp. 7800 dan sempat turun ke Rp. 7650 dari harga sebelumnya Rp. 7700 ?

Contoh :Sebuah kotak berisi 8 telor dimana 3 diantaranya busuk. Seseorang membeli 4 buah telor dari kotak tersebut secara acak.

Pertanyaan :1. Buatlah tabel distribusi peluangnya bahwa pembeli tersebut

mendapatkan telur yang busuk.

VARIAN DAN DEVIASI STANDAR

Varian dan deviasi standar merupakan ukuran penyebaran yaitu mengukur seberapa besar data menyebar dari nilai tengahnya.Semakin kecil sebaran data, maka semakin baik karena menunjukkan data mengelompok pada nilai rata-rata hitung.Ini juga menunjukkan adanya kehomogenan yang lebih tinggi dan perbedaan antar data tidak terlalu tinggi.

varians = σ2 = Σ(xi – µ)2.p(xi)

Contoh :Hitunglah standar deviasi untuk distribusi probabilitas pilihan nasabah dan saham Indosat pada contoh sebelumnya.

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET

Distribusi Probabilitas Binomial

Distribusi Probabilitas Hipergeometrik

Distribusi Probabilitas Poisson

Ciri-ciri Percobaan Bernouli:

• Setiap percobaan menghasilkan dua kejadian:(a) kelahiran anak: laki-laki-perempuan;

(b) transaksi saham: jual- beli, (c) perkembangan suku bunga: naik–turun dan lain-lain.

• Probabilitas suatu kejadian untuk suskes atau gagal adalah tetap untuk setiap kejadian. P(p), peluang sukses, P(q) peluang gagal, dan P(p) + P(q)= 1.

• Suatu percobaan dengan percobaan bersifat bebas.

• Data yang dihasilkan adalah data perhitungan.

DISTRIBUSI BINOMIAL

DISTRIBUSI BINOMIAL

Sebagai misal, dilakukan pengambilan 3 bahan secara acak dari hasil pengolahan pabrik, diperiksa, dan kemudian yang cacat dipisahkan dari yang tidak cacat. Bahan yang cacat akan disebut sebagai sukses. Banyaknya sukses merupakan suatu peubah acak X dengan nilai bilangan bulat dari 0 sampai 3. Kedalapan hasil yang mungkin (C = cacat, T = Tak cacat) da nilai X adalah :

Hasil x

TTT 0

TCT 1

TTC 1

CTT 1

TCC 2

CTC 2

CCT 2

CCC 3

Jika diasumsikan bahan tersebut dipilih secara bebas dari hasil proses yang dianggap menghasilkan 25% bahan cacat, maka :

P(TCT) = P(T) . P(C) . P(T) 3/4 . 1/4 . 3/4= 9/64

x 0 1 2 3

P =(X=x) 27/64 27/64 9/24 1/64

DISTRIBUSI BINOMIAL

Banyaknya usaha X yang sukses dalam n usaha Bernouli disebut peubah acak binomial.

Distribusi peluang peubah acak diskret ini disebut distribusi binomial dan dinyatakan dengan : b(x;n,p).karena nilainya tergantung kepada banyaknya usaha (n) dan peluang sukses dalam usaha (p).

Jadi untuk distribusi peluang X, bila X menyatakan banyaknya cacat, maka dalam contoh di atas dapat dinyatakan :P(X=2) = b(2;3,1/4) = 9/64

x 0 1 2 3

P(X=x) 27/64 27/64 9/24 1/64

DISTRIBUSI BINOMIAL

Suatu usaha Bernouli dapat menghasilkan sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q = 1-p, maka distribusi peubah acak binomial X, yaitu banyaknya sukses dalam n usaha bebas adalah :

b(x ;n , p) = (nx) px qn−x , x=0,1,2,3. ..n

DISTRIBUSI BINOMIAL : CONTOH

PT. Moena Indihe Farm (MIF) mengirim buah semangka ke GIANT supermarket, dengan jaminan kualitas yang baik, maka 90% semangka yang dikirim harus lolos seleksi. PT. MIF setiap hari mengirim semangka 15 buah dengan berat antara 5 – 6 kg.

1. Berapa probabilitas 15 buah diterima ?2. Berapa probabilitas 13 buah diterima ?3. Berapa probabilitas 10 buah diterima ?

b(x ;n , p) = (nx) p x qn−x , x=0,1,2,3. .. n

Jawab : (1)n = 15 ; x = 15 ; p = 0.9 ; q = 0.1

DISTRIBUSI BINOMIAL : CONTOH

b(x ;n , p) = (nx) p x qn−x , x=0,1,2,3. .. n

Jawab : (2)n = 15 ; x = 13 ( 13 diterima atau 2 ditolak) ; p = 0.9 ; q = 0.1

b(x ;n , p) = (nx) p x qn−x , x=0,1,2,3. .. n

Jawab : (3)n = 15 ; x = 10 ; p = 0.9 ; q = 0.1

DISTRIBUSI BINOMIAL : CONTOH

Suatu suku cadang dapat menahan uji goncangan tertentu dengan peluang 3/4. Hitunglah peluang bahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yang diuji tidak akan rusak.

b(x ;n , p) = (nx) p x qn−x , x=0,1,2,3. .. n

Jawab : (1)n = 4 ; x = 2 ; p = 0.75 ; q = 0.25

BINOMIAL : RATAAN dan VARIANS

Distribusi Binomial

mempunyai rataan dan variansi : µ = n.p dan σ2 = n.p.q

b(x ;n , p) = (nx) p x qn−x , x=0,1,2,3. .. n

Biasanya soal yang dihadapi diharuskan kita menghitung P(X < r) atau P(a ≤ X ≤ b).Untuk kasus semacam ini Anda dapat menggunakan tabel BINOMIAL.

DISTRIBUSI BINOMIAL

Sepasang suami-istri merencanakan memiliki 3 anak. Bila X menyatakan banyaknya kelahiran anak laki-laki, hitunglah :1. Probabilitas kelahiran 2 anak laki-laki2. Probabilitas memiliki tidak lebih dari 2 anak laki-laki,3. Hitunglah rata-rata dan simpangan baku

Jawab : (1)Probabilitas kelahiran anak laki-laki dan perempuan sama = 0.5.n = 3 ; x = 2; p = 0.5. P(X=2) ?

b(x ;n , p) = (nx) p x qn−x , x=0,1,2,3. .. n

DISTRIBUSI BINOMIAL

Jawab : (2)Probabilitas kelahiran anak laki-laki dan perempuan sama = 0.5.n = 3 ; p = 0.5 ; x ≤ 2 .... x = 0, x = 1 dan x = 2

b(x ;n , p) = (nx) p x qn−x , x=0,1,2,3. .. n

Dapat juga menggunakan tabel distribusi binomial, yakni :

P (X ⩽ 2) ∑0

2

b(x ;3,0.5) = b(0 ;3,0.5) + b(1 ;3,0.5) + b(2 ;3,0.5)

DISTRIBUSI BINOMIAL

Jawab : (3)Rataan dan varians kelahiran anak laki-laki :µ = n.p dan σ2 = n.p.q

DISTRIBUSI BINOMIAL

Peluang seorang pasien sembuh dari suatu penyakit darah yang jarang terjadi adalah 0.4. Jika diketahui 15 orang yang telah mengidap penyakit ini, tentukan peluang:

a. Sekurang-kurangnya 10 orang bisa sembuh,b. dari 3 sampai 8 orang bisa sembuh, danc. tepat 5 orang bisa sembuh.

Jawab (a)Misalkan X jumlah pasisen yang sembuh, n = 15 dan p = 0.4

P (X ⩽ 10) = 1−P (X <10) = ∑0

9

b(x ;15,0.4)

DISTRIBUSI BINOMIAL

Peluang seorang pasien sembuh dari suatu penyakit darah yang jarang terjadi adalah 0.4. Jika diketahui 15 orang yang telah mengidap penyakit ini, tentukan peluang:

a. Sekurang-kurangnya 10 orang bisa sembuh,b. dari 3 sampai 8 orang bisa sembuh, danc. tepat 5 orang bisa sembuh.

Jawab (b)Misalkan X jumlah pasisen yang sembuh, n = 15 dan p = 0.4

P (3 ⩽ X ⩽ 8) = ∑3

8

b(x ;15,0.4)

P (3 ⩽ X ⩽ 8) = ∑0

8

b(x ;15,0.4) − ∑0

2

b( x ;15,0.4)

DISTRIBUSI BINOMIAL

Peluang seorang pasien sembuh dari suatu penyakit darah yang jarang terjadi adalah 0.4. Jika diketahui 15 orang yang telah mengidap penyakit ini, tentukan peluang:

a. Sekurang-kurangnya 10 orang bisa sembuh,b. dari 3 sampai 8 orang bisa sembuh, danc. tepat 5 orang bisa sembuh.

Jawab (c)Misalkan X jumlah pasisen yang sembuh, n = 15 dan p = 0.4

P (X=5) = ∑0

5

b( x ;15,0.4) −∑0

4

b(x ;15,0.4)