transient pada rangkaian listrik
Post on 07-Apr-2018
247 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
1/62
TRANSIENT PADA RANGKAIAN LISTRIK
Pada suatu sistem biasanya mengalami dua kondisi
peristiwa yaitu kondisi gejala perubahan atauperalihan (transient) dan keadaan mantap (steadystate).
Transient adalah peristiwa terjadinya perubahan-perubahan pada suatu sistem yang disebabkan olehpengaruh yang dikenakan pada sistem atau keadaansuatu sistem yang merupakan fungsi waktu f(t),Misalnya suatu sistem mulai dioperasikan maupunpada suatu sistem pada saat bebannya berubah.
Steady State adalah merupakan keadaan suatu sistemdimana gejala transient telah berakhir.
Sedangkan sistem adalah suatu kumpulan elemen-elemen yang dihubungkan satu dengan lainnya sertadapat dinyatakan dalam bentuk ilmu pasti.
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
2/62
LANJUTAN
Persolan-persoalan gejala peralihan pada rangkaian listrik dapat
diselesaikan dengan dua cara yaitu:
Penyelesaian dengan persamaan diferensial
Penyelesaian dengan methode Laplace
Penyelesaian Dengan Persamaan Diferensial
Transient Rangkaian Seri R-L
Untuk melihat respon arus pada rangkaian seri R-L dapat diperlihatkan
pada rangkaian seri R-L dibawah ini;
Rangkaian diatas adalah suatu rangkaian seri R-L dengan sumbertegangan konstan V, maka pada saat t=0, maka switch ditutup, denganmenggunakan hukum kirchoff tegangan diperoleh persamaan seperti :
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
3/62
LANJUTAN
Persamaan (1) merupakan persamaan diferensial orde satu linier,setrusnya persamaan dapat dituliskan ;
Persamaan diatas diintergrasikan sehingga diperoleh persamaan sbb;
dt
tdiLtRiV .(1)
R
V
dt
tdi
R
Lti
dt
tdiRL
RVti
dt
L
R
R
Vti
tdi
dt
L
R
R
Vti
tdi
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
4/62
LANJUTAN
Setelah diintegrasikan diperoleh persamaan sbb;
KtL
R
R
ViLn
tL
Rt
L
R
KKt
L
R
eKR
Viatauee
R
Viataue
R
Vi
'
t
L
R
eKR
Vi
't
Untuk menentukan nilai konstansta K, sesaat sebelum switch ditutup t=0-,dan sesaat sesudah switch ditutup t=0+, maka arus yang melalui rangkaian
adalah nol, sebab respon arus yang melalui L tidak dapat berubah secaraseketika.
Untuk t=0, yaitu sesaat switch ditutup maka persamaan (2) menjadi;
.(2)
0
'0
LR
eK
R
V
R
VK 'sehingga
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
5/62
LANJUTAN
Harga K yang telah diperoleh disubsitusikan kepersamaan (2) sehingga
diperoleh persamaan sebagai berikut;
t
LR
eR
V
R
Vi
t
t
LR
eR
Vi 1t .(3)
Dari persamaan (3) terlihat persamaan terdiri dari dua bagian yaitu bagian
pertama dari ruas kanan disebut harga steady state dan bagian kedua
disebut harga transient, sehingga dapat dituliskan respon arus i(t) = iss+it;
Persamaan (3) ini juga memperlihatkan keadaan transient setelah switch
ditutup dan terlihat pada permulaan arus adalah nol t=0.
Respon arusnya dapat digambarkan grafik transient dari arus sbb;
atau
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
6/62
Contoh
Suatu rangkaian seri dari R=50 dan L=10H, pada saat t=0, maka switch
ditutup sehingga rangkaian terhubung dengan sumber tegangan konstan
yang besarnya 100 volt.
Tentukan persamaaan arus yang mengalir pada rangkaian, dan berapa besar
arus setelah 0,5 detik switch ditutup.
t
ei 1050
150
100t tei 512t atau
Besar arus setelah 0,5 detik switch ditutup adalah
Ampereei 836,1082,01212t 5,05
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
7/62
LATIHAN
Dari gambar rangkaian dibawah ini;
Sebelum switch ditutup diketahui rangakaian telah dalam keadaan steady
state, maka arus yang ada dalam rangkaian sebelum switch ditutup adalahi0- = V/(R1+R2).
Tentukan respon arus pada rangkaian apabila saklar ditutup pada saat t =
0, dimana sebelum rangkaian sudah mencapai keadaan steady state dan
besarnya arus ketika waktu mencaapai t=10 detik.
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
8/62
PEMBAHASAN
Sebelum saklar ditutup, arus pada rangkaian adalah I0-_= V/(R1+R2).
Kalau saklar ditutup persamaan tegangan adalah R2i(t)+Ldi(t)/dt = V,
sehingga diperoleh persamaan arusnya adalah :
i(t) + (L/R2) x di(t)/dt = V/R2.
(i(t) - V/R2) = -(L/R2) x di(t)/dt atau di(t)/(i(t) - V/R2) = -(R2/L) dt
Setelah diintegrasikan diperoleh persamaan arusnya
ln (i(t) - V/R2) = -(R2/L) t+K atau (i(t) - V/R2)=e
-(R2/L) t+K
. maka (i(t) - V/R2) = Ke
-(R2/L) t atau i(t) = V/R2+Ke-(R2/L)t(*).
Karena arus pada saat t = 0_adalah I0-_= V/(R1+R2). Dan karena arus yang
mengalir pada induktor L tidak bisa berubah dengan seketika maka arus
pada t = 0 juga sebesar arus pada t = 0_.
Maka pada saat t = 0, pada rangkaian juga mengalir arus sebesar i= 0_,sehingga pada t = 0 persamaan (*) menjadi
i(t)=i0=i0_= V/(R1+R2)= V/R2+Ke-(R2/L)x0
K =V/(R1+R2)- V/R2=V [R2-(R1+R2)]/R2(R1+R2)= -V.R1/R2(R1+R2)
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
9/62
LANJUTAN PEMBAHASAN
Harga K disubsitusikan kembali kepersamaan (*) sehingga diperoleh
i(t) = V/R2(1- R1/(R1+R2) e-(R2/L)t
Ampere (**). Maka besarnya arus setelah saklar ditutup 5millidetik adalah
i(t) = 200V/50(1- 10/(10+50) e -(50/10)t ampere = 3,251 ampere
Maka tegangan di R2 setelah saklar ditutup selama 5 mdetik adalah
VR2 = i(0,005) x R2 = 3,251*50 = 162,552 volt
Besar tegangan pada induktansi L setelah saklar ditutup selama 5mdetik
adalah :
VL= V-VR2 = 200 volt - 162,552 volt = 37,448 volt
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
10/62
Faktor Integrasi (Integrating Faktor)
Suatu persamaan diferensial orde satu yang tidak homogen dapat juga
diselesaikan dengan bantuan suatu faktor integrasi. Misalkan suatu persamaan differensial ;
QtPi
dt
tdi ...(4)
Dimana dalam hal ini P adalah suatu konstanta sedangkan Q adalah suatu konstantaatau fungsi dari waktu (t). Persamaan (4) ini tidak akan berubah harganya apabiulakedua sisi persamaan dikalikan dengan suatu besaran yang sama, maka apabilapersamaan (4) ini kita kalikan dengan suatu besaran ePt (besaran disebut sebagai faktorintegrasi maka hasilnya adalah
PtPtPt QeetPi
dt
tdie ..(5)
Persamaan (5) dapat disederhanakan menjadi bentuk perkalian
differensial
PtPtPtPt QeetPidt
tdieei
dt
d. .(6)
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
11/62
LANJUTAN
Jika persamaan (6) diintegrasikan maka diperoleh persamaan sbb;
dteQeidataueQeidtd
PtPtPtPt
....
KdteQei PtPt .. Dari persamaan (7) dapat diperoleh persamaan arusnya sbb;
.(7)
PtPtPt eKdteQei .. .(8)
Dari persamaan (8) dapat dibagi atas dua bagian yaitu
Suku pertama sebelah kanan persamaan arus disebut particular integrasi
Suku kedua sebelah kanan persamaan arus disebut complementary
function atau fungsi komplementer. Terlihat bahwa particular integrasi tidak mengandung konstanta K
demikian pula fungsi complementary tidak tergantung pada Q.
Pada umumnya P adalah konstanta yang positip yang tergantung padaparameter rangkaian, sedangkan Q adalah fungsi penguat atauturunannya.
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
12/62
Transient Rangkaian Seri R-C
Pada rangkaian seri R-C diperlihatkan seperti gambar dibawah ini;
Pada saat switch ditutup t = 0, dimana sebelummya kapasitor c tidak
memiliki muatan (qo = 0), maka menurut hukum kirchoff tegangan dapat
dituliskan :
dttiC
tRiV 1
0
C
ti
dt
tdiR
Bila persamaan (9) dideferensialkan diperoleh persamaan sbb;
.(9)
...(10)
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
13/62
LANJUTAN
Jika persamaan (10) disederhanakan diperoleh persamaan arus sbb;
dtRCtitdi 1
Jika persamaan ini diintegrasikan didapat persamaan sbb;
dtRCti
tdi 1
KRC
ttiLn
RCt
RC
t
KK
RC
t
eKeeeti
'. ....(11)
Menentukan harga konstanta K, dengan mensubsitusikan pada saat
t=0,nilai arus adalah io, sehingga persamaan (9) menjadi
R
Visehinggadi
CRiV 000 ,0
1
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
14/62
LANJUTAN
Harga i(o) (arus awal untuk t=0) disubsitusikan kedalam persamaan (11)
sehingga diperoleh
R
VKmakaeK
R
Vi RC
','
0
0
Harga K ini disubsitusikan kemabli kepersamaan (11) sehinggga didapat
RCt
RC
t
eRVeiti
0 .....(12)
Adapun respon arus terhadap waktu dapat plot seperti gambar dibawah ini;
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
15/62
LANJUTAN
Hubungan tegangan transient adalah
RCt
RC
t
R eVeR
VRRtiV
....
RCt
RC
t
C eVdteR
V
Cdtti
CV 1.
11
.....(13)
.....(14)
Daya sesaat adalah
RCt
RR eR
VtiVP
22
RC
t
RC
t
CC ee
R
VtiVP
22
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
16/62
LANJUTAN
Daya total rangkaian seri R-C adalah
RC
t
CRT eR
V
PPP
2
Transient dari muatan q pada rangkaian seri RC
Pada rangkaian seri RC adakalanya diperlukan persamaan yang
menyatakan transient dari muatan q.
Kalau rangkaian seperti dibawah ini pada saat t=0 switch ditutup
sebelumnya C tidak memiliki muatan
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
17/62
LANJUTAN
Setelah switch ditutup maka dapat dituliskan persamaan menurut hukum
kirchhof tegangan
tiRdttiC
V ..1
Karena arus i(t)=dq/dt, maka persamaan menjadi;
dt
dq
RdqCdt
dq
Rdtdt
dq
CV .
1
..
1
dt
dqR
C
qV . atau dapat dituliskan
CVq
dt
dqRC dt
RCCVq
dq 1
atau dapat dituliskan
Jika persamaan diatas diintegrasikan menjadi;
KRCt
CVq
dtRCCVq
dq
ln
1
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
18/62
LANJUTAN
Jadi persamaan muatan q adalah sbb;
'KRC
t
eCVq
RC
t
KeCVq
RC
t
KeCVq
Pada saat t = 0, muatan q = 0,sehingga K adalah sbb;
CVK
Sehingga diperoleh persamaan muatan q adalah
RC
t
RC
t
eCVCVeCVq
1
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
19/62
Contoh Soal
Suatu rangkaian RC seri dengan parameter R=500 dan muatan
kapasitansi q=0,5mF, dimana sebelumnya muatan dari C adalah nol.
Tentukan persamaan arus dari rangkaian setelah switch ditutup.
Rangkaian Transient R-L-C Seri
Pada saat switch ditutup t = 0, dimana sebelummya kapasitor c tidak
memiliki muatan (qo = 0), maka menurut hukum kirchoff tegangan dapat
dituliskan :
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
20/62
LANJUTAN
Berdasarkan hukum Kirchoff tegangan dapat ditentukan persamaan
tegangan pada rangkaian R-L-C sebagai berikut;
dttiCdttdi
LtRiV1
Jika persamaan (15) dideferensialkan, maka diperolah persamaan sbb;
......(15)
C
ti
dt
tidL
dt
tdiR
2
2
0
02
2
C
ti
dt
tdiR
dt
tidLatau dapat dituliskan
022
LCti
dttdi
LR
dttid Jika p=d/dt, maka persamaan dapat ditulis
012 ti
LCtpi
L
Rtip 0
12
ti
LCp
L
Rpatau ......(16)
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
21/62
LANJUTAN
Sehingga persamaan karakteristik dari sistem untuk rangkaian diatas yang
berbentuk persamaan diferensial orde dua.
Akar-akar dari persamaan (16) adalah
a
acbbp
2
42
12
a
LCL
R
L
R
p2
42
12
atau
Maka diperolah p1 dan p2 sebagai berikut;
LCL
R
L
Rp
1
22
2
1
dan
LCL
R
L
Rp
1
22
2
2
Jika dimisalkan a = - R/2L dan b = ((R/2L)2-1/LC)1/2; maka dapat dituliskan;
p1 = (a+b) dan p2 = (a-b) .
Nilai Parameter dari b dapat bernilai positip, nol dan negatif
Jika (R/2L)2 > 1/LC, keadaan sistem bersifat overdamp, dalam keadaan iniakar akar p1 dan p2 adalah nyata dan berbeda, sehingga persamaan (16)dapat dituluskan menjadi;
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
22/62
LANJUTAN
[p-(a+b)][p-(a-b)]i = 0,atau [p-p1][p-p2]i = 0.
Kemudian dimisalkan: (p-p2
)i=u.
maka (p-p1)u = 0.
Seterusnya dapat dituliskan du/dt-p1u = 0, du/u=p1dt , maka diperoleh lnu
= p1t+K, sehingga u=e-(p1t+K) , atau u=e-p1t.eK, maka didapat (p-p2)i = K. e
-p1t
.
atau di/dt-p2i = K. e-p1t
..(17), Kalau persamaan (17) dikalikan dengan faktor integrasi e-p2t, maka didapat
tpptptptptp eKeeKiepdt
die 21212
2
2'.'
Karena ;
tptptp iepdt
dieeid
2
2
22 .........(19)
......(18)
Maka persamaan (19) menjadi ;
tpptp
eKeid
212
'
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
23/62
LANJUTAN
Bila diintegrasikan
"
21
'.
'.
212
212
Kepp
Kei
eKeid
tpptp
tpptp
tptptpp eKeepp
Ki 2221
21
"'
Persamaan diatas dikalikan dengan ep2.t , sehingga diperoleh persamaanyang baru
tptpeKe
pp
Ki
2
21
"'
1
Jika dimisalkan C1=K/(p1-p2) dan C2= K, maka persamaan dapat dituliskan;
tptp eCeCti 221
1
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
24/62
LANJUTAN
Karena p1=(ab) dan p2=(ab), sehingga persamaan menjadi ;
tt eCeCti baba .. 21
ttt eCeCeti bba ..21
Atau dapat disederhanakan menjadi;
.........(20)
Nilai parameter C1 dan C2 ditentukan dari kondisi awal, sedangkan a
dan b ditentukan oleh parameter rangkaian.
Kalau digambarkan respon arusnya terhadap waktu seperti
ditunjukkan pada gambar dibawah ini
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
25/62
KEADAAN II : (R/2L)2=1/LC (Keadaan Critical Damped)
Jika akar akar persamaan karakteristik p1 dan p2 sama, maka persamaan
(16) dapat dituliskan sebagai berikut :
0 tipp aa
Jika akar akar persamaan karakteristik p1 dan p2 sama, dimisalkan:
utip a maka, 0 up a
Jika akar akar persamaan karakteristik ditulis dalam bentuk diferensial :
udt
dua dtu
dua
Jika persamaan diintegrasikan diperoleh rumusan;
'ln Ktu a tKtKt Keeeeu aaa 'Sehingga diperoleh variabel,
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
26/62
LANJUTAN
Karena variabel u pada persamaan karakteristik telah diperoleh maka
persamaan diferensial terhadap arus dapat diselesaikan;
utip a tKeidt
tdi aa
Persamaan diatas dikalikan dengan faktor e-at; maka persamaan diatas
menjadi;
tttt eeKiedttdieaaaa a ..
Kiedt
tdie
tt
aa
aatau,
Dalam bentuk diferensial,
Persamaan diferensial diatas dapat dibentuk dalam bentuk diferensialkompoud parsial sbb;
ttt iedt
tdieetid
aaa a . maka dapat dituliskan Ketid t a.
diintegrasikan,
dtKetidt
..a '. KKteti t a
tt eKetKti aa '..
maka dihasilkan persamaan
Jika K=C1
dan K=C2
, maka menjadi
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
27/62
LANJUTAN
Maka diperoleh persamaan karakteristik yang akar-akar sama adalah
tt
etCeCti
aa
..21
.......(21)
0 5 10 15 20 25
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
28/62
KEADAAN III; (R/2L)2
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
29/62
LANJUTAN
Menurut rumus EULERS
ejbt = cosbt + jsinbt
e
-jb
t
= cosbt jsinbt Jadi persamaan diatas menjadi eperti ditunjukkanm dibawah ini;
tjtCtjtCeti t bbbba sincos.sincos21
tCCjtCCetit
bba
sincos 2121 tjKtKeti t bba sincos
21
Dengan K1=(C1+C2) dan K2 = (C1-C2)
.......(22)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
30/62
LANJUTAN
Kalau digambarkan ketiga respon persamaan sistem orde dua seperti
ditunjukkan pada gambar dibawah ini;
Dengan parameter z= (1/4LC)1/2,
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
31/62
LATIHAN
Suatu rangkaian seri RLC dengan parameter R=200 , L=0,1 H dan
C=100mF, pada saat t=0, saklar dari rangkaian ditutup sehingga rangkaian
terhubung dengan catu daya dengan tegangan konstan dc 200volt, dengan
menganggap bahwa muatan kapasitor mula-mula adalah nol, maka
tentukanlah persamaan arus yang mengalir pada rangkaian setelah
penutupan saklar dan gambarkan respon arusnya.
Penyelesaian
Dik : R=200 , L=0,1 H dan C=100mF serta catu daya dc 200V
Dit : Persamaan arus yang mengalir dirangkaian i(t) dan respon arusnya
Persamaan tegangan berdasartkan Hukum Kirchoff setelah saklar tertutup :
VdttiCdttdi
LtRi
1
20010100
11,0200
6
dttidt
tditi
000.2000.100000.2 dttidt
tditi
....(*)
....(**)
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
32/62
LANJUTAN
Persamaan diatas dideferensialkan menjadi
0000.100000.222
tidttdi
dttid
0000.100000.22 tipp Maka akar-akar persamaan karakteristik
3,512
000.1004000.2000.2
2
1 p
7,948.12
000.1004000.2000.22
2
p
Atau parameter a dan b adalah
000.11,02
200
a 7,948
101001,0
1
1,02
2006
2
bdan
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
33/62
LANJUTAN PEMBAHASAN
Melihat akar-akar dari persamaan karakteristik ternyata sistem ini bersifat
over damped. Sehingga dapat dituliskan persamaan arus pada rangkaian
sbb;
ttt eCeCeti bba ..21
ttt eCeCeti 7,9482
7,948
1
000.1..
Untuk menentukan C1 dan C2, maka digunakan dua keadaan awal,pertama pada saat t = 0_, maka i(t) = 0, dan juga nol pada saat t = 0 +.maka
persamaan (*) diatas manjadi;
2000
10100
11,00200
6
dtdt
tdi
000.2
dt
tdi
....(***)
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
34/62
LANJUTAN PEMBAHASAN
Untuk t=0, maka i(t)=0, maka persamaan arus menjadi
07,948
2
07,948
1
0000.1
..0
eCeCe
Sehingga diperoleh konstanta C1 = - C2.
Maka persamaan arus menjadi
tt eeCti 7,948.13,511 Jika dideferensialkan diperoleh
tt eeC
dt
tdi 7,948.13,511
.7,948.1.3,51
Karena pada saat t = 0, di(t)/dt = 2.000.
Maka subsitusikan nilai di(t)/dt kepersamaan (****) diperoleh persamaan arus
07,948.103,51
1
.7,948.1.3,51000.2 eeC
....(****)
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
35/62
LANJUTAN PEMBAHASAN
dan
17,948.113,51000.21
C 7,897.1000.2 1C
0539,11 C 0539,12 C
Selanjutnya subsitusikan nilai parameter C1 dan C2 kepersamaan arus (***) ;
Ampereeeeti ttt .0539,1.0539,1 7,9487,948000.1
Ampereeeti tt 0539,1 7,948.13,51
Atau persamaan arus menjadi
0 0.01 0.02 0. 03 0.04 0. 05 0.06 0. 07 0.08 0.09 0. 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
atau
Gambar respon arus yang mengalir pada rangkaian menjadi
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
36/62
LATIHAN Critical damperd
Suatu rangkaian seri RLC dengan parameter R = 20, L= 0,5 H dan
C=5.000mF, pada saat t = 0, saklar dari rangkaian ditutup sehingga
rangkaian terhubung dengan catu daya dengan tegangan konstan dc 150
volt, dengan menganggap bahwa muatan kapasitor mula-mula adalah nol.
Tentukanlah persamaan arus yang mengalir pada rangkaian setelah
penutupan saklar .
Gambarkanlah Respon Arus yang mengalir pada rangkaian
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
37/62
LATIHAN
Suatu rangkaian seri RLC dengan parameter R = 10, L= 1 H dan C=0.04F,pada saat t = 0, saklar dari rangkaian ditutup sehingga rangkaian terhubung
dengan catu daya dengan tegangan konstan dc 10 volt, dengan menganggapbahwa muatan kapasitor mula-mula adalah nol.
Tentukanlah persamaan arus yang mengalir pada rangkaian setelahpenutupan saklar .
Gambarkanlah Respon Arus yang mengalir pada rangkaian
Penyelesaian Dik : R=10 , L=1 H dan C=0,04F serta catu daya dc 10V
Dit : Persamaan arus yang mengalir dirangkaian i(t) dan respon arusnya
Persamaan tegangan berdasartkan Hukum Kirchoff setelah saklar tertutup :
VdttiCdttdi
LtRi 1
01104
1.110
2
dttidt
tditi
102510
dtti
dt
tditi
....(*)
....(**)
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
38/62
LANJUTAN
Persamaan diatas dideferensialkan menjadi
0251022
tidt
tdi
dt
tid
025102 tipp Maka akar-akar persamaan karakteristik
52
2541010
2
1 p
52
25410102
2
p
Atau parameter a dan b adalah
512
10
a 0
04.01
1
12
102
bdan
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
39/62
LANJUTAN PEMBAHASAN
Melihat akar-akar dari persamaan karakteristik ternyata sistem ini bersifat
critical damped. Sehingga dapat dituliskan persamaan arus pada rangkaian
sbb;
tCCeti t .21
a
tCCeti t .21
5
Untuk menentukan C1 dan C2, maka digunakan dua keadaan awal,pertama pada saat t = 0_, maka i(t) = 0, dan juga nol pada saat t = 0 +.maka
persamaan (*) diatas manjadi;
100250100 dt
dt
tdi
ikAmpere
dt
tdidet/10
....(***)
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
40/62
LANJUTAN PEMBAHASAN
Untuk t=0, maka i(t)=0, maka persamaan arus menjadi
0.0 2105
CCe
Sehingga diperoleh konstanta C1 = 0.
Dari persamaan arus (***) menjadi
tCeti t 25 Jika dideferensialkan diperoleh
2
5
2
55 CetCe
dt
tdi tt
Karena pada saat t = 0, di(t)/dt = 10 A/detik.
Maka subsitusikan nilai di(t)/dt kepersamaan (*****) diperoleh persamaan arus
....(*****)
2
5
2
5510 CetCe
tt
....(****)
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
41/62
LANJUTAN PEMBAHASAN
102 C
Selanjutnya subsitusikan nilai parameter C2 kepersamaan arus (****) ;
atau
Gambar respon arus yang mengalir pada rangkaian menjadi
2
05
2
050510 CeCe
Ampereteti t10 5
0 0.5 1 1.5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
42/62
LATIHAN critical damped
Suatu rangkaian seri yang terdiri dari R=80 ohm, L=0,1 H, dan
C=6.25mF.Pada saat t=0, saklar yang ada pada rangkaian ditutup sehingga
rangkaian terhubung dengan sumber tegangan dc sebesar 100 volt, makadengan mengabaikan semua keadaan awal nol.
Tentukanlah persamaan arus yang mengalir pada rangkaian setelah saklar
ditutup.
Gambarkanlah respon arus yang mengalir pada rangkaian seri RLC
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
43/62
LANJUTAN
Persamaan diatas dideferensialkan menjadi
0000.2005002
2
tidt
tdi
dt
tid
0000.205002 tipp Maka akar-akar persamaan karakteristik
3712502
000.20045005002
1 jp
3712502
000.20045005002
2jp
Atau parameter a dan b adalah
2501,02
50
a 37110375,1
10.501,0
1
1,02
50 56
2
j
bdan
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
44/62
LANJUTAN PEMBAHASAN
Melihat akar-akar dari persamaan karakteristik ternyata sistem ini bersifat
under damped. Sehingga persamaan arus pada rangkaian dapat dituliskan
sbb;
tKtKeti t bba sin.cos21
Untuk menentukan K1 dan K2, maka digunakan dua keadaan awal, pertamapada saat t = 0_, maka i(t) = 0, dan juga nol pada saat t = 0 +.maka
persamaan (*) diatas manjadi;
000.10000.2000500 dt
dt
tdi
ikAmpere
dt
tdidet/000.1
....(***) tKtKeti t 371sin371cos21
250
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
45/62
LANJUTAN PEMBAHASAN
Untuk persamaan arus (***) pada t=0, i(t)=0, sehingga menjadi
Sehingga diperoleh konstanta K1 = 0.
Sehingga persamaan arus (***) menjadi
teKti t 371sin2502
Jika dideferensialkan diperoleh
teteKdt
tdi tt371cos371371sin250
250250
2
Karena pada saat t = 0, di(t)/dt = 1.000 A/detik.
Maka subsitusikan nilai di(t)/dt kepersamaan (*****) diperoleh persamaan arus
....(*****)
....(****)
0371sin0371cos0 210250
KKeti
0371cos3710371sin250000.1 025002502
eeK
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
46/62
LANJUTAN PEMBAHASAN
695,22 K
Selanjutnya subsitusikan nilai parameter K2 kepersamaan arus (****) ;
atau
Gambar respon arus yang mengalir pada rangkaian menjadi
3710000.12
K
teti t 371sin695,2 250
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
47/62
LATIHAN Under damped
Suatu rangkaian seri yang terdiri dari R=20 ohm, L=0,01 H, dan
C=20mF.Pada saat t=0, saklar yang ada pada rangkaian ditutup sehingga
rangkaian terhubung dengan sumber tegangan dc sebesar 180 volt, makadengan mengabaikan semua keadaan awal nol.
Tentukanlah persamaan arus yang mengalir pada rangkaian setelah saklar
ditutup.
Gambarkan respon arus yang mengalir pada rangkaian
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
48/62
LANJUTAN
Jika (R/2L)2 < 1/LC, keadaan sistem bersifat underdamp, dalam keadaan
ini akar akar p1 dan p2 adalah nyata dan imaginer, secara umum
persamaan orde dua dapat dituliskan sebagai berikut:
012
ti
LCp
L
Rp
222 nnpp Atau dapat menjadi;
12
1 nnp
122 nnp
Sehingga akar-akarnya menjadi;
Dengan hubunngan parameter sebagai berikut;
n=1/LC dan z=(1/4LC)1/2,
Kedua akar ini membentuk akar pasangan kompleks, akar kembar nyata atau duaakar nyata yang tidak sama, tergantung pada nilai peredaman z1.Ketiga nilai faktor peredaman ini akan menghasilkan tanggapan pada keluaranmenjadi underdamped (z1).
Pada sistem underdamped, pecahan parsial dari persamaan 21 dapat dikembangkan
.........(21)
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
49/62
Tabel Karakteristik respon masukan pada sistem orde dua
Pada sistem underdamped, pecahan parsial dari persamaan 6 dapatdikembangkan
2122
2
2 pp
C
pp
B
p
A
pp
EsC
nn
n
Faktor peredaman Akar-akar dari
S2+2zn+n2 Respon
z< 1 Underdamp
z 1 Critically damped
z>1 Overdamp
2
,121 nn jp
12
,12 nnp
np ,12
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
50/62
LANJUT MODEL SISTEM ORDE DUA
Dengan
Melihat persamaan (22) kita tahu bahwa untuk faktor peredaman kurang darisatu akan diperoleh kutub-kutub khayal p1 dan p2 . Kutub-kutub ini terletakpada bidang s dengan koordinat .
Bagian nyata
Bagian khayal
2
11 nn jp
2
21 nn jp
Gambar 6 Konfigurasi kutub pada sistem underdamped
21 nn jj
n
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
51/62
LANJUT MODEL SISTEM ORDE DUA
Dari gambar 6 tampak kutub p1 membentuk sudut yang diukur terhadap
sumbu nyata negatif dengan
Sehingga nilai konstantakonstansta nya adalah
dan serta
Dengan mensubsitusikan A,B, dan C ke dalam persamaan (22)
menghasilkan
Dengan mengambil inverse transformasi Laplace diperoleh respon keluaran
a1
cos 21sin a
Epp
EA
pnn
n
0
22
2
2
a a
sin211
2
2
j
Ee
jpp
EB
j
ppnn
n
a a
sin212
2
2
j
Ee
jpp
EC
j
ppnn
n
21
sin2sin2
pp
j
Ee
pp
j
Ee
p
EsC
ii
aa
aa
tj
itj
innnn
ej
Eee
j
EeEtc
22
11
sin2sin2
a
a
aa
a
2
2
1sin
1
1 te
Etcn
tn
.....(23)
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
52/62
LANJUT MODEL SISTEM ORDE DUA
Respon keluaran sistem berosilasi pada frekwensi d,
Frekwensi ini disebut frekwensi teredam (damped natural frequency) dan
selalu lebih rendah dari frekwensi natural tak teredam n. Tampak pada
gambar 8 bahwa tanggapan untukz
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
53/62
LANJUT MODEL SISTEM ORDE DUA
Melihat tanggapan transien pada gambar 8 dapat ditetapkan beberpa
kriteria yang digunakan dalam menentukan kinerja sistem.
Gambar 9 menunjukkan sistem yang menanggapi masukan fungsi tangga
dengan satu sistem berosilasi.
Gambar 9. Kriteria kinerja dari sistem orde dua
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
54/62
LANJUT MODEL SISTEM ORDE DUA
Dari persamaan (23) dapat dinyatakan bahwa keluaran c(t) akanmencapai
nilai 100% dari harga akhir pada saat c(t)=E, bila
Hal ini akan terjadi jika
Kondisi m=1 bertepatan dengan waktu naik, t=tr. Sehingga untuk sistem
berosilasi
Dengan demikian untuk membuat waktu naik tr yang cepat, maka perlu
dibentuk agar frekwensi natural n lebih besar
Dengan mempergunakan teori min-max kakulus kita dapat menentukan
waktu terjadi harga puncak maksimum (overshoot). Kita awali dengan
menurunkan c(t) pada persamaan (23) kemudian hasilnya disamakan
dengan nol, akhirnya kita bisa menentukan waktu puncak tp.
01sin 2 a tn
,...3,2,1,12 mmtn a
2
1
21
cos
1
a
nn
rt.........(9)
LANJUT MODEL SISTEM ORDE DUA
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
55/62
LANJUT MODEL SISTEM ORDE DUA
Persen overshoot POT adalah puncak keluaran pertma yang mengukur
seberapa besar keluaran melebihi harga puncak;
POT hanya tergantung pada nilai , sedang tp tergantung pada nilai n dan
z. Keluaran c(t) mengalami harga puncak kedua ketika k=2 yaitu
Dalam aplikasi sebeanrnya umumnya diharapkan nila POT serendah
mungkin dan tanggapansistem secepat mungkin. tp bisa digunakan untuk
mengukur kecepatan tanggapanb keluaran.
Settling time ts menandakan suatu titik tempat sistem tersebut mencapaikondisi mantap. Definisi kondisi mantap ini dalam prakteknya dibatasi
dalam lebar jalur dari masukan (yaitu 5% diatas masukan
dan 5% dibawah masukan). Seperti tampak dalam gambar 9
21
%100%100
eE
EtcPOT
p .......(12)
22
1
2
nt
%5%2 atau
........(13)
LANJUT MODEL SISTEM ORDE DUA
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
56/62
LANJUT MODEL SISTEM ORDE DUA
Pada saat ini terjadi overshoot maksimum. Dengan demikian
Jadi respon keluaran pada saar waktu puncak adalah sebagai berikut,
Dan karena sin(+a) = sincosa+cossina = -sina Dan
21
kt
pn
a
sin1
12
12
k
p
eEtc
2
2
2
12
2
1
2
1
111
1
sin1
1
a
kk
p
k
p
eEe
Etc
eEtc
......(11)
LANJUT MODEL SISTEM ORDE DUA
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
57/62
LANJUT MODEL SISTEM ORDE DUA
Persen overshoot POT adalah puncak keluaran pertma yang mengukur
seberapa besar keluaran melebihi harga puncak;
POT hanya tergantung pada nilai , sedang tp tergantung pada nilai n dan
z. Keluaran c(t) mengalami harga puncak kedua ketika k=2 yaitu
Dalam aplikasi sebeanrnya umumnya diharapkan nila POT serendah
mungkin dan tanggapansistem secepat mungkin. tp bisa digunakan untuk
mengukur kecepatan tanggapanb keluaran.
Settling time ts menandakan suatu titik tempat sistem tersebut mencapaikondisi mantap. Definisi kondisi mantap ini dalam prakteknya dibatasi
dalam lebar jalur dari masukan (yaitu 5% diatas masukan
dan 5% dibawah masukan). Seperti tampak dalam gambar 9
21
%100%100
eE
EtcPOT
p .......(12)
22
1
2
nt
%5%2 atau
........(13)
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
58/62
LANJUT MODEL SISTEM ORDE DUA
Pada daerah lebar jalur ini, untuk kriteria jalur
Jadi sehingga waktu settling ts adalah
Dan untuk kriteria jalaur diperoleh ts=4t.
Contoh Sebuah sistem orde dua mempunyai fungsi alih
Dengan masukan fungsi tangga, r(t)=40u(t)
Hitung POT
Nilai keluaran c(t) pada harga puncak pertama dan kedua. Serta waktu yang bersesuaian
Waktu naiuk tr, dan waktu menetap ts.
%5
05,011
EeE
st
t
05,0 tst
e
n
st
t3
3
%2
250020
25002
sssR
sC
...........(14)
P h l
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
59/62
Pemecahan soal
Dilihat dari bentuk persamaan orde dua standar, maka diperoleh kecepatan
frekuensi natural , faktor teredam sebagai berikut;
Karena z < 1, maka respon sistem adalah respon underdamp
POT hanya tergantung pada nilai p, sedangkan waktu puncak tp tergantung
pada nilai n dan z. Keluaran c(t) mengalami harga puncak kedua ketika
k=2, yaitu
502500 n
2,0502
20
2
20
;202
n
n
%66,52%100%10022
2,01/2,01/ eePOT
ikk
t
n
p det128,02,0150
2
122
2
093,511401 22
2,01
2,02
1
eeEtc
k
p
Lanjutan Pemecahan soal
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
60/62
Lanjutan Pemecahan soal
Keluaran puncak pertama
Waktu naik tr adalah
Waktu menetap (settling time) adalah
065,61140122
2,01
2,0
1
eeEtc p
ikk
t
n
p det0641,02,01501
221
ikmt
nn
r det9,1282,0150
2,0cos
1
cos
12
1
2
1
2
a
ikmtn
s det300502,0
33
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
61/62
LANJUT SISTEM ORDE DUA
Pada sistem overdamped (z>1)
Bila persamaan C(s) di inverse Laplacekan diperoleh persamaan respon
waktu;
Dengan
dan
dan
222
2nn
n
ssEsC
21 /2
/
11
tt tteAeAEtc
12
1
2
2
1
A
12
1
2
2
2
A
11
21
t
n
11
2
2
t
n
....(15)
Batas
-
8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik
62/62
Latihan Soal
1. Suatu kontrol orde dua mempunyai peak over shoot 25%. Pada peak
magnitude Mp, frekuensi resonansi p =10 rad/detik
Tentukan Nilai frekuensi natural n,
Tentukan Nilai faktor peredaman z,
Tentukan Nilai waktu puncak tp.
Tentukan Fungsi alih loop tertutupnya.
Buatlag gambar respon sinyal keluaran kontrol jika inputnya fungsi
step 5 Volt.
2. Suatu sistem unity feedback mempunyai spesifikasi persentasi overshoot
=5% dan waktu puncak = 1 detik , untuk masukan unit step,
Tentukan open loop transfer fungsinya
top related